ELETRICIDADE Revisão números Complexos Prof. Marcio Kimpara Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Números complexos No passado, os matemáticos esbarraram em uma situação oriunda da resolução de uma equação do 2º grau... Por exemplo: x 2 2. x 5 0 Aplicando báskara: x 2 16 2 Note que ao desenvolver o teorema nos deparamos com a raiz quadrada de um número negativo, sendo impossível a resolução dentro do conjunto dos números Reais, pois não existe número negativo que elevado ao quadrado tenha como resultado número negativo. A resolução destas raízes só foi possível com a criação e adequação dos números complexos, por Leonhard Euler.
Conjuntos Numéricos Q N R C I O conjunto dos números Reais é um subconjunto dos Complexos
Números Complexos Número Complexo: C : z a bi, a e br e i -1 Unidade imaginária Voltando ao problema... x 2 16 2 Como, 16 16. ( 1) i 4i x 1 2i 1 x 1 2i 2
Números Complexos z = a + bi (forma retangular) Parte real Parte imaginária Um número complexo na Forma Retangular (ou algébrica ou cartesiana) é composto por uma parte real e uma parte imaginária Se a parte real de um número complexo é NULA, ele é um número imaginário puro. Analogamente, se a parte imaginária de um número complexo é NULA, ele é um número real puro. Dois números complexos, z e w, para serem iguais, devem ter suas partes reais e imaginárias, respectivamente, iguais. Prof. Marcio Kimpara
Números Complexos Q N R im C I Im Imaginário puro
Anote i = unidade imaginária i = corrente elétrica Mas, em circuitos elétricos Logo, para não confundir: j unidade imaginária -1 Doravante, utilizaremos a letra j para representar a unidade imaginária z = a + bi z = a + bj
Forma geométrica Plano de Argand Gauss (Plano Complexo) = a + jb Im b P P = (a,b) θ a Re FORMA POLAR Um número complexo na Forma Polar é um número composto por um vetor e um ângulo.
Transformação a jb a b.cos. sen θ b a 2 b arctan b a 2 a
Exemplos Representar os números complexos no plano cartesiano e converter para a forma polar: a) C = 60 + j80 b) C = 5 j5 c) C = -3 j4 * Resolvidos no quadro
Operações com números complexos CONJUGADO COMPLEXO O conjugado de um número complexo, representado por * (ou ), pode ser determinado simplesmente pela mudança do sinal da parte imaginária na forma retangular ou do sinal do ângulo na forma polar. Seja: = x + jy = z θ Então o conjugado * é dado por: * = x jy = z θ
Operações com números complexos ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO A adição (soma) ou subtração algébrica de números complexos deve ser feita sempre na forma retangular. Não se somam ou se subtraem números complexos na forma polar. Soma e Subtração algébrica de números complexos são feitas na forma retangular. A regra para soma ou subtração de números complexos na forma retangular é: Somam-se ou subtraem-se algebricamente as partes reais e as partes imaginárias, separadamente. Assim:
Operações com números complexos MULTIPLICAÇÃO A multiplicação dos números complexos deve ser feita na forma polar. Não é recomendável a multiplicação na forma retangular, embora possa ser feita. Multiplicação de números complexos é feita na forma polar. Portanto, a regra para multiplicação de números complexos na forma polar é: Multiplicam-se os módulos e somam-se algebricamente os ângulos Assim:
Operações com números complexos DIVISÃO A multiplicação dos números complexos deve ser feita na forma polar. Pode-se realizar a divisão na forma retangular, porém o processo é muito mais trabalhoso. Divisão de números complexos é feita na forma polar. A regra para a divisão de números complexos na forma polar é: Dividem-se os módulos e subtraem-se algebricamente os ângulos Assim:
Exemplos 1) Efetuar as operações algébricas com números complexos, sendo C1 = 3 + j4 e C2 = 5 + j6. a) C3 = C1 + C2 b) C3 = C1 - C2 c) C3 = C1 + C2* 2) Efetuar as operações algébricas com números complexos, sendo C1 = 10 45 e C2 = 20 30 a) C3 = C1/C2 b) C3 = C2/C1 c) C3 = C1 x C2 * Resolvidos no quadro