Expressão Gráfica I 1 Desde a pré-história o homem já defrontou-se com o problema de representar em um só plano. O desenho assumiu a função simbólica, mística (os povos primitivos representavam em cavernas cenas de caça). Até a revolução industrial, a representação gráfica era vista de maneira global, envolvendo a concepção e a manufatura. O desenho era utilizado para registrar idéias, sem preocupação com a descrição completa do objeto. Com a revolução industrial houve uma necessidade de uma padronização (repetibilidade de peças), a demanda por um sistema de representação que permitisse a comunicação. No final séc. XVIII, Gaspar Monge (1746-1818), um desenhista francês desenvolveu a Geometria Gescritiva (também denominado sistema mongeano) que constituiu base dos desenhos de Engenharia. Gaspard Monge definiu a Geometria Descritiva como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões. 1. SISTEMA DE PROJEÇÕES Dizemos que uma figura F do espaço se projeta de um ponto C sobre um plano π, que não contém o ponto C, quando determinamos, sobre o plano π, as intersecções dos vários raios projetantes, determinados pelo centro de projeção C e pelos pontos da figura. C F F1' F ' π' F1 De acordo com a posição ocupada pelo centro de projeção (finita ou no infinito), os sitemas de projeção classificam em: (a) sistema de projeção central (ou cônico); (b) sistema de projeção cilíndrico.
Expressão Gráfica I 2 1.1 SISTEMA DE PROJEÇÕES CÔNICO Este sistema de projeção é determinado pelo ponto C, centro de projeção (posição finita) e pelo plano de projeção π. A figua F considerada é o triângulo ABC, cuja projeção sobre o plano π, a partir do centro de projeção C, é o triângulo A B C, que é a figura F. O centro de projeção C, ocupando uma posição finita, as projetantes resultam convergentes, razão pela qual este sistema é denominado de sistema de projeção central ou cônica. C A F C B A' F' C' π' B' 1.2 SISTEMA DE PROJEÇÕES CILÍNDRICO Este sistema de projeção é determinado por: a) uma direção de projeção δ; b) um plano de projeção π, não paralelo a direção δ. O centro de projeção C está situado no infinito (ponto impróprio) e as projetantes são as retas paralelas à direção δ. Podemos ter dois tipos de projeção cilíndrica: oblíqua (a) e ortogonal (b). Quando a direção das projetantes for perpendicular ao plano de projeções, o sistema é denominado cilíndrico ortogonal.
Expressão Gráfica I 3 1.2 PROPRIEDADES DAS PROJEÇÕES CILÍNDRICAS 1. A projeção cilíndrica de uma reta não paralela à direção das projetantes é uma reta. A projeção cilíndrica de uma reta para paralela à direção das projetantes é um ponto. 2. Se duas retas r e s são paralelas, então as suas projeções cilíndricas são paralelas, coincidentes ou pontuais. 3. Se dois segmentos têm a mesma direção, isto é, são paralelos ou colineares, então a razão entre eles no espaço conserva-se na projeção cilíndrica desde que a direção dos segmentos não seja paralela à direção das projetantes. 4. Se uma figura está contida num plano paralelo ao plano de projeção, então essa figura será congruente à sua projeção cilíndrica, isto é, a projeção cilíndrica desta figura estará em verdadeira grandeza. 5. Qualquer figura contida num plano paralelo à direção das projetantes tem como projeção um segmento que está contido no traço do plano dessa figura sobre o plano de projeção.
Expressão Gráfica I 4 1.2.1 PROPRIEDADES DAS PROJEÇÕES CILÍNDRICAS ORTOGONAIS 1. Se um segmento for oblíquo ao plano de projeção, então sua projeção ortogonal será menor que a sua verdadeira grandeza. 2. Se duas retas são perpendiculares ou ortogonais entre si, sendo uma delas paralela ou pertencente ao plano de projeção e a outra não perpendicular a esse plano, então as projeções ortogonais dessas retas são perpendiculares entre si. Exercícios: 01. Representar as projeções cilíndricas dos vértices do paralelogramo ABCD, sendo dadas as projeções cilíndricas dos pontos A e B, bem como a projeção do ponto M de concurso das diagonais. 02. Representar a projeção cilíndrica de um triângulo ABC, sendo dadas as projeções de dois vértices e do baricentro.
Expressão Gráfica I 5 03. Representar a projeção cilíndrica de um hexágono regular ABCDEF, sendo dados as projeções cilíndricas de três vértices consecutivos. 04. Representar a projeção cilíndrica de um hexágono regular ABCDEF, sendo dados as projeções cilíndricas de dois vértices consecutivos e a projeção do centro.
Expressão Gráfica I 6 I - INTRODUÇÃO PROJEÇÕES cônica perspectiva cônica oblíquas perspectiva cavaleira um só plano cilíndrica perspectiva axonométrica ortogonais projeção cotada especiais projeções cartográficas dois ou mais planos Dupla Projeção Ortogonal (ou Método Mongeano ou de Monge) II - O MÉTODO DAS PROJEÇÕES COTADAS O MÉTODO FOI IDEALIZADO POR FELLIPE BUACHE EM 1737 PARA O LEVANTAMENTO DA CARTA HIDRO- GRÁFICA DO CANAL DA MANCHA. EM 1830 O MÉTODO FOI SISTEMATIZADO PELOS MILITARES FRANCESES. É BASTANTE UTILIZADO NA SOLUÇÃO DE COBERTURAS E COMO BASE PARA O DESENHO TOPOGRÁFICO. O MÉTODO DAS PROJEÇÕES COTADAS É UM SISTEMA GRÁFICO-ANALÍTICO QUE UTILIZA SOMENTE UMA PROJEÇÃO DO OBJETO ESTUDADO. CADA PROJEÇÃO É ACOMPANHADA DE UM NÚMERO QUE REPRESENTA A DISTÂNCIA DO PONTO AO PLANO DE PROJEÇÃO. EM TODO SISTEMA DE PROJEÇÃO, DEVEM SER DEFINIDOS OS SEUS ELEMENTOS PRINCIPAIS QUE SÃO: - OBJETO A SER PROJETADO - PROJETANTE - PLANO DE PROJEÇÃO REPRESENTAÇÃO DO PONTO 1. O plano de representação O Subespaço superior d π Subespaço inferior Consideremos π um plano na posição horizontal denominado de Plano (ou Quadro) de Representação ou Plano de Projeção ou Plano de Comparação. Este plano divide o espaço em dois subespaços: superior e inferior.
Expressão Gráfica I 7 Utilizamos o sistema de projeção cilíndrico ortogonal. Assim, o observador está situado no infinito e perpendicular a π. O subespaço do observador é positivo. 2. Representação do ponto O d +A +A π Seja A um ponto. Consideremos a sua projeção cilíndrica ortogonal A sobre o plano π. Somente A não representa o ponto A, é necessário mais um elemento: a=d(a, A ), denominado cota do ponto A. y +A +A (a) π x Portanto, o ponto A está representado por A (a). O método de projeção cotada é um sistema gráfico-algébrico, pois está envolvido uma projeção e um número. 2.1. Épura do ponto y A'(a) x
Expressão Gráfica I 8 O ponto A(x,y,z) está representado em épura por A (a). Quando a cota é positiva então o ponto está acima do plano de projeção, e dizemos que está em relevo (ou que é dada por uma altura). Quando a cota é negativa então o ponto está abaixo do plano de projeção, e dizemos que é um ponto rebaixado (ou que é dada por uma profundidade). Em Topografia, o plano horizontal de projeções considerado é o nível médio dos mares, então o ponto que está acima do nível médio dos mares, dizemos que possui uma altitude; e o ponto que está acima do nível médio dos mares, dizemos que possui uma profundidade. Portanto, o ponto é representado pela sua latitude, longitude e sua altitude. Exercício 1 Representar os pontos dados: A(40,30) 2 B(20,60) -3 C(90,70) 4 D(90,70) 1 E(80,40) 0 A unidade utilizada é o milímetro. A unidade para a cota é o metro. y x
Expressão Gráfica I 9 2.2. Distância entre dois pontos A d dh B dv C Distância vertical: dv = b-a Distância horizontal: dh = A B Distância d 2 = dv 2 + dh 2 A' B ' Para obtermos a distância d entre os dois pontos A e B (ou seja, a verdadeira grandeza VG- do segmento AB) podemos utilizar o processo gráfico ou o algébrico. No processo algébrico: Basta aplicar Pitágoras no triângulo retângulo se as cotas forem distintas. Se possuírem a mesma cota a d=dh. Se tem a mesma reta projetante a d=dv. No processo gráfico: Se os pontos possuem cotas distintas e projetantes distintas aplica-se o rebatimento. Se os pontos possuem a mesma cota então não precisa do rebatimento, a VG é A B. Se pertencem a uma mesma reta projetante então também não precisa de rebatimento, basta achar a diferença entre cotas dos pontos. Rebatimento do plano projetante α sobre π : Basta rebater o plano projetante α do segmento AB em torno do eixo α π, obtendo-se a verdadeira grandeza (VG) da distância d entre A e B, bem como a distância horizontal dh e a vertical dv. No espaço: B α A B' C απ' A' A' 1 B'1
Expressão Gráfica I 10 Em épura: u (mm) B'(30) A'(20) Rebatimento do plano projetante α sobre β horizontal: Basta rebater o plano projetante α do segmento AB em torno do eixo α obtendo o segmento A 1 B 1, cuja VG é o segmento A 1 B 1. No espaço: B α C β αβ A A1 B1 B' A' A'1 B'1 Em épura: u (mm) π απ B'(30) A'(20)
Expressão Gráfica I 11 Exercício 2 Representar a distância entre os pontos dados. u (mm) a) A(50,40,100) e B(100,80,60) b) C(40,70,20) e D(60,30,-30)
Expressão Gráfica I 12 REPRESENTAÇÃO DA RETA 1. Representação da reta Propriedade já vista: Se r é uma reta então r ou é uma reta (se r não for paralela à direção das projetantes d) ou um ponto (se r for paralela a direção das projetantes d) Espaço Épura r α r' r α r' r r'
Expressão Gráfica I 13 2. Posições relativas de uma reta em relação ao Plano de Projeção A reta pode ocupar posições distintas em relação ao Plano de Projeção, podendo ser: 1º) reta qualquer: r oblíqua em relação a π O ângulo que ela forma com π está entre 0º e 90º. Todos os seus pontos possuem cotas distintas. 2º) reta horizontal ou de nível: r paralela a π O ângulo que ela forma com π é 0º. Todos os seus pontos possuem a mesma cota. 3º) reta vertical: r perpendicular a π (reta projetante) O ângulo que ela forma com π é de 90º. Todos os seus pontos tem projeções coincidentes com o traço da reta. Exemplos: a) b) c) B'(1) r'(4) r' A'(3) d) e) f) (0) A'(3) (2) (6) (6) g) h) i) B'(3) A'(m) B'(m+3) A'(3) A'(3)=B'(7)
Expressão Gráfica I 14 3. Elementos de uma reta r B α d dv A θ dh B' απ' θ A' 1º) Inclinação A inclinação de uma reta é o menor ângulo θ que essa reta forma com o plano de representação, e pode ser obtido algebricamente por: dv como tg θ =, onde dv=b-a (diferença de cotas dos pontos) e dh=a B (projeção de AB) dh dv então θ = arc tg dh ou graficamente pelo rebatimento do plano projetante α da reta r. 2º) Coeficiente de redução dh O coeficiente de redução é dado por ρ = cos θ = d 3º) Declive dv Declive de uma reta é a tangente da sua inclinação, ou seja, de = tg θ = dh É comum exprimir o declive em porcentagem em vez de uma fração ou de um número decimal. Assim, em vez de se dizer, por exemplo, declive igual a 3/5 ou 0,6, usa-se dizer declive igual a 60%. Para inclinação zero não há declive. Para inclinação 90º o declive é infinito. E para inclinação 45º o declive é 100%. O declive também é chamado de declividade ou rampa.
Expressão Gráfica I 15 Exercício Obter a inclinação da reta r(a,b) e a VG do segmento AB. Obter seu coeficiente de redução e seu declive. r α B A θ B' απ' = r' A' A' 1 θ B' 1 r' 1 r' B'(5) A'(2)
Expressão Gráfica I 16 4º) Intervalo O intervalo é uma distância horizontal de dois pontos de uma reta tais que a diferença de suas cotas seja igual a unidade. Sejam A e B tais que b-a =1 unidade, então o intervalo I = dh = A B. r B α d dv=1 A dh B' απ' A' dh=i O declive é o inverso do intervalo unitário pois dv b a 1 tgθ = = = tgθ = 1 dh A B A B A B A eqüidistância é um múltiplo do intervalo. Exercício: Representar o intervalo da reta dada r(a,b) u (cm) r' B'(2) A'(5)
Expressão Gráfica I 17 5º) Escala de declive Graduar uma reta A escala de declive de uma reta r é a figura que se obtém representando sobre sua projeção r os pontos de cotas inteiras. Graduar uma reta é obter a escala de declive. Marcando os pontos de cotas inteiras e consecutivas teremos o intervalo da reta. Representamos por g r a graduação da reta r (pontos de cotas inteiras). Exercício Graduar a reta r definida pelos pontos A e B. u=cm a) B'(6,27) r' A'(1,35) b) A(3 ; 5; 3,4) B(7 ; 2 ; -1,6)
Expressão Gráfica I 18 Exercícios 1) Encontrar o traço de r sobre π A'(4) B'(-1) r'
Expressão Gráfica I 19 4. Pertinência de ponto à reta A condição para que um ponto pertença a uma reta é que sua projeção pertença à projeção da reta e que sua cota seja a cota de um ponto da reta. Exercícios 1) Obter a cota de um ponto P pertencente a uma reta dada r, sendo dada a sua projeção P. Obter pontos de cotas inteiras da reta. u cm a) r(a,b) r' A'(4,3) P' B'(2,4) b) E(8,6,-2) F(12,2,5) P(?,3,?) sendo P r
Expressão Gráfica I 20 2) Representar um ponto P da reta dada r sendo dada a sua cota p. u=cm a) r(a,b) p=4cm r' B'(2) A'(5,2) b) r(c,d) C(4,5,4) D(8,2,2) e p=1cm
Expressão Gráfica I 21 5. Posições relativas entre duas retas paralelas coplanares concorrentes r e s podem ser coincidentes não coplanares ou reversas Vimos propriedade 2: Se r//s então r //s ou r s ou são pontuais. 5.1. Condições de paralelismo 1º) Retas verticais r e s verticais sempre serão paralelas. 2º) Retas horizontais r // s, ambas horizontais r //s 3º) Retas quaisquer r // s, ambas quaisquer r // s ou r s I r = I s gr e g s crescem no mesmo sentido r' A'(3) B'(6) s' C'(4) B'(6) A'(3) D'(6) r' C'(3) D'(7) s'
Expressão Gráfica I 22 5.2. Condições de incidência Sejam r(a,b) e s(c,d) horizontal r pode ser vertical qualquer horizontal e s pode ser vertical qualquer 1º) r horizontal e s horizontal r X s Cotas iguais e projeções concorrentes. 2º) r horizontal e s vertical r X s s r 3º) r horizontal e s qualquer r X s r X s (rs) tem mesma cota quando considerado de r e de s C'(3) r'(5) C'(2) r'(3) D'(2) s' D'(4) s' 4º) r vertical e s vertical Sempre serão paralelas ou coincidentes 5º) r vertical e s qualquer r X s r s
Expressão Gráfica I 23 6º) r qualquer e s qualquer Planos projetantes distintos podem ser concorrentes ou reversas A'(1) s' D'(5) B'(6) C'(1) r' A'(1) D'(4) s' B'(5) C'(0) r' Mesmo plano projetante podem ser concorrentes ou paralelas A'(5) C'(1) B'(2) D'(3) r'=s'
Expressão Gráfica I 24 6. Retas perpendiculares ou ortogonais Relembrando a Propriedade: (1) r s ( ou r s ) Se (2) r // π ( ou r π ) (4) r s (3) s π Na projeção cilíndrica ortogonal tem-se que um ângulo não reto somente se projeta em VG quando dois lados forem paralelos ao plano de projeção. Porém, se o ângulo for reto, basta um só lado ser paralelo (ou estar contido) e o outro ser não perpendicular ao plano de projeção para que ele tenha projeção ortogonal em VG. Sejam duas retas r e s então podemos ter: 1º) r horizontal e s horizontal Perpendiculares ângulo reto e cotas iguais Ortogonais ângulo reto e cotas diferentes 2º) r horizontal e s qualquer E pertencentes a planos projetantes distintos e não paralelos r'(5) C'(2) D'(3) s'
Expressão Gráfica I 25 3º) r qualquer e s qualquer E pertencentes ao mesmo plano projetante ou a planos projetantes paralelos Solução 1: rebater o plano projetante r'=s D'(2,8) B'(7) C'(7,8) A'(5,2) Solução 2: trabalhar com o intervalo (ou a eqüidistância) delas a s B r 1u A=A' Ir B' Is C=C' r'=s'
Expressão Gráfica I 26 Exercícios 1) Representar a reta s pertencente ao ponto dado P e perpendicular a uma reta dada r(a,b). a) P'(1) r' A'(3) B'(4) b) r' A'(2) B'(4) P'(1) 2) Representar a reta s pertencente ao ponto dado P e ortogonal a uma reta dada r(a,b), sabendo-se que seus planos projetantes são paralelos. a) r' A'(2) P'(3) B'(5)
Expressão Gráfica I 27 1. Representação do plano REPRESENTAÇÃO DO PLANO Um plano está determinado por: - 3 pontos não colineares - 1 ponto e uma reta que não se pertencem - duas retas concorrentes ou paralelas 2. Posições relativas de um plano em relação ao Plano de Projeção α e π podem ser paralelos perpendiculares (projetantes) oblíquos 2.1. Plano horizontal (ou de nível) Espaço: F α F' Épura: +A (m) Propriedades: a) Cota constante b) Quantidade de pontos que determinam o plano: c) Retas contidas no plano: d) VG: e) Reta perpendicular:
Expressão Gráfica I 28 2.2. Plano vertical (ou projetante) Espaço: α A C A' B B' C' απ' Épura: A'(a) B'(b) απ'=r' Propriedades: a) Plano projetante: qualquer figura contida neste plano tem sua projeção reduzida a um segmento ou a uma reta. Assim, r pertence a α r pertence a α π. b) Quantidade de pontos que determinam o plano: c) Retas contidas no plano: d) VG: e) Reta perpendicular:
Expressão Gráfica I 29 2.3. Plano qualquer Espaço: α A C B C' απ' A' B' Épura: Propriedades: a) Quantidade de pontos que determinam o plano: b) Retas contidas no plano: c) VG: d) Reta perpendicular:
Expressão Gráfica I 30 3. Pertinência de ponto e reta a um plano qualquer 3.1. Pertinência de reta a plano qualquer r α r X a, r X b, r X a, r // b, onde a,b α onde a,b α 3.2. Pertinência de ponto a plano qualquer P α P r e r α Exercícios: 1) representar a reta r pertencente ao plano dado α(a,b) a) considerar rxa e r//b C'(4) B'(6) A'(3) b' a' b) considerar rxa e rxb C'(4) B'(6) A'(3) b' a'
Expressão Gráfica I 31 2) Verificar se o ponto P pertence ao plano α(a,b) a) C'(4) A'(3) a' P'(6) B'(6) b' b) C'(4) P'(6) A'(3) B'(6) b' a'
Expressão Gráfica I 32 3) Verificar se a reta dada r(p,q) pertence ao plano dado α(a,b) C'(4) A'(3) P'(4) B'(6) Q'(6,5) b' r' a) a' b) A'(3) a' C'(4) P'(4) B'(6) Q'(6) b' r' c) C'(1) P'(1) Q'(5) r' B'(5,5) a' A'(3,5) b'
Expressão Gráfica I 33 4. Elementos de um plano qualquer 1º) horizontais de um plano As horizontais de um plano qualquer são as retas de cota constante, ou seja, são as retas horizontais que estão no plano. As horizontais de um plano são sempre paralelas entre si Exercícios: 1. Determinar horizontais de α(a,b,c) A'(5) B'(2) C'(3) 2. Determinar α π do plano α(a,b,c) A'(4) B'(3) C'(2)
Expressão Gráfica I 34 3) Representar a horizontal de α sabendo-se que a mesma tem uma cota c=1 dada. A'(6) B'(3) C'(4) 4) Obter a cota de um ponto P pertencente a um plano α(a,b,c) qualquer, sendo dada a sua projeção. A'(7) P' C'(2) B'(4)
Expressão Gráfica I 35 2º) Reta de declive de um plano Definição: d é reta de declive de uma plano α em relação a π se d (α π ) Propriedades: 1ª) O ângulo entre α e π é o ângulo formado por d e π. 2ª) Todas as retas de declive de α são paralelas entre si. 3ª) A reta de declive de um plano em relação a π é uma reta perpendicular às horizontais do plano. 4ª) A reta de declive de um plano é a escala de declive desse plano. 5ª) Uma reta de declive de um plano qualquer é suficiente para representá-lo.. Exercícios: 1. Representar uma das retas de declive de um plano α(a,b,c) qualquer dado. A'(5) B'(3) C'(4) 2. Dado o plano qualquer α por uma reta d α de declive, representar outras retas deste plano. d'α A'(2) B'(4)
Expressão Gráfica I 36 3ª) Inclinação A inclinação de um plano é a inclinação de uma de suas retas de declive. Exercícios: 1. Encontrar o ângulo θ que o plano α(d α ) forma com π.. 2. Representar um plano α que contenha a reta dada h e forme ângulo de 60º com π. h'(2)
Expressão Gráfica I 37 5. Reta concorrente com um Plano - a reta é genérica em relação ao plano; - a reta é perpendicular ao plano. 5.1 Reta Genérica a um Plano Considera-se um plano Auxiliar pertencente à reta dada (pode ser um plano projetante ou qualquer). Determina-se a interseção desse plano auxiliar com o plano dado. A interseção desses dois planos é uma reta cujo ponto comum com a reta dada é o ponto procurado. Exercícios: 1. Dados: plano a definido pela sua reta de declive d α(a, B) e a reta r(c, D). Pede-se: determinar o ponto onde a reta r fura o plano α. A (2, 0) 1,0 B (0, 5.5) 4,0 C (5.5, 1) 1,0 D (6.5, 5.5) 5,0 Obs. Resolver o exercício utilizando como plano auxiliar (o plano qualquer e depois o plano vertical ).
Expressão Gráfica I 38 5.2 Reta Perpendicular a um Plano A reta Perpendicular a um plano qualquer será perpendicular à reta de declive deste plano. Exercício: 1. Obter a reta que passa pelo ponto X e é perpendicular ao plano δ definido pela sua reta de declive (d β).
Expressão Gráfica I 39 6. Rebatimento do Plano Qualquer Rebater um plano α sobre o plano de projeções π é fazê-lo coincidir com esse último. Para tanto, gira-se o plano em torno de uma reta (denominada eixo de rebatimento ou charneira) que pode ser o traço do plano α (απ h (0)) ou uma horizontal do mesmo de mesma cota do plano horizontal sobre o qual o plano α será rebatido. O objetivo do método é tornar qualquer figura (ou reta) contida no plano paralela (ou coincidente) com o plano de projeções π. Ao rotacionar uma figura em torno de um eixo, se algum ponto da figura pertence ao mesmo, este ponto permanece fixo.
Expressão Gráfica I 40 Exercícios: 1. Dado o plano α (A, B, C), pede-se: a verdadeira Grandeza (V.G.) da reta r(a, B) desse plano. A (3, 7) 3,0 B(8, 4) 8,0 C(14, 5) 5,0 2. Dado o plano α (A, B, C), determinar sua escala de declive e a verdadeira grandeza do triângulo ABC. A (2, 2) 2,0 B(7, 4) 5,0 C(4, 8) 4,0
Expressão Gráfica I 41 3. Obter as projeções cotadas de um Triângulo Eqüilátero ABG pertencente ao α (A, B, C).
Expressão Gráfica I 42 4. Determinar o ângulo α formado pelas retas AP e BP, sendo A e B, respectivamente os traços das retas.
Expressão Gráfica I 43 7. Posição relativa de dois planos coincidentes α eβpodem ser paralelos secantes ( ou ) 7.1. Condições de paralelismo de dois planos 1º) α // β, α e β horizontais Serão paralelos ou coincidentes, dependendo dos valores de suas cotas. 2º) α // β, α e β verticais Para serem paralelos devemos ter α π // β π. 3º) α // β, α e β quaisquer Os planos quaisquer α e β serão paralelos se: ou d α // d β ou a//r e b//s onde axb α e rxs β 7.2. Interseção de planos 1º) α // π e β // π Temos que (αβ) ou que não existe. 2º) α // π e β π Temos que (αβ) β π onde (αβ) (α) βπ' A'(3)
Expressão Gráfica I 44 3º) α // π e β π Temos que αβ // π. d'β A'(5) P'(3) Q'(4) 4º) α π e β π Temos que αβ π απ' βπ' 5º) α π e β π d'β απ' P'(3) Q'(5)
Expressão Gráfica I 45 6º) α π e β π Sejam α(d α ) e β(d β ) a) d'α d'β (3) (3) (2) (2) b) d'α d'β (2) (3) (3) (2) Quando dois planos estão igualmente inclinados então eles se cortam segundo uma reta que é a bissetriz do ângulo formado pelas suas horizontais.
Expressão Gráfica I 46 c) d'α d'β (3) (3) (1) (2)