3 Geometria analítica no plano

Geometria analítica no plano.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano Atividade de diagnóstico Pág... A(, ), B(, ), C(, ), D(, ), E(, ), F(, ), G(, ).. Não pertencem a qualquer quadrante os pontos A, B, C, D e E... Os pontos R, P e Q pertencem aos.º,.º e.º quadrantes, respetivamente... F(, ), F, a) F b).. F (, ).. (, ) e (, ) m.. (, ) e (, ) m +.. (, ) e (, ) ( ) m.., e, 8 8 6 m 9. t: x + x u: x + x Pág.. Reta r: Sejam os pontos (, ) e (, ). r: mx+ b........ m ; b r: x + Reta s: Sejam os pontos (, ) e (, ). s: mx+ b m ; b s: x + Assim: r: x+ ; s: x+ ; t: x e u: x 7 x x ( x ) x x x S x x 8 {(, 8) } x+ x x x x x 8 S, 8 ( x ) x + x x+ + + ( 6) ( 6) 6 6 S 6x 9+ 6x+ 8 9 8 + x+ x+ 8 9 6x 6x x+ 9 6x 6 x x {(, ) } x x x x x + x x x 6 + + x 7 x x + 6 x 7 S,

.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano 6.. 6.. 6.. x 6x x 6x+ 9 + 9 ( x ) x x x x S {, } x x 6 x x + 6 x x x x x S {, } x x+ x x + 9 9 x x+ + 6 6 9 x + 8 x 8 x 6 x x x x S, Atividade inicial.. d( F C ), + 9.. d( F B ), +.. d( C E ), + Pág... A(, ), B(, ), C(, ), D(, ), E(, ) e F(, ),,, D,,.. a) A, B, C, E (, ) e F (, ) b) A (, ), B (, ), C (, ), D (, ), E (, ) e F (, ).. x, a) x > > x> < x> < b) x < < x< > x< >. Sejam os pontos A(, ) e B(, ). AB + + 9 d A, B.. Sejam os pontos A(, ) e B(, ). d A, B + + 6+ 9.. Sejam os pontos A(, ) e B(, ). d A, B + + 6+ 6.. Sejam os pontos A(, ) e B(, ). d A, B + + + 6 68 7 7. M(, ) ; A(, ) e R(, ) d M, A + + 6+.. a) d A, R + + + 6 b) d M, R + + 6+ 6 c) 6.. O triângulo [MAR] é isósceles, porque d M, A d A, R d M, R. Pág. Pág. P(, 6) e Q(, ) ou R (, ) e S (, ). A, B, C e D, Pág.

.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano +.... +,.. 7 7.. Pág. 7. Sejam os pontos A(, ); B(, ); C(, ) e D(, )..., +,.., (, ) +.., (, ).. + 7,, 6. Sejam os pontos A(, ), M, e B x,. 6.. a) Seja N, é o ponto médio de [AB]. N,. x + +,, x + x + x Logo, B (, ). C x,. b) Seja M, é o ponto médio de [AC]. x + +,, x + x + 8 x 6 Logo, C (, 6). 6.. Sejam os pontos A(, ), B(, ) e C(, 6). AB + 9+ AC + 6 9+ 6 BC + 6 6 6 Perímetro de [ABC] 6+ + + O perímetro do triângulo [ABC] é +. 7.. Sejam os pontos A(, ), B(, ) e P(x, ). Pág. 9 (, ) (, ) d P A d P B ( x ) ( ) ( x ) ( ) + + + + + + x + x+ x + x + x x Mediatriz de [AB]: x 7.. Sejam os pontos B(, ), C(, ) e P(x, ). d P, B d P, C ( x ) ( ) ( x ) ( ) + + + + x + x+ + + + x + 6x+ 9+ 8+ 6 x+ x + Mediatriz de [BC]: x + 7.. A(, ), C(, ) ; P(x, ) d P, A d P, C 8.. ( x ) ( ) ( x ) ( ) + + + + + x + x+ + + + x + 6x+ 9+ 8+ 6 x+ x + Mediatriz de [AC]: x + x + 8.. ( x ) ( ) + 8.. ( x ) ( ) + + 8.. x+ + π 9.. ( x ) ( ) + + C (, ), r 9.. ( x ) ( ) (, ) r + + C, 9.. x ( ) + C(, ) ; r 9.. + C, ; r x + π 9.. C, ; r π. ( x ) ( ) + + x x+ + + 6+ 9 x + x+ 6+ 9 Pág. 6

.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano.. x + + x+ 8 8 ( x x ) ( ) Pág. 6 + + + + 8 + 6 6 8 ( x ) ( ) + + + 9 Circunferência de centro (, ) e raio 7.. x + x x + x x x + + + x Circunferência de centro, e raio.. x + x+ + ( x x ) ( ) 9 + + + + ( x ) ( ) + A condição é impossível, pelo que define o conjunto vazio... x + 6x+ + ( x x ) ( ) 6 + 9 9+ + + + ( x ) ( ) + + A condição define o ponto de coordenadas (, ).. Por observação da figura: c e b. a + a> a 9+ Assim: (, ), (, ) A B.. Por observação da figura: a, c e a > b. a b + c b> 9 b + b 8 b 8 b Equação da elipse: + 9 8 Vértices: A(, ), B(, ), (, ) Focos: F ( ) e F,, C e D (, ).. Por observação da figura: b 6, c e b > a. b a + c 6 + 6 6 Pág. 6 Pág. 6 a a a ; b 6 Como a 6 e b 6, então, a equação da elipse é: + 6 6 a 6 ; b 6 6 Vértices: A(, ), B(, ), C(, 6) e D(, 6) Focos: (, ) e (, ).. Por observação da figura: a > b e c a b + c ; a b +9.... + + a b b + 9 b 7 Como P, pertence à elipse, vem: 7 9 9 + 9b + ( b + 9) b ( b + 9) b + 9 b 6 b + 9b + b + b 6b 9b 9± 9 + 6 b 9± 7 b b 7 b 6 b 7 a b + 9 7+ 9 6 6 Equação da elipse: + 6 7 a 6 ; b 7 Vértices: A(, ), B(, ), C(, 7 ) e D(, 7 ) Focos: F ( ) e F, x, x + + + a e b ; a > b a b + c + c c ; a e b Vértices: A(, ), B(, ), C(, ) e D(, ) Distância focal: c x + 6 6 x 6 + 6 6 + 6 a> a 6 a ; a > b ; a b + c c> b> b b 6 + c c c Vértices: A(, ), B(, ), C(, ) e D(, ) Distância focal:.. 6x + 6 + 9 a> a 9 a ; b > a ; b a + c b> b b 9+ c c c c Vértices: A(, ), B(, ), C(, ), D(, ) Distância focal: 6 Pág. 6

.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano. a a Considerando um referencial adequado, temos: x + b Neste referencial, o ponto P( ;,8) pertence à elipse. Então: (,8) 76 6 7,8 6 6 + b b + b b> 9b 9 b b O pavilhão tem uma altura máxima de m. Atividades complementares 6.. A, B d A, B 7 6.. A e B 7 d A, B 7 6.. A, B d( A, B ), 7.. d( A B ), + 7 7.. d( B D ), + 6+ 7.. d( C D ), 6 + 6+ 7 7.. d( C B ), + 8.. Sejam A(, ) e B(, ). d A, B + + + 9 8.. Sejam A, e B,. 6+ 9 d( A, B ) + + 9 6 9 6 8.. Sejam A, 8 eb, ;. d( A, B ), + 8 76 + + 69 76 69+ 7 7 + 8, 9.. A(, ), B(, ), C(, 8) Pág. 67 d A, B + 6+ d A, C + + 8 + 6 d B, C + + 8 6+ 6 8 ( ) + ( ) ( ) 6 8 8 P [ ] + + + ABC 9.. O triângulo [ABC] é retângulo e isósceles.. Sejam os pontos A(, ), B(, 6) e C(, )... AB + 6 9+ 9 8 AC + + + 9+ 9 8 BC + + 6+ 6+ 6 9 9 AB AC BC 9 8 O triângulo [ABC] é isósceles... AC AB BC ( 8) ( 8) + + 8 6 BC 9 9 6 Como AC + AB BC, então o triângulo [ABC] é retângulo em A. 8 8 A [ ] 9 ABC Logo, a área do triângulo [ABC] é 9 cm.. Sejam os pontos A(, ) e B(, ). A,.. a) b) B (, ).. a) d( A B ), + + 6+ 69, b) d( A A ) c) d( B B ) + ( ), d A, B + + + 6+ 69 d) 8.. Sejam os pontosa e B. +.. Sejam os pontos A e B. +.. Sejam os pontos A e 6 7 7 6 B.. Sejam os pontos A(, ), B(, ) e C(, ). +, + M ; M, + N, ; N, + R, ; R, Pág. 68

.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano. Sejam os pontos A(, ),.. N, e M,. (, ) (, ) d P A d P B x + x + + 8 6 x + + x x+ + + + 9 8 6 x + 9 6 x 9 6 x 9.. a) Seja B(x, ). x+ + x+ +,, x+ + 6 x Assim, B(, ). Seja C(x, ). x +, + x+ +, x+ + x Assim, C(, ). Seja P o ponto médio de [EC]. + P,, pelo quep,. b) P é o ponto médio de [AD] dado que as diagonais de um paralelogramo se bissetam. Seja D(x, ). x +, + x+ +, x+ + x D (, ). Por observação da figura: A(, ), D(, ), B(, ) e C(, ). + Mediatriz de [AD] e de [BC]: x x Mediatriz de [AB] e de [DO]: 6. SejamM,, A(, ) e B(x, ). x +, + +, x + 6 x x Assim, B, Seja P(x, ) um ponto da mediatriz de [AB]. x 7. Sejam os pontos A(, ), B(, 6) e C(, ). 6 7.. a) Mediatriz de [AB]: b) Mediatriz de [BC]: Seja P(x, ) um ponto da mediatriz de [BC] d P, B d P, C ( x ) ( 6) ( x ) ( ) + + + x 6x+ 9+ + + 6 x + 8+ 6 6x + 6 6 9 6x 9 6 9 x 9 x A equação reduzida da mediatriz de [BC] é: 9 x 7.. a) Ponto de interseção das mediatrizes de [AB] e de [BC]: 9 9 x x 6x 9 6x 9 x ( x, ), O centro da circunferência é o ponto D,. + b) r CD 9 + 9 9 O raio da circunferência é 9 c) A equação reduzida é. 9 x + +.

.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano 8. Sejam os pontos A(, ), B(, ) e P(x, )... r AB + + 6 Como r 6 e C(, ), então: ( x ) ( ) + 6 8.. AP BP ( x ) ( ) ( x ) ( ) + + + + x 6x+ 9+ 6+ 9 x + x+ + + + x x+ 8.. AP ( x ) ( ) + 8.. BP ( x ) ( ) + + + 9 9.. C ( ),, 9.. r, r e r 9.. Por exemplo: C : Para x : C, 7 e C, + + 9 + + A (, ) e B (, ) (, 7) e B (, 7) C : Para 7 : x + 7 7 x x A C: Para x : + + A, e B,. Sejam os pontos A(, ), B(, ) e C(, )... a) Ponto médio de [AB]: + + M,, logo M,. 6 Raio: r AM + + 6 r ; x + b) Ponto médio de [BC]: + + 9 N,, logo N,. 9 Raio: r BN + + r 9 x +... x+ + x + x+ + x + x+ + x + x+ + + + ( x x ) ( ) + + + + ( x ) ( ) + + Circunferência de centro (, ) e raio.. x + 6x+ + ( x x ) ( ) 6 + 9 9+ + + + ( x ) ( ) + + Pág. 69 É uma condição impossível, logo define o conjunto vazio... x + x+ x + x+ x x + + + x + A condição define o ponto de coordenadas,... O comprimento da corda é igual ao comprimento do eixo maior... a 6 a b, 6 b,8 Pretende-se determinar a distância focal (c). a b + c c>,8 + c c 9, c,76 c, c,,8 A distância entre as estacas é igual a,8 m.. Por observação da figura: a e b.. Por exemplo, A(, ), B(, ), C,.. b ; +, F, a e.. F e a 8 a ; c a > b (focos no eixo Ox) a b + c 6 b + 9 b 7 Equação da elipse: + 6 7 F,, F, (focos no eixo O).. b > a e D,.

.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano a 6 a c b a + c b + Equação da elipse:.. a e b a e b + 6.. 6x + 6 + 9 6x + 6 6 6 x + 6 Assim, a, b, tal que a > b. a b + c 6 6 c> 9 + c c c F, e F, 6.. 6,x +,76 6 7. 6,x,76 + 6 6 +,6,6 6,,76 +,76 6, c Assim, a,76 e b 6,, tal que b > a. b a + c c> 6,,76+ c c,9 c,7 F ( ) e F ;,7 ;,7 + 8 7 Assim, a 8 a 9 e b 7, tal que a > b. a b + c c> 8 7+ c c 9 c A(, ), B(9, ) AB 9 6 O ponto C tem abcissa igual à de A porque AC é perpendicular ao eixo Ox. C(, ) e C pertence à elipse, logo: 9 8 + 7 6 8 7 7 8 9 Como >, então 8. C(, 8) A altura do triângulo [ABC] é AC 8. AB AC 6 8 A [ ] ABC A área do triângulo [ABC] é. 8.. a) AB BC CD AD + EF FG GH HE + Pág. 7 Os quadriláteros são losangos porque têm os quatro lados iguais. b) DB EG e AC HF 6 A área de cada um dos losangos é 6 Os quadriláteros são equivalentes porque têm a mesma área. 8.. + 9 9.. A(, ), B(, ), C(, ), D(, ) AB BC CD AD + 7 AC BD + [ABCD] é um quadrado porque tem os lados iguais e as diagonais iguais. 9.. +, + M M, 9.. Seja P(x) um ponto da mediatriz de [BC]. d P, B d P, C ( x ) ( x ) ( ) + + x x+ + x 6x+ 9+ 8 + 6 8 x+ x+ 8.. Mediatriz do segmento de reta [AB].. Circunferência de centro A e raio.. Elipse de focos A e B e eixo maior igual a.. A reta de equação x e a reta AC são paralelas e intersetam as retas concorrentes BC e BA nos pontos M, M e A, C, respetivamente. Logo, pelo Teorema de Tales: BC BA BM BM BM + MC BM BM BM BM MC MC + + BM BM BM MC MC BM BM M BC e MC BM, então M é o ponto Como [ ] médio de [BC]. +.. M, M,. Sabe-se que: A(, ), T(, ), B(x, ) e ( x, ) (, ) TA TB (T pertence à mediatriz de [AB]) ( ) ( ) ( x ) ( ) + + + + + 6 x 6x+ 9+ + x + x 6 8. Sejam os pontos E(, ) e F (, ). BABM BC BM + MC Pág. 7

.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano.. Seja P(x, ) um ponto da mediatriz de [EF] d P, E d P, F ( x ) ( ) x ( ) a) + + + x + x+ + + x + 8+ 6 x+ 8 x + x+ x+ x x,, x+ x x.. x + b) ( x, ) (, ) k Se, k + pertence à mediatriz de [AB], então: + k k + k+ k+ k k.. C : x + + x 8 ( x x ) ( ) + + + + 8 ( x ) ( ) + + 8 C : x + 6 C x + + x : 6 ( x x ) + 6 + 9 9+ + + 9 Assim, A(, ), B(, ) e C(, )... O centro de C é o ponto B(, ). + + 8 9+ 9 8 (V) Logo, B C. + + 9 + 9 (V) Logo, B C... AC + + + 9 BC + + 9 AC BC. Logo, o triângulo [ABC] é isósceles... C(, ) ; r ( x ) ( ) +.. C(, ); r ( x ) ( ) + 9+ + +.. C(, ) ; r 6. ( x ) ( ) + + + 6 r 8 ( x x ) ( ) + + + 6 ( x ) ( ) + 8 7. 7.. Seja a o lado do quadrado. a + a ( r ) a r a r a 8 a 6 A área do quadrado é 6 unidades quadradas. Acírculo πr 8π Acolorida ( 8π 6) u. a. 6 k, k + R 6 k + x + 6+ 9 9 k x + k + 9 ] [ k+ 9> k > 9k 9, + 7.. Por 7.., o centro da circunferência é (, ). O raio terá de ser igual a, pelo que: k+ 9 k 7.. k 6 ; x + ; C(, ) ; r + 8 e Assim, x, x, 8e. 8. O comprimento do retângulo é igual a a e a largura é igual a b. PF + PF a 7 a b 7 b 7 Aretângulo b 6 a+ b + 6 6 Pretângulo O perímetro do retângulo é 6 cm. 6, F 6, e P(x, ). 9. Sejam os pontos F, d x+ + + x + 9.. ( 6) ( 6) d PF + PF Logo, d a. 9.. Seja a, c 6 e a > b. a b + c b + 6 b 6 Equação da elipse: + 6 Avaliação. Ponto B x ; B(, ) x x x Pág. 7

.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano Ponto A x+ x x ; A(, ) OAe OB AB + 6+ P [ ] + + 9+ OAB Resposta: (A). O centro da circunferência é um ponto C da forma C a, a, com a >.. r OC a a a + Equação da circunferência ( x a) ( a) ( a ) a + + a Para a, temos: ( x ) ( ) + + Resposta: (A) + 7 7 M ; Resposta: (D). PF + PF 8 a 8 a BF a Resposta: (B). x + + ; P(k, ) ( k ) ( k ) 7 M + + + ( k ) k Resposta: (A) 6. A mediatriz do segmento de reta [CD] interseta AB no ponto médio do segmento de reta [AB]. AB ; OA OB x, x > x + x x x x> x x A,, B, + + M,, Resposta: (B) 7. A afirmação (B) é falsa. Por exemplo, a circunferência de diâmetro [AB] da figura seguinte não passa em C. 8. Sejam os pontos A(, ), B(, ) e C(, ). 8.. Centro + M, ; M, Raio 9 r AM + + + x+ + Pág. 7 8.. Sejam A(, ), B(, ) e P(x, ) um ponto da mediatriz de [AB]. d P, A d P, B x + + + x + 6+ 9 x + 6x+ 9+ + 6x + x (Mediatriz de [AB]) Sejam A(, ), C(, ) e P(x, ) um ponto da mediatriz de [AC]. d P, A d P, C x + + x + 6+ 9 x 6x+ 9+ + 6x+ x (Mediatriz de [AC]) Centro da circunferência: x x x x x x D(, ) Raio da circunferência: r DA + Equação da circunferência: x ( ) + + 9. a a ; ; b 9 Adotando um referencial conveniente, a equação da semielipse é: + 8 A altura pedida é a ordenada do ponto de abcissa. ( ) A altura do túnel no ponto indicado é, aproximadamente,,9 m.. PF + PF ; a a C(, ), b a b + c C> C C 7 C 7 C + C.. a) A(, ) b) B(, ) c) D(, ).. +.. FF c Resposta: (B). Sejam os pontos A(, ), B(, ) e C(, ).

.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano.. Consideremos P(x, ) um ponto da mediatriz de [AB]. d P, A d P, B ( ) + ( + ) ( ) x + x x+ + + 8+ 6 x x+ + 8 6x + 8 x + + +..,.. C(, ), x + M ; M ( 6, ) + 6+ (V) Logo, o ponto C pertence à mediatriz de [AB]... Como C pertence à mediatriz de [AB], tem-se AC CB. Logo, o triângulo [ABC] é isósceles. + + 6+ 6 8.. AB 6 Como o triângulo [ABC] é isósceles, a altura relativa à base [AB] é CM. CM 6 + 9+ 6 9 A [ ] ABC A área do triângulo é u. a... A(7, ), B(, ), C(, ) 7 + 6+ 6.. AB BC + 9+ 6 7 + 8+.. AC Como AC AB+ BC, então os pontos A, B e C são colineares (se fossem vértices de um triângulo teria de ser AC< AB+ BC ). Logo, o ponto C pertence à reta AB... Sejam os pontos A(7, ), B(, ) e P(x, ) pertencente à mediatriz de [AB]. d P, A d P, B ( x 7) + ( ) ( x ) + ( ) x x+ 9+ 6 + 9 x x+ + + 6 x+ 6 x+.. a) Se D é equidistante de A e B, então pertence à mediatriz de [AB]. Como D pertence a O, então a sua abcissa é. D(, ) ; + D(, ) 7 + 9+ b) DA + c) Como D pertence à mediatriz de [AB], então DB DA r. Logo, D C. C é um ponto de reta AB e não pertence a C porque uma reta não pode intersetar uma circunferência em três pontos. 7+ + M, ; M, 7.. a).6. DM ( ) + ( 7 ) 6+ 9 ; D (, ) C : + b) DM é a mediatriz de [AB]. Logo, [DM] é perpendicular a AB. Como AB é perpendicular ao raio [DM] e interseta a circunferência em M, então AB é tangente à circunferência o ponto M. A A A π r π r π DA π DM π π π A área da coroa circular éπ u. a.

.. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano.. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano Pág. 7 Atividade inicial. a :V ; b :III ; c :VIII; d :II ; e:vi; f :IV; g :I ; h :VII. p: x + q: x + x r: x+ s: x x x x,,.. x x + x. Reta a (, ) e (, ) m ; b + a: x + Reta b (, ) e (, ) + m + x x b: x Reta c (, ) e (, ) m ; b c: x + Reta d (, ) e (, ) m ; b d: x +.. x > x.. x.. < x.. x x <.. x< x Pág. 76.. x + Pág. 77

.. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano < x >.. ( x ).. A(, ) e B(, ) m ; r: x x x Condição:.. x ( x ).. A( 6, ) e O(, ) m ; r: x 6 Condição: x x x x.6. x+ x x.7. x x x x+ x. Por exemplo:.. x + 6.. C (, ) e C (, ) r OC + r CC Condição: x + x +.. A(, ) e B(, ) m + r: x + C(, ) e D(, ) s: x Condição: x + > < x+ > x.. ( x ) ( x ) ( x ) 6.. x + 9 Pág. 8 Pág. 8 6... Por exemplo:.. A(, ) e O(, ) m ; r: x + Condição: x.. A(, ) e B(, ) m ; r: x + Condição: x+ x < Pág. 78

.. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano 7. A(, ) e B(, ) Reta AB: m + x + Condição: x+ x + 9 x < Atividades complementares 8. Por exemplo: 8.. < x 8.. x x 9.. Pág. 8.. < x.... x > x > 9.... < x x.. x + x.. x+ x...6. ( > x + ) ( > x )

.. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano. Por exemplo: ( x ) >.. Reta AB: A(, ) e B(, ) m AB: ( x ) x Condição: x x OB+ AC.. a) A[ ] OC + 6 6 OBAC A área do trapézio [OBAC] é 6 u. a. + 7 CD CA 7 b) A [ ODA] A área do triângulo [ODA] é 7 u. a... x + x x C(, ) r OC dado que.. + x + > 9 x> x + > x + > x> x + 9 x + x x + 9.. C (, ) e r ; Condição: C, e r x + x +.. C(, ) ; Reta r O(, ) e C(, ) m, logo x r OC + Reta s C(, ) e D(, 6) 6 m x, logo x + 6 Condição: x x+ 6 ( x ) + ( ) (( x ) ( ) ) + Pág. 8 ou x x+ 6 ( ) + ( ).. (, ) e (, ) m, logo r: x + + Condição: x x ( ) + + > 9.. x x ( ) x ( ).. + 9 + x + +.. + x x 9 6. C(, ) r OC + Circunferência: ( x ) ( ) + + + Ponto B x x ( x+ ) + ( + ) ( + ) 9 x + + x 6 Como <, temos B(, 6). Reta AB A(, ), B(, 6) 6 6 6 m ; x 6 Condição: 6 x+ + + > x 6 x

.. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano 7. Condição: + 9 ( ) + + x x a a ; a b + c, logo b b c> Assim, F (, ) e (, ) Reta FD: ( ) D F, e, m ; x + Reta DF F (, ) e D (, ) m ; x + + c c c F. Condição: + x+ x + 8. B(, ), D(, ), A(, ) Reta AB m ; x + Reta DE Ponto E x+ x+ x 6 E(6, ) 8.. BD DE 6 BD DE A π r 6 6 π r 9π A área da parte colorida é 8 u. a. 8.. Por exemplo: 9π 8 x x+ x + 9 9. Elipse: + a b b b ; a b + c a + 6 a 9 + 9 Circunferência: Centro: (, ) c 6 c 6 C ; raio: OC +.. Seja M o ponto médio de [AC]. M + 8, + 8 + 9 + M (, ) A proposição é falsa, porque a abcissa de D é... A ordenada de D é MD e MD AM. D(, ) e A (, ) Reta AD x x m ; Reta DC D(, ) ; C (, ) x x + m ; Condição: x x+ A proposição é verdadeira.. A(, ), B(, ), C(, ) e D(, ) AB ; CD 8; AD.. AB+ AD A [ ] ABC Pág. 8 A proposição é falsa, porque a área do triângulo [ABC] é... A(, ), B(, ), C(, ) Reta AC + m + 8 ( x ) x + 8 8 x 8. Reta BC + m + x Condição: x x 8 Proposição verdadeira x + x + ( x x ) ( ) + + + + ( x ) ( ) +.. Centro da circunferência: C(, ) A proposição é verdadeira, porque.

.. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano.. ( x ) ( ) ( x ) + + x x x x x + Condição: < x< + A proposição é verdadeira... O raio da circunferência é: r ordenada de C 9 Reta t: x + x.... 9 9 x+ + ( ) 9 x+ 9 9 9 x+ x+ x x As coordenadas são, e,. 9 9 + + 9 x x. Equação da circunferência: ( x ) ( ) ( x ) ( ) ( x ) + + + + + 6 ( x ) 9 x x x 6 x x, 6, x,, ( x ) ( ) ( ) + + 9+ + x x ( + ) 6 + + x x 8 x x,, 8 x,, A circunferência interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas (6, ), (, ) e (, 8). Avaliação. Equação da circunferência: Centro: C(, ); raio: OC + ( x ) ( ) + Condição: ( x ) + ( ) ( x ) Resposta: (D).. Sejam os pontos C(, ), D(, ), B(, ) e A(, ). BC ; AD ; AB BC + AD + A[ ] AB ABCD Resposta: (C).. Equação da circunferência: r CD + Pág. 86 x + x x+ + + Condição: x + x + x + x Resposta: (D). + x x. ( x ) ( ) + + + Centro (, ) ; raio: x x Resposta: (A) x + Centro (, ) e raio x + x A condição Resposta: (A) x + x x + define o conjunto.

.. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano.. Sabe-se que OE OF e E(, ). + OE >, logo E (, ) OC + ED.. A + A área do trapézio [CDEO] é u. a... E(, ), D (, ), A(, ) e B(, ) Reta OE: x ; reta OA: x Reta ED: ; reta AB: Condição: Pág. 87 ( x ) + ( x x ) 6.. Equação da circunferência Centro (, ); raio + Ponto D A abcissa do ponto D é x. + Como <, vem Seja P(x, ). d P, A d P, D. Logo, (, ) ( x ) + ( x ) + ( + ) + + + + + D e A (, ). x 8x 6 x x + 6x+ 6 x+ 6 x+ x+ 6.. x x + 7. B(, ) 7.. A(, k) AB k > ( k ) + + ( k ) ( k ) 6+ + 6 + 6 k + k + k k 6 Como k >, então k. A ordenada do ponto A é. 7.. A(, ), B(, ) 8.. Seja M o ponto médio de [BC]. M(, ) A ordenada do ponto A é (BC é paralela a O). A(k, ), com k < BC 6 AC BC (o triângulo é equilátero) ( k ) + 6 ( k ) ( k ) + 9 6 7 k 7 k 7 k 9 k + 9 k k + Como k <, vem k. A (, ) 8.. Centro: C(, ) Raio: OC + 8 ( x ) ( ) + 8 8.. Centro: M(, ) Raio: MC + ( x ) ( ) 8.. M(, ) 9.. A + + 9 (, ) MA AB MA 6 A [ ] 9 ABC A área do triângulo [ABC] é 9 u. a. + x 9 a a ; b 9 b 9.. ( x ) ( ) ( x x ) < > x< x > Por exemplo: x x B(, ), C(, )

.. Vetores no plano.. Vetores no plano Atividade inicial A: direções; 8 sentidos; comprimentos B: direções; 8 sentidos; comprimentos C: 6 direções; sentidos; comprimentos Pág. 88 Pág. 9. Segmentos orientados: [A, M], [M, A], [A, I], [I, A], [A, R], [R, A], [M, I], [I, M], [M, R], [R, M], [I, R] e [R, I] Vetores: AM, MA, AI, IA, AR, RA, MR e RM.. 8 :. Por exemplo, GE. D, C, E, G e A, B.. [ ] [ ] [ ].. A+ DG A+ AE E.. I+ DI I+ IB B.. I EB I + BE I + IH H.. D+ DB B.. AI + IB AB.6. AG+ EB AG+ GC AC.7. DC IF DC+ FI DC+ CG DG.8. HG+ FI HG+ GD HD.9. AE+ FC+ IF AE+ EI + IF AI + IF AF.. HG+ FC EF + FC EC.. AE+ CG+ HF AE+ EA+ HF + HF HF Pág. 9 Pág. 9 Pág. 96.. a b KJ + JL KL.. ( a+ b) ( OA+ AH) OH OC.. ( b a) ( OB+ BI) OI LF.. ( a+ b) ( OA+ AH) OH CP.. a+ b b a OJ + OB+ BN + JK ( OJ + JK) + ( OB+ BN) OK + ON OP.6. ( a b) + ( a b ) ( OA+ ON) + ( OJ + ON) OM + OL LF+ FH LH. Pág. 97 Sejam u AB e v BC. u+ v AB+ BC AC Os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes pelo critério LAL, dado que: AD u u AB u u AE ( u+ v) u+ v AC u+ v u+ v AD AE Logo, AB AC. Os ângulos DAE e BAC são iguais por serem verticalmente opostos. A razão de semelhança da ampliação é. Assim, DE BC v. Como BC e DE tem a mesma direção e sentidos contrários, então DE BC. Como + u v u+ v. 6. AD DE AE, vem que Pág. 98 u 6u tem a direção de u e sentido contrário ao de u. u tem a direção e sentido de u. Logo, ( ) u tem a direção de u e sentido contrário ao de u. u 6u 6 u 6 u ( u ) u u u 6 u u têm a mesma Portanto, os vetores ( ) u e direção, o mesmo sentido e a mesma norma. Logo, ( ) u ( u ). a b a b a b a+ b a+ b b a b a 6a b+ a a b a a+ a+ b a a+ a+ b a+ b λ v + λv ( λ+ λ) v v Se ( λ) + λ λ v λv. 7.. 7.. 7.. 8. v v, então 6 9.. b a a e a b 9.. c a e a c Pág. 99 9

.. Vetores no plano 9.. d a e a d.. DE CB.. DB DC+ CB x+.. BE CD DC x 8 8 8.. AB EB DC x.. DA DC+ CB+ BA x+ 8 AB x+ EB 8 x+ x x Pág... 6. Pág.. AB AC+ CB FC+ CE ( FC+ CE ) FE FD Como AB FD, então [ABDF] é um paralelogramo.. Seja [ABCD] um quadrilátero qualquer e M, N, O e P os pontos médios de [AB], [BC], [CD] e [AD], respetivamente. PO AC e MN AC Logo, PO MN, pelo que [MNOP] é um paralelogramo. 7.. 7.. 7.. AB+ BC+ CD+ DA AB+ BC AB BC AB AB+ BC BC + CD AB DA BC Pág. Atividade complementares J, H e L, M ; G, H, O, N, B, A e D, C ;. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ K, L] e [ F, E ].. [A, B] e [D, C] ; [A, D] e [B, C] ; [B, A] e [C, D] ; [D, A] e [C, B].. a) Proposição falsa b) Proposição verdadeira c) Proposição falsa d) Proposição verdadeira e) Proposição verdadeira f) Proposição falsa.... 7.. 8. Sejam u e v dois vetores não colineares e A um ponto do plano. B A+ u, C B+ v e D A+ u..

.. Vetores no plano Pela regra do triângulo: AC AB+ BC u+ v Seja E A+ ( u+ v ). AE ( u+ v) u+ v AC u+ v u+ v AD u u AB u u Os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes porque têm um ângulo comum e os lados que o fornam proporcionais, AD AE pois. AB AC A razão de semelhança da ampliação é, logo, ED BC. Assim, DE v e DE v. Como AD+ DE AE, então u+ v ( u+ v ). v v v v v v v v 9. ( v ) tem a direção e o sentido de v porque > v tem a direção de v e o sentido contrário ao de v, porque <. Logo, v tem a direção e o sentido de v. Portanto, ( v ) e v tem a mesma direção, o mesmo v v. sentido e módulos iguais, ou seja, a a+ b a+ b 7 a+ b u v u v u + v u + v u + v + u v v u v u v ( u) u v + u u v u + u u + u + u u... a ( a b) ( a b )..... [ ] Se ( u) ( u ), então ( a+ b ) v Como u v, entãou e v são colineares... u ( a+ b) ( a+ b ) ( a+ b) Pág. a+ b+ a+ b 6 a+ a+ b+ b 7 a+ b ( a+ 7 b) ( + 7 ) a b v Como u v, então u e v são colineares... u ( a b) ( a b )... a) Como B é o ponto médio de [OC], então OC OB e OC. b) BA BO+ OA + x x c) OM OA+ AM x+ AM OM OC+ CM AM + + OM OM x AM + AM OM x+ OM x +.. BH BA e BH ( x ).. OH OB + BH + ( x ) + x x + OM x + Portanto, OH x+ x OM. Logo, OH é colinear com OM. Como OH e OM são colineares, podemos concluir que O,. H e M são colineares (pertencem à mesma reta). AF AB FB AB CE CD ED CD As diagonais de um paralelogramo bissetam-se. Logo, BO OD. OE+ OF ( OD+ DE) + ( OB+ BF) OD ED+ DO FB OB DO OD OD CD AB ( AB) AB CD AB AB AB

.. Vetores no plano 6. BE EC AEB ˆ CEF ˆ (ângulos verticalmente opostos) ECF ˆ EBA ˆ 9 Logo, os triângulos [ABE] e [CEB] são iguais pelo critério ALA. Assim, EF AE e CF AB DC. Portanto, C é o ponto médio de [DF] pelo que DC CF, ou seja, DC FC. 7.. AB AM + MB AC AM + MC AB+ AC AM + MB+ AM + MC AM + MB MB AM + MC MB AM 7.. PB+ PC ( PM + MB) + ( PM + MC ) PM + PM + MB MB PM + PM Pág. 8. Considera-se o ponto B tal que AB F e determina-se o ponto C [ AB] tal que AC F. Com centro em B e raio igual a AC traça-se o arco de circunferência que interseta a semirreta d nos pontos P e Q. Tem-se que F BQ ou F BP são soluções do problema. Na representação seguinte optou-se por F BQ. 9.. A proposição é verdadeira porque d a. 9.. A proposição é verdadeira porque b e. 9.. A proposição é falsa porque c e b não são colineares.. BM BC+ CM + CM BM BA+ AM x+ MC BM + BM + x+ CM + MC BM x + CM CM BM x + BM ( x ) Resposta: (A).. a) M + AE M + AC M + MO O b) F+ ( MO PJ) F+ ( MO+ JP ) F+ MO+ OT F+ MT F+ FN N B+ HI OI B+ BD+ DT B+ BT T c) d) T + LP IT T + TU + TI U + TO U + UP P e) G+ FJ + EU G+ GJ + JU J + JU U.. a) RS LP ; k b) ( k+ ) PE CS ; PE CS k+ k k 6 c) kmn + OI TF TF TI + IF OI + NM MN + OI k d) klc+ kgm MS MS MH + HS LC GM + Logo, k k k. e) k SJ DQ DQ JS e DQ SJ k k + k k.. a) AD+ TQ AD+ DA b) FG + LM + UR + UR+ RS + US + 8 8 8 c) + RS PN LP RS+ SU + LM RU + LM QU Pág. 6 Avaliação.. A HL A+ LH A+ AJ J Resposta: (C).. AK CI AK+ HC AK+ KL AL Resposta: (C). BC BA+ AC AB+ AC AC AB Resposta: (B). u a+ b a+ b a+ b+ a b a b ( a b ) Resposta: (B)

.. Vetores no plano + + + FC+ CI ( λ+ ) AC FI FI CA FI AC λ+ λ λ. ( λ ) AC GB DH ( λ ) Resposta: (A).. + 6 + Resposta: (B).. (A) A proposição é falsa, porque AF e FJ não são colineares. (B) A proposição é falsa porque G+ DJ G+ GA A. (C) A proposição é verdadeira porque: F CH F+ HC F+ FK K Resposta: (C) 6. AF AD+ DF DA+ x Resposta: (D) 7. + x u a b a b a+ b a+ b 7 a+ b w é colinear com u. Logo, w ku, k R. w k u Portanto, k, pelo que k k. x Tem-se, assim: 7 9 9 w a+ b a+ b ou w a b. 8.. B+ AJ B+ BF F 8.. F ( BD+ IH) F ( BD+ DC) F BC F+ CB F+ FE E 8.. AB+ FI + CG AB+ BF + FI AI 8.. BI CG IB GC + IF + FB IB + AC+ CB AB BA CA 8.. ( AC FE ) 8.6. Pág. 7 DJ + IB IJ + IF GJ + IF JG+ GC JC AD+ DJ AJ AD+ DJ + JA AD+ DA AD AD 8.7. 9. MN MD+ DC+ CN MN MA+ AB+ BN MD+ AB CN MN + MN MD+ DC+ CN MD+ AB CN MN AB+ DC.. BC BA+ AC Regra do triângulo AD+ AC AD BA AD+ EA e EA+ AD ED AE CA EA AC Propriedade comutativa Regra do triângulo.. O quadrilátero [BEDC] é um paralelogramo, pois tem dois. lados paralelos e com o mesmo comprimento: [ED] e [BC] OP OA e OQ OB PO AO e OQ OB Então: PQ PO+ OQ PQ AO+ OB PQ ( AO+ OB) PQ AB pois AO+ OB AB. Se PQ AB, podemos concluir que PQ e AB são colineares, ou seja, [PQ] // [AB]. Como [ABQP] é um quadrilátero com dois lados paralelos, então é um trapézio... AB+ a b AB b a EC+ a b EC b a.... OL a b LO a+ b LO+ OK a+ b + b a LK b a.. [ABKL] é um trapézio isósceles, porque [AB] // [KL] e BK AL.

.. Operações com coordenadas de vetores.. Operações com coordenadas de vetores Atividade inicial e + e a ; b 6e+ e ; c e e d e+ e ; e e e ; f e e g e e.... Pág. 8 Pág. a + ; b ; c ; d + OA,, OB (, ), OC (, ), OD (, ) e OE (, ) AB 6,, BC (, ), CD (, ), DE (, ) e EA (, ) AB ( 6, ), BC (, ), (, ) DE, EA,.... e. ( ) CD, Pág. u,, v, e w, u+ v, +,, + (, ) u v,, +, (, ).... +, +,,.. u v w +, +, u w v u w+ v.. +, +, u v,, (, ), (, ).. (, 6) (, 6) (, 6 6) (, ) u u v w u v + v w.6. + u v w, +,, +, 9+, 9.7..8. u u+ v + v u u v + v u+ v (, ) + (, ) (, + ) (, ) u v u+ v u u u u v + v u + v (, ) + (, ) (, 9) + (, ) (, ) w w u v w u + 6v.9. + ( ), (, ) + 6 (, ), (, ) + (, ), + 6, a,, b (, ), c(, ) e d (, ) a+ b, +, (, ) a b,,, + (, ) a+ b d,,,........ (, ), a a+ b c + d c a a b + 6c+ d c a b + c+ d.. (, ) (, ) + (, ) + (, ) (, ) ( 6, 6) + (, ) + (, ) ( 6 +, + 6 + ) (, 7) a +.. + +.. b c + 6 9+ 6 9 d + 7 9 7.... + +.. e Pág.

.. Operações com coordenadas de vetores, + 6,+ 6 7, 6,.6. f 6.. 6.. u, e v (, ) ; u e v não são colineares. u, e v ( 6, ) u e v são colineares. u, e v, 6. Como, então u e v não são 6.. colineares. 7 u, ; v 7, e v u u e v são colineares. u, e v, 7. Como, então u e v não são 6.. 6.. colineares. u, e v, m 7. m m m u, v ku v v k, k, k, k R 8. ( k, k) v ( k) k + k + k k k k k k k k k 6 v,, ou 6 v, 9. Sendo M(, ) e N(, ). 9.. MN N M (, ) (, ) (, ) 9.. NM MN (, ) 9.. M + NM (, ) + (, ) (, 7) 9.. N+ MN (, ) + (, ) (, 8) u,. A(, ) e Seja P(x, ). PA A P x, x PA u( x, ) (, ) x P (, ) Pág. Pág. 7 Atividades complementares. + a e e ; b e + e ; c e e ; d e + e. A(, ), B(, ), C(, ), D(, ) e E(, ).. OA (, ), OB (, ), OC (, ), OD(, ) e OE (, ).. a) AB (, ) b) CD (, ) c) DA (, ) d) CA ( 7, ) e) AE (, ) f) ED (, ).. BA (, ), DC (, ), AD (, ), AC ( 7, ),, DE, EA,..,..,.. e... u(, ) e v(, ).. + (, ) + (, ).. (, ) (, ).. u v (, ) (, ) u v (, ) u v (, ) + (, ) + (6, ) (9, 7) u + v, +,.. ( 6, 8) +,,.. u u+ v u v (, ) (, ),,, e + u e v e + u e + v + +, +, (6, 7).6. ( e e ) u v. ( 8, ) a, b,, c (, ) e d, 8, c,.. a) a e 8. Logo, a e c são colineares. b) b, e d,. Logo, b e d são colineares.

.. Operações com coordenadas de vetores a e b, 8 8 e 8. Logo, a e b não são colineares. a, e b λ +,.. ( 8, ) 6. λ+ λ+ 6 λ 6 6 λ λ, 7. v ( λ ) e e ; v ( λ, ) 7.. u (, ) v e u são colineares λ λ λ 7 u, v e u são colineares λ λ,, a b, e c, d b a, (, ) 7.. 8. ( 6, ) (, 6) ( 6, 6) 6 6. Logo, c e d são colineares. 9.. a e e ; a, 9 a + ( ) + 9.. + b, b e e ; b + 8+ 9.. c e e ; c c, + + 9.. d e + e ; d d, + + 9.. e e e ; e, e + + 9 9. a(, ) e b (, ).. u u ka, com k < Pág. 8 u ka k (, ) ( k, k ) u k + k k + 9k k k Como k <, então k. u(, ) c a+ b, +,, v kc v v k, k, k.. v k + k 9k + 6k k k k k v, ou v, a+ λe, + λ,, + λ,.. ( + λ, ) a+ λe + λ, ( λ) ( λ) + + + + 9 + λ 6 + λ + λ λ λ 6 u,. A(, ), B(, ) e,,,,.. P A u, P, Q B u,,, 6, ( 7, ) Q ( 7, ).. PQ Q P 7,, 7 +, +, PQ,, u, ; v e k e ; v, k +.. u e v k+ são colineares k+ 6 k k. A(, ), B(, ) e D(, ).. a) AB B A (, ) (, ) (, ) b) AD D A (, ) (, ) (6, ) c) BD D B (, ) (, ) (, 6).. a) BA AB (, ) M D+ BA + (, ) (, ) (, 9)

.. Operações com coordenadas de vetores M (, 9) N A+ BD, +, 6, 9 b) N (, 9) P D+ AB, +, c) (, ) +,, C D+ DC D+ AB, +, 7,.. C (7, ). A(, ) e B(, ).. x + x+ ( x x ) ( ) + + + + ( x ) ( ) + + O centro P da circunferência tem coordenadas (, )... A(, ) + + + B(, ) + + +.. C P+ PC P+ AP P(, ) AP P A,, (, ) (, ) (, ) C P+ AP + (, 6) C (, 6).. D C+ BA BA A B (, ) (, ) (, 6) D (, 6) + (, 6) (, ) D (, ).. CBA ˆ 9 porque [AC] é um diâmetro e um ângulo inscrito numa semicircunferência é um ângulo reto. ADC ˆ 9 porque os ângulos opostos de um paralelogramo são iguais. DCB ˆ BAD ˆ 9 porque, num paralelogramo, os ângulos adjacentes ao mesmo lado são suplementares. Logo, [ABCD] é um retângulo. AB + + + 6 BC + + 6 6+ AB BC Um retângulo com dois lados consecutivos iguais é um quadrado. Logo, [ABCD] é um quadrado. AC e M(, ). B(6, ); ( 6, ).. M é o ponto médio de [DB]. D M + BM Pág. 9 BM M B ( 6, ) (, ) D (, ) + (, ) (, ) D (, ) As diagonais de um paralelogramo bissetam-se. Então: C M + AC, + 6, (, ) + ( 8, 7) (, 9) C (, 9) A M + CA M AC, 8, 7 6, A ( 6, ) DA A D 6,,, 8 DA ( ) + ( 8) 6+ 6 8 DC C D (, 9) (, ) (, 6) DF kdc DF DA 8 (k > ) DF k(, 6) ( k, 6k ) DF 8.. ( k) ( k ) + 6 8 k + 6k 8 8k 8 k 9 k k Como k >, entãok. DF, 6 ( 8, ) F D+ DF + F (6, 7).. A(, ), B(, 8) (, ) ( 8, ) ( 6, 7) AP AB AB B A (, 8) (, ) (, 6) AB (, 6 ) (, ) P A+ AP A+ AB, +,, 6 A proposição é falsa porque P (, 6). a, e b, 8 OP a b (, ) (, 8)..,, ( 6, 7) Logo, P(6, 7). A proposição é verdadeira.

.. Operações com coordenadas de vetores 6. AB+ BC AC BA+ AC+ BC BC+ BC BC BC B C A proposição é verdadeira se B C. 7. M(, ); I(, ); R(9, ) e A(8, ) 9 Ponto médio de [MR]: +, ; N, 8+ + Ponto médio de [IA]:, ; N, As diagonais bissetam-se. MR 9 + + 9+ IA 8 + + + MR IA [MIRA] é um quadrilátero em que as diagonais são iguais e bissetam-se. Logo, o quadrilátero é um retângulo. 8. A(, ), B(, ), C(, ) e D(, ) 8.. AB B A (, ) (, ) (, ) AC C A (, ) (, ) ( 6, ) (, ) AB Como AC AB, os vetores AC e AB são colineares. Logo, os pontos A, B e C também são colineares. 8.. Se AE ED, o ponto E pertence à mediatriz de [AD]. Seja P(x, ) um ponto da mediatriz de [AD]: d P, A d P, D ( x ) ( ) ( x ) ( ) x + + + x+ + + x x+ x + Mediatriz de [AD]: x + Reta CB C(, ) e B(, ) + m + ( x+ ) x+ + + x+ + 8 6 x+ Interseção mediatriz de [AB] com a reta CB: x+ x+ x+ + + x x x+ x+ 6 x+ x + ( x, ) (, ) Como < <, o ponto (, ) pertence ao segmento de reta [BC]. Portanto, E (, ). 9. A(, ) ; B(, 7) e C(, k) AB B A (, 7) (, ) (, 8) AC C A, k,, k + k+ k + 6 k 8. u, ;, e (, ) a v b w 9.. a) a b b) b b.. u+ v w, a + b, (, ) + b b 9 a+ a 9 u, e v, 9,, u v, 9 u v + +. A(, ), B(, ), C(, ) e D(7, a).. A(, ) e D(7, a) O declive de AO terá de ser igual ao declive de AD: a a a a 7 7+.. AB terá de ser paralela a CD pelo que os vetores AB e CD terão de ser colineares. AB B A CD D A 7, a,, a (, ) (, ) ( 8, ) a a a a 8 Avaliação u,. B : : A :( ) :;, + + 6 + 6 6 6 Resposta: (B).. A(, ), B(, ) e C(, ) w ( A C ) (, ) (, ) (, ) + 8 Resposta: (D) OA BC,,.. (, ) (, ) (, ) Resposta: (C) Pág.

.. Operações com coordenadas de vetores. A(, ), B(, ), C(, ) e P(x, ) PA AP P A ( x+, ) CA A C ( 6, ) BA A B (, ) PA CA BA x+, 6,, ( x+, ) ( 6, ) ( 6, ) ( x+, ) (, 7) x+ x 7 7 P(, 7) Resposta: (D). Se AB BC, então AB BC. Logo, AB e BC são colineares pelo que A, B e C também são colineares. Resposta: (B).. D+ ( CB ED) D+ ( CB+ DE ) D+ ( CB+ BA) D+ CA D+ DF F Resposta: (A).. OF+ DC OF+ FA OA OE OB OF+ AC+ OA OF+ FD+ DO OD+ DO OO Resposta: (D) u, ; A k, k+ e B, AB B A k, k k, k 6. k k k k k 9 k Resposta: (A) 7. QC+ QR BQ+ QR BR PR+ PA PR+ BP BP+ PR BR Logo: QC+ QR PR+ PA Resposta: (A) 8. A(, ), B(, ) e C(, ) AB B A (, ) (, ) ( 9, ) AC C A,, 8, 6 Pág. 8 6 9 Logo, AB e AC não são colineares pelo que os pontos A, B e C não são colineares.,, A B, e C, + + D, ; D (, ) 9. 9.. + E, ; E, DE E D,,, AC C A (, ),,, AC DEAC Logo, DE e AC são colineares. 9.. 9.. Seja [ABC] um triângulo e M e N os pontos médios de [AC] e de [BC], respetivamente. MN MC+ CN MN MA+ AB+ BN MC+ AB CN MN MC+ CN MC+ AB CN MN AB MN AB Logo, [MN] é paralelo a [AB] e MN AB.. A(, ), B(, ) e C(, ) + + + 6.. AB AC + + 6+ BC + + + 6+ 6 8 AB + AC BC e AB AC Logo, o triângulo [ABC] é isósceles e retângulo em A... A mediana é [AM] sendo M o ponto médio de [BC]. + + M,, logo M(, ). AM + + 6.. Sabemos que: AC QR AB PR BC QP ( 6, ) AB B A, 6 BC C B ( 8, ) Q B+ CA + AC C A ; (, ) ( 6, ) (, ) Q (, ) R B+ AC + (, ) ( 6, ) (, ) R (, ) P A+ BC + P (6, 9) (, ) ( 8, ) ( 6, 9)

.. Operações com coordenadas de vetores. A(, ), B(, ), C(7, 6) e D(, ).. +, + M ; M (, ) + 7 6 N, ; N (6, ) 7 6 P, ; P (, ) Q, ; Q (, ) 6 + + 6.. MN NP 6 + + + 6 PQ + + + + 6 QM + + + + 6 P [ ] MNPQ AC 7+ + 6 + 6 6 BD + + 6 6 AC+ BD Logo, P[ ] AC+ BD. MNPQ.. a) AP AB ; a b) BQ BC ; b 7 7 c) AR AC ; c.. PR PA+ AR AP AC PR AB AC.. PQ PB+ BQ AB+ ( BC ) 7 AB+ ( BA+ AC) 7 AB+ ( AB+ AC ) 7 AB AB+ AC 7 7 AB+ AC 7 7 9 AB+ AC 8 7 9.. PQ AB+ AC 8 7 9 PQ AB AC 7 9 PQ PR 7 Logo, PQ e PR são colineares pelo que os ponto P, Q e R são colineares.. AD AB e AE AC DE ( DA+ AE ) DA+ AE AD+ AE AB+ AC BA+ AC ( BA+ AC ) BC DE BC BC DE Logo, BC e DE são colineares.. A(, ), B(, ), C(, ) e D(, ).. +, + M ; M (, ).. Reta AM m + x x + AM : x + C(, ) + (Verdadeiro) Portanto, C AM. AB B A, CD D A (, ) AC C A ( 6, 6) AB CD A, B, C e D não são colineares; AB e CD são colineares com sentidos opostos e AB CD... Logo, [ABCD] é um paralelogramo.

.. Equações de uma reta no plano.. Equações de uma reta no plano Atividade inicial.. Uma infinidade.. Uma reta.... A(, ) e B(, ); m AB +.. Reta AB: x + Para x : + +. Logo, a ordenada do ponto C é... A(, ), B(, ), C(, ) AB B A (, ) ; BC C B (, ) ; AC C A (, ) ; CB B C (, ) ; CA A C.. (, ),,,, As razões são todas iguais a. Pág.. A, e B(, ) AB B A,,.. 7, ( 7, ) x,, + k 7,, k R x, + 7 k, k, k R x + 7 k, k R k.. C(x, ) e 7 x + x + 7k x + 7k x k k k A abcissa do ponto C é... D(, ) + 7k k k k k.. O sistema é possível. Logo, D AB. x + 7k x + 7k x k k 7 x k k k E (, ) Pág. 6. x + ; m,. Por exemplo: u, v (, 6) e w (, ), m A e v (, ) mx+ b + b b b x,, w,. Por exemplo, u, v e Pág. Pág.. A(, ) e B( 7, ) AB B A 7,, 8,,.. ( x, ) (, ) + k(, ), k R.. (, ) (, ) + k(, ) (, ) ( + k, + k) + k k + k k O sistema é impossível. Logo, o ponto C não pertence à reta AB. 6. x+ x + k k, k R + k + k Equações cartesianas: x+ x + + + x 7.. r: x+ x+ x + m. Logo, u (, ) é um vetor diretor da reta r. 7.. Por exemplo, o ponto A(, ) pertence à reta r. x,, + k,, k R Pág. 8 x + k, k R + k x+ x s : v, um vetor diretor. B(, ) é um ponto de s e ( x, ) (, ) + k(, ), k R x k x k 7.. t:, k R + k k t: x x+ x +

.. Equações de uma reta no plano 8.. r: x x x x ( x, ), x x ( x, ) (, ) Pág. 9 (, ) e, são os pontos de interseção da reta r com os eixos coordenados. 8.. r: x x m ; v, é um vetor diretor de r. (, ) é um ponto de r. r: x,, + k,, k R 8.. P( k k ), r ± 9 8 k k k k + k ± k k k Os valores são k ou k. 8.. s: x,, + k,, k R ( x, ) ( + k, k) + x + k x 9 + k k O ponto de s de ordenada tem abcissa 9. x,, + k,, k R 8.. 8.6. 8.7. x x + k k, k R, k R + k k x s: x 6 x + x λ t:, λ R λ λ λ λ ( ) λ λ O sistema é possível. Logo, A t. x λ x λ t:, λ R, λ R λ λ x x t: x B, p ; m 8.8. x+ b + b b p: x + Atividades complementares 9. r: x (m ) Por exemplo, (, ), r,. r, r e s: x+ x + (m ) Pág.,,, Por exemplo, s ( ), s ( ) e s ( ) t: Por exemplo, t (, ), t (, ) e t(, ).. P(, ) e v (, ) m ; r: x +.. P(, ) e v, m r: ( x+ ) x v,.. P(, ) e m (reta horizontal) r :. Por exemplo, para as quatro retas verticais:,, w, 7.. u, v e v, e A(, ) x,, + k,, k R,, + k, k (, ), + k k k + k k Como o sistema é impossível, B r. u,.. A(, ) e.. x,, + k,, k R x + k, k R k,, B e v e + e x,, + k,, k R x + k, k R + k v,.. C(, ) e x,, + k,, k R x x, k R, k R + k k, e,.. D v( ) x,, + k,, k R x k, k R k

.. Equações de uma reta no plano. x p t:, p R p v,, A (, ) e B (, )... Por exemplo,.. x,, + k,, k R.. m e A(, ) Por exemplo, x + x + k x k. r:, k R, k Z k + + k.. Por exemplo,.. A,,, B, v (, ) e u ( 6, ) x x x x x k k k + + k k + 6 Ponto de interseção com O:, 6 x k x x + k k k Ponto de interseção com Ox:, x + k, k R x,, + k, + k.. + k k k + k k + k k k + k k Os pontos P e Q pertencem a r, porque:,, + (, ),, (, ).. a) PQ Q P,, 6. ( 6, ) PQ ɺ : x,, k 6,, k + + ( ) R b) [ PQ] : ( x, ), + k( 6, ), k [, ] x x r : Pág. 6.. A(, ) é um ponto de r r, é um vetor diretor de r r: x,, + k,, k R 6.. B(x, ) x x x A abcissa do ponto é. 6.. C(, ) + (Falso) O ponto não pertence à reta. 7.. Reta s: A(, ) e B(, ) AB B A (, ) v 8, 6, Reta r: C(, ) e D(, ) CD D C ( 7, ) v ( 7, ) Reta t: E(, ) e F(, ) EF F E (, ) v r: v ; s: v ; t: v (, ) (, ) 7.. r: x,, + k 7,, k R x + 7k r:, k R k s: x,, + k,, k R x k s:, k R k t: x,, + k,, k R x k t:, k R + k v 7, 7.. A(, ) ; x x u: x 7 x+ 7 7 u, k. O vetor u é colinear em v ( 8, 6 ). 7.. 7.. k 8k k k 8 6 8 x + 7k r:, k R k x+ r: x 6 7 x+ 7 7 x x ( x, ), x+ 7 7 7 ( x, ), x+ 7 x A reta r interseta os eixos coordenados nos pontos, 7 e,.

.. Equações de uma reta no plano 7.6. 8. 9. s: x,, + k,, k R mx+ b ; m ; b s: x + x + k r:, k R ; E(, ) 6 k x+ k x + k 9.. r:, k R, k R 6 k 6 k x+ 6 x 6 8 x+ x + x + 9.. Ponto A x x x + A (, ) Ponto B x+ + 6 x x x B ( 6, ) 9.. Se [AB] é um diâmetro, o centro da circunferência é o ponto médio de [AB]. + 6 + M,, logo M(, ). 9.. O raio da circunferência é: r AB ( 6 ) + ( ) 6+ 6 ( x ) ( ) + x x+ + + 6 9 x + 6x 9.. Sendo F o centro da circunferência: F(, ) C F + EF EF F E, : Para E(, ) e F(, ) e sendo C (, ) + (, ) (, ) C (, ) 9.6. Reta DC: Condição: ( ) + ( ) x x+.. x+ x e x x Pág. Se B e C pertencem às bissetrizes dos respetivos quadrantes e têm abcissa, então: A (, ), B (, ), C (, ) e D (, ).. OM + e OM e OM e + e OM, Logo, M,. ON + e ON e ON e ON e e ON, Logo, N,. DM M D,,, DN N D, (, ),.. a), DN DM. Como DN e DM são colineares, os pontos D, M e N também são colineares. AM M A,,, NC C N (, ),,, AM NC AM. Como os vetores NC e AM são b) colineares, as retas NC e AM são paralelas.. r: ax+ b+ c ; s: ax + b + c a c.. a) ax+ b+ c b ax+ c x+ b b O declive da reta r é m a b. (b ) r b a. Logo, um vetor diretor de r é, por exemplo, (, ) b) a c + + x+ b b b a O declive da reta s é m. b ax b c s b a. Logo, um vetor diretor da reta s é, por exemplo, (, ).. As retas r e s são paralelas se e só se os vetores diretores, s b, a forem colineares. r( b a ) e b a a b b a a b ( a b )

.. Equações de uma reta no plano. A(, ), B(, ) e C(, ). Seja M o ponto médio de [BC]: + + M, M, AM M A, (, ) 9, (, 9). ( p ) x+ ( p+ ), p R AM : x,, + k, 9, k R (por exemplo).. A reta é paralela ao eixo O (vertical) se: p+ p.. A reta é paralela ao eixo Ox (horizontal) se p p.. x e p + p + p + p+ 6 p p.. Se p +. ( p ) ( p ) x+ ( p+ ) x+ p+ p+ u p p é um vetor diretor da reta ( +, + ) x x x v, é um vetor diretor da reta As retas são paralelas se os vetores diretores forem colineares: p+ p+ p+ 6 p+ 7p p 7. ( x ) ( ) + + 6.. Pontos A e B ( x+ ) + ( ) 6 ( x+ ) + 6 x+ x+ ± x x + A (, ) e B ( +, ) Pontos C e D x x ( x+ ) + ( ) 6 ( ) x x ± + C(, + ) e D (, ).. P(, ) AC C A + (, ) (, ) (, ) + + u, é colinear com AC. O vetor r: x,, + k,, k R AB OC.. A [ ] ABC AB + + + + OC + + A [ ] + ABC A área do triângulo [ABC] é ( + ) u. a... a) A (, ), (, + ) (, ) (, ) d Q A d Q C C e Q(x, ) ( x ) x ( ) x + + x+ + + ( + ) x ( + ) + + + + + + + x x m : x b) B ( +, ) O ponto B não pertence a m. Logo, AB BC. BA BC pelo que c) [AC] e [BC] são duas cordas da circunferência. As suas mediatrizes encontram-se no centro da P,. circunferência, ou seja, em.. P(, ) e D (, ) DP P D (, ( )) (, ) E P+ DP (, ) + (, ) (, + ) E (, + ) Avaliação x t x t x t. r: t t t x x x + x + ; u (, ) Resposta: (D). s: x π+ π x + + π π Resposta: (C) x ; u ( π, ) Pág.

.. Equações de uma reta no plano. x x define um reta vertical. Um vetor diretor é da forma (, k) com k. Resposta: (A) r: x,, + k,, k R r, é um vetor diretor de r.. x k x + k, k R, k R + k k x x 6 x x u r é um vetor diretor. (, ) Resposta: (D). A(, 6) e B(, ) AB B A r: mx+ b ( 6, ) (, ) m + b b x+ + x x+ Resposta: (B) 6. C(, ) AB (, ) ; AD (, ) AC AB+ AD + u, é um vetor diretor da reta AC AC: mx+ b (, ) (, ) (, ) (, ) m ; C(, ) é um ponto da reta + b b AC: x x Resposta: (A) 7. A(7, ) e B(, ) AB B A (, ) C(, ) e D(, ) CD D C (, ) Os vetores AB e CD são colineares se: Resposta: (C) 8. A(, ), B(, ) + AB: mx+ b ; m + b b b x x x Resposta: (A) 9. x + t r:, t R + t r, é um vetor diretor da reta r. A(7, 6) s: mx+ b ; m 6 7+ b b 6 b x + (, ) s? 6 + (verdadeiro) Como (, ) s, uma equação de s é: ( x, ) (, ) λ(, ), Resposta: (C) + λ R.. a) AB B A ( 7, ) AB: x,, + k 7,, k R b) mx+ b; m 7 + b b + b 7 7 7 x + 7 7 AB ɺ : x,, + k 7,, k R +.. a) [ AB] : ( x, ) (, ) + k( 7, ), k [, ] b) ɺAB : x+ x 7 7 AB : x+ x 7 7,, 8 [ ].. a) Por exemplo: R, R, (, ) S (, ), T (, ) e T (, ) b) (, ) (, ) + k (, ) S, k + k + k + r:, s: e t: r, c) x + x+ x +, t, s ;.. t (, ) e m x r, ; s(, ) e.. r e s são retas do mesmo plano e não são paralelas. Logo, r e s são concorrentes.. kx kx ; x+ p.. k p R Pág.

.. Equações de uma reta no plano.. k p.. k p. A(, ) e D(, ) AC ( 9, ) C A+ AC. (, ) + ( 9, ) ( 7, ) C(7, ) BC AD D A, ; BC : mx+ b m 7+ b b BC : x x t x + t h:, t R, t R + t + t t 6, é um vetor diretor da reta t.., ( 6, ) i: x+ Se, entãox+ x. A(, ) r: x,, + k 6,, k R x x t t.. h:, t R + t t x h: O ponto de coordenadas ( p, p ) pertence à reta h se e só se p p p 6p 9 p 6p+ 9 ( p ) p.. A(, ) x h: x 6 9 6 x+ 9 9 x+ x + 6 6 6 Se x : Se x : + 6 C, e B(, ) [OABC] é um trapézio retângulo OC+ AB A[ OABC] OA 7 + 7 A área do quadrilátero [OABC] é u. a... a) A(, ) h: x,, + k,, k R,, + k, + k k k k k Proposição verdadeira b) A(, ) r: x Proposição falsa c) B(, ) x λ s:, λ R 9λ λ 9λ λ 9λ λ λ 9 Proposição falsa d) C(, ) x + t : + 7 Proposição falsa x λ x.. s:, λ R ; s : 9λ 9 x x x x x 6 9 9 x x 9 9 x x Os pontos são(, ) e,. x +.. + x x x.. r: x x + ; m 9 s (, 9) ; m s x + t: + x x 6 m t h, ; m r é paralela a s e t é paralela a h... A reta s tem declive. Por exemplo: x+ b Avaliação global. x + x+ 6 + h ( x x ) ( ) + + + 6 + 9 9+ ( x ) ( ) + + C(, ) e r Resposta: (A) r Pág. 6

.. Equações de uma reta no plano.. a 6, b, tal que b > a c> b a c c c c + 6+ 9 (, ) F, F e Resposta: (D) x + x Resposta: (D) r, a, é um vetor diretor de r. s (, ) é um vetor diretor de s. r e s são vetores colineares. a 7 a a + a. Resposta: (C). A(, ), B(, ), I(, ) AI I A (, ) BI I B (, ) C I + AI + D I + BI + Resposta: (B) (, ) (, ) (, 6) (, ) (, ) (, ) Pág. 7 6. Seja [ABCD] um trapézio e M o ponto médio da diagonal [AC]. BM BA+ AM CD+ MC MC+ CD MD CD BA MC AM Se BM MD, então BM MD. Portanto, se M é o ponto médio de [AC] também é o ponto médio de [BD], ou seja, as diagonais do paralelogramo bissetam-se. 7.. AC AD+ DC ( AP+ PD) + ( DQ+ QC ) AP PD PD+ DQ DQ DC ( PD+ DQ ) PQ 7.. a) A(9, ), P(6, ) e Q(, ) AP P A (, ) D P+ AP + ( 6, ) (, ) (, 8) D (, 8) DQ Q D ( 8, 6) C Q+ DQ + C (9, ) DC C D DC b) ( 6, ) (, ) ( 8, 6) ( 9, ) 6 + c) Se [ABCD] é um trapézio, então as bases [AB] e [CD] são paralelas. Logo AB e DC são vetores colineares, pelo que k R: AB kdc. DC AD 9 + 8 6+ 6 8. 8.. d) Atrapézio AB+ DC AD AB+ AB + AB AB k DC AB e DC têm o mesmo sentido k k B A+ AB A+ DC ( 9, ) + ( 6, ), 8 ( 9, ) + (, 8) B (, 8) x k x + k r:, k R, k R 7 k 7+ k x 7 s: x 6 x x x+ + x 69 8 69 x x x x 8 As retas r e s intersetam-se no ponto (8, ). 8.. x + x t: ( x, ) ( 8, ) + k(, ), k R 9. AE AB+ BE AB+ AB AB AGAD AF AE+ EF AE+ AG AB+ AD ( AB+ AD ) ( AB+ BC ) AC Como AF AC, os vetores AF e AC são colineares. Logo, os pontos A, C e F também são colineares.. A(, ), B(, ) e C(, ) BC C B 7,.... x,, + k 7,, k R x 7k, k R k + M, M, e B(, ) Pág. 8

.. Equações de uma reta no plano 7 MB B M, (, 7 ) 7 m: ( x, ) (, ) + k,, k R.. A(, ) e x + x,, + k,, k R x, k R x + k x+ x x + D(, ) ; m mx+ b + b b x + ( x, ) (, ) x k. r:, k R k r, é um vetor diretor da reta r. s: m x+ m m m x + Se m, as retas r e s não são paralelas (s é uma reta vertical). Se m : ( m ) x+ m m s m, m+ é um vetor diretor de s. r e s são paralelas se: m m+ m 9 m+ m m P, e B(, ) 9 9 + + +.. r PB.... 9 x + 9 9 x x+ + + x + x 9 9 9 ( x ) + ( x ) + ( x ) ( x ) x ± x x + Os pontos são A(, ) e ( +, ) C... x x 9 9 ( x ) + + x x ± x x x + As coordenadas do ponto D são D (, )... EF : x k O ponto G k, pertence à circunferência. Sendo G P+ PG : 9 PG ( r, ), porque PG // Ox. 9 9 G, +, +, 9 9 Portanto, E +, e F +,..6. ( ) + 9 x + x x AC OD.7. A [ ] ADC AC + ; OD A [ ] ADC A área do triângulo [ADC] é u. a. Pág. 9 x + λ. r: x+ ; s:, λ R λ x+ λ.. s:, λ R λ x+ x 9 s: x + 9 s: x +.. r: x+ x+ x +,, r r é um vetor diretor da reta r ; r: ( x, ) (, ) + k(, ), k R.. Declive de r: m Declive de s: m r s As retas r e s são estritamente paralelas (têm o mesmo declive e ordenadas na origem diferentes).

.. Equações de uma reta no plano Logo, o quadrilátero [PQRS] tem dois lados paralelos porque [PQ] está contido em r e [SR] está contido na reta s. Assim, [PQRS] é um trapézio de bases [PQ] e [SR]... Pontos P e Q x x ; P, x+ ; Q(, ) x + + x x Pontos S e R x x 9 9 9 ; S, x+ 9 9 ; R(9, ) x + + 9 x x A[ ] A[ ] A [ ] PQRS ORS OQP OR OS OQ OP 9 9 8 8 6 A área do quadrilátero [PQRS] é u. a. OA,.. A(, ) e Declive da reta t: m t A reta r interseta Ox em Q(, ). mx+ b + b b x.6. r: x+ e A(, ) + (verdadeiro) A r.7. x + A(, ) e Q(, ) + (verdadeiro) O ponto A pertence à circunferência e à reta r OA e OQ ( ) ( ) AQ + + AQ ; OQ AQ + OA OA ; OQ Logo, o triângulo [AOQ] é retângulo em A. Assim, [ OA] AQ. Portanto, A r e [ OA] r, pelo que a reta r é perpendicular à circunferência no ponto A.. Seja [ABCD] um quadrilátero em que as diagonais [AC] e [BD] se bissetam e seja M o ponto de interseção das diagonais. AM MC e DM MB AB AM + MB MC+ DM DM + MC DC Como AB DC, o quadrilátero [ABCD] é um paralelogramo... Se [AB] é um diâmetro da circunferência, então o triângulo [AOB] é retângulo em O. AO OB AO OB A [ ] donde () ACB Sabemos que A pertence à reta de equação x. A a, a, com a > A ordenada de B é o dobro da ordenada dea: a a B( x, a ) Como B pertence à reta de equação x. a x x a 9 Logo, B, a. Temos, portanto: 9 A a, a e B, a, com a > AD a + + a a a a a porque a > a OB + a a + a a De (): a porque a > a a a Como a >, vem a. Logo, A (, ) e B (, ). AB B A 6,,.. AB: x,, + k,, k R + +.. Centro: C, ; C (, ) a 6 r AC + + 9+ Equação da circunferência:( x ) ( ) + +