Conjuntos parcialmente ordenados, totalmente ordenados e bem ordenados

Conteúdo Conteúdo 1 1 Conjuntos parcialmente ordenados, totalmente ordenados e bem ordenados 2 1.1 Conjuntos parcialmente ordenados................ 2 1.2 Diagramas de Hasse........................ 4 1.3 Dualidade............................. 5 1.4 Elementos especiais num c.p.o................... 5 1.5 Isomor smo............................ 6 1.6 Produto cardinal de conjuntos parcialmente ordenados.... 7 1.7 Subconjuntos especiais de um c.p.o................ 8 1.8 Lema de Zorn: sua equivalência a outras condições...... 10 1.9 Conjuntos totalmente ordenados................. 12 1.10 Conjuntos bem ordenados.................... 14 2 Conceitos gerais em reticulados 18 2.1 De nição e propriedades básicas................. 18 2.2 Subconjuntos especiais de inf-semireticulados, sup-semireticulado, reticulado.............................. 22 2.3 Mor smos de reticulados..................... 24 2.4 Semireticulados e reticulados completos............. 26 2.5 Reticulados distributivos..................... 28 1

Capítulo 1 Conjuntos parcialmente ordenados, totalmente ordenados e bem ordenados 1.1 Conjuntos parcialmente ordenados De nição 1.1.1 Seja A um conjunto. Uma relação binária num conjunto A é qualquer subconjunto de A A: Nota 1.1.2 Se é uma relação binária num conjunto A e (x; y) 2, escreve-se habitualmente xy: De nição 1.1.3 Dado um conjunto A 6= ;, uma relação em A diz-se de ordem parcial (r.o.p.) se satisfaz: i) aa; 8a 2 A (re exiva). ii) ab ^ ba ) a = b (anti-simétrica). iii) ab ^ bc ) ac (transitiva). De nição 1.1.4 Se é uma relação de ordem parcial de nida num conjunto não vazio A, diz-se que (A; ) é um conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.). As relações de ordem parcial designam-se habitualmente, quando não há ambiguidade, pelo símbolo. 2

3 Notação 1.1.5 Supondo que (A; ) é um conjunto parcialmente ordenado: x y - x menor ou igual que y ou x precede y: y x, x y - y maior ou igual que x ou y segue x: x y - x não está em relação com y. Se a b e a 6= b; escreve-se a < b e diz-se que a precede propriamente b ou que a é propriamente menor que b. Se a < b e @ _z : a < z < b; diz-se que b cobre a e nota-se a b: Se a b e b a; diz-se que a e b são não comparáveis - a k b: Exemplos 1.1.6 (Conjuntos parcialmente ordenados) 1. (P (C) ; ) em que C é um conjunto qualquer e P (C) o conjunto dos subconjuntos (partes) de C. 2. (S (G) ; ) em que G é um grupo e S (G) o conjunto dos subgrupos de G: 3. (N; ) ; (Q; ) ; (R; ) ; etc., sendo a relação de ordem usual nesses conjuntos. 4. (N; ) ; em que 8x; y 2 N; xy, x divide y (xjy): 5. (C; ) ; em que 8z 1 ; z 2 2 C; z 1 z 2, Re (z 1 ) Re (z 2 ) e Im (z 1 ) Im (z 2 ) : 6. (C (R; R) ; ) ; em que C (R; R) designa o conjunto das funções reais de variável real contínuas e 8f; g 2 C (R; R) ; f g, 8x 2 R; f (x) g (x) : Exercícios 1.1.7 1. Mostre que cada um dos exemplos de 1.1.6 é um conjunto parcialmente ordenado. 2. Veri que se (C; ) é um conjunto parcialmente ordenado; sendo a relação de nida por 8z 1 ; z 2 2 C; z 1 z 2, jz 1 j jz 2 j : 3. Sendo (A; ) um conjunto parcialmente ordenado, considere a relação < em A, isto é a < b se e só se a b e a 6= b.

4 (a) Veri que que i. a a (< é irre exiva) ii. a < b ) b a iii. a < b e b < c ) a < c (b) Supondo que em A está de nida uma relação que satisfaz i, ii e iii da alínea (a), mostre que a relação de nida por ab, ab ou a = b; 8a; b 2 A; é uma relação de ordem parcial. 4. Sendo (A; ) um conjunto parcialmente ordenado e B é um subconjunto de A, mostre que B é também um conjunto parcialmente ordenado para a relação induzida pela relação : 1.2 Diagramas de Hasse Seja (A; ) um conjunto parcialmente ordenado nito. Este conjunto pode ser representado por um diagrama, chamado Diagrama de Hasse, que se faz do seguinte modo: Cada elemento de A é representado por um ponto; se um elemento y cobre um elemento x, coloca-se o ponto correspondente a y num nível mais elevado que o ponto correspondente a x e unem-se os dois pontos por um segmento de recta. Exemplo 1.2.1 Considere o conjunto A = f2; 3; 5; 6; 12; 18; 24; 36g com a relação x y, x divide y: O diagrama de Hasse correspondente é: 36 24 18 12 6 5 2 3

5 Exercício 1.2.2 Construa todos os possíveis diagramas de Hasse para um conjunto parcialmente ordenado com três elementos. 1.3 Dualidade De nição 1.3.1 Se (A; ) é um conjunto parcialmente ordenado, a relação 0 de nida por x 0 y se e só se y x diz-se relação dual de : Observações 1.3.2 1. A relação dual é também uma relação de ordem parcial (veri car) e, portanto, (A; 0 ) é também um conjunto parcialmente ordenado que se diz dual de (A; ) : 2. Um conceito diz-se dual de outro conceito se pode ser obtido substituindo na de nição do primeiro por. 3. Conceito dual de um determinado conceito vem a ser o mesmo conceito de nido para o conjunto parcialmente ordenado dual, mas traduzido em termos do conjunto parcialmente ordenado original. As de nições das secções seguintes permitem exempli car esta noção. 4. A classe de todos os conjuntos parcialmente ordenados coincide com a classe dos seus duais. Isto dá origem ao: 5. Princípio da dualidade de Schroeder: Na teoria de conjuntos parcialmente ordenados, se uma determinada proposição é verdadeira também é verdadeira a proposição que se obtém quando se substituem os conceitos pelos seus duais e a relação por. 1.4 Elementos especiais num c.p.o. De nição 1.4.1 Seja (A; ) um conjunto parcialmente ordenado e X A: i) a 2 A é majorante de X (minorante de X) se 8x 2 X; x a (a x) : ii) m 2 A é supremo ou limite superior de X (ín mo ou limite inferior de X) se

6 m é majorante de X (minorante de X) m c; 8c 2 A tal que c é majorante de X (d m; 8d 2 A tal que d é majorante de X ) iii) m é máximo de X (mínimo de X) se m 2 X e x m; 8x 2 X (m 2 X e m x; 8x 2 X): iv) a 2 A é um elemento maximal (minimal) se não existe x 2 A tal que a < x (x < a) : Observações 1.4.2 1. Quando A tem elemento máximo, este designa se frequentemente por último elemento ou 1 e se existir elemento mínimo, designa-se por primeiro elemento ou 0. 2. O conceito de majorante pode-se obter do conceito de minorante do c.p.o. dual, traduzido em termos da relação de ordem parcial dada. A mesma observação pode ser feita para os outros conceitos dados. 1.5 Isomor smo De nição 1.5.1 Sejam (A; ) e (A 0 ; 0 ) dois conjuntos parcialmente ordenados. Chama se isomor smo de conjuntos parcialmente ordenados a uma aplicação ' : A! A 0 que satisfaça: (i) ' é sobrejectiva. (ii) a b, ' (a) 0 ' (b) ; 8a; b 2 A: Se existe um isomor smo entre (A; ) e (A 0 ; 0 ) ; diz -se que A e A 0 são isomorfos, o que se denota por A = A 0 : Exercício 1.5.2 Veri car que se ' é um isomor smo de c.p.o., então ' é uma aplicação bijectiva.

7 De nição 1.5.3 Sejam (A; ) e (A 0 ; 0 ) dois conjuntos parcialmente ordenados. Uma aplicação ' : A! A 0 é uma aplicação isótona se satisfaz a b ) ' (a) 0 ' (b) ; 8a; b 2 A: Observações 1.5.4 1. Um isomor smo é sempre aplicação isótona. 2. Uma aplicação isótona bijectiva nem sempre é um isomor smo. Contraexemplo: ϕ a b ϕ(b) ϕ(a) ' (a) 0 ' (b) e a b (a k b) 3. Dois conjuntos parcialmente ordenados nitos têm o mesmo diagrama de Hasse se e só se são isomorfos. 1.6 Produto cardinal de conjuntos parcialmente ordenados De nição 1.6.1 Seja (A ; ) 2 uma família de conjuntos parcialmente ordenados. O produto cardinal é formado pelos elementos (a ) 2, em que a 2 A ; 8 2 : Observações 1.6.2 1. No caso in nito a existência do produto cardinal é garantida pelo axioma da escolha.

8 2. Se é nito, o produto cardinal é o produto cartesiano dos conjuntos da família. Proposição 1.6.3 O produto cardinal de uma família (A ; ) 2 é um conjunto parcialmente ordenado com a relação (a ) 2 (b ) 2, a b ; 8 2 : 1.7 Subconjuntos especiais de um c.p.o. De nição 1.7.1 Seja (A; ) um c.p.o. e seja X A: X é uma cadeia ou subconjunto totalmente ordenado se () 8x; y 2 X, x y ou y x: Exercícios 1.7.2 1. Mostre que a condição () é equivalente a cada uma das seguintes condições: (a) ( 0 ) 8x; y 2 X; se x 6= y então x < y _ y < x: (b) ( 00 ) 8x; y 2 X; x = y _ x < y _ y < x: 2. Mostre que se (A; ) é um conjunto parcialmente ordenado que satisfaz () então < ( e 6=) satisfaz: (a) irre exiva. (b) x 6= y ) x < y _ y < x: (c) transitiva. 3. Considere o teorema Se num conjunto parcialmente ordenado (A; ) todo o subconjunto minorado tem ín mo então todo o subconjunto majorado tem supremo. (a) Escreva o teorema dual. (b) Demonstre o teorema. De nição 1.7.3 Seja (A; ) um c.p.o. e seja K A: K é um subconjunto convexo ou denso se dados a; b 2 K e c 2 A tal que a < c < b, então c 2 K:

9 Exemplos 1.7.4 ((Suconjuntos convexos)) 1. Triviais: ; e A: 2. Dados dois elementos a; b 2 A; a b, os intervalos [a; b] = fx 2 A : a x bg ]a; b[ = fx 2 A : a < x < bg (b] = fx 2 A : x bg [b) = fx 2 A : b xg são subconjuntos convexos. 3. Se X A; os conjuntos Ma (X) = fx 2 A : x é majorante de Xg Mi (X) = fx 2 A : x é minorante de Xg são subconjuntos convexos. Exercício 1.7.5 Mostrar que a intersecção de uma família arbitrária de subconjuntos convexos de um c.p.o. é um subconjunto convexo e justi car que se pode de nir o subconjunto convexo gerado por qualquer subconjunto desse c.p.o. De nição 1.7.6 Seja (A; ) um c.p.o. 1. I A é semi-ideal se x 2 I e y x ) y 2 I 2. F A é semi- ltro se x 2 F e x y ) y 2 F Exercícios 1.7.7 1. Mostre que I é semi-ideal se e só se AnI é semi- ltro 2. Veri car para semi-ideais e semi- ltros o problema 1.7.5 dado para subconjuntos convexos.

10 3. Mostre que a intersecção de um semi-ideal com um semi- ltro é um subconjunto convexo. 4. Mostre que um subconjunto convexo não vazio é intersecção de um semi-ideal com um semi- ltro. De nição 1.7.8 Seja (A; ) um c.p.o. 1. I A é ideal se (a) I é semi-ideal (b) x; y 2 I; 9 z 2 I tal que z x e z y: 2. F A é ltro se (a) I é semi- ltro (b) x; y 2 F; 9 z 2 F tal que z x e z y: 1.8 Lema de Zorn: sua equivalência a outras condições De nição 1.8.1 Seja (A; ) um c.p.o. 1. (A; ) diz-se indutivo se toda a cadeia é majorada, isto é, se sendo C uma cadeia em A existe m 2 A que é majorante de C: 2. (A; ) diz-se fortemente indutivo se existe supremo para toda a cadeia. De nição 1.8.2 Seja A = fa g 2 uma família de conjuntos parcialmente ordenada por inclusão. Diz-se que A tem uma propriedade de carácter nito se satisfaz: f 1 A 2 A )F A ( - parte nita) f 2 Se A é tal que 8F A; F 2 A; então A 2 A.

11 Teorema 1.8.3 As seguintes condições são equivalentes: 1. Condição de Kuratowski Num conjunto parcialmente ordenado toda a cadeia está contida numa cadeia maximal. 2. Condição de máximo Um conjunto parcialmente ordenado indutivo tem elemento maximal. 3. Lema de Zorn Um conjunto parcialmente ordenado fortemente indutivo tem elemento maximal. 4. Condição de Hausdor Num conjunto parcialmente ordenado existe elemento maximal. 5. Condição de Tukey Uma família de conjuntos que goza de uma propriedade de carácter nito tem elemento maximal. Exemplo 1.8.4 O objectivo é aplicar as condições anteriores à prova que qualquer espaço vectorial tem uma base. Para isso é necessário de nir (ou lembrar) alguns conceitos: De nição 1.8.5 Seja (V; +; K) um espaço vectorial sobre um corpo K: 1. X V é um conjunto linearmente independente de vectores se e só se qualquer F X é linearmente independente. 2. X V é um conjunto linearmente dependente de vectores se e só se existir F X tal que F é linearmente dependente. 3. B V é uma base se: (a) B é um conjunto linearmente independente de vectores. (b) 8x 2 V nb; B[fxg é linearmente dependente. (, x é combinação linear de um subconjunto nito de B).

12 Da de nição anterior é claro que B é uma base de V se e só se é um elemento maximal na família de conjuntos. Seja A = fx jx V e X é linearmente independenteg, ordenada por inclusão. Esta família goza de uma propriedade de carácter nito pois X 2 A se e só se qualquer F X é linearmente independente. Pela condição de Tukey, em A existe uma família maximal de vectores linearmente independente. Pela proposição anterior conclui-se que qualquer espaço vectorial tem uma base. 1.9 Conjuntos totalmente ordenados De nição 1.9.1 Dado A 6= ;; uma relação em A é uma relação de ordem total se: O 1 xx; 8x 2 A. O 2 O 3 x 6= y ) xy _ yz (dicotomia). xy e yz ) xz: (A; ) é um conjunto totalmente ordenado (c.t.o.). Podemos também considerar a seguinte de nição para relação de ordem total: De nição 1.9.2 Dado A 6= ;; uma relação em A é uma relação de ordem total se: O0 1 x /x; 8x 2 A. O0 2 O0 3 x 6= y ) xy _ yz (dicotomia). xy e yz ) xz: Neste caso, quando não haja ambiguidade, pode-se representar por < : Observações 1.9.3 1. Há casos em que a de nição apresenta só como propriedades a dicotomia e a transitividade

13 2. Dado um conjunto A e duas relações binárias de nidas em A; e podem-se de nir outras relações (i) x ( _ ) y, xy ou xy: (ii) x ( ^ ) y, xy e xy: (iii) x () y, 9z 2 A tal que xz e zy: 3. Com a relação de nida em 1.9.2 pode-se obter uma r.o.p. fazendo a relação < _ =; que é também relação de ordem total de acordo com a de nição 1.9.1. 4. Existe uma correspondência bijectiva entre as relações de ordem total de nidas em 1.9.1 e em 1.9.2: A corresponde ^ 6= : A < corresponde < _ = : Pode-se ver então que a cada relação de ordem total não re exiva está associada uma re exiva e vice-versa e por isso o uso quase indistinto de < ou quando está em jogo uma relação de ordem total. 5. Podem-se transportar para c.t.o.todos os conceitos dados para c.p.o.: Por exemplo, se (A; <) é c.t.o. e X A; m 2 A é majorante de X se x < m ou x = m; 8x 2 X: De nição 1.9.4 Sejam (A; <) e (A 0 ; < 0 ) dois c.t.o. Uma aplicação ' : A! A 0 é isomor smo se ' é isomor smo entre (A; ) e (A 0 ; 0 ) : Proposição 1.9.5 Sejam (A; <) e (A 0 ; < 0 ) dois c.t.o. Uma aplicação ' : A! A 0 é isomor smo se e só se: 1. ' é sobrejectiva. 2. ' é isótona.

14 Exercícios 1.9.6 1. Seja (A; ) um c.t.o. e seja X A: Mostre que: (a) Se x 2 X é elemento maximal (minimal) de X; então x é máximo (mínimo) de X: (b) Para cada x 2 A existe no máximo y 2 A tal que x y. Todo o subconjunto não vazio e nito de um c.t.o.contém um elemento mínimo e um elemento máximo. 1. Seja (A; ) um c.p.o. Mostre que (A; ) é um c.t.o. se e só se para qualquer subconjunto nito X de A; um elemento maximal de X é máximo. 1.10 Conjuntos bem ordenados De nição 1.10.1 Seja B 6= ;. O conjunto totalmente ordenado (B; <) é bem ordenado (c.b.o.) se qualquer seu subconjunto não vazio tem elemento mínimo. [8X B; X 6= ;; X tem elemento mínimo ou 1 o elemento] Exemplos 1.10.2 1. (N; <) é c.b.o. 2. (N; ) em que xy, xjy; não é c.b.o. 3. (Q; <) não é c.b.o. 8 >< x; y pares e x < y: 4. (N; 2 ) em que x 2 y, x; y ímpares e x < y: é um c.b.o. >: x ímpar e y par. 8 x; y múltiplos de 3 e x < y: >< x; y (múltiplos de 3)+1 e x < y: 5. (N; 3 ) em que x 3 y, x (múltiplos de 3)+2 e x < y: é um c.b.o. >: x (múltiplo de 3)+1 e y (múltiplo de 3)+2 x (múltiplo de 3)+2 e y múltiplo de 3

15 Observações 1.10.3 1. Todo o subconjunto diferente de vazio de um c.b.o. é bem ordenado para a relação induzida. 2. Todo o conjunto totalmente ordenado nito é bem ordenado. 3. O dual de um conjunto bem ordenado pode não ser bem ordenado (basta pensar em (N; <)). Proposição 1.10.4 Seja (B; <) c.b.o. e x 2 B: Se x não é máximo existe um e um só y 2 B tal que x y: De nição 1.10.5 Seja (B; <) c.b.o. (i) y diz-se sucessor de x se y x: (ii) l diz-se elemento limite do c.b.o. se l não é mínimo nem sucessor. Exemplos 1.10.6 1. Em (N; <) não há elementos limites. 2. Em (N; 2 ) (Exemplo 1.10.2-4), 2 é elemento limite - não é primeiro elemento nem é sucessor. 3. Em (N; 3 ) (Exemplo 1.10.2-5), 2 e 3 são elementos limites. Exercício 1.10.7 Seja ' de (A; <) para (A 0 ; < 0 ) um isomor smo de conjuntos totalmente ordenados. Mostre que: (a) Se (A; <) é c.b.o.,então (A 0 ; < 0 ) também é c.b.o.. (b) Se l é elemento limite, então ' (l) também é elemento limite. (c) Se y é sucessor de x então ' (y) é sucessor de ' (x) : (d) Se x é mínimo de A então ' (x) é mínimo de A 0 :

16 Proposição 1.10.8 Seja (B; <) um c.b.o.. Os ideais próprios de B sãio os conjuntos B x = fy 2 B : y < xg ; x 2 B: Corolário 1.10.9 Seja (B; <) um c.b.o..o conjunto dos ideais próprios de B é um conjunto bem ordenado para a relação de inclusão, é ideal do conjunto bem ordenado de todos os ideais de B e é isomorfo a B: Teorema 1.10.10 (Primeiro teorema de indução trans nita) Seja B um c.b.o. e seja X B satisfazendo 1) O primeiro elemento de B pertence a X: 2) Se b 2 X, então sucb 2 X: 3) Se l é elemento limite e B l X então l 2 X: Então X = B: Nota 1.10.11 Traduzindo o teorema para (N; <) obtemos o princípio de indução usual. (em N não há elementos limite): Se X N é tal que 1) 1 2 X 2) n 2 X ) n + 1 2 X então X = N. Teorema 1.10.12 (Segundo teorema de indução trans nita) Seja B um c.b.o. e seja X B satisfazendo B x X ) x 2 X Então X = B: Teorema 1.10.13 Um c.b.o. B não pode ser isomorfo a nenhum dos seus ideais próprios. [Se I é ideal de B e se ' : B! I é um isomor smo, então B = I] Corolário 1.10.14 Entre dois conjuntos bem ordenados existe no máximo um isomor smo.

17 Teorema 1.10.15 Dados dois conjuntos bem ordenados, 8um é sempre isomorfo a um ideal do outro. [Dados B e B 0 c.b.o. então ou B >< B = B 0 >: = Bx 0 ou B x = B 0 Teorema 1.10.16 Qualquer família fb g 2 de conjuntos bem ordenados não isomorfos admite uma relação de boa ordem da seguinte forma: B < B 0, B isomorfo a um ideal próprio de B 0: Teorema 1.10.17 (Teorema da Boa Ordenação) Em todo o conjunto não vazio existe uma relação de boa ordem (ou "Todo o conjunto não vazio pode ser bem ordenado"). Observações 1.10.18 1. O Teorema da Boa Ordenação é equivalente ao Lema de Zorn e aos outros enunciados dados. 2. Dada uma família de conjuntos não equipotentes o Teorema da Boa Ordenação garante a existência de uma boa ordenação, mas não nos diz como deve ser considerada.

Capítulo 2 Conceitos gerais em reticulados 2.1 De nição e propriedades básicas De nição 2.1.1 (a) Um conjunto parcialmente ordenado no qual cada par de elementos tem ín mo (supremo) designa-se por inf-semireticulado (sup-semireticulado) De nição 2.1.2 (b) Reticulado é um c.p.o. no qual cada par de elementos tem ín mo e supremo. Exemplos 2.1.3 1. Sendo A um conjunto, (P (A) ; ) é um reticulado: inf (X; Y ) = X \ Y sup (X; Y ) = X [ Y 2. Sendo G um grupo e S (G) o conjunto dos seus subgrupos, (S (G) ; ) é um reticulado: inf (G 0 ; G 00 ) = G 0 \ G 00 sup (G 0 ; G 00 ) = hg 0 [ G 00 i 3. Qualquer conjunto totalmente ordenado é reticulado e, portanto, qualquer conjunto bem ordenado também é reticulado: Dados x e y; (i) x < y ou (ii) y < x: Se (i), inf (x; y) = x e sup (x; y) = y: 18

19 4. Reticulados com menos de 6 elementos: Exercício 2.1.4 Construir diagramas de todos os inf-semireticulados com menos de 6 elementos. Observações 2.1.5 1. O conjunto parcialmente ordenado dual de um reticulado é ainda um reticulado. 2. O conjunto parcialmente ordenado dual de um inf-semireticulado (supsemireticulado) é um sup-semireticulado (inf-semireticulado). 3. Princípio de dualidade para reticulados: Se na teoria de reticulados é válido um teorema também é válido o teorema dual. 4. Cada par de elementos de um reticulado R tem um e um só ín mo e um e só supremo. O cálculo do ín mo e do supremo de nem assim operações em R; para as quais se utilizam respectivamente os símbolos ^ e _. Designamos inf fx; yg por x ^ y e sup fx; yg por x _ y.

20 5. Um inf-semireticulado R designa-se por R^ e um sup-semireticulado R por R _ : As proposições seguintes estabelecem algumas das propriedades das operações ^ e _: Proposição 2.1.6 Dado um inf-semireticulado R^ tem-se, 8x; y; z 2 R^: 1) x ^ x = x (idempotência) 2) x ^ y = y ^ x (comutividade) 3) x ^ (y ^ z) = (x ^ y) ^ z (associatividade) Proposição 2.1.7 (dual da anterior) Dado um sup-semireticulado R _ temse, 8x; y; z 2 R _ : 1 ) x _ x = x (idempotência) 2 ) x _ y = y _ x (comutividade) 3 ) x _ (y _ z) = (x _ y) _ z (associatividade) Proposição 2.1.8 Se R é um reticulado tem-se, 8x; y; z 2 R : 1), 2), 3), 1 ), 2 ), 3 ) ) e ainda 4) (x ^ y) _ x = x Leis de absorção. 4 ) (x _ y) ^ x = x Proposição 2.1.9 Seja (S; ) um semi-grupo abeliano e idempotente. De nindo, 8x; y 2 S, a relação x y, x y = x; ca de nida em S uma r.o.p. e (S; 0 ) é um inf-semireticulado, em que inf fx; yg = x y: Proposição 2.1.10 Seja (S; ) um semi-grupo abeliano e idempotente. De nindo, 8x; y 2 S, a relação x 0 y, x y = y; ca de nida em S uma r.o.p. e (S; 0 ) é um sup-semireticulado, em que sup fx; yg = x y: Observações 2.1.11 1. e 0 de nidas nas proposições anteriores são relações duais, uma vez que x 0 y, x y = y, y x = y, y x: 2. (S; 0 ) é c.p.o. dual de (S; ) :

21 3. A proposição 2.1.10 é dual da proposição 2.1.9, pelo que basta demonstrar uma delas. Proposição 2.1.12 Seja (S; ^; _) um sistema algébrico com duas operações binárias tais que, 8x; y; z 2 R; R 1 ) x ^ y = y ^ x R 2 ) x ^ (y ^ z) = (x ^ y) ^ z R 3 ) (x ^ y) _ x = x R 0 1) x _ y = y _ x R 0 2) x _ (y _ z) = (x _ y) _ z R 0 3) (x _ y) ^ x = x então a relação de nida em S por x y, x ^ y = x ou por x _ y = y é uma relação de ordem parcial e (S; ) é um reticulado em que inf fx; yg = x ^ y e sup fx; yg = x _ y: Nota 2.1.13 Pode-se colocar o problema da independência das condições (R 1 ; R 2 ; R 3 ) e (R1; 0 R2; 0 R3) 0 : Vamos encontrar modelos em que se veri quem duas delas e não se veri que a terceira: 1. Válidas a comutatividade e a associatividade mas não a idempotência: x y x x x y x x y y 6= y 2. Válidas a idempotência e a associatividade mas não a comutatividade: x y x x x y y y x y 6= y x 3. Válidas a idempotência e a comutatividade mas não a associatividade: x y z u x x u z u y u y z u x (y z) 6= (x y) z z z z z u u u u u u

2.2 Subconjuntos especiais de inf-semireticulados, sup-semireticulado, reticulado. Vão-se rever os conceitos dados para c.p.o. e ver se há ou não necessidade de alteração: Subconjunto convexo - a de nição mantém-se. Intervalos (abertoss e fechados) - as de nições mantêm-se. Semi-ideais - a de nição mantém-se. Semi- ltros - a de nição mantém-se. Ideais - a de nição pode ser precisada no caso de ser sup-semireticulado e reticulado e ca: ( 1) Semi-ideal I é ideal se 2) x; y 2 I ) x _ y 2 I Filtros - a de nição pode ser precisada no caso de ser inf-semireticulado e reticulado e ca: ( 1) Semi- ltro F é ltro se 2) x; y 2 I ) x ^ y 2 I Proposição 2.2.1 Num sup-semireticulado, a intersecção de dois ltros ou de dois semi- ltros nunca é vazia. Proposição 2.2.2 Num inf-semireticulado, a intersecção de dois ideais ou de dois semi-ideais nunca é vazia. Observações 2.2.3 1. Num reticulado a intersecção de dois semi-ideiais ou de dois semi- ltros é sempre diferente de vazio. Daqui se conclui que a intersecção de famílias nitas de semi-ideais ou semi- ltros é diferente de vazia. 2. A observação anterior não se aplica a família in nitas:]0; 1[ é um reticulado e \ (x] = ;: x2]0;1[ 22

23 De nição 2.2.4 Um subreticulado é uma parte de um reticulado que é fechada para as operações de ^ e _: (de nição como estrutura algébrica). De nição 2.2.5 Seja (R; ) um reticulado. R 0 R é um subreticulado se (R 0 ; R 0) é um reticulado e se sup R 0 fx; yg = sup R fx; yg e inf R 0 fx; yg = inf R fx; yg : (de nição como estrutura ordenada). De nição 2.2.6 Seja R _ um sup-semireticulado. S R _ ; S 6= ;; é um subsup-semireticulado se x; y 2 S ) x _ y 2 S: De nição 2.2.7 Seja R^ um inf-semireticulado. S R^; S 6= ;; é um subinf-semireticulado se x; y 2 S ) x ^ y 2 S: Exercícios 2.2.8 1. Seja R _ um sup-semireticulado com a de nição de estrutura ordenada. Mostre que S R _ é um sub-sup-semireticulado se e só se 8x; y 2 S; x _ S y = x _ y: 2. Exercício análogo para subinf-semireticulado. 3. Exercício análogo para subreticulado. Exemplo 2.2.9 R s 5 S s 7 s 8 s 5 s 3 s 4 s 6 s 3 s 4 s 1 s 2 s 1 s 2 Parte de um sup-semireticulado que é também sup-semireticulado mas que não é subsup-semireticulado. De facto, S _ R _ ; mas sup S (s 1 ; s 2 ) = s 5, mas sup R (s 1 ; s 2 ) = s 6 :

24 Observações 2.2.10 1. Se R _ é um sup-semireticulado \ e fs g _ 2 é uma família de sub-supsemireticulados, pode ser vazia, mas se for diferente de vazio 2 S _ então é um subsup-semireticulado. 2. A observação anterior também se aplica a inf-semireticulados e a reticulados. 3. Pode-se, portanto, falar no sub-sup-semireticulado (sub-inf-semireticulado, reticulado) gerado por um conjunto de elementos X, que se designa por hxi : Exercícios 2.2.11 1. Veri car quais dos subconjuntos especiais de nidos para um reticulado são sub-reticulados. 2. De nem-se no conjunto I (R) dos ideais de um reticulado as seguintes operações: ) I 1 ^ I 2 = fi 1 ^ i 2 2 R : i 1 2 I 1 ; i 2 2 I 2 g 8I 1 ; I 2 2 I (R) : I 1 _ I 2 = fi 2 R : i i 1 ^ i 2 ; i 1 2 I 1 ; i 2 2 I 2 g Mostre que (I (R) ; ^; _) é um reticulado. 3. Mostrar que o conjunto I p (R) = f(a] : a 2 Rg dos ideais principais de um reticulado é subreticulado de I (R) em que (a] ^ (b] = (a ^ b] e (a] _ (b] = (a _ b] : 4. Resolva questões análogas para o conjunto dos ltros de um reticulado e dos ltros principais. 2.3 Mor smos de reticulados De nição 2.3.1 (a) Sejam R _ e R 1 _ sup-semireticulados. Uma aplicação ' : R _! R 1 _ é um mor smo de sup-semireticulados se ' (x _ y) = ' (x)_' (y) ; 8x; y 2 R _ :

25 (b) Sejam R^ e R^1 inf-semireticulados. Uma aplicação ' : R^! R^1 é um mor smo de inf-semireticulados se ' (x ^ y) = ' (x) ^ ' (y) ; 8x; y 2 R^ (c) Sejam R e R 1 reticulados. Uma aplicação ' : R! R 1 é um mor smo de reticulados se ' (x _ y) = ' (x) _ ' (y) e ' (x ^ y) = ' (x) ^ ' (y) ; 8x; y 2 R _ Proposição 2.3.2 Se ' é um mor smo de sup-semireticulados (inf-semireticulados, reticulados) então ' é uma aplicação isótona. Nota 2.3.3 Se ' : R _! R 1 _ é uma aplicação isótona, não tem de ser um mor smo de sup-semireticulados: c ϕ 1 a b 0 R R 1 a _ b = c ' (a _ b) = 1e' (a) _ ' (b) = 0 Proposição 2.3.4 Seja ' : R _! R 1 _ um mor smo de sup-semireticulados e sejam a 1 ; b 1 2 ' (R _ ) ; a 1 b 1 : Então existem a; b 2 R _ ; a b; tais que ' (a) = a 1 e ' (b) = b 1 : Proposição 2.3.5 Dual da anterior. Proposição 2.3.6 Para reticulados. Proposição 2.3.7 Seja ' : R _! R 1 _ uma aplicação. Então ' é isomor- smo de conjuntos parcialmente ordenados se e só se ' é isomor smo de sup-semireticulados.

26 Exercícios 2.3.8 1. Seja ' : R _! R _ 1 um mor smo de sup-semireticulados. (a) Estudar as imagens por meio de ' dos subconjuntos especiais de R _ : (b) Fazer o mesmo estudo no caso de ' ser epimor smo. 2. Seja R um reticulado. Mostre que (a) Se I é um ideal de R e F um ltro de R; então I \ F ou é vazio ou é um subreticulado convexo. (b) Mostre que cada subreticulado convexo de R é intersecção, de um modo único, de um ideal com um ltro. 3. Seja fr g _ 2 uma família de sup-semireticulados. 2.4 Semireticulados e reticulados completos De nição 2.4.1 (a) Um inf-semireticulado completo (sup-semireticulado completo) é um conjunto parcialmente ordenado no qual existe ín mo (supremo) de cada subconjunto não vazio de elementos. (b) Reticulado completo é um c.p.o. no qual existe ín mo e supremo de cada subconjunto não vazio de elementos. Observações 2.4.2 1. Um sup-semireticulado completo tem elemento 1, que é o supremo de todo o conjunto. 2. Um inf-semireticulado completo tem elemento 0, que é o ín mo de todo o conjunto. 3. Um reticulado completo tem elementos 0 e 1.

27 Proposição 2.4.3 Um c.p.o. R no qual existe supremo (ín mo) de cada subconjunto não vazio e no qual existe elemento 0 (elemento 1) é um reticulado completo. Exemplos 2.4.4 1. (N; j) é inf-semireticulado completo. O elemento 0 é 1: 2. (N 0 ; j) é reticulado completo. O elemento 1 é 0: 3. Sendo X um conjunto, (P (X) ; ) é um reticulado completo. 4. (R; ) não é reticulado completo (não tem 0 nem 1). 5. R; ; onde R = R [ f 1; +1g é reticulado completo. 6. Q; ; onde Q = Q [ f 1; +1g não é reticulado completo (por exemplo, 1; p 2 não tem supremo em Q). 7. Sendo G um grupo, (S (G) ; ) (S (G) conjunto dos subgrupos de G) é reticulado completo. (É inf-completo pois a intersecção de qualquer família de subgrupos é subgrupo e tem elemento 1; que é o grupo G). 8. Sendo G um grupo, (N (G) ; ) (N (G) conjunto dos subgrupos normais de G) é reticulado completo. (É inf-completo pois a intersecção de qualquer família de subgrupos normais é subgrupo normal e tem elemento 1; que é o grupo G). 9. Sendo V um espaço vectorial (S (V ) ; ) ; em que S (V ) é o conjunto dos subespaços vectoriais de V; é reticulado completo. (É inf-completo pois a intersecção de qualquer família de subespaços vectoriais é subespaço vectorial e tem elemento 1; que é o espaço V ): 10. Sendo A um anel, (S (A) ; ) (S (A) conjunto dos subanéis de A) é reticulado completo. (É inf-completo pois a intersecção de qualquer família de subanéis é subanel e tem elemento 1; que é o anel A). 11. Sendo A um anel, (I (A) ; ) (I (A) conjunto dos subanéis de A) é reticulado completo. (É inf-completo pois a intersecção de qualquer família de ideais é ideal e tem elemento 1; que é o anel A).

28 12. Sendo T um espaço topológico, (F (T ) ; ) 2.5 Reticulados distributivos Proposição 2.5.1 Seja R um reticulado. São equivalentes as seguintes condições: D 1 ) 8a; b; c 2 R; a ^ (b _ c) = (a ^ b) _ (a ^ c) : D 2 ) 8a; b; c 2 R; a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ (a _ c) : D 3 ) 8a; b; c 2 R; (a ^ b) _ (b ^ c) _ (a ^ c) = (a _ b) ^ (b _ c) ^ (a _ c) : D 4 ) 8a; b; c 2 R; a ^ (b _ c) a _ (b ^ c) : D 5 ) R não contém nenhum subreticulado isomorfo a D 6 ) 8a; b; c 2 R; ou a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c ) ) a = b: D 7 ) 8a; b 2 R; se x 2 [a; b] então existe no máximo um complemento relativo de x no intervalo [a; b] : De nição 2.5.2 Um reticulado é distributivo se satisfaz alguma das condições da proposição anterior. Exemplos 2.5.3 ((Reticulados distributivos)) 1. Todos os reticulados com menos de seis elementos excepto os referidos na condição D 5 : 2. Sendo X um conjunto, o reticulado (P (X) ; ) :

29 Nota 2.5.4 Da de nição conclui-se facilmente que o reticulado dual de um reticulado distributivio é distributivo, pelo que se pode enunciar um princípio de dualidade para reticulados distributivos. Exercícios 2.5.5 1. Cada subreticulado de um reticulado distributivo é também reticulado distributivo. 2. Cada imagem epimorfa de um reticulado distributivo é um reticulado distributivo. 3. Um produto directo de reticulados é um reticulado distributivo se e só se cada factor for um reticulado distributivo. Proposição 2.5.6 Um reticulado R é distributivo se e só se o reticulado dos seus ideais I (R) (dos seus ltros F (R)) é distributivo. Proposição 2.5.7 Seja R um reticulado distributivo. Se P é um ideal ( ltro) maximal então P é um ideal ( ltro) primo.