Introdução à Óptica (4300327) Prof. Adriano Mesquita Alencar Dep. Física Geral Instituto de Física da USP B02 Equação de Onda 1
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Luz propaga-se na forma de ondas. No espaço, as ondas de luz viajam com uma velocidade constante, c0 = 3,0 x 10 8 m/s Frequências e comprimentos de onda ópticos. A região do infravermelho (IR) do espectro compreende o infravermelho próximo (NIR), infravermelho médio (MIR), e de infravermelhos distante (FIR). Enquanto a região ultravioleta (UV) compreende o ultravioleta próximo (NUV), ultravioleta médio (MUV), ultravioleta distante (FUV) e ultravioleta extrema (EUV ou XUV). Radiação na banda EUV também é conhecida como raios-x soft (SXR). O ultravioleta de vácuo (VUV) consiste nas bandas FUV e EUV. As regiões do infravermelho, visível e ultravioleta são todos chamados de óptica, uma vez que fazem uso de componentes similares (por exemplo, lentes e espelhos). 3
Postulados da Optica Ondulatória A luz propaga-se na forma de ondas. No espaço livre, as ondas de luz viajam com velocidade c0. Uma forma homogénea transparente tal como o vidro é caracterizado por uma única constante, o seu índice de refração n (> 1). Em um meio de índice de refração n, ondas de luz viajam com uma velocidade reduzida. Uma onda óptica é descrito matematicamente por uma função real de posição r(x, y, z) e o tempo t, denotada f(r, t) e conhecida como a função de onda. Ela satisfaz uma equação diferencial parcial chamada de equação de onda (que veremos agora) 4
Movimento de Ondas Existem dois tipos de ondas: longitudinais e transversais. Quando uma onda se desloca, a energia move-se ao longo de uma onda, mas não há circulação de partículas ao longo da mesma. Partículas apenas se mover para trás e para a frente (da onda longitudinal) ou para cima e para baixo (ondas transversais) sobre um ponto fixo. Pense em uma onda mexicana em um estádio de futebol - os espectadores mover para cima e para baixo sobre um ponto fixo (cadeira) e da onda pode ser visto para viajar ao redor do estádio. 5
Equação de Onda A equação de onda é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem para a descrição de ondas, como ocorre na física por exemplo em: ondas sonoras, as ondas de luz e ondas de água. Levanta-se em áreas como acústica, eletromagnetismo, e dinâmica de fluidos. Uma vez que a perturbação esta se movendo, a função de onda deve ser em função de ambos, posição e tempo. (x, t) =f(x, t) 6
Equação de Onda Pulso caminhando no tempo (x, t) t=0 = f(x, 0) = f(x) 7
Equação de Onda Fazendo t=0, ou t=constante, equivale a fotografia de um dado instante. Após um dado instante, o pulso moveu uma distancia vt no eixo x, mas em todos os outros aspectos, a função permanece a mesma. Introduzindo um sistema de coordenadas S que se move com o pulso a uma velocidade v: = f(x 0 ) x 0 = x vt (x, t) =f(x vt) 8
= f(x + vt) se a onda viaja na direção negativa de x 9
Equação de Onda Diferencial Em 1747 Jean Le Rond d'alembert introduziu equações diferenciais parciais para o tratamento matemático da física. Nesse mesmo ano, ele escreveu um artigo sobre o movimento de cordas vibrantes em que a chamou de equação de onda diferencial Mantendo t constante @ @x = @f @x 0 10
Equação de Onda Diferencial @ @x = @f @x 0 Mantendo t constante Eq(A04.11.1) @ @t = v @f @x 0 Mantendo x constante Eq(A04.11.2) Combinando as duas: @ @t = v @ @x 11
Equação de Onda Diferencial A segunda derivada parcial da Eq(A04.11.1), @ 2 @x 2 = @2 f @x 0 2 A segunda derivada parcial da Eq(A04.11.2), @ 2 @t 2 Uma vez que: = @ v @f @t @x 0 = v @ @f @x 0 @t @ @t = @f @t @ @ Eq(A04.12.1) @ 2 @t 2 @x = @f @x 0 @t = v @f @x 0 = v @ @x 0 @ @t 12
Equação de Onda Diferencial @ 2 @t 2 = v2 @2 f @x 0 2 Substituindo Eq(A04.9.1), na Eq. acima, e reorganizando: @ 2 @x 2 = 1 @ 2 v 2 @t 2 Essa é a equação de onda diferencial em uma dimensão 13
Ondas Harmonicas A -> Amplitude k -> Numero de propagação Substituindo x por x-vt 14
Ondas Harmonicas O período espacial é conhecido como comprimento de onda e é denotado por λ. Em ótica, costumeiramente λ é dado em nanometros. Um aumento ou decremento em x por λ deve manter ψ inalterado No caso de ondas harmonicas, é equivalente a alterar o argumento por 2π Ou seja: 15
Ondas Harmonicas De forma analoga, o periodo temporal τ Ou seja: 16
Definindo a freqüência temporal, angular e o número de onda: Podemos escrever uma onda harmônica das seguintes formas: 17
Velocidade de Fase Examinando uma função harmônica: O argumento do seno é a fase da onda, Que obviamente é um caso especial. Um caso mais geral pode ser escrito adicionando uma fase inicial ε: 18
Velocidade de Fase essas duas equações podem ser usadas, lembrando da teoria de derivadas parciais: 19
Velocidade de Fase Considerando a ideia de propagação a fase constante: Se t aumenta, x deve aumentar, para manter a fase constante. 20