MECÂNICA APLICADA 5º Período de Engenharia Civil REVISAO GERAL GRANDEZA ESCALAR É caracterizada por um número real. Como, por exemplo, o tempo, a massa, o volume, o comprimento, etc. GRANDEZA VETORIAL Uma grandeza vetorial é caracterizada pela dependência de três elementos fundamentais, ou seja, representa um ente matemático que possui intensidade, direção e sentido. Em problemas de estática é muito comum a utilização de grandezas vetoriais como posição, força e momento. A posição de um ponto no espaço em relação a outro ponto caracteriza uma grandeza vetorial. Para descrever a posição de uma cidade A em relação à outra cidade B, é insuficiente dizer que ambas estão separadas por uma distância de 100 km, para se caracterizar um vetor, deve-se dizer, por exemplo, que a cidade B se encontra 100 km a oeste da cidade A. A força também é caracterizada como uma grandeza vetorial, pois quando se empurra uma peça de móvel através do chão aplica-se na mesma uma força com intensidade suficiente para mover o móvel e com a direção desejada para o movimento. REPRESENTAÇÃO DE UMA GRANDEZA VETORIAL Uma grandeza vetorial pode ser representada graficamente por uma seta, que é utilizada para definir seu módulo, sua direção e seu sentido. Graficamente o módulo de um vetor é representado pelo comprimento da seta, a direção é definida através do ângulo formado entre um eixo de referência e a linha de ação da seta e o sentido é indicado pela extremidade da seta. A figura mostra a representação gráfica de dois vetores força atuando ao longo dos cabos de fixação de um poste, o ponto O é chamado de origem do vetor e o ponto P representa sua extremidade ou ponta.
LEI DOS SENOS Dado um triângulo ABC e seus ângulos internos a, b e g, a lei dos senos é definida da seguinte forma: Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são proporcionais. LEI DOS COSSSENOS A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos a, b e g, a lei dos cossenos é definida do seguinte modo: Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
SOMA VETORIAL REGRA DO PARALELOGRAMO O Cálculo da força resultante pode ser obtido através da soma vetorial com a aplicação da regra do paralelogramo.
EXEMPLO 01) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a direção da força resultante. SOLUÇÃO
EXEMPLO 02) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a 30KN. Encontre suas componentes nas direções AC e BC. SOLUÇÃO
EXERCICIOS PROPOSTOS 1) O elo da figura está submetido às forças F1 e F2, determine a intensidade e a orientação da força resultante. SOLUÇÃO
2) A chapa está submetida a duas forças Fa e Fb. Se ϴ=60º, determine a intensidade da força resultante e sua intensidade em relação ao eixo horizontal. SOLUÇÃO
3) Duas forças são aplicadas a fim de remover a estaca mostrada. Determine o ângulo ϴ e o valor da força F de modo que a força resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750N. SOLUÇÃO
4) A caminhonete mostrada é rebocada por duas cordas. Determine os valores de Fa e Fb de modo a produzir uma força resultante de 950N orientada no eixo X positivo, considerando ϴ=50º. SOLUÇÃO
5) O parafuso tipo gancho mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a direção da força resultante. SOLUÇÃO
6) A tora de madeira é rebocada pelos dois tratores mostrados, sabendo que se a força resultante é igual a 10KN e está orientada ao longo do eixo x positivo. Determine a intensidade das forças Fa e Fb, considerando ϴ=15º. SOLUÇÃO
7) O gancho da figura está submetido às forças F1 e F2, determine a intensidade e a orientação da força resultante. SOLUÇÃO
8) Determine o ângulo θ e a intensidade de Fb de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 1500N. SOLUÇÃO
9) Três forças atuam sobre o suporte mostrado. Determine o ângulo θ e a intensidade de F1 de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo x positivo e tenha intensidade de 1kN. SOLUÇÃO
10) Determine o ângulo θ e a intensidade de F1 de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. SOLUÇÃO
PRINCÍPIOS DA ESTÁTICA 1º A ação de um sistema de forças não se altera se a ele acrescentarmos, ou dele subtrairmos, um sistema equilibrado de forças. 2º A condição necessária e suficiente para que duas forças constituem um sistema equilibrado é que elas sejam colineares, tenham o mesmo módulo e sentidos contrários. 3º A ação de duas forças aplicadas num mesmo ponto é equivalente à ação de uma força única, aplicada nesse ponto, representada pela diagonal do paralelogramo formado pelos vetores representativos daquelas duas forças. 4º A ação de um corpo sobre outro corresponde sempre uma reação igual e contrária, deste corpo sobre o primeiro.
CONSEQUENCIAS IMEDIATAS DOS PRINCIPIOS DA ESTÁTICA No estudo do equilíbrio dos corpos rígidos, podem supor-se as forças aplicadas em qualquer ponto das respectivas linhas de ação. Porem quando os problemas envolvem os esforços internos ou deformações de um corpo, os mesmos podem sofrer uma compressão ou tração. MOMENTO DE UMA FORÇA O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo, fornece uma medida da tendência dessa força provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ou do eixo. Momento é uma grandeza vetorial, possui intensidade direção e sentido. É determinado através da equação:
M = F x d onde, M= momento F= força d= distância. Rotação no sentido horário Momento negativo Rotação no sentido anti-horário Momento positivo MOMENTO DE UM BINÁRIO Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma intensidade, sentidos opostos e separadas por um distância d. O efeito de um binário é proporcionar rotação ou tendência de rotação em um determinado sentido. A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Pois as forças tendem a girar o corpo. EXEMPLO 01) Determine o momento da força em relação ao ponto O.
SOLUÇÃO EXEMPLO 02) Determine o momento da força em relação ao ponto O. SOLUÇÃO EXEMPLO 03) Determine os momentos da força de 800N em relação aos pontos A, B, C e D..
SOLUÇÃO EXEMPLO 04) Determine o momento das forças que atuam na estrutura mostrada
em relação ao ponto A. SOLUÇÃO VARIAÇÃO DO MOMENTO DE UM SISTEMA COM CENTRO DE REDUÇÃO
Admita-se que um dado sistema de forças se reduz no ponto B à resultante R e o momento Mb. Pode-se transportar essa força R para um outro ponto A, desde que se considere o seu momento de transporte (R x d) do ponto B para o ponto A. Nessas condições o sistema é equivalente ao sistema inicial. Portanto o Ma é o momento do sistema dado, em relação ao ponto a, pode-se escrever: Ma = Mb + R x d EXEMPLO 01) Substitua as três forças mostradas na figura por uma força resultante e um momento equivalente em relação ao ponto O. SOLUÇÃO
EXEMPLO 02) Uma força vertical de 100 N é aplicada na extremidade de uma alavanca que está fixa em O. Determine: a) O momento da força de 100 N em relação ao ponto O; b) A intensidade da força horizontal aplicada em A que produz o mesmo momento em relação ao ponto O; c) A menor força em A que produz o mesmo momento em relação ao ponto O; d) A que distância do eixo deverá estar uma força vertical de 240 N de modo a produzir o mesmo momento em relação ao ponto O, e) Se alguma das forças obtidas nas alíneas b) c) e d) são equivalentes à força original. SOLUÇÃO
CARGAS DISTRIBUÍDAS Até o presente momento consideramos em nossas aulas apenas forças concentradas, isto é, que atuam em um único ponto do corpo. Na realidade, a ação de uma força é sempre distribuída continuamente, quer por um volume, quer sobre uma superfície. Dessa forma a ação de infinitas resultantes atuando em todas as partículas de um corpo ou em todos os pontos da superfície de contato entre dois corpos. A força concentrada é apenas uma abstração, e pode ser considerada como a resultante de um sistema contínuo de esforços elementares. A substituição desse sistema contínuo pela sua resultante isto é, hipótese de força concentrada é um procedimento somente valido nos problemas de estática dos corpos rígidos. Não obstante, quando uma força se distribui sobre uma superfície de dimensões muito pequenas, pode-se, muitas vezes, admitir essa superfície reduzida a um ponto, mesmo na estática dos corpos deformáveis, por ser desprezível o erro introduzido nos resultados. Os três tipos mais utilizados de cargas distribuídas são: Retangular Triangular Trapezoidal
EXEMPLO 01) Calcular o valor da resultante da carga uniformemente distribuída representada abaixo:
EXEMPLO 02) Calcular o valor da resultante da carga triangular distribuída representada abaixo: EXEMPLO 03) Calcular o valor da resultante da carga trapezoidal distribuída representada abaixo:
MOMENTO DE UMA CARGA DISTRIBUÍDA O momento de uma carga distribuída representa a soma de todos os momentos das forças elementares, em relação a um ponto qualquer, pode ser obtido com teoremas desde que se conheçam a resultante e o eixo central do sistema. EXEMPLO 01) Calcular o momento em relação aos pontos A e B e C, da carga distribuída da figura abaixo:
EXEMPLO 02) Calcular o momento em relação ao ponto D da carga distribuída da figura: EXEMPLO 03) Calcular o momento em relação aos pontos A e B e C, da carga distribuída triangular da figura abaixo: FÓRMULA MOMENTO MOMENTO DE UM PONTO FORA DA CARGA Ma = P x L/2 x 2L/3 Mc = P x L/2 (L/3 + a) Mb = P x L/2 x L/3 Mc = P x L/2 (2L/3 + a)
EXEMPLO 04) Calcular o momento em relação aos pontos A, B e C da carga distribuída Trapezoidal da figura abaixo:
EQUILIBRIOS DOS SISTEMAS DE FORÇAS Condições gerais de equilíbrio. Para que um sistema de forças coplanares seja equilibrado, é necessário e suficiente que sejam satisfeitas de acordo com as seguintes condições: 1. As somas das projeções de todas as forças do sistema, sobre dois eixos quaisquer, Ox e Ou, no plano das forças, devem ser nulas. 2. A soma dos momentos de todas as forças do sistema em relação a um ponto arbitrário, A, do seu plano, deve ser nula. Essas condições se indicam com as seguintes equações simbólicas: Fx = 0 Fy = 0 Ma = 0 As duas primeiras condições são necessárias para que a resultante do sistema seja nula; a terceira é necessária para que o sistema não seja redutível a um binário. Essas condições são também suficientes, pois, satisfeitas as duas primeiras, o momento do sistema será, o mesmo em relação a qualquer ponto. As três equações são de grande importância para a mecânica aplicada, sendo chamadas de equações algébricas redundantes. APOIOS São elementos que restringem os movimentos das estruturas e podem ser classificados em:
EXEMPLO 01) Determine as reações nos apoios A e B da viga ilustrada abaixo. SOLUÇÃO EXERCICIOS PROPOSTOS 1) Determine as reações nos apoios, sabendo que F = 15 KN e a=1,2m; b=3,5m; c=2,4m e d=1,6m:
SOLUÇÃO 2) Determine as reações no apoio A. SOLUÇÃO
3) Determine as reações nos apoios. SOLUÇÃO
4) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força resultante e um momento equivalente no ponto A. SOLUÇÃO
5) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força resultante. Especifique onde a força atua, tomando como referência o ponto B. SOLUÇÃO
CENTRO DE GRAVIDADE; CENTRÓÍDE E BARICENTRO CENTRO DE GRAVIADADE Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de tamanho diferenciado, e assim, se o corpo estiver localizado dentro de um campo gravitacional, então cada uma das partículas terá um peso dw. Esses pesos formarão um sistema de forças aproximadamente paralelas, e a resultante desse sistema é o peso total do corpo, que passa por um único ponto chamado centro de gravidade, G. Equações para localização do centro de gravidade G em relação aos eixos x, y, e z tornam-se: = = = CENTRO DE MASSA DE UM CORPO Para estudar a resposta dinâmica ou movimento acelerado de um corpo, é importante localizar o centro de massa Cm do corpo. Essa localização pode ser determinada substituindo-se dw = g x dm,nas equações anteriores. Como g é constante, ele é cancelado e, portanto, temos as seguintes equações para o centro de massa. = = =
CENTRÓIDE DE UM VOLUME Se um corpo é feito de um material homogêneo, então sua densidade ρ (rho) será constante. Portanto um elemento diferencial de volume dv tem uma massa dm = ρ x dv. Substituindo essa massa nas equações do centro de massa e cancelando ρ, obtemos as fórmulas que localizam o centróide C ou o centro geométrico do corpo; conforme as equações abaixo: = = = CENTRÓIDE DE UMA ÁREA Se uma área se encontra no plano xy e estiver contornada pela curva y = f(x), então seu centróide estará nesse plano xy e pode ser determinado a partir de integrais semelhantes às equações do volume: = = Essas integrais podem ser avaliadas realizando-se uma integração simples se usarmos uma faixa retangular para o elemento de área diferencial CENTRÓIDE DE UMA LINHA Se um segmento de linha (ou barra) estiver dentro do plano xy e puder ser descrito por uma curva fina y = f(x), então seu centróide é determinado a partir de: = =
O centróide representa o centro geométrico de um corpo. Esse ponto coincide com o centro de gravidade somente se o material que compõe o corpo for uniforme ou homogêneo. As fórmulas usadas para localizar o centro de gravidade ou o centróide simplesmente representam um equilíbrio entre a soma dos momentos de todas as partes do sistema e o momento da ``resultante para o sistema. Em alguns casos, o centróide está localizado em um ponto que não está sobre o objeto, como no caso de um anel, onde o centróide está no seu centro. Além disso, esse ponto estará sobre qualquer eixo de simetria para o corpo.
FORMULÁRIO
EXEMPLO 01) A figura mostrada no quadro é feita de um pedaço de arame fino e homogêneo. Determine a localização do centro de gravidade.
EXEMPLO 02) Uma barra semicircular uniforme de peso W e raio r é ligada a um pino em A e repousa sobre uma superfície sem atrito em B. Determine as reações em A e B.
EXEMPLO 03) Numa chapa quadrada ABCD, homogênea e de lado a = 24 cm faz um corte também quadrado EFGH, de lado b = 12 cm. Determine a distância do centro de massa da chapa cortada à linha de base AD.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Determinar o centro de massa das figuras abaixo: A) SOLUÇÃO
B)
C)
D) E)
F)
G)
H)
2) Determine a força aplicada no cabo AB.
3) Determine o centroide da figura abaixo. Considere o eixo xy indicado na figura. A)
B)
4) Determinar a força aplicada na haste BC da figura abaixo.
MOMENTO DE INERCIA DE AREA O momento de inércia de área representa o segundo momento de área em relação a um eixo. Normalmente ele é usado em fórmulas relacionadas à força e estabilidade de membros estruturais ou elementos mecânicos. Se a forma da área for irregular, mas puder ser descrita matematicamente, então um elemento diferencial precisa ser relacionado e a integração sobre a área total deve ser realizada para determinar o momento de inércia. Ix = ʃª y² da Iy = ʃª x² da TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS Se o momento de inércia para uma área for conhecido em relação a um eixo Centroidal, então seu momento de inércia em relação a um eixo paralelo pode ser determinado pelo teorema dos eixos paralelos. _ I = I + Ad²
Fórmulas para as figuras mais usadas. Ix = 1 x b x h³ 12 12 Iy = 1 x b³ x h IX = 1 x b x h³ 36
EXEMPLO 01) Determine o momento de inércia em relação aos eixos centroidais x e y.
EXERCICIOS PROPOSTOS 1) Determine os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais X e Y da peça mostrada na figura abaixo: 2) determine o centro de massa da figura:
TRELIÇAS Treliça é uma estrutura de elementos delgados ligados entre si pelas extremidades. Treliças planas são aquelas se distribuem em um plano e geralmente são utilizadas em estruturas de telhados e pontes. Os elementos de uma treliça atuam como barras de duas forças. Se uma força tende a alongar o elemento, é chamada de força de tração. Se uma força tende a encurtar o elemento, é chamada de força de compressão. MÉTODO DOS NÓS Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a troca de sinais. Importante lembrar que somente os jogos de sinais deverão ser feitos nas equações dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais devem ser inseridas na equação considerando-se exclusivamente os sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações. EXEMPLO 01) Calcular as forças normais N nas barras da viga sobre dois apoios em treliça representada na figura abaixo:
EXERCICIOS PROPOSTOS 1) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós nas figuras abaixo: A)
B)
C)
D)
E)