Capítulo 1. Espaço Vetoriais. O objetivo deste capítulo é introduzir o conceito de espaços vetoriais, dependência e independência linear.

Capítulo Espaço Vetoriais O objetivo deste capítulo é introduzir o conceito de espaços vetoriais, dependência e independência linear Definição Seja V umconjnto não vazio e R o corpo dos números reais, nos quais podemos definir as seguintes operações: +:V V V, queacadapar(u,v) V V,associaoelementou+v V,denominadaadiçãoe :R V V, queacada par (α,u) R V, associaoelementoα u V, denominada multiplicação por escalar Dizemos que V munido destas operações é um espaço vetorial real se e somente se estas operações satisfazem as seguintes propriedades: a) associatividade: (u+v)+wu+(v+w),paratodosu,v,w V b) comutatividade: u+vv+u,paratodosu,v V c) existênciadeelementoneutro: existe0 V talqueu+0u,paratodou V d) existênciadeelementosimétrico: paracadau V,existe u V talqueu+( u)0 e) α (u+v)α u+α v,paratodoα Reparatodosu,v V f) (α+β) uα u+β v,paratodosα,β Reparatodou V g) (αβ) uα (β u),paratodosα,β Reparatodou V h) uu,paratodou V Exemplo O conjunto V R, munido das operações de adição (x,y)+(a,b) (x+y,a+b) e de multiplicação por escalar α (x,y) (αx,αy) é um espaço vetorial real

CAPÍTULO ESPAÇO VETORIAIS Exemplo OconjuntoV M m n (R),munidodasoperaçõesdeadiçãodematrizes edamultiplicaçãodeumamatrizporumescalaréumespaçovetorialreal Exemplo 3 O conjunto dos números complexos C, munido das operações de adição denúmeroscomplexos(x+iy)+(a+ib)(x+a)+i(y+b)edamultiplicaçãodeum númerocomplexoporumnúmeroreal: α (x+iy)αx+iαyéumespaçovetorialreal Proposição Seja V um espaço vetorial real Então: a) Oelementoneutroéúnico b) Paracadau V oelementosimétricodeuéúnico c) α u0 α0ouu0 d) ( ) u u,paratodou V Definição Seja V um espaço vetorial real e H V, H Dizemos que H é um subespaço vetorial de V, quando H munido das operações definidas em V, é também um espaço vetorial Proposição Seja V um espaço vetorial real e H V, H H é um subespaço vetoriladev α u+β v H,paratodou,v H eα,β R Exemplo4 Considere V R então H {(x,y) R ;x y} é um subespaço vetorial de R, já que (0,0) H, portanto H Ainda para todos (x,y),(u,v) H, eα,β Rtem-sequexy euv,logoα(x,y)+β(u,v)(αx+βu,αy+βv) H, poisαx+βuαy+βv Exemplo5 ConsidereV M n n (R), entãoh {A V;A t A} é umsubespaço vetorial de V Exemplo 6 O conjunto constituído apenas do vetor nulo é um subespaço vetorial de qualquer espaço vetorial Proposição3 SejaV umespaçovetorialrealeh,w subespaçosdev então: a) H W éumsubespaçodev b) H+W {u+v;u H ev W}éumsubespaçodeV

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 3 Dependência e independência linear Daremos a seguir o importante conceito de dependência e independência linear, um dos principais conceitos de Álgebra linear Em todo este parágrafo V é um espaço vetorial real Definição3 Sejamu,u,,u n V Dizemosqueu V éumacombinaçãolinear de u,u,,u n seesóseexistemα,α,,α n Rtaisque u n α i u i (3) i Nota Quando u é uma combinação linear de u,u,,u n, dizemos que u é geradopor{u,u,,u n }equeα,α,,α n sãooscoeficientesdeucomrespeitoaeste conjunto gerador Definição4 SejaS{u,u,,u n } VOconjunto de todas as combinações lineares dos elementos de S serádenotadopor[s]ouseja, { n } [S] α i u i ;α i R (4) i Proposição 4 [S] é um subespaço vetorial de V, denominado subespaço gerado por S Nota SeS éumsubconjuntoinfinitodev,então[s]éoconjuntodetodasascombinações lineares dos subconjuntos finitos de S, pois uma combinação linear é sempre finita Nota 3 Por convenção dizemos que o subespaço nulo é gerado pelo conjunto vazio, isto é,[ ]{0} Proposição5 SejaV umespaçovetorialreales,f V então: a) S [S] b) SeS F então[s] [F] c) [[S]][S] d) [S F][S]+[F] Nota4 Observe que o vetor nulo é gerado por qualquer subconjunto de vetore de V, bastando tomar os coeficientes todos iguais a 0 Mas veremos que esta não é a única maneiradegerarovetornulo

4 CAPÍTULO ESPAÇO VETORIAIS Definição5 Sejamu,u,,u n V Dizemosque{u,u,,u n }éumsubconjunto linearmente independente (li) de V quando a única combinação linear que gera o vetornuloéaquelaemquetodososcoeficientessãonulos Ouseja, n α i u i 0 α i 0,i,,n i Casocontrário,dizemosque{u,u,,u n }éumsubconjuntolinearmentedependente (ld) de V,istoé,seexistealgumα i R,α i 0,talque n i α iu i 00 Exemplo7 Osubconjunto{(,),(, )}dor éli,pois α(,)+β(, )(0,0) seesomentese { α+β0 α β0 αβ0 Exemplo8 Osubconjunto{(,),(, ),(,4)}doR éld,pois seesomenese seesomentese α(,)+β(, )+γ(,4)(0,0) { α+β+γ0 α β+4γ0 { α 3γ βγ ousejatomandoα 3eβγ,temosque, γ R, 3(,)+(, )+(,4)(0,0), portanto uma combinação linear, onde nenhum dos coeficientes é 0 gerando o vetro nulo (0,0) Proposição6 SejaV umespaçovetoriales VEntão: a) S{u}éld u0 b) S{u,u,,u n }éld existek {,,n}talqueu k [S\{u k }] c) Se S {u,u,,u n } é li então para cada u [S] existem únicos α,,α n tal queu n i α iu i d) SeS{u,u,,u n }élies {w}éldentãow [S] e) SeS élientãotodosubconjuntodes éli f) SeS éld es T V entãot éld

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 5 Lista de exercícios Exercício Analise se o conjunto V {(x,y);x,y R com y > 0} munido das operações é um espaço vetorial real (x,y) (u,v) (x+u,yv), paratodo (x,y),(u,v) V α (x,y) (αx,y α ), paratodoα Re (x,y) V Exercício VerifiquequaisdossubconjuntosabaixosãosubespaçosdeV M (R) a) H{A V;A t A} b) H{A V;tr(A)} Exercício 3 Determine um conjunto finito e lide geradores dos subespaços abaixo, istoé,determines finitolitalque[s]h a) H{(x,y,z) R 3 ;x+y z0} b) H{A M (R);A t A} Exercício4 DetermineseossubconjuntosdoR 3 abaixosãoliould a) S{(,, ),(0,,3),(,,),(,,3)}paracadau b) S{(0,,0),(,,)} c) S{(5,,0),(,3,),(,0,)} Exercício5 Seja{v,,v n }umsubconjuntodeumespaçovetorialreal Mostreque {v,,v n } é li a igualdade α v + +α n v n β v + β n v n só é válida se α i β i,i,n Exercício6 Proveque{u,v}éumsubconjuntolideumespaçovetorialV {u+ v,u v}étambémumsubconjuntolidev Exercício7 Provequese{u,v,w}éumsubconjuntolideumespaçovetorialV então {u+v+w,u v,3v}tambémumsubconjuntolidev

6 CAPÍTULO ESPAÇO VETORIAIS Base Vimosnaseçãoanteriorqueseu [S]eS éumsubconjuntofinitoelideumespaço vetorialv entãoacombinaçãolineardeelementosdeséúnica Istonoslevaadefinição de base de um espaço vetorial finitamente gerado Definição 6 Seja V um espaço vetorial real Dizemos que V é finitamente gerado, quandoexisteumsubconjuntofinitos dev talquev [S] Exemplo9 OR éumespaçofinitamentegeradopois[(,0),(0,)]r Exemplo0 OM (R)éumespaçofinitamentegeradopois [( ) ( ) ( ) ( )] 0 0 0 0 0 0,,, M 0 0 0 0 0 0 (R) Definição7 Seja V um espaço vetorial finitamente gerado Dizemos que B V é umabase de V quando[b]v eb éli Exemplo O subconjunto B (,0),(0,) é uma base do R pois [B] R e (,0),(0,)éli ( 0 Exemplo O subconjunto B 0 0 basedem (R),pois[B]V eb éli ) ( 0, 0 0 ) ( 0 0, 0 ) ( 0 0, 0 ) é uma Proposição7 SejaV umespaçovetorialrealfinitamentegeradoventãob{u,,u n } é uma base de V para cada u V existem únicos α,,α n R tais que u n i α iu i Nota5 Abasedeumespaçovetorialnãoéúnica Paraissovejamosalgunsexemplos: Exemplo3 Ossubconjuntos{(,0),(0,)}e{(,)(, )}sãobasesdor No entanto temos algumas propriedades sobre bases quaisquer de um mesmo espaço vetorial Proposição8 SeB éumabasedeumespaçovetorialrealfinitamentegeradov,com n elementos então: a) QualquersubconjuntodeV commaisdenelementoséld b) TodosubconjuntolideV temnomáximonelementos Teorema 9 Duas bases de um mesmo espaço vetorial real V finitamente gerado possuem o mesmo número de elementos

BASE 7 Definição 8 Seja V um espaço vetorial real finitamente gerado Dizemos que a dimensão de V énquandoumabasedev possuinelementos Denotamospor: Exemplo4 dimr Exemplo5 dimm (R)4 dimv n Definição 9 Seja W um subespaço vetorial de um espaço vetorial real finitamente gerado V Definimos dimensão de W, como sendo o número de elementos de uma base qualquer de W Notação0 dimw númerodeelementosdeumabasedew Exemplo6 Seja B {u,u,u 3 } uma base de um espaço vetorial V e W [u u,u +u +u 3 ]DeterminedimWComojátemosumconjuntogerador,bastaverificar seesteélivejamosα(u u )+β(u +u +u 3 )0 (α+β)u +(β α)u +βu 3 ecomob éli,entãoβ0αeportantooconjuntogeradordew éli,sendoassim éumabasedew dimw Proposição Seja V um espaço vetorial real de dimensão n Então todo subconjunto dev,li,comnelementoséumabasedev Definição 0 Uma base ordenada de um espaço vetorial real finitamente geradov de dimensãonéuman uplaordenadadevetoreslidev Exemplo7 Como{(,0),(0,)}éumabasedoR então((,0),(0,))éumabase ordenadader,assimcomo((0,),(,0))éumaoutrabaseordenadeder Definição SejaV umespaçovetorialrealfintamentegeradoeb(u,,u n )uma baseordenadadeventãosabemosqueparacadau V existemúnicosα,,α n R tais que u n i α iu i À matriz coluna α α n de números reais, denominamos de coordenadas de u com respeito à base ordenada B edenotamospor (u) B Nota6 Observe queuma vez conhecidaabase ordenadaas coordenadas de umvetor o caracterizam completamente α α n

8 CAPÍTULO ESPAÇO VETORIAIS Vejamos alguns resultados importantes envolvendo as coordenadas dos vetores com respeito a uma determinada base ordenada Exemplo8 Considerando B ((,0,),(0,,0),(,0, )) uma base ordenada de R 3,temosqueparacada(x,y,z) R 3 existemα,β,γ Rtaisque (x,y,z)α(,0,)+β(0,,0)+γ(,0, ) ou seja (x,y,z)(α+γ,β,α γ) Assim temos o seguinte sistema o que implica Assim, ((x,y,z)) B xα+γ yβ zα γ α x+z βy γ x z x+z y x z Proposição Seja B (u,,u n ) uma base ordenada de um espaço vetorial real V Então(u+v) B (u) B +(v) B e(λu) B λ(u) B,paratodosu,v V eλ R Proposição3 Seja B (u,,u n ) uma base ordenada de um espaço vetorial real VEntãodado(a,,a n ) R n,existeumúnicou V talque(u) B A demonstração destas proposições seguem diretamente da definição de coordenadas deumvetorcomrespeitoaumabaseordenadaeserãodeixadascomoexercícios a a n Nota 7 Das duas proposições anteriores segue que podemos identificar os elementos de um espaço vetorial real V de dimensão n com os elementos do R n, pois existe uma correspondência biunívoca entre eles, que preserva suas operações

BASE 9 Proposição4 SejaB(u,,u n )umabaseordenadadeumespaçovetorialrealv ew,,w n V taisque(w ) B a a n,,(w n ) B a n a nn Então{w,,w n } a a n éli {(w ) B,,(w n ) B }éumsubconjuntolidem n (R) det a n a nn 0 Em algumas situações a escolha da base adequada ajuda na resolução de problemas mais facilmente No entanto, se já conhecemos as coordenadas de um vetor com respeito aumadeterminadabaseequeremosmudarabase,queremossaberqualarelaçãoentre ascoordenadasdeumvetornumanovabase,apartirdascoordenadasdenadasdomesmo vetor com respeito a diferentes bases, pois assim poderemos resolver nosso problema na base mais adequada e em seguida voltar à base inicial Vejamos então como proceder Para isso é necessário trabalharmos com matrizes, como veremos a seguir Definição SejamB(u,,u n )ec(v,,v n )basesordenadasdeumespaço vetorial V Então como cada v i, i,,n é um vetor de V e B é base ordenadade V, segue que existem únicos a ji R, j,,n tais que v i n a ji u j À matriz j a a n M a n a nn adenotaremosporm BC denominamosmatrizmudançadabaseb paraabasec e Nota8 Observeque,comanotaçãodadefiniçãoacimasegueque M BC ( (v ) B (v n ) B ) istoé, ascolunasdem BC sãoascoordenadasdosvetoresdabase C comrespeitoàbase B Exemplo9 SejamB((,0,0),(0,,0),(0,0,))eC{(,0,),(0,,0),(,0, ) basesordenadasder 3 AmatrizM BC édadapor M BC 0 0 0, 0 enquantoqueamatrizmudançadabasec paraabaseb,istoé,m CB édadapor 0 M CB 0 0 0

0 CAPÍTULO ESPAÇO VETORIAIS Veremos a seguir importantes propriedades da matriz mudança de base e como ela nos ajudará a determinar as coordenadas de um vetor numa nova base Proposição 5 Sejam B, C e D bases ordenadas de um espaço vetorial finitamente geradov,dedimensãon Então a) M BD M BC M CD b) (u) C M CB (u) B c) M BC M CB d) M BB I n,ondei n éamatrizidentidaden n Exemplo0 SejamB((,0,0),(0,,0),(0,0,))eC{(,0,),(0,,0),(,0, ) basesordenadasder 3,jávimosque logo tem-se que ((x,y,z)) B ((x,y,z)) C ((x,y,z)) C x y z x+z y x z x+z y x z 0 0 0 0 Lista de exercícios e ((x,y,z)) B 0 0 0 0 x+z y x z x y z, M BC((x,y,z)) C x y M CB ((x,y,z)) B z Exercício8 FixadaumabaseordenadaBdeR 3,considereosvetoresu,v,w R 3 tais 0 4 que(u) B,(v) B e(w) B 5 3 3 a) Calcule(u+v) B e(u v+3w) B b) Determineaeb,demodoqueau+bvw

BASE Exercício9 SejaBumabaseordenadadeR 3 Mostreque{u,v}éld existeλ,α R não ambos nulos tais que α(u) B +λ(v) B proporcionais 0 0 0, isto é, se suas coordenadas são Exercício0 SejaBumabaseordenadadeR 3 Determinem,demodoqueosvetores abaixo sejam ld 3 a) (u) B 5,(v) B 0 e(w) B m 4 3 b) (u) B 3 5 e(v) B +m 0 Exercício DadaabaseordenadadeR 3,(e,e,e 3 ),considereosvetoresf e e e 3,f e +e +e 3 ef 3 e +e +4e 3 a) Verifiqueque(f,f,f 3 )éumabase b) Determineamatrizmudançadabasenovaparaabaseantiga c) Sendov3e 5e +4e 3,determineascoordenadasdev nanovabase Exercício Para cada um dos subespaços abaixo, determine uma base e sua dimensão: a) H{A M (R);A t A} b) H{(x,y,z) R 3 ;x+y z0} c) H{p P (R);p()0} Exercício3 ConsiderandoU {(x,y,z) R 3 ;x+y z 0} e W {(x,y,z) R 3 ;x+z0}subespaçosdor 3,determineumabasedeU W eumabaseparau+w Exercício4 Determine as coordenadas do vetor u (4, 5,3) R 3 em relação à baseordenadab((,,),(0,3,),(,,4)) Exercício5 AmatrizmudançadeumabaseordenadaBdoR paraabase((,),(0,)) dessemesmoespaçoé: [ ] 5 0 3 Determine a base B

CAPÍTULO ESPAÇO VETORIAIS Exercício6 ConsidereoseguintesubespaçovetorialdeM (R): [ ] a b U { ;a b c0} c d a) Mostre que os subconjuntos abaixo são bases de ([ ] [ ] 0 B, 0 0 0 ([ ] [ 0 0 C, 0 0 [ 0 0, 0 ], [ 0 0 0 ]), ]) b) DetermineamatrizmudançadabaseBparaabaseC eadabasec paraabaseb c) DetermineumabaseDdeU,talqueamatrizmudançadeDparaB seja 0 0 0 0 3 3 Produto Interno Conceitosimportantesnageometriasãoodeânguloentrevetores,odedistânciaeode comprimento de vetores Todos esses conceitos provem do conceito de produto escalar Vamos agora generalizar este conceito para um espaço vetorial qualquer Definição3 SejaV umespaçovetorialreal Umproduto interno sobre V éuma função, :V V R tal que: i) u,v v,u,paratodosu,v V ii) u+v,w u,w + v,w paratodosu,v,w V iii) α uv α u,v paratodosu,v V eα R iv) u,u 0,paratodou V e u,u 0seesomenteseu0 Um espaço vetorial real munido de um produto interno é denominado um espaço vetorial euclidiano Exemplo UmprodutointernosobreR 3 édadopor: (x,y,z),(a,b,c) xa+yb+zc

3 PRODUTOINTERNO 3 Exemplo UmprodutointernosobreP (R)é a+bt+ct,α+βt+γt aα+bβ+cγ Exemplo3 UmprodutointernosobreM m n (R)édadopor: A,B tr ( AB t) Proposição 6 Seja V um espaço vetorial real euclidiano Então: P) 0,u 0,paratodou V P) u,v+w u,v + u,w paratodosu,v,w V P3) u,α v α u,v paratodosu,v V eα R n P4) α i u i,v n α i u i,v i i Definição4 SejaV umespaçovetorialeuclidiano Entãoparacadau V,definimos a norma de u,comosendoonúmerorealnãonegativo: u u,u Exemplo4 EmR n anormade(x,,x n )édadapor: (x,,x n ) x + +x n Exemplo5 EmM m n (R)anormadecadamatrizAédadapor: A tr ( AA t) Proposição 7 Seja V um espaço vetorial euclidiano Então: a) u 0,paratodou V e u 0 u0 b) α u α u paratodou V eα R c) u+v u + v paratodosu,v V Proposição 8 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz): Seja V um espaço vetorial euclidiano Entãoparatodosu,v V,tem-seque: u,v u v

4 CAPÍTULO ESPAÇO VETORIAIS Nota9 Apartirdadesigualdadeacima,seu,vsãovetoresnãonulosdeV,tem-seque u,v u v, eportantodefine-seoânguloθentreuev,talque cosθ u,v u v Definição5 SejaV umespaçovetorialeuclidiano Dizemosqueu,v V sãoortogonaisquando u,v 0Denotaremosu w Nota0 Observequequandou 0,v 0então u,v 0 oânguloθentreuev é π Enquantoque{u,v}sãold oânguloθ entreuev é0ouπ Proposição9 Seja V um espaço vetorial euclidiano Se {u,,u n} é um subconjuntodevetoresnãonulosedoisadoisortogonaisentão{u,,u n} éumsubconjunto li Definição6 DizemosqueumabaseBdeumespaçovetorialrealV finitamentegerado éortonormalquandoseusvetoressãounitários,istoétêmnormaigulaa,esãodois a dois ortogonais Nota ÉclaroqueseumespaçoW étalquedimw,umabaseortonormalde W terá apenas um vetor unitário Veremosaseguircomoanormadeumvetor,oprodutointernoentredoisvetorese as coordenadas de um vetor podem ser escritos em relação às suas coordenadas quando a base é ortonormal Proposição0 Seja B (e,,e n ) uma base ordenada ortonormal de um espaço vetorialrealeuclidianov eu,w V taisque(u) B a n b n a i u,e i,b i w,e i, u,w a b + +a n b n (u) t B (w) B e u a + +a n a e(w) B b Então Exemplo6 Seja V um espaço vetorial real euclidiano de dimensão igual a 3 Determine u V tal que u 3 3, u w, u v e u forma um ângulo agudo com e, onde B (e,e,e 3 ) é uma base ortonormal de V, (w) 3 e (v) 3 Consideremosuae +be +ce 3 Assim,dashipóteses,segueque a +b +c 7 a+3b c 0 a b+3c 0

3 PRODUTOINTERNO 5 Assim,temosquebc,a beportantob±3agorautilizandoahipótesedequeu formaumânguloagudocome,seguequea>0eassim,b 3,a3ec 3Logo u3e 3e +3e 3 Veremos a seguir que dada uma base ordenada qualquer de um espaço vetorial real euclidiano V, pode-se construir uma nova base ordenada ortonormal, da seguinte forma: Teorema ProcessodeortonormalizaçãodeGram-Scmidt: SejaB(u,,u n ) uma base ordenada de V Então existe C (e,,e n ) base ordenada ortonormal de V talque[{e,e k }][{u,,u k }], k n Prova Paraque[{e }][{u }],devemoster{e,u }ld,portantodeveexistirα R talquee αu ecomo e,seguequeα u Logo,e u u Assim,temos as condições requeridas para o primeiro vetor da base ordenada ortonormal O segundo vetordevesertalque[{e,e }][{u,u }]eportantoe deverápertencera[{u,u }] [{e,u }]ousejae ( βe) +γu ecomo{e,e }deveserlientãoγ 0,logopodemos β tomare γ γ e +u γ(λe +u )ecomo e,segueque γ λe +u logodevemosdeterminarλeparaisso,ésólembrarqueabasequequeremoséortonormal, portanto e,e 0 λe +u,e 0Assimdaspropriedadesdeprodutointerno, obtemos que λ u,e e u u,e e Procedendo de modo análogo, u u,e e vamosdeterminarδ,η Rtaisque(u 3 +δe +ηe ) e e(u 3 +δe +ηe ) e Utilizando oquejáobtivemoseaspropriedadesdeprodutointerno,obtemosqueδ u 3,e eη u 3,e ecomoe 3 éumvetorunitário,seguequee 3 u 3 u 3,e e u 3,e e u 3 u 3,e e u 3,e e E assimsucessivamenteparacada k n,tem-seque e k u k u k,e k e k u k,e e u k u k,e k e k u k,e e Exemplo7 SabendoqueB((,0,),(,,),(,,0))éumabasedeR 3,determineumanovabaseortonormaldeR 3,construídaapartirdoprocessodeGramScmidt 3 ese(u) B,determine(u) C Solução Do processo de Gram Smidt, construímos C (e,e,e 3 ) da seguinte forma, e (,0,), e,u, logou u,e e (0,,0) e (0,,0)

6 CAPÍTULO ESPAÇO VETORIAIS Ainda, u 3,e, u 3,e ( ), u 3 u 3,e e u 3,e e,0, e portanto e 3 (,0, ) Ainda, temos que M CB 0 Assim, 0 0 6 (u) C M CB (u) B 3 Proposição3 Sejam B (u,,u n ) e C (e,,e n ) bases ordenadas ortonormaisdeumespaçovetorialrealeucldianov EntãoamatrizmudançaentreasbasesB ec éumamatrizortogonal,istoé,m BC Mt BC em CB Mt CB Definição7 Seja V umespaço vetorial euclidianoeu umsubespaço vetorial de V Definimos o complemento ortogonal de U, como sendo o subconjunto: U {w V; w,u 0, paratodou U} Proposição4 SejaV umespaçovetorialeuclidianoeu umsubespaçovetorialdev OcomplementoortogonaldeU,U,éumsubespaçovetorialdeV,talqueU U {0} Exemplo8 OcomplementoortogonaldosubespaçovetorialU {x,y,z);x z0} do R 3 é tal que (a,b,c),(x,y,z) 0, para todo (x,y,z) U Primeiramente determinemosumabasedeudadefiniçãodeu,temosque(x,y,z) U xz,portanto umvetordeu édaforma(z,y,z)z(,0,)+y(0,,0),logou [(,0,),(0,,0)] Ainda como α(,0,)+β(0,,0)(0,0,0) α0β, temosque{(,0,),(0,,0)}éumabasedeulogodaspropriedadesdeprodutointerno, { (a,b,c),(,0,) 0 segueque(a,b,c) U (a,b,c),(0,,0) 0,ousejaseesomentese { a+c0 b0 LogoU {(a,0, a);a R} Definição8 Seja V um espaço vetorial euclidiano e U umsubespaço vetorial de V dedimensãofinita ConsidereB(e,,e n ) umabaseortonormal deu Definimosa projeçãoortogonal de V sobre U,comosendoafunção: Proj U :V U definidapor Proj U (v) v,e e + + v,e n e n Exemplo9 Determineaprojeçãoortogonaldovetor(,,) R 3 sobreosubespaço U do exemplo anterior Para isso precisamos determinar uma base ortonormal de U e como já temos uma base, basta utilizar o processo de Gram-Schmidt Assim, e

3 PRODUTOINTERNO 7 5 (,0,) e como 5 (,0,),(0,,0) 0, então e (0,,0), já que tal vetor ( ) 6 5,,3 É claro que 5 é unitário Logo Proj U (,,) 3 5 (,0,)+(0,,0) ( ) 5 6 5,,3 U,jáque 6 5 5 3 5 0 Exemplo30 SejaV umespaçovetorialeu V, u 0talqueU [u]subespaçode V,entãoumabaseortonormaldeU é{e}ondee u u Assim,paracadav V,tem-se queproj U (v) v,e e v, u u u u v,u u u Nota Aprojeçãoortogonal secaracterizapelofatode v Proj U (v) U Ainda Proj U (v) U éovetordeu maispróximodev,jáque v Proj U (v) v u,para todou U 3 Método dos mínimos quadrados Aproximação por projeções Suponhamos que você queira determinar o valor de uma constante Por exemplo uma constantedafísica Paraissovocêfaznmedições Seasmedidasnãotivessemerrosvocê deveriaternvaloresiguaisdestamedida,jáqueelaéconstante,mascomoasmedições trazemimprecisões,emgeralobtém-senvaloresdistintos Oquesefazétomaramédia aritmética como o valor mais provável da constante Vejamos porque realmente este é o valor mais provável Suponhamos então que obtivemos k,,k n valores para a tal constante Definimos então o vetor experiência v (k,,k n ) R n e consideremos o subespaço do R n, U [(,,)] Como o valor que gostaríamos de ter obtido era aqueleemquevpertencesseau,vamosdeterminaraprojeçãoortogonaldevsobreu,já queestaprojeçãonosdáovetordeu,maispróximodevassim,devemosdeterminar k R, tal que k (,,) Proj U (v) (k,,k n ),(,,) (,,) k (k,,k n ),(,,) (,,) (,,), ou seja k + +k n,dadefiniçãodeprodutointernodor n Ou n sejaomelhorvalorparaaconstantek k + +k n n Se tivermos uma experiência mais complexa, onde queremos determinar o valor de constantes,simultaneamenteetivermosencontradomvaloresk,,k m,paraumadelase l,,l m valoresparaasegunda,consideremosovetorexperiênciae(k,,k m,l,,l m ) R m,espaçovetorialeuclidiano,comoprodutointernousualeconsideremososubespaço vetorial de R m, U [(,,,0,,0),(0,,0,,,)] Assim, queremos determinar k,l R tais que k(,,,0,,0)+l(0,,0,,,) Proj U (E) Como

8 CAPÍTULO ESPAÇO VETORIAIS (,,,0,,0)e(0,,0,,,)jásãoortogonais,paradeterminarumavaseortonormal de U, basta tomarmos e (,,,0,,0) (,,,0,,0) (,,,0,,0) e e m (0,,0,,,) (0,,0,,,) (0,,0,,,) Assim,k(,,,0,,0)+l(0,,0,,,) m Proj U (E) E,e e + E,e e k k + +k m m Ajuste de curvas el l + +l m m Uma necessidade bastante frequente é dados n pontos (x i,y i ), i n encontrar uma função g, combinação linear de funções conhecidas g,,g m, que passa por estes pontos Como muitas vezes estes pontos são obtidos por esperiência ou medição, eles trazem consigo imprecisões e por isso na maioria das vezes não encontramos tal combinação linear que passe pelos pontos (x i,y i ), i n Consideremos os vetores G (g (x ),,g (x n )),,G m (g m (x ),,g m (x n )),Y (y,,y n ) R n e o subespaço U [G,,G m ] Queremos então determinar c,,c m R tal que c G + +c m G m Proj U Y,queéovetorcombinaçãolineardasfunções,maispróximo deymasc G + +c m G m Proj U Y Y (c G + +c m G m ) U,ouseja, Y (c G + +c m G m ),G i 0, i n c G + +c m G m,g i Y,G i, i n Logoresolvendoosistema, determinaremosc,,c m R,quefornecemacombinação lineartalque Y (c G + +c m G m ) émínimaeportantoestemétodoédenominado método dos mínimos quadrados Exemplo3 Umaexperiênciaforneceuosseguintesvalores(x,y )(3,6),(x,y ) (,3), (x 3,y 3 ) (5,9) e (x 4,y 4 ) (4,7) Determinemos a reta da forma y kx que melhor se adapta a estes resultados no sentido dos mínimos quadrados Temos então uma únicafunção, asaber, g (x)x Consideremos os vetores Y (6,3,9,7) e G (3,,5,4)Assim,queremosdeterminark Rtalque logo, Y kg,g 0 k G Y,G, k 36+3+59+47 3 + +5 +4 94 5 Exemplo3 Ajustar uma função do tipo g(x)a+bx aos pontos (0,),(,0) e (, 3) Assim, a função g e g x Consideremos então os vetores do R 3, Y (,0, 3), G (,,) eg (0,,4) Assim, devemos encontrar a,b R taisque { 3a+5b 9 5a+7b 3, queresolvendonosdáa eb 05

3 PRODUTOINTERNO 9 3 Lista de Exercícios Exercício 7 Num espaço vetorial euclidiano V, mostre que a) u,v [ u+v u v ] 4 b) u + v [ u+v + u v ] Exercício8 SejaB(f,f,f 3 )umabaseortonormaldeumespaçovetorialeuclidianov ec(e,e,e 3 )umabasedadapore f +3f,e f +f +f 3,e 3 f +f 3 a) DetermineamatrizM BC b) Dadososvetoresu,v V taisque(u) C v e u,v 4 5,(v) C, calcule u, c) DetermineascoordenadasdeumvetorwemrelaçãoàbaseC,demodoque w, w uew v,ondeuev doítem(b) d) Determineoânguloentree ee RespondaseabaseC éortonormal Exercício9 ConsidereV {(x,y,z) R 3 ;x+z0} a) Determine uma base ortonormal de V b) Determineu 0 R 3 talqueu 0 u, u V c) Dadoovetorw(, 3, ) R 3,determinev 0 V demodoquew v 0 v, v V ( i, ) Exercício 0 Considere j, k abaseortonormalcanônicader 3 a) Determinex Rtalquex i +3 j +4 k 3 i + j + k b) Determine os ângulos entre os vetores: (i) i + j e j k, (ii) i + j + k e j k c) Determineumvetorunitáriodadireçãodabissetrizdaânguloentreosvetores i + 3 j + k e3 i + j 3 k Exercício DetermineumabaseortonormaldeW eumabaseortonormal dew, ondew éosubespaçodor 4 dadoporw {(x,y,z,t);x+y0ex+zy}

0 CAPÍTULO ESPAÇO VETORIAIS Exercício Determineaprojeçãoortogonaldovetor(,,0, ) R 4 sobreosubespaçow {(x,y,z,t) R 4 ;x y z0ez t0} Exercício3 Determine a reta em R de equação y kx que melhor se adapte aos pontos(3,0),(,)e(,) Exercício4 Determine o polinômio f(x)ax +bx+c, que melhor se ajuste aos pontos(,),(3,),(4,)e(,0)

Capítulo Transformações Lineares No primeiro capítulo estudamos os espaços vetoriais e as suas principais propriedades Neste próximo capítulo estudaremos as aplicações entre espaços vetoriais, onde as mais importantes são as transformações lineares Definição SejamU ev doisespaçosvetoriaisreais DizemosqueumafunçãoT : U V éumatransformação linearquando: T(u+v) T(u)+T(v), paratodosu,v U T(α u) α T(u), paratodou U eα R Exemplo Considere C (R) o espaço vetorial das funções reais continuamente deriváveis e C(R) o espaço vetorial das funções reais contínuas A função D :C (R) C(R) definida por D(f) f é uma transformação linear, já que (f+g) f +g e (αf) αf, para todas f,g C (R) e α R Assim, D(f+g) D(f)+D(g) e D(αf)αD(f) Exemplo ConsidereosespaçosvetoriaisC([a,b])eC ([a,b])afunçãoi:c([a,b]) C ([a,b]),definidapori(f) a f,ousejaqueacadafunçãocontínuaassociaaprimitivaf def talquef(a)0éumatransformaçãolinear,jáque (f+g) f+ g a a a e αf α f, paratodasf,g C([a,b])eα R Assim,I(f+g)I(f)+I(g) e a a I(αf)αI(f) Nota QuandoU V,denominamosatransformaçãolinearT :V V deoperador linear Proposição SejamU ev espaçosvetoriaisreaiset :U V umatransformação linear Então: a) T(0)0,istoéT levavetornulodeu emvetornulodev b) T( u) T(u),paratodou U,ousejaT levaoelementosimétricodecadavetor udeu noelementosimétricodesuaimagememv

CAPÍTULO TRANSFORMAÇÕES LINEARES c) Se W é um subespaço de U então T(W) {T(w);w W} é um subespaço de V PortantoaimagemdeT,denotadaporIm(T)éumsubespaçodeV d) SeH éumsubespaçodev entãot (H){u U;T(u) H}éumsubespaçode U Definição Sejam U e V espaços vetoriais reais e T : U V uma transformação linear DenotamosporKer(T)oseguintesubconjuntodeU,denominadonúcleo de T : Ker(T){u U;T(u)0}T {0} Exemplo 3 SejaT :R 3 P (R)definidaporT(x,y,z)(x+z) ytparadeterminarmos o núcleo de T, devemos fazer T(x,y,z) 0+0t, que é o polinômio nulo de graumenorouigualaassim,temos: { x+z0 (x+z) yt0+0t y0, portantoker(t){(x,0, x);x R}[(,0, )] Vejamos algumas propriedades do núcleo de uma transformação linear Proposição SejamU ev espaçosvetoriaisreaiset :U VEntão: i) Ker(T)éumsubespaçovetorialdeU ii) T éumafunçãoinjetora Ker(T){0} Teorema3 (dimensão do núcleo e da imagem): SejamU ev espaçosvetoriais reaiset :U V umatransformaçãolinear,sendou umsubespaçodedimensãofinita Então dim(u)dim(ker(t))+dim(im(t)) [ ] x z y+z Exemplo4 Seja T : R 3 M (R) definida por T(x,y,z) x+y x+y É claro que T é uma transformação linear(mostre) e dim(r 3 ) 3 Ainda para determinarmos o núcleo ] [ de T, ] devemos determinar (x,y,z) R 3 tal que T(x,y,z) [ x z y+z 0 0 Portanto x+y x+y 0 0 xz y z x y,

ou seja Ker(T){(x, x,x),x R}{x (,,),x R}[(,,)], portanto dim(ker(t)) Logo pelo teorema da dimensão do núcleo e da imagem, segue que dim(im(t))verifiquemos: {[ ] } x z y+z Im(T),x,y,z R x+y x+y { [ ] [ ] [ ] } 0 0 x +y +z,x,y,z R 0 0 [{[ ] [ ] [ ]}] 0 0,, [{[ 0 ], [ 0 ]}], 0 0 pois [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 {[ ] [ ]} [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 0 0 ecomo, éli,jáqueα +β α0 {[ ] [ ]} 0 0 0 0 β,segueque, ébasedeim(t),oqueimplicaquedim(im(t)), conforme o teorema Corolário4 SejamU ev espaçosvetoriaisreaisdemesmadimensãonet :U V uma transformação linear Então são equivalentes: i) T é sobrejetora ii) T éinjetora iii) T ébijetora iv) T transformaumabasedeu numabasedev Prova i) ii): Como T é sobrejetora então Im(T) V, logo dim(im(t)) n dim(u),portantodoteoremadonúcleoedaimagem,temosquedim(ker(t))0,ou sejaker(t){0},oqueimplicaquet éinjetora ii) iii):comotéinjetora,seguequeker(t){0},oqueimplicaquedim(ker(t)) 0,portantodoteoremadonúcleoedaimagem,temosquedim(Im(T))ndimV e comoim((t))ésubespaçodev,seguequeim(t)v,oqueimplicaquet ésobrejetora e portanto bijetora iii) iv): ComoT ébijetora,seguequeim(t)vaindaseb{u,,u n }éuma basedeu,entãoim(t)[t(u ),,T(u n )]Bastaentãoverificarque{T(u ),,T(u n )} élidefato: α T(u )+ +α n T(u n ) 0 T(α u + +α n u n )0 α u + +α n u n Ker(T) α u + +α n u n 0, 3

4 CAPÍTULO TRANSFORMAÇÕES LINEARES poist éinjetora Mascomo{u,,u n }éumabasedeu,segueque{u,,u n }éli oqueimplicaque α 0 α n Logo{T(u ),,T(u n )}ébasedeim(t)eportantobasedev iv) i): SeB{u,,u n }éumabasedeu,segueque{t(u ),,T(u n )}ébase dev,masim(t)[t(u ),,T(u n )]eportanto{t(u ),,T(u n )}ébasedeim(t), logoim(t)v,portantot ésobrejetora Definição3 Sejam U e V espaços vetoriais reais Dizemos que T : U V é um isomorfismo quando T é uma transformação linear bijetora Exemplo5 Seja T : R 3 P (R) definida por T(a,b,c) (a+c)+(b c)t+ (a)t VerifiquemosprimeiramentequeT éumatransformaçãolinear: T((a,b,c)+(x,y,z)) T(a+x,b+y,c+z) (a+x+c+z)+(b+y (c+z))t+(a+x)t [ (a+z)+(b c)t+at ] + [ (x+x)+(y z)t+xt ] T(a,b,c)+T(x,y,z) T(α (a,b,c)) T(αa,αb,αc)(αa+αc)+(αb αc)t+αat α [ (a+c)+(b c)t+at ] αt(a,b,c) Para mostrar que T é bijetora, basta mostrar, pelo corolário, que T é injetora, pois dim(r 3 )dim(p (R))3Verifiquemos: T(a,b,c) 0 (a+c)+(b c)t+(a)t 0+0t+0t a c, bc, a0 a0bc, oqueimplicaqueker(t){0}logot éumisomorfismo Definição4 SejamU ev espaçosvetoriaisreais DizemosqueU ev sãoisomorfos quandoexisteumisomorfismoentreu ev Exemplo6 DoexemploanteriortemosqueR 3 ep (R)sãoisomorfos Nota Observe que basta existir uma transformação linear bijetora entre espaços isomorfos Proposição5 Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão finita U e V são isomorfos dimu dimv

5 Prova ( )SeUeV sãoisomorfosentãoexisteumisomorfismoentreuevportanto Ker(T){0}eIm(T)V,ousejadim(Ker(T))0edim(Im(T))dimVMasdo teoremadadimensãodonúcleoedaimagem,seguequedimu dim(im(t))dimv ( )TemosquedimU dimv nconsidereb{u,,u n }éumabasedeu e C{v,,v n }éumabasedevsejat :U V,definidapor T(α u + +α n u n )α v + +α n v n, uα u + +α n u n U ÉfácilmostrarqueT éumatransformaçãolinear(mostre) AindaT levabasedeu em basedev,pois T(u ) T( u +0 u + +0 u n ) v +0 v + +0 v n v, T(u ) T(0 u + u + +0 u n )0 v + v + +0 v n v, T(u n ) T(0 u +0 u + + u n )0 v +0 v + + v n v n Logo como dimu dimv, segue do corolário acima que T é bijetora e portanto um isomorfismo,oqueimplicaqueu ev sãoisomorfos Exemplo7 OsespaçosvetoriaisM (R) er 4 sãoisomorfospoistemamesmadimensão 03 Lista de Exercícios Exercício Determineumabaseeadimensãodonúcleoedaimagemdastransformações lineares abaixo: a) T :R 3 R dadaport(x,y,z)(x+y z,x+y) b) T :P (R) P (R)dadaporT(p)(t)t p (t) Exercício DetermineumoperadorlineardoR 3 cujonúcleoégeradopor{(,,),(0,,)} Exercício3 Mostre que cada umdosoperadores lineares do R 3 abaixo é umisomorfismo e determine o isomorfismo inverso: a) T(x,y,z)(x y,z,y+z) b) T(x,y,z)(3y z,x,x 3z) Exercício4 SabendoqueT :P (R) R 3 éumatransformaçãolineartalquet() (,,0),T(t)(0,,)eT(t )(,0, ),determinet(a+bt+ct ) Exercício5 SejaV umespaçovetorialeuclidianoeu [{e,,e n }],onde{e,,e n } éumabaseortonormaldeumostrequee:v U projeçãoortogonaldev sobreu é umatransformaçãolinear,talqueker(e)u eim(e)u

6 CAPÍTULO TRANSFORMAÇÕES LINEARES Matriz de uma transformação linear O objetivo deste parágrafo é identificar uma transformação linear entre espaços de dimensão finita com matrizes, assim poderemos reduzir nosso trabalho às matrizes Definição5 Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão finita e T : U V uma transformação linear Considere B (u,,u n ) uma base ordenada de U e C (v,,v m )umabaseordenandadevassim, T(u i ) m a ji v j j Definimos a matriz de T com respeito às bases ordenadas B e C, denotada por (T) BC (T) BC [a ji] m n [ (T(u )) C (T(u n )) C ] Exemplo8 SejaT :R P (R)porT(a,b)(a b)+3bt at ConsidereB ((,0),(0,)) e C (,t,t ) bases ordenadas der ep (R) respectivamente Portanto dadefiniçãodet,tem-seque T(,0) t +0t t, T(0,) +3t +3t+0t Logo (T) BC 0 3 0 Exemplo9 SejaT :P (R) P (R)talque [ 0 (T) BC 5 3 ondeb(,t,t )ec(,t,)sãobasesordenadasdep (R)eP (R)respectivamente, então T() +t, T(t) 5t, T ( t ) 3t LogoT(a+bt+ct )at()+bt(t)+ct(t )a( +t)+b( 5t)+c3t(b a)+ (a 5b+3c)t Nota 3 Dos exemplos acima podemos ver que conhecendo a transformação linear e as bases ordenadas podemos determinar a matriz de T com respeito a tais bases e reciprocamente conhecendo a matriz e as bases ordenadas recuperamos a transformação linear ],

MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 7 Nota 4 É bom observar também que a matriz da transformação linear depende das bases ordenadas consideradas, isto é, para cada par de bases ordenadas temos uma única matriz, mas se mudarmos as bases ordenadas mudamos também a matriz QuandoT é umoperadorlinear, ouseja, T :U U, pode-setomaramesmabase ordenadabparaodomínioeocontradomínioedenotamospor(t) B Exemplo0 SejaT :R R definidaport(x,y)(x y,3x+y)considerando B((,),(, ))baseordenadador,determinemosamatrizdet comrespeitoàbase B T(,)(,4) et(, )(3,) { a+b Mas(,4)a(,)+b(, )(a+b,a b) a 3 a b4 eb 5 { α+β3 Ainda(3,)α(,)+β(, )(α+β,α β) α β α 5 eβ Portanto (T) B 3 5 A importância da matriz de transformação linear é que podemos trabalhar apenas com a matriz ao invés de trabalharmos com a transformação linear Para isso apresentaremos algumas propriedades Proposição 6 Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão n e m, respectivamente et :U V umatransformaçãolinear ConsidereB(u,,u n )umabaseordenada deu ec(v,,v m )umabaseordenandadeventão 5 (T(u)) C (T) BC (u) B O resultado acima nos diz que para obtermos as coordenadas de T(u) basta multiplicar amatrizdet pelascoordenadasdeu Exemplo SejaT :P (R) P (R)talque [ 0 (T) BC 5 3 ondeb(,t,t )ec(,t,)sãobasesordenadasdep (R)eP (R)respectivamente Então ( ( )) ( T a+bt+ct (T) ) [ ] C BC a+bt+ct 0 a b B 5 3 c [ b a a 5b+3c o que implica que T(a+bt+ct )(b a)+(a 5b+3c)t, como vimos em exemplo anterior ], ],

8 CAPÍTULO TRANSFORMAÇÕES LINEARES Pode-se também operar transformações lineares, operando suas matrizes Proposição7 SejamU,V,W espaçosvetoriasreaisdedimensãon,mek,respectivamente ConsidereT,F :U V eg:v W transformaçõeslineareseα RProva-se quet+f,αt eg T sãotransformaçõeslineares(prove!)considereb(u,,u n ) umabaseordenadadeu,c(v,,v m )umabaseordenandadev ed(w,,w k ) umabaseordenadadewentão: a) (T+F) BC (T) BC +(F) BC b) (αt) BC α(t) BC c) (G T) BD (G) CD (T) BC Pode-se ainda ter a necessidade de mudar de base Como fazer sem ter que voltar para a transformação linear, ou seja, trabalhando apenas com matrizes? Para responder esta pergunta vamos dar mais algumas propiedades Proposição8 SejaUumespaçovetorialrealdedimensãon ConsidereB(u,,u n ) ec(v,,v m )basesordenadasdeuentão (I) BC M CB e (I) CB M BC ondei:u U,talqueI(u)ueM CB éamatrizmudançadabasec paraabaseb Proposição 9 Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão n e m, respectivamente et :U V umatransformaçãolinearef :U U umoperadorlinear ConsidereB, B basesordenadasdeu ec,c basesordenadasdeventão (T) BC M CC (T) B C M B B, (F) B M B B(F) B M BB M BB (F) B M BB Proposição0 SejamU ev espaçosvetoriaisreaisambosdedimensãon,et :U V umatransformaçãolinear ConsidereB baseordenadadeu ec baseordenadadev EntãoT éumisomorfismo (T) BC forinversívele(t ) CB (T) BC Analogamentese F :U U é umoperador linear e B baseordenada de U Então F é umisomorfismo (F) B forinversívele(f ) B (F) B [ ] 0 Exemplo Seja T : P (R) P (R) tal que (T) BC, onde B base 3 ordenadadep (R)eCbaseordenadadeP (R) SeB baseordenadadep (R)eC base ordenadadep (R)talque [ ] M CC em BB 0, 0

MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 9 então Mas portanto (T) B C (T) B C M C C(T) BC M BB M CC (T) BC M BB [ M CC [ [ 3 ] ][ 0 3 ] 0 0 [ ], ] 0 0 [ 6 7 3 [ ] Exemplo3 Sabendo que T : P (R) P (R) é tal que (T) B, como 0 det(t) B 0,seguequeT éumisomorfismo,entãot :P (R) P (R)étalque Lista de Exercícios ( T ) B (T) B [ 0 Exercício6 DetermineooperadorlineardoR cujamatrizemrelaçãoàbaseordenada B((,),(, ))édadapor [ ] 3 Exercício7 SeamatrizdeumoperadorlinearF dor 3 emrelaçãoàbasecanônicaé 0 4 3 0 eset I+F F F,determineamatrizdeT emrelaçãoàbasecanônicaeverifique set éounãoumisomorfismo DeterminetambémT(x,y,z)eT (x,y,z) Exercício8 Seja T : C C um operador linear tal que (T) B [ 5 B base ordenada de C Sabendo que M BC [ ] 3 3 determine(t) C Seu Cétalque(u) C,determine(T(u)) 7 C ] ] [ 3 ], onde ], onde C base ordenada de C,

30 CAPÍTULO TRANSFORMAÇÕES LINEARES Diagonalização de operadores Como vimos podemos trabalhar com matrizes ao invés de operadores lineares Mas é importante em algumas situações determinar uma base onde a matriz do operador seja a mais simples, por exemplo uma matriz diagonal É isso que veremos neste parágrafo Definição6 SejaV umespaçovetorialrealet :V V umoperadorlinear Dizemos queλ Réumautovalor de T quandoexisteu V,u 0,talqueT(u)λuNeste casouédenominadoautovetor de T associado ao autovalor λ Proposição Seja V um espaço vetorial real de dimensão n e T : V V um operadorlinear Entãoλ RéumautovalordeT det((t) B λi n )0,qualquerque sejab baseordenadadev ei n amatrizidentidaden n Prova λ R é um autovalor de T existe u V, u 0, tal que T(u) λu existe u V, u 0, tal que T(u) λu 0 existe u V, u 0, tal que (T λi)(u)0 Ker(T λi) {0} (T λi)nãoéumisomorfismo (T λi) não é inversível det(t λi) B 0, qualquer que seja B base ordenada de V Mas (T λi) B (T) B λ(i) B (T) B λi n Exemplo4 SejaT :P (R) P (R)definidaporT(p)(t)p(t)+3p (t)+t p (t) ParadeterminarosautovaloresdeT,vamosdeterminaramatrizdeT emrelaçãoàbase ordenadab(,t,t ), Assim, logo, det((t) B λi 3 )det T() +0t+0t, T(t) 3+t3+t+0t, T ( t ) 6t+3t 0+6t+3t (T) B 3 0 0 6 0 0 3 λ 3 0 0 λ 6 0 0 3 λ, ( λ)[(( λ)(3 λ))] Portanto det((t) B λi 3 ) 0 λ e λ 3 Logo os autovalores de T são e 3 Paradeterminarosautovetoresassociados,bastalembrarquep P (R)éumautovetor associado ao autovalor λ T(p) λp (T λi)(p) 0 (T λi) B (p) B 0,

MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 3 qualquer que seja a base ordenada B de P (R) ((T) B λi 3 )(p) B 0 Assim, para λ,considerando(p) B a b c, temos 0 3 0 0 0 6 0 0 3b0 6c0 c0 a b c b0c, portantoosautovetoresdet associadosaoautovalorλsãotaisque(p) B a 0,coma 0,ouseja,p(t)a,a 0,istoé,osautovetoresdeT associadosao 0 autovalorλsãoospolinômiosconstantesnãonulos Paraλ3,obtemos 3 0 0 6 0 0 0 a b c 0 0 0 0 0 0 { a+3b0 b+6c0 b3cea9 c, portantoosautovetoresdet associadosaoautovalorλ3sãotaisque(p) B c 9 3,comc 0,ouseja,p(t)c ( ) 9 +3t+t,c 0 a 0 0 9 c 3c c Proposição Seja V um espaço vetorial real e T : V V um operador linear Então autovetores associados a autovalores distintos são li Definição7 SejaV umespaçovetorialrealdedimensãofinitanet :V V umoperador linear Dizemos que T é diagonalizável quando existe uma base de V constituída deautovetoresdetnestecasoseb(u,,u n )éumabaseordenadadev constituída

3 CAPÍTULO TRANSFORMAÇÕES LINEARES deautovetoresdet,comu i autovetorassociadoaoautovalorλ i,temosque λ 0 0 0 0 λ 0 0 (T) B 0 λ 3 0, 0 0 0 0 λ n istoé,amatrizdet emrelaçãoàbaseconstituídadeautovetoreséumamtrizdiagonal, onde na diagonal principal aparecem os autovalores, na ordem em que os autovetores aprecem na base ordenada Vemos que o operador linear do exemplo anterior não é diagonalizável, pois tem-se apenas autovetores li de T [ ] Exemplo5 SejaT :C C,talque(T) B,ondeB{+i, i}verifiquemos se T é diagonalizável Para isso determinemos os autovalores e os autovetores det [ ] λ det ( λ) λ λ0 λ0ouλ λ Observe que temos autovalores distintos e portanto temos autovetores li e como dimc,seguequet édiagonalizável,poisadmiteumabaseconstituídadeautovetores DeterminemostalbaseeamatrizdeT [ ] comrespeitoaestabase Paraλ0,considerando x (u) B,obtemos y [ ][ ] [ ] x 0 x+y0 y x, y 0 [ ] [ ] x logoosautovetoresassociadosaλ, sãotaisque(u) B x,x 0 [ ] x Portantopodemostomaru Ctalque(u ) B u iparaλ, [ ][ ] [ ] x 0 x y0 yx, y 0 [ ] [ ] x logo os autovetores associados a λ, são tais que (u) B x, x 0 [ ] x Portantopodemostomaru Ctalque(u ) B u Assimabaseconstituída

MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 33 deautovetoreséc{i,}portantoamatrizmudançadabasec paraabaseb é M CB [ ] M BC Logo (T) C M CB (T) B M BC [ [ ][ ] 0 0 ][ [ 0 0 0 ] Observe que (T) C é umamatriz diagonal, comos autovaloresemsuadiagonal, como já era esperado Proposição3 SejaV umespaçovetorialrealdedimensãofinitanet :V V um operador linear Então o número de autovetores li associados a um mesmo autovalor é menorouigualamultiplicidadedoautovalor,comoraizdopolinômiodet((t) B λi n ) Dos resultados acima, sempre que tivermos um operador sobre um espaço vetorial V de dimensão n, com n autovalores distintos este será diagonalizável Existeumtipodeoperadorqueésemprediagonalizável,emaisporumabaseortonormal de autovetores Vejamos Definição 8 Seja V um espaço vetorial real euclidiano Dizemos que um opervador lineart :V V éauto-adjuntoquando quaisquerquesejamu,v V T(u),v u,t(v), Exemplo6 OoperadorT dor 3,definidoporT(x,y,z)(x+y,x y+3z,3y+5z) é auto-adjunto, pois T(x,y,z),(a,b,c) (x+y)a+(x y+3z)b+(3y+5z)c ] xa+ya+xb yb+3zb+3yc+5zc x(a+b)+y(a b+3c)+z(3b+5c) (x,y,z),t(a,b,c) Proposição4 SejaV umespaçovetorialrealeucldianodedimensãon T :V V éumoperadorauto-adjunto (T) B éumamatrizsimétricaemrelaçãoaqualquerbase ortonormalbdev

34 CAPÍTULO TRANSFORMAÇÕES LINEARES Prova ( )ConsidereB(e,,e n )umabaseordenadaortonormaldeventão T(e i ) n T(e i ),e j e j, j portanto,dadefiniçãodematrizdet emrelaçãoàbaseb,temosque(t) B (a ji ) n n, onde a ji T(e i ),e j Mas T é auto-adjunto e portanto T(e i ),e j e i,t(e j ) T(e j ),e i a ij,oqueimplicaque(t) B ésimétrica ( )Exercício Proposição5 SejaV umespaçovetorialrealeucldianoet :V V éumoperador auto-adjunto Então autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais Prova Sejamαeβ autovetoresdistintosdet,entãoexistemu,wvetoresnãonulos dev,taisquet(u)αuet(w)βwainda oqueimplicaque T(u),w u,t(w), αu,w u,βw Das proriedades de produto interno, obtemos α u,w β u,w (α β) u,w 0 Como(α β) 0, poissãoautovalores distintos, segue que u,w 0, ouseja, u ew são ortogonais Teorema6 Seja V umespaçovetorial real eucldiano dedimensãon T :V V é um operador auto-adjunto existe uma base ortonormal de V constituída de autovetores de T Neste caso se B é uma base ortonormal de V e C é uma base ortonoirmal de V constituída de autovetores de T, segue que sendo(t) C umamatrizdiagonal (T) C M t BC(T) B M BC, Exemplo7 SejaT umoperadordor 3,cuajamatrizcomrespeitoàbasecanônicaé 0 0 0 0 Como a base canônica do R 3 é ortonormal e a matriz é simétrica, segue que T é autoadjuntoeportantoexisteumabaseortonormalder 3 constituídadeautovetoresdet,em

MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 35 relaçãoaqualamatrizdet édiagonal Vamosdeterminar,abase,amatrizmudançada basecanônicaparaabaseortonormaldeautovetoreseamatrizdet emrelaçãoanova base λ 0 det λ 0 0 (λ 3)(λ+) 0 0 0 λ PortantoosautovaloresdeT sãoλ (raizdupla)eλ3 Comoλ3éumaraiz simples existe apenas um vetor li associado a λ 3, que é ortogonal aos autovetores associados a λ Como λ é raiz dupla, e T é diagonalizável, já que é auto adjunto, então devem existir autovetores li associados a este autovalor Vejamos, para λ, 0 0 0 0 0 x y z 0 0 0 { x y0 x+y0 xy, logoosautovetoresdet associadosaλ temasseguintescoordenadasemrelaçãoà base canônica x x z x 0 +z Estes vetores já são ortogonais e portanto li, basta tomaá-los ( unitários ) Assim, os autovetores unitários e ortogonais associados a λ são,,0 e (0,0,) 0 0 Paraλ3, 0 0 x y 0 x y0 0 x y0 0 0 4 z 0 4z0 { y x z0 logoos autovetoresdet associados aλ3 temasseguintescoordenadasemrelaçãoà base canônica x x 0 M x 0 Assim, o autovetor ( unitário e ortogonal aos autovetores associados a λ, associado aλ3 é, ),0 Logoabaseortonormal dor 3 constituídadeautovetoresde ) T é C {(,,0,(0,0,),(, ),0 } A matriz mudança da base canônica paraabasec éaquelaconstituídadascoordenadasdosautovatores, ousejaéamatriz M, dada abaixo: 0 0 0 0,

36 CAPÍTULO TRANSFORMAÇÕES LINEARES eamatrizdet emrelaçãoàbasec é (T) C M t (T) can M 0 0 0 0 0 0 3 Nota5 Tudooquefoidefinidoeosresultadosparaoperadoreslinearespodemsertranferidos para as matrizes quadradas, uma vez que estas estão associadas univocamente a operadores, assim como as matrizes simétricas estão associadas a operadores auto adjuntos 3 Lista de Exercícios Exercício9 Determine os autovalores e autovetores dos operadores lineares do R 3 abaixo: a) T(x,y,z)(x+y,x y,z) b) T(,0,0)(,0,0),T(0,,0)(,,)eT(0,0,)(3,,) c) T(,,0)(0,0,0),T(,,0)(0,0,0)eT(0,0,)(5,,) Exercício0 Determine os autovalores e autovetores do operador T de P 3 (R) cuja matrizemrelaçãoàbaseb{,t,t,t 3 }é: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 Exercício Determine, se possível, uma matriz M M (R) de maneira que M AM sejadiagonal,ondeaé: a) [ 4 3 3 ] [ 3 b) ] c) 0 4 3 4 5 Exercício SejaT umoperadordor 3 definidoport(x,y,z)(x+y+z,x+y+z,x+y+z) a) Determine os autovalores de T b) DetermineumabaseortonormalBdoR 3 talque(t) B édiagonal c) QualamatrizdemudançadabasecanônicadoR 3 paraabaseb?

MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 37 Exercício3 SejaT umoperadordor 3 cujamatrizdet emrelaçãoàbaseb((,,0),(,0,),(0, é 0 0 0 0 a) T é diagonalizável? Justifique b) Determine os autovalores e autovetores de T c) T é um operador auto adjunto? Justifique