2.2 Subespaços Vetoriais

32 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 2.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas: 1. W 6=. 2. u + v W,paratodosu, v W. 3. au W,paratodoa R e u W. Observações 2.9 1. Qualquer subespaço W de V contém o vetor nulo 0, poisquando a =0,temosque 0 =0u W. 2. Pode ser provado que, se admitirmos estas duas propriedades em W,asoitopropriedades de espaço vetorial são válidas em W. Desta forma, W étambémum espaço vetorial com as propriedades herdadas de V. 3. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços, a saber, {0} e V,chamados de subespaços triviais ou impróprios. Os demais subespaços de V são chamados de subespaços não-triviais ou próprios. Exemplo 2.10 Sejam V = R n e Então W éumsubespaçodev. Solução. ÉclaroqueW 6=, pois W = {(x 1,...,x n ) V : x 1 =0} = {(0,x 2,...,x n ):x 2,...,x n R}. 0 =(0,...,0) W. Dados u, v W e a R. Comou, v W temos que Logo, e Portanto, W éumsubespaçodev. u =(0,x 2,...,x n ) e v =(0,y 2,...,y n ) u + v = (0+0,x 2 + y 2,...,x n + y n ) = (0,x 2 + y 2,...,x n + y n ) W au = (a0,ax 2,...,ax n ) = (0,ax 2,...,ax n ) W.

2.2. SUBESPAÇOS VETORIAIS 33 Exemplo 2.11 Sejam V = R n n e W = {A V : A t = A} oconjuntodasmatrizessimétricas.entãow éumsubespaçodev. Solução. ÉclaroqueW 6=, pois O t = O O W. Dados A, B W e a R. ComoA, B W temos que A t = A e B t = B. Logo, (A + B) t = A t + B t = A + B A + B W e (aa) t = aa t = aa aa W. Portanto, W éumsubespaçodev. Exemplo 2.12 Sejam A R m n uma matriz fixada, V = R n 1 e W = {X V : AX = O}. oconjuntosoluçãodosistemahomogêneoax = O. EntãoW éumsubespaçodev. Solução. Ficacomoumexercício. Exemplo 2.13 Sejam V = F(R, R) oespaçovetorialdetodasasfunçõesreaise W = {f V : f( x) =f(x), x R} oconjuntodasfunçõespares.entãow éumsubespaçodev. Solução. ÉclaroqueW 6=, pois 0( x) =0=0(x), x R, 0 W. Dados f, g W e a R. Comof, g W temos que f(x) =f( x) e g(x) =g( x), x R. Logo, (f + g)( x) = f( x)+g( x) = f(x)+g(x) = (f + g)(x), x R, f + g W e (af)( x) = af( x) =af(x) = (af)(x), x R, af W. Portanto, W éumsubespaçodev.

34 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS Exemplo 2.14 Sejam V = P n (R) com n 2 e W = {p V : p(1) = p(7) = 0}. Então W éumsubespaçodev. Solução. ÉclaroqueW 6=, pois 0(1) = 0(7) = 0 0 W. Dados p, q W e a R. Comop, q W temos que p(1) = p(7) = 0 e q(1) = q(7) = 0. Logo, (p + q)(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0 e (p + q)(7) = p(7) + q(7) = 0 + 0 = 0 p + q W e (ap)(1) = ap(1) = a 0=0 e (ap)(7) = ap(7) = a 0=0 ap W. Portanto, W éumsubespaçodev. Exemplo 2.15 Sejam V = R n e W = {(x 1,...,x n ) V : x 2 = x 1 +1}. Então W não é um subespaço de V,pois 0 =(0,...,0) / W. Exemplo 2.16 Sejam V = R 2 e W = {(x 1,x 2 ) V : x 2 = x 1 }. Então W não é um subespaço de V,poisu =( 1, 1) W e v =(2, 2) W mas u + v =(1, 3) / W. Note que 0 =(0, 0) W. Portanto, 0 W écondiçãonecessáriamasnãosuficiente para que W seja um subespaço de V. Teorema 2.17 Seja V um espaço vetorial sobre R. Se W 1 e W 2 são subespaços de V, então W 1 W 2 éumsubespaçodev.

2.2. SUBESPAÇOS VETORIAIS 35 Prova. ÉclaroqueW 1 W 2 6=, pois 0 W 1 e 0 W 2 0 W 1 W 2. Dados u, v W 1 W 2 e a R. Comou, v W 1 W 2 temos que u, v W 1 e u, v W 2. Assim, por hipótese, u + v W 1, u + v W 2 e Logo, au W 1, au W 2. u + v W 1 W 2 e au W 1 W 2. Portanto, W 1 W 2 éumsubespaçodev. Exemplo 2.18 Sejam V = R 3, W 1 = {(x, y, z) V : x =0} e W 2 = {(x, y, z) V : y =0} subespaços de V (prove isto!). DetermineW 1 W 2. Solução. Dadou =(x, y, z) W 1 W 2,obtemosu =(x, y, z) W 1 e u =(x, y, z) W 2. Logo, x =0e y =0.Portanto,u =(x, y, z) W 1 W 2 se, e somente se, x = y =0e z qualquer. Assim, W 1 W 2 = {(x, y, z) V : x = y =0}. Exemplo 2.19 Sejam V = R 2 2, (" # ) a b W 1 = V : a, b, c R c 0 e W 2 = (" a 0 0 d # V : a, b R ) subespaços de V (prove isto!). DetermineW 1 W 2. Solução. Dado " # a b A = W 1 W 2, c d temos que " # " a b a b A = W 1 e A = c d c d Logo, d =0, b =0e c =0.Portanto, " # a b A = W 1 W 2 c d # W 2.

36 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS se, e somente se, b = c = d =0e a qualquer. Assim, (" # ) a 0 W 1 W 2 = V : a R. 0 0 Pergunta. W 1 W 2 éumsubespaçodev? A resposta desta pergunta é, em geral, não. De fato, sejam V = R 2, W 1 = {(x, y) V : y =0} e W 2 = {(x, y) V : x =0} subespaços de V (prove isto!). Então W 1 W 2 não é um subespaço de V,pois u =(1, 0) W 1 W 2 e v =(0, 1) W 1 W 2 mas u + v =(1, 1) / W 1 W 2. Teorema 2.20 Seja V um espaço vetorial sobre R. Se W 1 e W 2 são subespaços de V, então o conjunto W 1 + W 2 = {u 1 + u 2 : u 1 W 1 e u 2 W 2 } éumsubespaçodev.notequew 1 W 2 W 1 + W 2. Prova. Como0 W 1 e 0 W 2 temos que 0 = 0 + 0 W 1 + W 2.Logo,W 1 + W 2 6=. Agora, dados u, v W 1 + W 2 e a R. Como u, v W 1 + W 2 temos que existem u 1, v 1 W 1 e u 2, v 2 W 2 tais que u = u 1 + u 2 e v = v 1 + v 2.Assim,porhipótese, u 1 + v 1 W 1, u 2 + v 2 W 2 e au 1 W 1, au 2 W 2. Logo, u + v = (u 1 + u 2 )+(v 1 + v 2 ) = (u 1 + v 1 )+(u 2 + v 2 ) W 1 + W 2 e au = a(u 1 + u 2 )=au 1 + au 2 W 1 + W 2. Portanto, W 1 + W 2 éumsubespaçodev. Exemplo 2.21 Sejam V = R 3, W 1 = {(x, y, z) V : x =0} e W 2 = {(x, y, z) V : y = z =0} subespaços de V (prove isto!). DetermineW 1 W 2 e W 1 + W 2.

2.2. SUBESPAÇOS VETORIAIS 37 Solução. Dadou =(x, y, z) W 1 W 2,obtemosu =(x, y, z) W 1 e u =(x, y, z) W 2. Logo, x =0e y = z =0. Portanto, u =(x, y, z) W 1 W 2 se, e somente se, x = y = z =0.Assim, W 1 W 2 = {(0, 0, 0)}. Agora, dado u W 1 + W 2,existemu 1 =(0,y,z) W 1 e u 2 =(x, 0, 0) W 2,com x, y, z R, taisque u = u 1 + u 2 =(x, y, z). Portanto, W 1 + W 2 = V. Sejam V um espaço vetorial sobre R e W 1,W 2 subespaços de V. Dizemos que V é decomposto em soma direta de W 1 e W 2,emsímbolosV = W 1 W 2,seasseguintes condições são satisfeitas: 1. V = W 1 + W 2. 2. W 1 W 2 = {0}. Exemplo 2.22 Sejam V = R 3, W 1 = {(x, y, z) V : x =0} e W 2 = {(x, y, z) V : y = z =0} subespaços de V.Então,peloExemplo2.21, V = W 1 W 2. Exemplo 2.23 Sejam V = R n n, W 1 = {A V : A t = A} e W 2 = {A V : A t = A} subespaços de V.MostrequeV = W 1 W 2. Solução. DadoA W 1 W 2,temosqueA W 1 e A W 2.Logo, A t = A e A t = A A = A 2A = O A = O. Assim, W 1 W 2 = {O}. Agora,dadoA V,temosque A = 1 A = ( 1 2 + 1 2 )A = 1 2 A + 1 2 A = 1 2 A + 1 2 At 1 2 At + 1 2 A = 1 2 (A + At )+ 1 2 (A At ).

38 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS É fácil verificar que Portanto, V = W 1 + W 2. 1 2 (A + At ) W 1 e 1 2 (A At ) W 2. EXERCÍCIOS 1. Mostre todas as afirmações deixadas nesta seção. 2. Seja V = R 3.Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V. (a) W = {(x, y, z) V : x + y + z =0}. (b) W = {(x, y, z) V : x y z}. (c) W = {(x, y, z) V : x 3z =0}. (d) W = {(x, y, z) V : x Z}. (e) W = {(x, y, z) V : x 2 + y 2 + z 2 1}. (f) W = {(x, y, z) V : x 0}. (g) W = {(x, y, z) V : xy =0}. (h) W = {(x, y, z) V : x = z 2 }. 3. Seja V = R n n, n 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V. (" # ) a b (a) W = V : a = c e b + d =0. c d (" # ) a b (b) W = V : a + d b + c. c d (c) W = {A V : AB = BA, B uma matriz fixa em V }. (d) W = {A V : A 2 = A}. (" # ) a b (e) W = V : ad bc 6= 0. c d (" # ) a b (f) W = V : ad bc =0. c d 4. Seja V = P n (R), n 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V. (a) W = {p V : p(0) = 0}.

2.2. SUBESPAÇOS VETORIAIS 39 (b) W = {p V : p(0) = 2p(1)}. (c) W = {p V : p(x)+p 0 (x) =0}. (d) W = {p V : p(2) = 0 e p(5) 6= 0}. (e) W = {p V : p = a 0 + a 2 x 2 + + a 2k x 2k e 2k n}. 5. Seja V = F(R, R) oespaçovetorialdetodasasfunçõesreais. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V. (a) W = {f V : f(0) = 1}. (b) W = {f V : f(5) = 0}. (c) W = {f V : f(3) = f(5)}. (d) W = {f V : f écontínua}. (e) W = {f V : f éderivável}. (f) W = {f V : f éintegrável}. 6. Sejam W 1,W 2 e W 3 os seguintes subespaços de R 3 W 1 = (x, y, z) R 3 : x = z ª, W 2 = (x, y, z) R 3 : x = y =0 ª, W 3 = (x, y, z) R 3 : x + y + z =0 ª. ÉverdadequeW 1 + W 2 = W 1 + W 3 = W 2 + W 3 = R 3?Emalgumdoscasosasoma édireta? 7. Sejam V um espaço vetorial sobre R e W 1,W 2 subespaços de V. Mostre que V = W 1 W 2 se, somente se, todo vetor v em V pode ser escrito de modo único sob a forma v = w 1 + w 2,ondew 1 W 1 e w 2 W 2. 8. Considere W 1 = (x, y) R 2 : x = y ª. Encontre um subespaço W 2 de R 2 tal que R 2 = W 1 W 2. 7. Sejam V = F(R, R) oespaçovetorialdetodasasfunçõesreaise W 1 = {f V : f( x) =f(x), x R}, W 2 = {f V : f( x) = f(x), x R} subespaços de V.MostrequeV = W 1 W 2. 8. Sejam V = F(R, R) oespaçovetorialdetodasasfunçõesreaiser R + fixado. Mostre que o conjunto éumsubespaçodev. W r = {f V : f(x) =0, x [ r, r]}

40 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 9. Sejam V um espaço vetorial sobre R e W 1,W 2 subespaços de V.MostrequeW 1 W 2 éumsubespaçodev se, e somente se, W 1 W 2 ou W 2 W 1. 10. Sejam V um espaço vetorial sobre R e W 1, W 2, W 3 subespaços de V. (a) Mostre que (W 1 W 2 )+(W 1 W 3 ) W 1 (W 2 + W 3 ). (b) Mostre que W 1 +(W 2 W 3 ) (W 1 + W 2 ) (W 1 + W 3 ). (c) Mostre, com um exemplo, que as inclusões acima podem ser estritas. (d) Mostre que se W 3 W 1,entãovaleaigualdade. 11. Sejam V um espaço vetorial sobre R e W 1, W 2 subespaços de V tais que V = W 1 W 2.DizemosqueumsubespaçoU de V é adaptado aestadecomposiçãose U =(U W 1 ) (U W 2 ). (a) Determine um exemplo de uma decomposição e um subespaço que não seja adaptado à decomposição. (b) Mostre que se W 1 U ou W 2 U, entãou éadaptadoadecomposição. 2.3 Combinação Linear Seja V um espaço vetorial sobre R. Um vetor u em V é uma combinação linear dos vetores u 1,...,u n em V se existirem escalares x 1,...,x n R tais que Exemplo 2.24 Sejam V = R 4 e u = x 1 u 1 + + x n u n = nx x i u i. u 1 =(1, 1, 2, 1), u 2 =(3, 0, 4, 1), u 3 =( 1, 2, 5, 2) vetores em V. Quais dos vetores u =(4, 5, 9, 7), v =(3, 1, 4, 4) e w =( 1, 1, 0, 1) são combinações lineares dos vetores u 1, u 2 e u 3? Solução. Para resolver este problema devemos verificar se a equação vetorial i=1 x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 = u tem solução, onde u =(b 1,b 2,b 3,b 4 ) V.Masistoéequivalenteadeterminarcondições sobre b 1, b 2, b 3 e b 4,demodoqueosistemanão-homogêneo x 1 +3x 2 x 3 = b 1 x 1 +2x 3 = b 2 2x 1 +4x 2 +5x 3 = b 3 x 1 x 2 +2x 3 = b 4

2.3. COMBINAÇÃO LINEAR 41 tenha solução. Para resolver o sistema, vamos reduzir a matriz ampliada à forma em escada 8b 1 3 1. b 1 1 0 0. 1 +19b 2 6b 3 39 A 0 1 0 2. b 3b 2 0 1 0. 1 b 2 +b 3 13 = R = 2 4 5. b 4b 3 0 0 1. 1 +10b 2 +3b 3 39 3b 1 1 2. b 4 0 0 0. 1 14b 2 +b 3 +13b 4 13 Portanto, pelo item 2 das Observações 1.19, o vetor u =(b 1,b 2,b 3,b 4 ) V écombinação linear dos vetores u 1, u 2 e u 3 se, e somente se, 3b 1 14b 2 + b 3 +13b 4 13 =0 b 3 = 3b 1 +14b 2 13b 4. Assim, u =(4, 5, 9, 7) écombinaçãolineardosvetoresu 1, u 2 e u 3,pois 9= 12 70 + 91 e u = 3u 1 +2u 2 u 3, v =(3, 1, 4, 4) não é combinação linear dos vetores u 1, u 2 e u 3,pois 4 6= 9+14 52 e w =( 1, 1, 0, 1) não é combinação linear dos vetores u 1, u 2 e u 3,pois 0 6= 3+14 13. Teorema 2.25 Sejam V um espaço vetorial sobre R e u 1,...,u n vetores fixados em V. Então o conjunto ( nx ) W = {x 1 u 1 + + x n u n : x 1,...,x n R} = x i u i : x i R éumsubespaçodev. Prova. ÉclaroqueW 6=, pois 0 =0u 1 + +0u n W. Dados u, v W e a R. Comou, v W temos que existem x 1,...,x n,y 1,...,y n R i=1 tais que u = x 1 u 1 + + x n u n e v = y 1 u 1 + + y n u n. Logo, u + v = (x 1 u 1 + + x n u n )+(y 1 u 1 + + y n u n ) = (x 1 + y 1 )u 1 + +(x n + y n )u n W

42 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS e au = a(x 1 u 1 + + x n u n ) = (ax 1 )u 1 + +(ax n )u n W. Portanto, W éumsubespaçodev. Osubespaço ( nx ) W = {x 1 u 1 + + x n u n : x 1,...,x n R} = x i u i : x i R de V échamadoosubespaço gerado por u 1,...,u n.maisgeralmente,sejaβ um subconjunto não-vazio de V.Então ( kx ) W = x i u i : x i R e u i β i=1 éosubespaçodev gerado por β, ondeβ éoconjuntodegeradores de V,eserádenotado por W =[β]. Quando β = {u 1,...,u n },denotamos[β] por [u 1,...,u n ]. Exemplo 2.26 Sejam V = R 3 e e i =(δ i1,δ i2,δ i3 ) i =1, 2, 3, vetoresemv.determine W =[e 1, e 2, e 3 ]. Solução. Pordefinição W = {xe 1 + ye 2 + ze 3 : x, y, z R} i=1 = {x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) : x, y, z R} = {(x, y, z) :x, y, z R}. Portanto, W = V,istoé,todovetoru em V pode ser escrito como uma combinação dos vetores e 1, e 2 e e 3. Exemplo 2.27 Sejam V = R 2 2 e " # " 1 0 E 11 =, E 12 = 0 0 0 1 0 0 #, E 21 = vetores em V.DetermineW =[E 11, E 12, E 21, E 22 ]. Solução. Pordefinição " 0 0 1 0 #, E 22 = W = {ae 11 + be 12 + ce 21 + de 22 : a, b, c, d R} (" # ) a b = : a, b, c, d R. c d " 0 0 0 1 Portanto, W = V,istoé,todovetoru em V pode ser escrito como uma combinação dos vetores E 11, E 12, E 21 e E 22. #

2.3. COMBINAÇÃO LINEAR 43 Exemplo 2.28 Sejam V = P 3 (R) e p i = x i, i =0, 1, 2, 3, vetores em V.DetermineW =[p 0,p 1,p 2,p 3 ]. Solução. Pordefinição W = {a 0 p 0 + a 1 p 1 + a 2 p 2 + a 3 p 3 : a 0,a 1,a 2,a 3 R} = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 : a 0,a 1,a 2,a 3 R}. Portanto, W = V,istoé,todovetoru em V pode ser escrito como uma combinação dos vetores p 0, p 1, p 2 e p 3. Exemplo 2.29 Sejam V um espaço vetorial sobre R e W 1,W 2 subespaços de V.Mostre que W 1 + W 2 éomenorsubespaçodev contendo W 1 e W 2,istoé, W 1 + W 2 =[W 1,W 2 ]=[W 1 W 2 ]. Solução. JávimosqueW 1 + W 2 éumsubespaçodev.comow 1 = w 1 + 0 W 1 + W 2 e w 2 = 0 + w 2 W 1 + W 2 temos que W 1 W 1 + W 2 e W 2 W 1 + W 2. Logo, W 1 W 2 W 1 + W 2 e [W 1 W 2 ] W 1 + W 2. Por outro lado, se w W 1 + W 2,entãoexistemw 1 W 1 e w 2 W 2 tais que w = w 1 + w 2 =1 w 1 +1 w 2. Assim, todo vetor w W 1 + W 2 éumacombinaçãolineardevetoresemw 1 W 2. Consequentemente, Portanto, W 1 + W 2 =[W 1 W 2 ]. W 1 + W 2 [W 1 W 2 ]. Finalmente, seja W qualquer subespaço de V tal que W 1 W e W 2 W.Então W 1 W 2 W e [W 1 W 2 ] W, pois todo vetor de [W 1 W 2 ] éumacombinaçãolineardevetoresemw 1 W 2 e W éum subespaço de V.Portanto,W 1 + W 2 W. Exemplo 2.30 Determine todos os subespaços de R 2.

44 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS Solução. SejaW um subespaço qualquer de R 2.Então W 1 = {x R : xe 1 + ye 2 =(x, y) W, para algum y R} e W 2 = {y R : ye 2 =(0,y) W } são subespaços de R (prove isto!). Logo, existem x 0,y 1 R tais que W 1 =[x 0 ] e W 2 =[y 1 ]. Assim, pela definição destes subespaços, podemos encontrar y 0 R tal que u 0 =(x 0,y 0 ) W e u 1 =(0,y 1 ) W. Afirmação. W =[u 0, u 1 ]. De fato, dado u =(x, y) W, x W 1,demodoquex = ax 0,paraalguma R. Assim, u au 0 =(0,y ay 0 ) W y ay 0 W 2. Logo, y ay 0 = by 1,paraalgumb R. Portanto, isto é, W =[u 0, u 1 ]. u =(x, y) =(ax 0,ay 0 + by 1 )=au 0 + bu 1, EXERCÍCIOS 1. Mostre que todo vetor em R 2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1, 2) e (5, 0). QuerelaçãoexisteentreR 2 e [(1, 2), (5, 0)]? 2. Sejam V = P 2 (R) e f =2 3x +5x 2,g = 8+5x 2x 2 vetores em V.Quaisdosvetoresp = 26+11x+7x 2 e q =1+x+x 2 são combinações lineares dos vetores f e g? 3. Sejam V = R 3 e u 1 =(1, 1, 2), u 2 =(3, 0, 4) vetores em V.Quaisdosvetoresu =(4, 5, 9), v =(3, 1, 4) e w =( 1, 1, 0) são combinações lineares dos vetores u 1 e u 2? 4. Sejam V = R 2 2 e A 1 = " 1 1 2 1 #, A 2 = vetores em V.Quaisdosvetores " # " 4 5 A =, B = 9 7 " 3 0 4 1 3 1 4 4 são combinações lineares dos vetores A 1, A 2 e A 3? # #, A 3 = e C = " " 1 2 5 2 1 1 2 1 # #

2.4. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 45 5. Encontre os geradores para os seguintes subespaços de R 3 : (a) W 1 = {(x, y, z) R 3 : x y =0}. (b) W 2 = {(x, y, z) R 3 : x + z = x 2y =0}. (c) W 3 = {(x, y, z) R 3 : x +2y 3z =0}. (d) W 1 W 2. (e) W 2 + W 3. 6. Sejam V = R 4 e W = {(x, y, z, t) V : x +2y 2z =0 e t =0} um subespaço de V. Quais dos vetores u =( 2, 4, 3, 0), v =(6, 2, 4, 1) e w = ( 2, 1, 0, 0) estão em W? 7. Sejam V = R 3 e u 1 =(1, 1, 2), u 2 =(3, 0, 4), u 3 =( 1, 1, 0) vetores em V.Determineovalordek de modo que (4, 5,k) [u 1, u 2, u 3 ]. 8. Sejam V = P 3 (R) e p 0 =1, p 1 =1 x, p 2 =(1 x) 2, p 3 =(1 x) 3 vetores em V.QuaisdosvetoresemV são combinações lineares dos vetores p 0, p 1, p 2 e p 3? 9. Sejam u e v dois vetores não-nulos de R 2 esuponhamosquenãoexistaumescalar a tal que u = av. Mostreque R 2 =[u] [v]. 2.4 Dependência e Independência Linear Sejam V um espaço vetorial sobre R e u 1,...,u n V. Dizemos que os vetores u 1,...,u n são linearmente dependentes (LD) seexistiremescalaresx 1,...,x n R, não todos iguais a 0, taisque x 1 u 1 + + x n u n = 0. (2.1) Ou, equivalentemente, a equação vetorial (2.1) admite uma solução não-nula. Caso contrário, dizemos que os vetores u 1,...,u n são linearmente independentes (LI) ou,equivalentemente, a equação vetorial (2.1) admite apenas a solução nula.

46 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS Mais geralmente, sejam V um espaço vetorial sobre R e β um subconjunto não-vazio de V.Dizemosqueβ é LI se para quaisquer vetores distintos u 1,...,u n em β, temosque x 1 u 1 + + x n u n = 0 x 1 = = x n =0, isto é, todo subconjunto finito de β é LI. Casocontrário,β é LD. Exemplo 2.31 Sejam V = R 3 e u 1 =(3, 0, 3), u 2 =( 1, 1, 2), u 3 =(4, 2, 2), u 4 =(2, 1, 1) vetores em V.Verifique se os vetores u 1, u 2, u 3 e u 4 são LI ou LD. Solução. Pararesolveresteproblemadevemosresolveraequaçãovetorial x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 + x 4 u 4 = 0, onde 0 =(0, 0, 0) V.Masistoéequivalentearesolverosistemahomogêneo 3x 1 x 2 +4x 3 +2x 4 =0 x 2 +2x 3 + x 4 =0. 3x 1 +2x 2 2x 3 + x 4 =0 Para resolver o sistema, vamos considerar a matriz dos coeficientes do sistema e reduzí-la àformaemescada 3 1 4 2 1 0 2 0 A = 0 1 2 1 R = 0 1 2 0. 3 2 2 1 0 0 0 1 Logo, nosso sistema é equivalente ao sistema x 1 +2x 3 =0 x 2 +2x 3 =0 x 4 =0 Escolhendo, x 3 = c R, temosque S = {( 2c, 2c, c, 0) : c R} éoconjuntosoluçãodosistema. Emparticular,sec =1,então( 2, 2, 1, 0) éuma solução não-nula do sistema. Portanto, os vetores u 1, u 2, u 3 e u 4 são LD, istoé, 2u 1 2u 2 + u 3 +0u 4 = 0. Exemplo 2.32 Sejam V = F(R, R) oespaçovetorialdetodasasfunçõesreaise u 1 = e x, u 2 = e 2x vetores em V. Verifique se os vetores u 1 e u 2 são LI ou LD. Note que u 1 e u 2 são soluções da equação diferencial y 00 3y 0 +2y =0..

2.4. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 47 Solução. Pararesolveresteproblemadevemosresolveraequaçãovetorial ae x + be 2x = 0, x R, onde 0 éafunçãoidenticamentenula. Diferenciandoambososmembrosdestaequação, temos que ae x +2be 2x = 0, x R. Logo, subtraindo a primeira equação da segunda, resulta que be 2x = 0, x R. Assim, b =0e, da primeira equação, ae x = 0. Logo,a =0.Portanto,osvetoresu 1 e u 2 são LI. Exemplo 2.33 Seja A =[a ij ] R n n tal que a ij < 0 se i 6= j e Mostre que A énão-singular. nx a ik > 0, para i =1,...,n. k=1 Solução. Suponhamos, porabsurdo, quea seja singular. Então as colunas de A são LD. Logo,existemescalaresx 1,...,x n R, nãotodosnulos,taisque nx a ik x k =0, i =1,...,n, (2.2) k=1 isto é, o sistema (2.2) possui uma solução não-nula (x 1,...,x n ).Assim,fazendo x j =max{ x 1, x 2,..., x n } emultiplicandoasoluçãodosistema(2.2)por 1, senecessário,podemossuporque x j > 0. Agora,considerandoaj-ésima equação do sistema (2.2), temos que à nx nx nx nx! a jk x k = a jj x j + a jk x k a jj x j + a jk x j = a jk x j > 0, k=1 oqueéumacontradição. k=1,k6=j k=1,k6=j Exemplo 2.34 (Regra de Cramer) Sejam A R n n e C 1,...,C n as colunas da matriz A. Mostrequeseexistiremx 1,...,x n R tais que B = x 1 C 1 + + x n C n,então h i x j det A =det C 1 C j 1 B C j+1 C n. Em particular, se det A 6= 0,então h i det C 1 C j 1 B C j+1 C n x j =, det A isto é, o sistema de equações lineares AX = B tem uma única solução. k=1

48 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS Solução. Suponhamosqueexistamx 1,...,x n R tais que Então B = x 1 C 1 + + x n C n. x 1 C 1 + + x j 1 C j 1 +1 (x j C j B)+x j+1 C j+1 + + x n C n = O. Logo, as colunas da matriz h C 1 C j 1 x j C j B C j+1 C n i são LD. Assim,pelaProposição1.5,temosque h i 0 = det C 1 C j 1 x j C j B C j+1 C n h i = x j det A det C 1 C j 1 B C j+1 C n. Portanto, h x j det A =det C 1 C j 1 B C j+1 C n i. Teorema 2.35 Sejam V um espaço vetorial sobre R e u 1,...,u n V. O conjunto {u 1,...,u n } é LD se, e somente se, um destes vetores for combinação linear dos outros. Prova. Suponhamosqueoconjunto{u 1,...,u n } seja LD. Então,pordefinição, existem escalares x 1,...,x n R, nãotodosnulos,taisque x 1 u 1 + + x n u n = 0. Como os escalares x 1,...,x n não são todos nulos temos que existe i {1,...,n} tal que x i 6=0.Logo, u i =( x 1 x i )u 1 + +( x i 1 x i )u i 1 +( x i+1 x i )u i+1 + +( x n x i )u n. Reciprocamente, suponhamos que um destes vetores seja combinação linear dos outros, digamos u j = x 1 u 1 + + x j 1 u j 1 + x j+1 u j+1 + + x n u n. Logo, a equação vetorial x 1 u 1 + + x j 1 u j 1 +( 1)u j + x j+1 u j+1 + + x n u n = 0. admite pelo menos uma solução não-nula, a saber, (x 1,...,x j 1, 1,x j+1,...,x n ). Portanto, o conjunto {u 1,...,u n } é LD Corolário 2.36 Sejam V um espaço vetorial sobre R e u 1,...,u n vetores em V com pelo menos dois vetores não-nulos. O conjunto {u 1,...,u n } é LD se, e somente se, um destes vetores for combinação linear dos precedentes.

2.4. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 49 Prova. Suponhamosqueoconjunto{u 1,...,u n } seja LD. Então,pordefinição, existem escalares x 1,...,x n R, nãotodosnulos,taisque x 1 u 1 + + x n u n = 0. Seja k omaiorinteirotalquex k 6=0.Então x 1 u 1 + + x k u k = 0. Se k =1,entãox 1 u 1 = 0 e, assim, u 1 = 0, oqueéimpossível.portanto,k>1 e u k =( x 1 x k )u 1 + +( x k 1 x k )u k 1. Exemplo 2.37 Seja V = R 2. Então os vetores u 1 =(1, 1), u 2 =(1, 1) e u 3 =(1, 0) são LD, pois u 3 = 1 2 u 1 + 1 2 u 2. EXERCÍCIOS 1. Seja V = R n. Se u =(x 1,...,x n ) V e v =(y 1,...,y n ) V. Mostre que u e v são LD se, e somente se, existe um escalar a R tal que y i = ax i, i =1,...,n. 2. Sejam u, v e w vetores de um espaço V. Se {u, v, w} éumconjuntoli, mostre que: (a) {u + v 2w, u v w, u + w} éumconjuntoli. (b) {u + v 3w, u +3v w, v + w} éumconjuntold. 3. Sejam u =(a, b), v =(c, d) vetores de R 2.Mostrequeoconjunto{u, v} é LD se, e somente se, ad = bc. 4. O conjunto {1,x,x 2, 2+x +2x 2 } é LI ou LD em P 2 (R)? Oquesepodeafirmar a respeito de qualquer um de seus subconjuntos com três elementos? 5. Encontre um vetor u R 3 tal que [u] =W 1 W 2,onde W 1 =[(1, 0, 0), (0, 1, 0)] e W 2 =[(1, 2, 3), (1, 1, 1)]. 6. Em quais condições sobre o escalar k, oconjunto (1, 0,k), (1, 1,k), 1, 1,k 2 ª é LI em R 3?

50 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 7. Seja V = C([0, 1], R) oespaçovetorialdetodasasfunçõesreaiscontínuas. Quais dos subconjuntos abaixo são LI em V. (a) {x, x +1,x 2 1}. (b) {x +5,x 2 x, x 2 + x 10}. (c) {(x +1) 2, 2x, x + 1 2 }. (d) {(x +1) 2,x 2 1,x+1}. (e) {1 x, x(1 x), 1 x 2 }. (f) {1,e x,e x }. (g) {sen x, cos x, tan x}. 8. Responda verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique. ( ) Todo conjunto que contém um subconjunto LD é LD? ( ) Todo subconjunto de um conjunto LI é LI? ( ) Todo conjunto que contém dois vetores iguais é LI? ( ) Todo conjunto que contém o vetor nulo é LI? 9. Sejam V = R n e a R. Mostre que o conjunto {u 1,...,u m } é LI se, e somente se, o conjunto {u 1,...,u i + au j,...,u j...,u m } é LI, paratodosi, j {1,...,m}, com i<j. 2.5 Bases e Dimensão Seja V um espaço vetorial sobre R. Um conjunto β = {u 1,...,u n } de vetores em V é uma base de V se as seguintes condições são satisfeitas: 1. β = {u 1,...,u n } é LI. 2. V =[α] =[u 1,...,u n ]. Ou, equivalentemente, V =[u 1 ] [u 2 ] [u n ]. Mais geralmente, um subconjunto não-vazio β de V éumabasedev se β é LI e [β] =V. Observação 2.38 Pode ser provado, usando o Lema de Zorn, que todo espaço vetorial V 6= {0} possui uma base. Exemplo 2.39 Seja V = R 3.Éfácilverificar que o conjunto β = {e 1, e 2, e 3 } éumabasefinita de V,aqualéchamadadebase canônica de V.

2.5. BASES E DIMENSÃO 51 Exemplo 2.40 Sejam V = P (R) oespaçovetorialdetodosospolinômioscomcoeficientes reais e β = {1,x,x 2,x 3,...}. Então β éumabaseinfinita de V,aqualéchamadadebase canônica de V. Solução. Sejam p i = x i,p i+1 = x i+1,...,p i+n = x i+n vetores distintos de V com i 0. Se c 1 p i + + c n p i+n = 0, então, pela igualdade de polinômios, temos que c 1 = = c n =0.Logo,β é LI. Éclaro que [β] =V,poistodovetorp em V édaforma Portanto, β éumabaseinfinita de V. p = a 0 + a 1 x + + a n x n. Seja V um espaço vetorial sobre R. DizemosqueV édedimensão finita se ele possui uma base finita, por exemplo, V = R 3 édedimensãofinita. Caso contrário, V éde dimensão infinita. Teorema 2.41 Sejam V um espaço vetorial sobre R e u 1,...,u n vetores em V tais que V =[u 1,...,u n ]. Então, dentre estes vetores, podemos extrair uma base de V. Prova. Seosvetoresu 1,...,u n são LI, nadaháparaserprovado. Casocontrário,pelo Teorema 2.35, temos que um destes vetores é combinação linear dos outros, digamos Logo, u n = x 1 u 1 + + x n 1 u n 1. V =[u 1,...,u n ]=[u 1,...,u n 1 ]. Se os vetores u 1,...,u n 1 são LI,nadaháparaserprovado. Casocontrário,peloTeorema 2.35, temos que um destes vetores é combinação linear dos outros, digamos Logo, u n 1 = x 1 u 1 + + x n 2 u n 2. V =[u 1,...,u n 1 ]=[u 1,...,u n 2 ]. Continuando desta maneira (em no máximo n 1 etapas), obtemos uma base de V. Exemplo 2.42 Sejam V = R 3 e u 1 =(1, 0, 0), u 2 =(1, 1, 0), u 3 =(0, 0, 1), u 4 =(1, 1, 1) vetores em V tais que V =[u 1, u 2, u 3, u 4 ]. Determine dentre estes vetores uma base de V.

52 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS Solução. Pararesolveresteproblemadevemosverificar se os vetores u 1, u 2, u 3 e u 4 são LI ou LD, istoé,verificar se a equação vetorial x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 + x 4 u 4 = 0 tem solução nula ou não, onde 0 =(0, 0, 0) V.Masistoéequivalenteadeterminarse osistemahomogêneo x 1 + x 2 + x 4 =0 x 2 + x 4 =0 x 3 + x 4 =0 tem solução. É fácil verificar que S = {(0, c, c, c) :c R} éoconjuntosoluçãodosistema. Emparticular,sec =1,então(0, 1, 1, 1) éuma solução não-nula do sistema. Portanto, os vetores u 1, u 2, u 3 e u 4 são LD e u 4 =0u 1 + u 2 + u 3. Assim, V =[u 1, u 2, u 3 ] eoconjuntoβ = {u 1, u 2, u 3 } éumabasedev (prove isto!). Teorema 2.43 Seja V um espaço vetorial sobre R tal que V =[u 1,...,u m ]. Então todo conjunto com mais de m vetores em V é LD. Assim,todoconjuntodevetores LI em V possui no máximo m vetores. Prova. Como V =[u 1,...,u m ] temos, pelo Teorema 2.41, que existe uma base de V dentre os vetores u 1,...,u m.logo, reenumerando, se necessário, podemos supor que com k m, sejaumabasedev.seja {u 1,...,u k }, {v 1,...,v n } um conjunto de vetores em V com n>m.comov j V e {u 1,...,u k } éumabasedev temos que existem a ij R tais que v j = a 1j u 1 + + a kj u k,j =1,...,n.

2.5. BASES E DIMENSÃO 53 Agora, vamos estudar a combinação linear x 1 v 1 + + x n v n = = = nx x j v j j=1 nx a ij u i! Ã kx x j j=1 i=1 Ã kx nx! x j a ij u i. i=1 j=1 Assim, x 1 v 1 + + x n v n = 0 nx x j a ij =0,i=1,...,k, ou seja, basta discutir o sistema homogêneo com k equações e n incógnitas j=1 nx x j a ij =0,i=1,...,k. j=1 Como n>m k temos, pelo item 2. das Observações 1.19, que este sistema tem pelo menos uma solução não-nula (y 1,...,y n ). Logo, y 1 v 1 + + y n v n = = Ã nx kx nx! y j v j = y j a ij u i j=1 kx 0u i = 0. i=1 i=1 j=1 Portanto, o conjunto {v 1,...,v n } é LD. Corolário 2.44 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. Se {u 1,...,u m } e {v 1,...,v n } são duas bases quaisquer de V,entãom = n. Prova. Como V =[u 1,...,u m ] e {v 1,...,v n } éumconjuntoli temos, pelo Teorema 2.43, que n m. Por outro lado, como V =[v 1,...,v n ] e {u 1,...,u m } éumconjunto LI temos, pelo Teorema 2.43, que m n. Portanto,m = n. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. A dimensão de V é o número de elementos em alguma base de V eserádenotadapordim V ou dim R V. Note, pelo Corolário 2.44, que esta definição não depende da base de V,istoé,estábemdefinida. Quando V = {0}, convencionamosquedim V =0.

54 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS Sejam V um espaço vetorial sobre R e α = {u 1,...,u n } um subconjunto qualquer de vetores de V.Oposto de α édefinido por posto(α) =dim[α]. Lema 2.45 Seja V um espaço vetorial sobre R. Seja {u 1,...,u m } um subconjunto LI em V.Entãou V [u 1,...,u m ] se, e somente se, {u 1,...,u m, u} éumconjuntoli. Prova. Sejamx 1,...,x m,y escalares em R tais que Então y =0,poissey 6= 0,então oqueéimpossível.assim,y =0e x 1 u 1 + + x m u m + yu = 0. u =( x 1 y )u 1 + +( x m y )u m u [u 1,...,u m ], x 1 u 1 + + x m u m = 0. Logo, por hipótese, x 1 = = x m =0. Portanto, {u 1,...,u m, u} éumconjuntoli. Teorema 2.46 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R e W um subespaço de V.EntãotodoconjuntodevetoresLI em W épartedeumabasedew. Prova. Seja{u 1,...,u m } um conjunto de vetores LI em W.Se W =[u 1,...,u m ], acabou. Caso contrário, existe pelo Lema 2.45 u m+1 W [u 1,...,u m ] tal que {u 1,...,u m, u m+1 } é LI em W.Se W =[u 1,...,u m, u m+1 ], acabou. Caso contrário, existe pelo Lema 2.45 u m+2 W [u 1,...,u m, u m+1 ] tal que {u 1,...,u m, u m+1, u m+2 } é LI em W. conjunto Continuando desta maneira (em no máximo dim V etapas), obtemos o {u 1,...,u m, u m+1, u m+2,...,u n }, que é uma base de W.

2.5. BASES E DIMENSÃO 55 Corolário 2.47 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. SeW éum subespaço próprio de V,entãodim W<dim V. Além disso, se dim V = n, entãotodo conjunto com n vetores LI em V éumabasedev. Prova. Como W 6= {0} temos que existe u em W com u 6= 0. É claro que {u} éum conjunto LI em W. Assim, pelo Teorema 2.46, existe uma base de W contendo u eno máximo dim V elementos. Logo, dim W dim V.ComoW Ã V temos que existe v V tal que v / W.Assim,acrescentandov aumabasedew,obtemosumconjuntoli para V.Portanto,dim W<dim V. Exemplo 2.48 Seja V = R 3. Verifique se os vetores (1, 1, 0) e (0, 1, 1) épartedeuma base de V. Solução. Para resolver este problema devemos verificar se os vetores (1, 1, 0) e (0, 1, 1) são LI, istoé,resolveraequaçãovetorial x 1 (1, 1, 0) + x 2 (0, 1, 1) = (0, 0, 0). Mas isto é equivalente a verificar se o sistema homogêneo x 1 =0 x 1 + x 2 =0 x 2 =0 tem solução. É fácil verificar que x 1 = x 2 =0.Logo,osvetores(1, 1, 0) e (0, 1, 1) são LI. Portanto, os vetores (1, 1, 0), (0, 1, 1) épartedeumabasedev.agora,paradeterminar u =(b 1,b 2,b 3 ) V [(1, 1, 0), (0, 1, 1)], devemos primeiro encontrar os vetores u =(b 1,b 2,b 3 ) tais que x 1 (1, 1, 0) + x 2 (0, 1, 1) = u, isto é, resolver o sistema não-homogêneo x 1 = b 1 x 1 + x 2 = b 2. x 2 = b 3 Logo, o vetor u =(b 1,b 2,b 3 ) V écombinaçãolineardosvetores(1, 1, 0) e (0, 1, 1) se, e somente se, b 2 = b 1 + b 3.Portanto, Em particular, u =(b 1,b 2,b 3 ) V [(1, 1, 0), (0, 1, 1)] b 2 6= b 1 + b 3. u =(1, 1, 1) V [(1, 1, 0), (0, 1, 1)]. Assim, os vetores (1, 1, 0), (0, 1, 1) e (1, 1, 1) são LI em V.Comodim V =3temos que éumabasedev. {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}

56 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS Teorema 2.49 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. SeW 1 e W 2 são subespaços de V,então dim(w 1 + W 2 )=dimw 1 +dimw 2 dim(w 1 W 2 ). Prova. Como W 1 W 2 éumsubespaçodew 1 e W 2 temos, pelo Teorema 2.46, que W 1 W 2 contém uma base que é parte de uma base de W 1 epartedeumabase α = {u 1,...,u k } α β, onde β = {v 1,...,v m } α γ, onde γ = {w 1,...,w n } de W 2.Notequeosconjuntosα, β e γ são dois a dois disjuntos (confira Figura 2.1). Figura 2.1: Interseção dos subespaços W 1 e W 2. Afirmação. Oconjuntoδ = α β γ éumabasedew 1 + W 2. De fato, é claro que o conjunto δ gera W 1 + W 2.Agora,suponhamosque kx mx x i u i + y j v j + i=1 j=1 nx z l w l = 0. l=1

2.5. BASES E DIMENSÃO 57 Então Logo, à nx! kx mx z l w l = x i u i + y j v j W 1. l=1 i=1 j=1 à nx! z l w l W 1 W 2. Assim, existem t 1,...,t k R tais que à nx! z l w l = t 1 u 1 + + t k u k, ou seja, kx nx t i u i + z l w l = 0. l=1 l=1 i=1 l=1 Como γ é LI temos que z 1 = = z n =0.Logo, kx mx x i u i + y j v j = 0. i=1 j=1 Como β é LI temos que x 1 = = x k = y 1 = = y m =0. Portanto, δ éumconjuntoli. Logo, dim W 1 +dimw 2 = (m + k)+(n + k) = (m + n + k)+k = dim(w 1 + W 2 )+dim(w 1 W 2 ). Exemplo 2.50 Sejam V = R 4, W 1 = {(x, y, z, t) V : y + z + t =0} e W 2 = {(x, y, z, t) V : x + y =0 e z 2t =0}. subespaços de V. 1. Determine uma base de W 1 + W 2 e dim(w 1 + W 2 ). 2. V ésomadiretadew 1 e W 2?

58 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS Solução. Noteque W 1 = {(x, y, z, t) V : y + z + t =0} = {(x, y, z, y z) V : x, y, z R} = {(x, 0, 0, 0) + (0,y,0, y)+(0, 0,z, z) :x, y, z R} = [(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)]. e dim W 1 =3.Demodoanálogo,mostra-seque W 2 =[(1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 1)] e dim W 2 =2.Agora,paradeterminarumabasedeW 1 +W 2,podemosescalonaramatriz 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 Portanto, o conjunto α = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0)} éumabasedew 1 + W 2 e dim(w 1 + W 2 ) = 4. Assim, V = R 4 = W 1 + W 2, pois W 1 + W 2 V.Como dim(w 1 W 2 ) = dimw 1 +dimw 2 dim(w 1 + W 2 ) = 3+2 4=1 temos que V não é soma direta de W 1 e W 2. Note que, para determinar uma base de W 1 W 2 basta resolver o sistema Assim, W 1 W 2 =[(3, 3, 2, 1)]. Exemplo 2.51 Sejam V = R 3, subespaços de V. y + z + t =0 x + y =0 z 2t =0 W 1 =[(1, 0, 1), (0, 1, 2)] e W 2 =[(1, 2, 3), (1, 1, 1)]. 1. Determine uma base de W 1 W 2 eadim(w 1 W 2 )..

2.5. BASES E DIMENSÃO 59 2. V ésomadiretadew 1 e W 2? Solução. É fácil verificar que dim W 1 =2e dim W 2 =2. Agora, para determinar uma base para W 1 W 2,devemosprimeirodeterminarosvetoresu =(x, y, z) em R 3 que estão nos subespaços W 1 e W 2,istoé,escalonarasmatrizes Assim, e 1 0. x 0 1. y 1 2. z 1 0. x 0 1. y 1 2. z 1 1. x 2 1. y 3 1. z Logo, pelo item 2. das Observações 1.19, e 1 1. x 2 1. y 3 1. z. 1 0. x 0 1. y 0 0. x 2y + z 1 0. 0 1. 0 0. x+y 3 2x y 3 5x 2y+3z 3 W 1 = {(x, y, z) V : x 2y + z =0} e W 2 = {(x, y, z) V : 5x 2y +3z =0}. Finalmente, basta resolver o sistema ( x 2y + z =0 5x 2y +3z =0. Assim, W 1 W 2 =[(1, 2, 3)] e dim(w 1 W 2 )=1.Portanto,V não é soma direta de W 1 e W 2 mas V = W 1 + W 2,pois. dim(w 1 + W 2 )=2+2 1=3=dimV e W 1 + W 2 V. EXERCÍCIOS 1. Sejam V = R 3 e W 1, W 2 subespaços de V tais que dim W 1 =dimw 2 =2.Épossível obtermos W 1 W 2 = {(0, 0, 0)}? 2. Sejam V = R 3 e W 1, W 2 subespaços V tais que dim W 1 =1, dim W 2 =2e W 1 " W 2. Mostre que R 3 = W 1 W 2.

60 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 3. Sejam V um espaço vetorial sobre R e W 1, W 2 subespaços V,ondedim W 1 =4, dim W 2 =5e dim V =7.Determineospossíveisvaloresparadim (W 1 W 2 ). 4. Seja V = R 4.Determineumabaseeadimensãodossubespaços 5. Sejam V = R 3, W 1 = [(1, 4, 1, 3), (2, 1, 3, 1), (0, 2, 1, 5)] e W 2 = [(1, 4, 2, 1), (1, 3, 1, 2), (3, 8, 2, 7)]. W 1 = {(x, y, z) V : x =0} e W 2 =[(1, 2, 0), (3, 1, 2)] subespaços de V. W 1 W 2. Determine uma base e a dimensão para W 1, W 2, W 1 + W 2 e 6. Sejam V = R 2 2, (" a W 1 = c b d # V : b = a ) e W 2 = (" a c b d # ) V : c = a. subespaços de V. Determine uma base e a dimensão para W 1, W 2, W 1 + W 2 e W 1 W 2.ÉverdadequeR 2 2 = W 1 W 2? 7. Seja V = P 3 (R). Determineumabaseeadimensãodosubespaço W = {p V : p 0 (x) =0}. 8. Sejam V = R 2 eoconjuntodevetoresβ = {u, v} em V,onde u =(1 a, 1+a) e v =(1+a, 1 a). Determine o valor de a R para que β não seja uma base de V. 9. Sejam V = P 2 (R) e p =2x 2 3x +1 V. Oconjuntoβ = {p, p 0,p 00 } éumabasede V? 10. Mostre que o conjunto éumabasedep 3 (R). β = {(1 x) 3, (1 x) 2, 1 x, 1} 11. Seja V = R 4.QuaisdossubconjuntosabaixosãobasesdeV? (a) {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1)}. (b) {(1, 3, 2, 4), (1, 1, 5, 9), (2, 0, 13, 23), (1, 5, 1, 2)}. (c) {(1, 1, 1, 1), (3, 2, 0, 3), (0, 1, 0, 3), (4, 2, 1, 7)}.