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1 Capítulo 5 Figuras geométricas Avalia o que sabes Pág Observando a posição relativa das faces do cubo na planificação conclui-se que: Resposta: (A). O número de diagonais de um hexágono é obtido por ( ) = 9. Logo, a razão entre o número de lados do hexágono (n = 6) e o número de diagonais (9) do hexágono é 6 =. 9 3 Resposta: (B) 3. O perímetro do círculo de diâmetro é obtido da forma P = d π, sendo d o diâmetro do círculo. Assim, P = ( d π) cm 31, Portanto, que, obteve melhor aproximação para o perímetro foi o João. Resposta: (C) Avalia o que sabes Pág Atendendo aos dados da figura conclui-se que a largura de cada cartão é igual a 5 cm. Assim, a área da fotografia visível é dada por A = ( 0 10) cm = 00 cm. A área da fotografia visível é 00 cm. 5. Se os dois vértices coincidissem com os centros de cada quadrado (ver figura ao lado), facilmente se concluiria que a área colorida seria 1 4 da área do quadrado. No entanto, basta que um vértice de um Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 1

2 quadrado coincida com o centro do outro quadrado para que as figuras obtidas (regiões comuns aos dois quadrados) tenham a mesma área e igual a 1 4 da área do quadrado. Assim: A quadrado = 10 cm = 100 cm. Logo, a área colorida é cm 4, ou seja, 5 cm. 6. Triângulo acutângulo e escaleno Triângulo obtusângulo e escaleno Triângulo acutângulo e equilátero 7. Por um lado, AB < BC + 10 (1) e 10 < AB + BC (). A condição (1) é sempre verdadeira, para qualquer valor positivo de BC. A condição () é equivalente a AC perímetro do triângulo é inferior a 36 cm, tem-se: = BC. Como o AC + BC + 10 < 36, ou seja, AC + BC < 6. Como AC = BC, então AC < 13. Portanto, o comprimento dos lados [AC] e [BC] é superior a 5 cm e inferior a 13 cm. Aplicar Pág Linha poligonal não simples e aberta 1.. Linha poligonal não simples e aberta 1.3. Linha poligonal simples fechada 1.4. Linha poligonal não simples e fechada Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página

3 . Por exemplo: (A) e (D), pois não é uma linha poligonal simples. 4. Sabe-se que o número de diagonais de um polígono é dada pela expressão sendo n > 3. Neste caso, n =. Assim, diagonais. ( ) 3 ( n 3) n = = 09. O polígono tem No caso do pentágono, o número de diagonais é igual ao número de lados. Vejamos: ( ) = = 5 Atendendo à fórmula n 3 =, ou seja, n = 5. ( n 3) n 1.1. Por exemplo, traçando a diagonal [AC]., facilmente se conclui que toma o valor de n quando, Aplicar Pág Dado que o quadrilátero é decomposto em dois triângulos, então a soma das amplitudes dos ângulos internos é 180 = 360, ou seja, Sabe-se que a soma das medidas, em graus, das amplitudes dos ângulos internos de um hexágono é dada por: ( 6 ) 180 = = 70. Assim, determinamos a amplitude do sexto ângulo interno do hexágono efetuando o seguinte cálculo: 70º ( 100º + 65º + 98º + 15º + 170º ) = 70º 585º = 135º O sexto ângulo interno do hexágono tem 135º de amplitude. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 3

4 3. Sabe-se que a soma das medidas, em graus, das amplitudes dos ângulos externos (um por vértice) de um qualquer polígono convexo é 360. Como se trata de um polígono regular com 1 lados, tem-se que 360 = 30 é a medida, em 1 graus, da amplitude de um ângulo externo. Como um ângulo interno é um ângulo suplementar e adjacente a um ângulo externo e o polígono é regular, então a medida, em graus, da amplitude de um ângulo interno é igual a = 150. Concluindo, tem-se: amplitude do ângulo externo: 30º amplitude do ângulo interno: 150º 4.1. A medida, em graus, da amplitude de um ângulo externo de um polígono regular é dada pela expressão 360 n. 4.. A medida, em graus, da amplitude de ângulo interno de um polígono regular é dada pela 360 expressão 180. n Aplicar 1.1. Os triângulos [ABD] e [ACD] são geometricamente iguais pelo critério LAL, dado que são Pág. 61 retos, respetivamente, em A e D e são geometricamente iguais os lados [AB] e [CD], sendo comum o lado [AD]. 1.. Pela alínea anterior, conclui-se que as diagonais do retângulo, [DB] e [AC], são geometricamente iguais por se oporem a ângulos geometricamente iguais em triângulos geometricamente iguais..1. a) Um papagaio é um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos geometricamente iguais. Por hipótese, BA = BC, pelo que também se tem DA = DC. Assim, os pontos B e D são ambos equidistantes dos pontos A e C, pelo que pertencem à mediatriz do segmento [AC]. Logo, a reta BD é a mediatriz do segmento de reta [AC]. b) [AC] e [BD] ou os seus prolongamentos são perpendiculares, pois a mediatriz de um segmento de reta é uma reta perpendicular a esse segmento de reta. c) Um losango é um papagaio, pelo que as diagonais ou os seus prolongamentos são perpendiculares. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 4

5 .. a) [PQRS] é um paralelogramo, logo as diagonais bissetam-se. b) QS é a mediatriz de [PR] pois é perpendicular a [PR] no seu ponto médio T. c) Sabe-se que os lados opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais, ou seja, que PS = QR e PQ = SR. Como QS é a mediatriz de [PR], então PQ = QR, logo os quatro lados do paralelogramo são geometricamente iguais, pelo que este é um losango [AECD] é um paralelogramo, logo AD = EC. Como o trapézio é isósceles, tem-se CB = AD, pelo que também BC = EC, ou seja, o triângulo [CEB] é isósceles. 3.. Como o triângulo [CEB] é isósceles podemos concluir que CEB = CBE, uma vez que, num triângulo, a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais. Como BEC = E AD, pois são ângulos correspondentes determinados pela secante AB em retas paralelas, então EAD = CBE Os triângulos [ADB] e [ACB] são geometricamente iguais pelo critério LAL de igualdade de triângulos, pois [AB] é um lado comum aos dois triângulos, AD isósceles) e EAD = CBE, pela alínea anterior. = BC (o trapézio é 3.4. AC = BD porque, em triângulos geometricamente iguais, a ângulos geometricamente iguais opõem-se lados geometricamente iguais. 4.1 e 4.. Comecemos por marcar o ponto médio, M, do lado [DF]. Para tal, podemos definir a mediatriz do segmento [DF] utilizando régua e compasso. Assim, o transformado do triângulo [DEF] pela reflexão central de centro M é o triângulo [FGD] A reflexão central transforma cada segmento com extremos distintos do centro de reflexão num segmento paralelo. Portanto, os lados opostos do quadrilátero [DEFG] são paralelos pelo que se conclui que este é um paralelogramo. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 5

6 Aplicar Pág Considerando os pontos A, B e C não colineares, tracemos os lados [AB] e [AC]. Utilizando régua e compasso, tracemos a semirreta de origem em C e paralela ao lado [AB]. Da mesma forma, tracemos a semirreta com origem em B e paralela ao lado [AC]. Designemos por D o ponto de interseção das semirretas. Obtém-se assim, o paralelogramo: 1.. Podemos considerar três soluções como se mostra de seguida: 1.3. Sabe-se que as diagonais de um paralelogramo são geometricamente iguais. Assim, tracemos o segmento [BD] de tal modo que BO AO = OD ; segmento [AC] de tal modo que = OC e os lados [CD], [AD] e [BC], obtendo, assim, o paralelogramo [ABCD] Desenha-se a diagonal [AC] com 6 cm de comprimento; o ângulo CAD de amplitude 40 ; a mediatriz de [AC] e assinala-se o ponto O. O ponto D é o ponto de interseção da mediatriz com a semirreta AD ɺ, obtendose o lado [AD] do triângulo [ACD]. O ponto B é tal que OD = OB. De seguida, desenha-se [AB] e completa-se o paralelogramo, sendo BC = AD, AB // DC e AD // BC Utilizando régua e compasso tracemos o segmento [MC] com comprimento cm. Em seguida, construímos um ângulo CMD cuja amplitude é 10º. Defina-se o segmento de Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 6

7 reta [MD] com comprimento 3 cm. Tracemos os segmentos de reta [MA] e [MB] com comprimento cm e 3 cm, respetivamente. Obtém-se:.1. Um papagaio é um quadrilátero com dois pares de lados consecutivos geometricamente iguais. O losango é um caso particular que tem os quatro lados geometricamente iguais... Um quadrado é um quadrilátero com quatro ângulos retos e quatro lados geometricamente iguais. Os quatro triângulos formados pelas diagonais são triângulos retângulos isósceles e, pelo critério ALA, estes triângulos são geometricamente iguais. Logo, as diagonais são perpendiculares, geometricamente iguais e bissetam-se. Por outro lado, se as diagonais se bissetam, então o quadrilátero é um paralelogramo. Se tem as diagonais geometricamente iguais, então é um retângulo, ou seja, os ângulos internos são retos. Como as diagonais são perpendiculares, então é um losango, ou seja, tem os lados geometricamente iguais. Logo, o quadrilátero é um quadrado..3. Um losango é um paralelogramo com os lados todos geometricamente iguais. Os quatro triângulos formados pelas diagonais são geometricamente iguais pelo critério LLL, logo cada diagonal bisseta os ângulos internos que têm vértices nos seus extremos..4. Os ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares, pelo que os restantes ângulos do paralelogramo são retos. Portanto, o paralelogramo é um retângulo. 3. Se o quadrilátero é convexo e tem os três ângulos geometricamente iguais, então [PQRS] é um paralelogramo. Como QPS = 110º, então SRQ = 110º. Como os ângulos adjacentes a um mesmo lado são suplementares, então PSR = 70º = RQP. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 7

8 Aplicar Pág Um trapézio com as bases geometricamente iguais a b unidades e altura a unidades é um paralelogramo de base b e altura a. Portanto, a área é dada por a * b unidades quadradas. ou Fixada uma unidade de comprimento, a área de um trapézio de bases de comprimento B e B + b b unidades e a unidades de altura é igual a unidades quadradas. Como B = b, então: B + b b + b b a = a = a = b a.. A diagonal [BD] é bissetada pela diagonal [AC] do papagaio. Assim, AB = ED = = 4. AC BD 8 4 Logo, a área do papagaio é dada por: A[ ABCD ] = = = 16 A área do papagaio [ABCD] é 16 cm. AC BD 3. Sabe-se que = 75, ou seja, AC BD = 150. Pretende-se dois números positivos, tais que o seu produto é igual a 150 e a diferença entre eles sejam 5 unidades. Analisando algumas hipóteses, conclui-se que: o comprimento da diagonal menor é 10 cm; o comprimento da diagonal maior é (10 + 5) cm = 15 cm. 4. A área da região a verde é dada pela diferença entre a área do quadrado e a área do círculo. A área do quadrado é 5 = 5 cm. A área do círculo é Portanto, a área da região verde é ( 5 6,5π ) cm. π,5 cm = 6,5π cm. 5. O trapézio [ABCD] é isósceles, pelo que BC = AD. Como o triângulo é isósceles, pois ADE = E AD = 45º, então AE = a = cm. Portanto, a área do trapézio é obtida por: A[ ABCD ] 6 + = = 8 A área do trapézio [ABCD] é 8 cm. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 8

9 6.1. Área, em cm, do papagaio A: 5 = 5 Comprimento da diagonal menor, d, em cm, do papagaio B: 1 d = 1 d = d = = 1 3 Comprimento da diagonal maior, D, em cm, do papagaio C: D 10 = 4 10D = D = = 8,4 10 Comprimento da diagonal maior, D, em cm, do papagaio D: D = 7 D = 7 Comprimento da diagonal menor, d, em cm, do papagaio E: 8,5 d =,1 8,5 d = 44, 44, d = = 5, 8,5 Completando a tabela, tem-se: Papagaio Diagonal maior (D) cm Diagonal menor (d) cm Área (cm ) A 5 5 B C 8, D 7 7 E 8,5 5,,1 6.. Área, em cm, do trapézio F: = 3 = 5,5 Comprimento da base menor, b, em cm, do trapézio G: 8 + b 4 = 3 ( 8 + b) = b = 16 b = 16 8 b = 8 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 9

10 Comprimento da base maior, B, em cm, do trapézio H: B = 50 ( B + 6) 5 = 100 B + 6 = B + 6 = 0 B = 0 6 B = 14 5 Altura, a, em cm, do trapézio I: a = 49,5 ( ) a = 99 33a = 99 a = 99 = 3 33 Altura, a, em cm, do trapézio J: a = 7 a = a = a = : 6 6 a = a = a = a = a = 3 43 Comprimento da base maior, B, em cm, do trapézio K: B = 6,5 ( B + 5) 4 = 53 B + 5 = B = 13,5 5 B = 8,5 4 Completando a tabela, tem-se: Trapézio Base maior (B) cm Base menor (b) cm Altura (a) cm Área (cm ) F ,5 G H I ,5 J K 8, ,5 Aplicar Pág Os retângulos A e B não são semelhantes, pois não existe correspondência entre os lados tal que os comprimentos de lados correspondentes sejam diretamente proporcionais: 3,5 1 3,5 1 e 3 0,6 0,6 3 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 10

11 1.. Se a razão de semelhança é, então vamos obter uma ampliação do retângulo A, onde cada um dos comprimentos dos seus lados é multiplicado por A razão de semelhança é ( 1) <, logo o retângulo obtido será uma redução do retângulo B. Cada um dos comprimentos dos lados do retângulo é multiplicado por Como os retângulos são semelhantes então existe uma correspondência entre os vértices de um e do outro, de tal modo que os comprimentos dos lados e das diagonais são, respetivamente, diretamente proporcionais. Assim, considerando o retângulo original com a largura 3 cm, a razão de semelhança é 5 r = =, De forma semelhante à questão anterior, conclui-se que a razão de semelhança, r, é 1,5 r = = 0, Como a razão de semelhança é 3, cada comprimento da figura original é multiplicado por 4 3, obtendo-se uma redução A razão de semelhança é 6 5. Aplicar Pág Pelo Teorema de Tales, obtém-se: 18,9 OC 18,9 = OC = 15 = 63 4,5 15 4,5 Portanto, OC = 63 cm. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 11

12 1.. Determinemos AD, pelo Teorema de Tales: ( AD) AD 40 = 10 4 = = 10 + AD Logo, AD = 6 cm = AD AD = Pelo Teorema de Tales, tem-se: 5 CD 5 = CD = 3 = 3, Logo, CD = 3,75 m..1. Pelo Teorema de Tales, determinemos, em cm, BD : 00 AB 60 + BD = = 10 = 60 + BD BD = Determinemos, em cm, CD tendo em conta o Teorema de Tales: 00 AC 75 + CE = = 150 = 75 + CE = CE CE = 75 Concluindo, BD = 60 cm e CE = 75 cm... Determinemos BC de acordo com o Teorema de Tales: BC 7 BC 50 = = = BC 56 = BC Determinemos CD de acordo com o Teorema de Tales: CD CD = = 1,6 40 = 40 + CD = CD 4 = CD Concluindo, BC = 56 cm e CD = 4 cm Consideremos o segmento de reta [AB], tal que AB = 6 cm. Algumas etapas da construção: 1.º: Considerar um ponto C exterior ao segmento [AB]..º: Traçar a semirreta AC ɺ. 3.º: Com o compasso, assinalar seis segmentos de igual comprimento sobre AC ɺ. 4.º: Traçar o segmento [BD]. 5.º: Traçar os segmentos paralelos a [BD]. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 1

13 3.. Consideremos o segmento de reta [AB], tal que AB = 6 cm. Algumas etapas da construção: 1.º: Dividir o segmento de reta [AB] em dez segmentos de igual comprimento utilizando o procedimento descrito em 3.1..º: Assinalar o ponto P sobre [AB] tal que AP 3 BP = 7. Aplicar Pág Os triângulos são semelhantes pelo critério LLL: 3 =,4 = 1,5 = 0,75 4 3, 1.. Sabe-se que dois triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes geometricamente iguais. Assim, tem-se: BAC = MON ; ACB = NMO ; CBA = ONM. Não podemos concluir que são semelhantes, pois não podemos aplicar nenhum dos três critérios de semelhança estudados. 3. Os triângulos da figura são semelhantes atendendo ao critério AA: são ambos triângulos retângulos e partilham o ângulo BAE x = = 1 ( 15 + x) 40 = 1 ( 15 + x) 0 = 15 + x = x 5 = x O valor de x é 5 cm. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 13

14 4. Começa-se por traçar a diagonal [AC] do quadrilátero [ABCD]. Em seguida, constrói-se o triângulo [FHG] semelhante ao triângulo [ABC]. Aplicar Pág Os triângulos são semelhantes, pois são ambos retângulos e têm um ângulo em comum, o ângulo BAC. 1.. Como os triângulos são semelhantes, então os comprimentos dos lados são, respetivamente, diretamente proporcionais: ED 17,5 17,5 1, = ED = ED = 145 1, 1,8 1,8 A Torre Vasco da Gama tem 145 m de altura..1. Dado que a // b, então os triângulos da figura têm dois pares de ângulos geometricamente iguais, pois são ângulos de lados paralelos. Pelo critério AA de semelhança de triângulos, os triângulos são semelhantes. 5, 4 + 3,6 3 + x x 7 = = 7 = 5,4 3 + x = 3 + x 5 = 3 + x = x 5, 4 3 5, 4 3 5, 4.. ( ) Logo, x = Os triângulos [EAD] e [CAB] são semelhantes atendendo ao critério AA, pois: AED = ACB ; CBD = EDA (ângulos de lados paralelos). 3.. Determinemos o diâmetro da base do depósito, BC : BC = BC = BC = = 1, Portanto, o diâmetro da base do depósito mede 1,5 m. Calculando o perímetro da base, tem-se: P = ( 1,5 π) cm 39,7 cm A base do depósito tem, aproximadamente, 39,7 cm de perímetro. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 14

15 4. Determinemos AC : AC = AC = AC = Determinemos BC : BC = BC = BC = 13, Concluindo, AC = 1 cm e BC = 13,5 cm. Aplicar Pág A' (4, 4) ; B (10, 4) ; C (4, 8); A ( 4, 4) ; B ( 10, 4) ; C ( 4, 8). Os lados correspondentes do triângulo têm de ser paralelos e, as retas BB', CC' e AA' têm de se intersetar num mesmo ponto. 3. Dado que a homotetia multiplica as distâncias entre pontos pelo módulo da respetiva razão, então, no caso particular dos triângulos, garante-se que estes são semelhantes (critério LLL) e a razão de semelhança é Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 15

16 4.. Como OE 6 3 OA = 8 = 4 e OA ɺ e OE ɺ são semirretas opostas, então 3 r = Pelo Teorema de Tales sabe-se que uma homotetia multiplica as distâncias entre pontos pelo módulo da respetiva razão. Assim, garante-se que os polígonos são semelhantes A razão de semelhança que transforma o polígono [ABCD] no polígono [EFGH] é 3 3 =. 4 4 Logo, a razão de semelhança que transforma o polígono [EFGH] no polígono [ABCD] é 4 3. Aplicar Pág A razão de semelhança que transforma A em B é Sabe-se que dados dois polígonos semelhantes de razão de semelhança r, a razão entre as suas áreas é r. Assim, A x B 3 9 = AB = x. 4. Largura, l, do terreno de maior área: 4800 l = = 40 m 10 Perímetro, P, do terreno de maior área: P = ( ) m = ( ) m = 30 m Determinemos a razão de semelhança que transforma o terreno de menor área no de maior área: 4800 = = 4 = 4 = 100 r r r r > 0 Como a razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança, o perímetro do terreno menor, x, é dado por: x x 160 x = = = O perímetro do campo menor é 160 m Como os triângulos semelhantes têm os ângulos correspondentes geometricamente iguais, então as amplitudes dos ângulos do triângulo ampliado são iguais às amplitudes dos ângulos correspondentes do triângulo [ABC], ou seja, A' B ' C ' = 90º ; A' C ' B ' = 45º = C ' B ' A' Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 16

17 3.. Como o triângulo é isósceles, então AB = AC = 3 mm. Logo, a área do triângulo [ABC] é 3 3 mm = 4,5 mm 3.3. Como a razão de semelhança da ampliação é 3, então a área A do triângulo ampliado é dado por: A 4,5 = 3 A = 9 4,5 A = 40,5. A área do triângulo ampliado é 40,5 mm Como a razão entre os perímetros de figuras semelhantes é igual à razão de semelhança, então o perímetro P do triângulo ampliado é dado por: P 10,4 = 3 P = 3 10,4 P = 30,7 O perímetro do triângulo ampliado é 30,7 mm. Aplicar Pág AB = 3EF e CE = 5EF. Logo, AB 3 CE = DF = EF, pelo que 1 EF = DF. Assim, 1 3 DF AB 3 = =. CE DF Os quocientes são iguais..1. Pelo Teorema de Tales, tem-se: ( ) EC = 15 EC = EC 15 EC = EC 15EC 9EC = EC 108 6EC = 108 EC = = 18 6 Logo, BC = ( ) cm = 30 cm... EC = 18 cm e BE = 1 cm. Tomando BE como unidade de medida, tem-se: 18 EC = = 1,5 unidades de BE. 1 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 17

18 Aplicar Pág A afirmação é falsa. 1.. A afirmação é verdadeira. Basta considerar o triângulo retângulo de catetos 3 cm, 4 cm e de hipotenusa 5 cm.. Por exemplo: Os segmentos [AC] e [BD] são comensuráveis. Os segmentos [AO] e [AB] são incomensuráveis Por exemplo: [AB] e [AC] ; [CE] e [CF] 3.. Por exemplo: [AB] e [GH] Atividades fundamentais Pág Resposta (A), pois é uma sequência de segmentos de reta num dado plano, tal que: pares de segmentos partilham um extremo; segmentos que se intersetam não são colineares; não há mais do que dois segmentos partilhando um extremo.. Um polígono é a união dos lados de uma linha poligonal fechada com a respetiva parte interna. Resposta: (D) 3. Analisemos cada uma das seguintes opções: (A): A afirmação é falsa, poi um triângulo isósceles (que não equilátero) tem dois ângulos geometricamente iguais, os quais se opõem aos lados geometricamente iguais. (B): A afirmação é falsa, pois os ângulos de um triângulo equilátero são geometricamente iguais de amplitude 60º. (C): A Afirmação é falsa, pois a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º. (D): A afirmação é verdadeira, pois a soma das amplitudes dos restantes dois ângulos internos é igual a 90º, o que implica que sejam ambos agudos. Resposta: (D) Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 18

19 4. Como sabemos que o perímetro de um terreno retangular é de 600 m e que efetuamos um desenho à escala desse terreno à escala 1 : 100, então podemos apenas tirar conclusões acerca do perímetro. Resposta: (B) 5. Os triângulos [BCD] e [ABD] são semelhantes. Assim: 6,4 BD = BD = 6, 4 10 BD = 64 BD = 64 BD = 8 EC 10 BD > 0 Resposta: (C) Atividades fundamentais Pág Aplicando o Teorema de Tales, obtém-se: x 6 9,9 6 = x = = 4,5 9,9 13, 13, Resposta: (C) 7. Os triângulos obtidos por cada um dos amigos no mesmo instante são semelhantes. Assim: 1,80,88,88 = x = 1,6 =,59 1,6 x 1,80 Resposta: (B) 8. Determinemos o valor de y: 11,9 y 47,6 = 4 11,9 = 8,5y 47,6 = 8,5y = y 5,6 = y 8,5 4 8,5 Determinemos o valor de x: 11,9 4,9 4,9 8,5 = x = = 3,5 8,5 x 11,9 Logo, x = 3,5 cm e y = 5,6 cm. Resposta: (B) Atividades fundamentais Pág Dimensões no desenho (cm) Dimensões no real (cm) 7, x Logo, a escala utilizada foi 1 : Resposta: (C) 7600 x = = ,6 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 19

20 10.1. Sabe-se que CB = 7 cm e DE = 5, cm. Como CE = CB = 7 cm (são raios do círculo), então CD = CE + DE = 7 + 5, = 1,. Assim, o perímetro do retângulo é dado por: P = ( 7 + 1,) cm = ( , 4) cm = 38,4 cm Resposta: (A) 10.. A área do círculo, em cm, é dada por: ( CB) A = π = π = π Resposta: (A) A área, em cm, da parte do retângulo não contida no círculo é igual à diferença entre a área do retângulo e 1 4 da área do círculo. 49π A = ( 7 1,) = 85, 4 1,5π 4 Resposta: (A) Atividades fundamentais Pág Área, em metros quadrados, do círculo: A = π 5 = 5π Área, em metros quadrados, do losango: 5 5 A = = 5 A área da parte do jardim que não é ocupado pelo losango é igual à diferença entre as áreas do círculo e do losango. ( 5 5) m 53,5 m ( 1 c.d. ) A = π Resposta: (B) 1. Os triângulos [ACD] e [ABC] são geometricamente iguais. Logo, a área do paralelogramo é igual à soma das áreas dos triângulos anteriores. A 5 = A = 10 [ ABC] [ ACD] A = 10 cm = 0 cm Logo, [ ] ( ) ABCD Resposta: (B) Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 0

21 13. Área, em centímetros quadrados, do quadrado: A [ ] = 0 = 400 ABCD Área, em centímetros quadrados, de quatro círculos de raio 10 cm: A = 4 π 10 = 4 100π = 400π Área, em centímetros quadrados, do quadrado colorido que não pertence aos círculos: 400π A = 400 = π 4 Assim, a área colorida é dada por: 1 A = 400π 4 100π π = 400π 100π π = 00π ,3 4 Resposta: (C) 14. AB 7 AB = 3,5 cm ; CD = 1 cm ; = cm CD Resposta: (C) Atividades fundamentais Pág BAC = DCA = 30º, pois são ângulos alternos internos de lados paralelos determinados pela secante AC. 1.. CAD = 180º ( 110º + 30º ) = 180º 130º = 40º (a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º) 1.3. DCB = BAD, pois ângulos opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais. Logo, DCB = 30º + 40º = 70º..1. A, B, C, E, F, G, H e I.. A, B, C, F e H.3. A, F e H.4. B, F e H.5. B, F, G e H 3.1. e 3.. Tem duas soluções: D ou D' Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 1

22 3.3. [ ] ( ) ( ) A = = 3 = 6 ABCD A área do paralelogramo [ABCD] é 6 cm. 4. Por exemplo: Atividades fundamentais Pág DCB = BAD = 35º, pois são ângulos opostos de um paralelogramo. Por outro lado, ECF = DCB = 35º, pois são ângulos verticalmente opostos. Logo: CFE = 180º ( 40º + 35º ) = 180º 75º = 105º 6. Os triângulos [ADE] e [ABC] são semelhantes, pois os comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais: AB AC BC = = AD AE DE Pelo recíproco do Teorema de Tales, conclui-se que os lados [BF] e [ED] são paralelos. Analogamente, como os triângulos [EFC] e [ABC] são semelhantes, então os lados [DB] e [EF] são paralelos, atendendo ao recíproco do Teorema de Tales. Logo, [BFED] é um quadrilátero com os lados opostos paralelos, ou seja, é um paralelogramo. 7. B e C pelo critério AA; E e F pelo critério LLL 8. [ADBC] é um retângulo. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página

23 Atividades fundamentais Pág Os triângulos da figura são semelhantes, pois a grande pirâmide da entrada do Museu do Louvre é uma reprodução à escala da Grande Pirâmide de Gizé. Assim, tem-se: 17,75 1, ,65 = x = 141,5 116 x 17,75 A Pirâmide de Gizé tem, aproximadamente, 141,5 m de altura Pelo Teorema de Tales, tem-se: BD 300 = = 10 + BD Logo, BD = 5 cm. 15 = 10 + BD 5 = BD 10.. Pelo Teorema de Tales, tem-se: 3, ,6 = BC = BC = 4,5 BC 5 4 Por outro lado: 6, ,5 = ED = ED = 5, ED 4 5 Portanto, BC = 4,5 cm e ED = 5, cm Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º, então: 360º ( 10º 50º 10º ) ADC = + + = 360º 90º = 70º 11.. a) Obtemos uma redução do quadrilátero [ABCD], sendo que cada comprimento dos lados é multiplicado por 3. Os ângulos correspondentes são geometricamente iguais. 4 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 3

24 b) Obtemos uma ampliação do quadrilátero [ABCD], onde os comprimentos dos lados são multiplicados por 1,3. Os ângulos correspondentes são geometricamente iguais. c) Vamos obter um quadrilátero geometricamente igual a [ABCD], pois a razão é 1. Atividades fundamentais Pág O triângulo [ABD] é semelhante ao triângulo [ABC] pois são triângulos retângulos e têm um ângulo agudo em comum. Da mesma forma, o triângulo [BCD] é semelhante ao triângulo [ABC]. Assim, o triângulo [ABD] é semelhante ao triângulo [DBC]. 1.. AB AD DB = = BC DB DC 1.3. Pela igualdade anterior, tem-se: ( ),5 DB DB,5 6,8 DB 17 DB 17, DB 0 DB 4,1 DB = 6,8 = = = > A casa do Daniel ficou, aproximadamente, a 4,1 km da casa do Bernardo Na figura podem observar-se seis triângulos: [ABF], [ABE], [ACD], [AFE], [FDE] e [ADE] a) Os triângulos [ABF] e [ACD] são semelhantes pois têm um ângulo em comum (BAD) e têm um ângulo reto. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 4

25 b) Os triângulos [DEF] e [ABF] têm um ângulo reto e os ângulos [DFE] e [AFB] são geometricamente iguais, pois são ângulos verticalmente opostos. Portanto, pelo critério AA, os triângulos são semelhantes a) Como EF 1,8 cm e EB 3 cm, = = então ( ) FB = 3 1,8 cm = 1, cm. b) AB FB AB 1, 1, 3 = = AB = =. Logo, AB = cm. ED FE 3 1,8 1,8 b) AF FB AF 1, 3,5 1, 4, 4 7 = = AF = = = =. FD FE 3,5 1,8 1,8 1, Logo, 7 AF = cm A[ EFD ] ( 3 1,8 ) 5, 4 = cm = cm =,7 cm A área do triângulo [EFD] é,7 cm ( ) P [ EFD] = 3 + 1,8 + 3,5 cm = 8,3 cm O perímetro do triângulo [EFD] é 8,30 cm A razão de semelhança, r, é dada pelo quociente da metade dos comprimentos de dois lados correspondentes: 1,8 r = = 1,5 1, Como a razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança e a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança, então: A A [ EFD] [ ABF ],7 = A[ ] = A EFD [ EFD] = 1,5 1,5 1, A área do triângulo [ABF] é 1,0 cm. P P [ EFD] [ ABF ] P[ EFD] 8,30 = 1,5 P[ ] = P[ ] = P[ ] 5,53 ABF EFD EFD 1,5 1,5 O perímetro do triângulo [ABF] é aproximadamente 5,53 cm. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 5

26 Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Curvas abertas: (C) e (F) Curvas fechadas: (A), (B), (D) e (E) Curvas simples: (B), (C), (E) e (F).1. (A), (B), (D), (F), (G) e (H).. (B), (D), (F) e (G).3. (D) e (F).4. (B) e (G) 3. O ângulo externo adjacente ao ângulo de amplitude 150º é suplementar. Assim, a sua amplitude é 30º. Como o polígono é regular e a soma das amplitudes dos ângulos externos é 360º, tem-se: 360º = 30º, sendo n o número de ângulos do polígono (coincide com o número de lado). n 360º 360º = 30º n = = 1 n 30º O polígono tem 1 lados A soma, em graus, das amplitudes dos ângulos internos de um polígono com n lados é dada pela fórmula: ( n ) 180. ( 6 ) 180 = = 70 A soma das amplitudes dos ângulos internos do hexágono é 70º. 4.. a ɵ = 180º 135º = 45º, pois os ângulos são suplementares. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág a ɵ = 64º, pois o triângulo é isósceles e a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais. b ɵ = 180º 64º = 180º 18º = 5º cɵ = bɵ = 5º, pois são ângulos verticalmente opostos. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 6

27 d = aɵ + 64º = 18º, pois num triângulos a amplitude de qualquer ângulo externo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo não adjacentes. eɵ = d = 18º, pois são ângulos verticalmente opostos. 5.. a ɵ = 44º, pois num triângulo a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais. b ɵ = 180º 44º = 180º 88º = 9º ɵ 180º 58º 1º c = d = = = 61º, pois a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais a ɵ = 180º ( 17º + 4º ) = 180º 169º = 11º, pois a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo e igual a 180º. b ɵ = 180º 17º = 53º, pois são ângulos suplementares. cɵ = bɵ = 53º, pois num triângulo a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais. 180º 53º 74º d = = 6. DCB = BDC = 3º, pois num triângulo a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais. Logo, a ɵ = 180º 3º = 116º, pois a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo e igual a 180º. b ɵ = 360º ( 100º + 116º ) = 360º 16º = 144º 7.1. A soma das amplitudes dos ângulos internos é igual a ( 6 ) 180º = 70º. Logo, ɵ ɵ ɵ 540º 4 a + 90º = 70º 4 a = 540º a = aɵ = 135º bɵ = 180º aɵ = 180º 135º = 45º ; c ɵ = 180º 90º = 90º 8. A Ana não tem razão no caso da figura A, pois = 78 e 360 não é divisível por 7. No caso da figura B, a Ana tem razão, pois 156 é a amplitude dos ângulos internos de um polígono regular com 15 lados. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 7

28 Exercícios, problemas e desafios complementares Pág A ( 1,5 ; 1) ; B (1,5 ;,5) ; C (4 ; 1,5) 9.. Por exemplo: D (1, 0) [AOFG] é um losango, pois é um paralelogramo com dois lados consecutivos geometricamente iguais. CB = FG = GA = 3 cm 10.. Pelos dados da figura, sabe-se que: ( ) AB = OC = 3 cm = 6 cm = ED Por outro lado, CD = OE = 6 cm. CB = FG = GA = 3 cm Assim, P[ ] = 3 AB + 4 FG = GA = = = 30 ABCDEFG O perímetro do polígono [ABCDEFG] é 30 cm. 11. Vejamos o comprimento dos lados do paralelogramo. Sabe-se que os lados opostos são geometricamente iguais. Dado que o perímetro é 4 cm e o comprimento de um lado é 1 3 do comprimento do lado do outro, então tem-se a equação: 1 x + x = 4, onde x representa o comprimento do lado do paralelogramo maior. 3 Resolvendo a equação, obtém-se: 7 x + x = 4 6x + x = 7 8x = 7 x = x = Portanto, o comprimento de dois lados é 9 cm e o comprimento dos outros dois é 1 9 cm = 3 cm. 3 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 8

29 Construindo o paralelogramo, obtém-se: 1.1. EDC = 180º 130º = 50º, pois os ângulos adjacentes a um mesmo lado do paralelogramos são suplementares. 1.. BAG = GCB = EDF = FED = 130º Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Se AO = OB, então [ABCD] é um retângulo, porque as diagonais do paralelogramo têm o mesmo comprimento dado que O é o ponto médio dos mesmos. Ora, se as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo comprimento, o paralelogramo é um retângulo a) Os quatro triângulos são geometricamente iguais, porque têm, respetivamente, os três lados geometricamente iguais. b) Se os triângulos são isósceles, então o losango é um quadrado, porque se as diagonais de um losango têm o mesmo comprimento o losango é quadrado Marquemos um ponto B na reta r e tracemos o segmento [AB]. Tracemos duas perpendiculares a [AB] que contenham os pontos A e B. Finalmente, tracemos um segmento [CD] paralelo a [AB]. Podemos obter, por exemplo: 14.. Comecemos por traçar o segmento de reta [AB]. Em seguida, tracemos a mediatriz do segmento [AB]; as semirretas AC ɺ e BD ɺ e que contenham o ponto de interseção da mediatriz com a reta r ; os lados [AD] e [BC] pediculares ao segmento de reta [AB] e, finalmente, o segmento [DC]. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 9

30 Obtém-se: Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Marquemos o ponto B na reta r e tracemos o segmento de reta [AB]. Recorrendo a régua e compasso tracemos o lado [AD] paralelo a [AB] e com o mesmo comprimento, Tracemos, finalmente, [BC] e [AD] paralelos e de igual comprimento. Obtém-se: Determinemos o comprimento do lado do quadrado: EB = 100 cm = 10 cm Logo, a área do paralelogramo é dada por: A AB EB ( ) A área do paralelogramo [ABCD] é 150 cm A[ ABFD ] = 10 = 10 = 15 A área do trapézio [ABFD] é 15 cm. = = = = Área do trapézio: a cm = 8a cm Área do triângulo: ( ) a cm = 8a cm Logo, os polígonos [ABCD] e [AED] são equivalentes. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 30

31 A[ ADBC ] = = 1 A área do papagaio é 1 cm Determinemos AE utilizando o facto de a área do triângulo [ABD] ser 6 cm : A [ ABD] BD AE 4 AE = = = AE Logo, AE 6 AE 3 = =. Portanto, ( ) 4 10 Assim, A[ ABCD ] = = 0. A área do papagaio [ABCD] é 0 cm. AC = cm = 10 cm. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág O perímetro da figura é dado por: π 6 π 3 π 3 P = + + = π 6 + π 3 + π 3 = 6π + 3π + 3π = 1π 37,7 O perímetro da figura é aproximadamente igual a 37,7 cm A área da figura é dada por: 6 R A π π 36π = = = = 18π 56,5 A área da figura é aproximadamente igual a 56,5 cm. 0. Determinemos o comprimento da linha onde percorre o caracola A: P A π 3 6π = = = 3π Determinemos o comprimento da linha onde percorre o caracola B: P B π = 3 = 3π Logo, uma vez que os caracóis se deslocam à mesma velocidade, então chegam ao mesmo tempo ao ponto Q Os triângulos são geometricamente iguais, atendendo ao critério LLL de igualdade de triângulos. 1.. Os triângulos não são geometricamente iguais. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 31

32 1.3. Os triângulos são geometricamente iguais, atendendo ao critério ALA de igualdade de triângulos Os triângulos são geometricamente iguais, atendendo ao critério ALA de igualdade de triângulos Os triângulos são geometricamente iguais, atendendo ao critério LAL de igualdade de triângulos. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág As figuras A e B são semelhantes As figuras são semelhantes, logo o comprimento dos lados correspondentes são proporcionais. Altura total da casa menor: 1 h = h = 4 Comprimento da casa maior: 1 a 5 = a = =,5 5 Largura da casa maior: 1 1,5 = b = 1,5 = 3 b Completando a tabela, obtém-se: Casa maior Casa menor Altura total 4 cm cm Altura da parede total cm 1 cm Comprimento 5 cm,5 cm Largura 3 cm 1,5 cm a) r 1 = = 0,5 b) r = = 1 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 3

33 4.1. Não, pois 4 1,5 3 1 diretamente proporcionais., isto é, os comprimentos dos lados correspondentes não são 4.. Construamos um retângulo semelhante ao retângulo [ABCD] multiplicando cada comprimento do lado deste por 1,5. Obtém-se: Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Sejam os círculos A e B de raios r e r', respetivamente. Desenhando os círculos B' e A' geometricamente iguais, respetivamente, aos círculos B e r ' A e concêntricos, existe uma homotetia de razão que transforma A' em B'. Logo, A e B r são semelhantes, ou seja, dois círculos são sempre semelhantes. 5.. A razão entre o raio do círculo A e o raio do círculo B é Área do círculo A: π 1 = π ( m ) ; área do círculo B: π 3 = 9π ( m ) Razão entre as áreas do círculo A e do círculo B: π 1 = 9π 9 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 33

34 5.4. A razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão entre os raios, pois 1 1 = r =. Por exemplo: r =. Por exemplo: Dois quadrados quaisquer são sempre semelhantes, pois os ângulos internos são retos (logo geometricamente iguais) e é sempre igual o quociente entre os comprimentos dos lados de um e do outro. 7.. a) 3 3 A' B ' = AB cm = 8 cm = 1 cm ; E ' F ' = EF cm = cm = cm 4 b) 3 3 A' B ' = AB cm = 8 cm = 6 cm ; E ' F ' = EF cm = cm = cm c) 7 7 A' B ' = AB cm = 8 cm = 8 cm ; E ' F ' = EF cm = cm = cm 4 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 34

35 Exercícios, problemas e desafios complementares Pág AB BD = = DF = = 6 CE DF 4 DF Logo, DF = 6 cm. 8.. OA OB = = = OH OG 4 18 OG 6 OG 1 6 OG = OG = 7 18 Logo, OG = 7 cm. 9. Tracemos a semirreta AC ɺ. Com o compasso constrói-se cinco segmentos de reta de igual comprimento. De seguida, traça-se o segmento [BC] e quatro segmentos paralelos a este Pelo Teorema de Tales, tem-se: Portanto, x = 1,6 m. x 4 4 0,8 = x = = 1,6 0, h 5 0,8 5 = h = h = 4 0,8 Logo, h = 4 m Ângulos verticalmente opostos. Os ângulos são geometricamente iguais Como BC BA CBA = DBE e =, então os triângulos são semelhantes atendendo ao BE BD critério de semelhança LAL DOC = AOB = 35º, pois são ângulos verticalmente opostos. 3.. Os triângulos da figura são geometricamente iguais atendendo ao critério ALA de igualdade de triângulos. Logo, AB = CD = 3, 4 cm. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 35

36 Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Dados dois triângulos semelhantes, os ângulos correspondentes são geometricamente iguais. Logo, EFD = BCA = 36º a) 6 DF 3,4 = DF = 6 DF = 10,. Portanto, DF = 10, cm. 3,4 b) BC 7,8 = BC = =,6. Logo, BC =,6 cm. 7, O triângulo [ABD] é semelhante ao triângulo [EFD], pois são ambos retângulos e partilham o mesmo ângulo (critério AA de semelhança) h = h = = Logo, h =, 6 cm A[ BDE ] = = 30 A área do triângulo [BDE] é igual a 30 cm Os triângulos da figura são semelhantes (critério AA). Assim, tem-se: 4,5 11 4,5 6 = x =,45 x 6 11 Logo, x, Os triângulos são semelhantes pelo critério AA. Assim, tem-se: 7 x 4 7 = x = 9, Logo, x 9,33 km. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes, pois são ambos retângulos e têm um ângulo em comum (critério AA). Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 36

37 36.. Determinemos o valor de h: h 8 8 = h = = 4 1 Determinemos o valor de x: x = x = = 4 5 Portanto, h = 4 cm e x = 4 5 cm Os triângulos são semelhantes atendendo ao critério AA de semelhança de triângulos Determinemos o valor de y: 3,6 3,6 1,5 = y = =,7 1,5 y Portanto, y =,7 cm Os triângulos são semelhantes atendendo ao critério AA de semelhança de triângulos A área do triângulo [ABC] é dada por: A[ ABC ] = = 1 A área do triângulo [ABC] é igual a 1 m Temos dois processos para determinar a área do triângulo [DEF]. Processo 1: = DE = = DE Logo, A 3 [ DEF ] = =. 3 Processo : Determinemos a razão de semelhança que transforma [ABC] no triângulo [DEF]: 1 r = =. 6 3 Logo, A A [ DEF ] [ ABC ] = A[ DEF ] 1 3 = =. 9 3 Portanto, a área do triângulo [DEF] é 4 3 m Se utilizarmos o processo na resolução da questão 38.3., a resposta a esta questão é óbvia. Admitamos que utilizamos o processo 1. A A [ DEF ] [ ABC ] EF 1 = = = e = = AB 6 3 Logo, a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos dos lados correspondentes. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 37

38 Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Os triângulos [ABD] e [FEB] são semelhantes, atendendo ao critério AA de semelhança de triângulos a) AD 7,5 7 = AD = = 3,5. Logo, AD = 3,5 m.,5 5 b) 7, + BF 11 = 7BF = 11+ 5BF 7BF 5BF = 11 BF = 11 BF = = 5,5 5 BF Logo, BD = ( 5,5 +, ) m = 7,7 m Os triângulos são semelhantes atendendo ao critério AA de semelhança de triângulos x 9 9 = x = = 1. A altura do poste maior é igual a 1 m. 1,5 1,5 41. Os triângulos da figura são semelhantes atendendo ao critério AA. h ,5 = h = h = 6 3,5 A altura do castelo é igual a 6 m. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Trata-se de uma homotetia inversa de centro no ponto O e razão. 3 O transformado de [AB] segundo esta homotetia é [GF], onde G é o transformado de B tal que OG = OB e F é o transformado de A tal que OF = OA O quadrado [EFGH] é uma redução do quadrado [ABCD] segundo a razão de semelhança 3. Como A [ ] = 9 cm = 81 cm, então: ABCD A A [ EFGH] [ ABCD] A[ EFGH] = A[ ] A[ ] 36 EFGH EFGH 3 = = = A área do quadrado [EFGH] é igual a 36 cm. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 38

39 43.1. AB = AE, porque são lados de um triângulo equilátero. CBA = AED = 60º, porque são ângulos internos de um triângulo equilátero. BC geometricamente iguais pelo critério LAL de igualdade de triângulos. = DE (hipótese). Logo, os triângulos são 43.. Os triângulos [ACD] e [AFG] são homotetias. O centro da homotetia é o ponto A e razão FG = CD = = 10. Logo, FG = 10 cm Possibilidades de resposta para completar a 1.ª afirmação: A altura do triângulo [BCA] é AM. A altura do triângulo [MDA] é AM. A altura do triângulo [CMA] é AM. A altura do triângulo [DEA] é AM. A altura do triângulo [BMA] é AM. A altura do triângulo [CDA] é AM. A altura do triângulo [MEA] é AM. A altura do triângulo [BEA] é AM. Para completar a 1.ª afirmação: A altura do triângulo [AFG] é AM. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Os triângulos 1 e 4 são semelhantes. A razão de semelhança de 1 para 4 é 0,5. Os triângulos 3 e 5 são semelhantes. A razão de semelhança de 3 para 5 é. Os triângulos e 6 são semelhantes. A razão de semelhança de para 6 é Os triângulos são semelhantes atendendo ao critério LAL: ' ' ' AB BC A B C = ABC = 81º = = 0,5 A' B ' B ' C ' AC ,5 A' C ' =, de acordo com a resposta da questão anterior. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 39

40 BD AD Os triângulos [ADB] e [A D B ] são semelhantes pelo critério LAL. Logo, = = 0,5. B ' D ' A' D ' Pelas questões anteriores, conclui-se que os quadriláteros são decompostos em dois triângulos semelhantes com a mesma razão de semelhança, pelo que os lados e as diagonais correspondentes são diretamente proporcionais. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Os triângulos [ADE] e [ABC] são semelhantes pelo critério LAL AC e BC são paralelas atendendo ao recíproco do Teorema de Tales Pelo Teorema de Tales, tem-se: 6 BC 3 = BC = 6 = 4, Logo, BC = 4,5 cm Os triângulos [DEF] e [BAC] são semelhantes pelo critério LAL, pois: AB DC DA BC = = = pelo Teorema de Tales; DF DF DE DE CBA = EDF, pois [ABCD] é um paralelogramo Traçando segmentos de reta paralelos a [AC] obtém-se triângulos semelhantes aos dados, pois os lados correspondentes são proporcionais. Por exemplo, os triângulos [BHG] e [IDJ] são semelhantes aos triângulos [DEF] e [BAC]. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Os ângulos EDF e GFD são geometricamente iguais, pois são ângulos internos alternos de lados paralelos ([DE] e [GF] são as bases do trapézio) Os triângulos [DFG] e [DEF] são isósceles, pelo que FDE = GFD = GDF = FED. Portanto, os triângulos são semelhantes atendendo ao critério AA. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 40

41 49. Consideremos um ponto O que representa o centro da homotetia. Desta forma, obtém-se de acordo com a homotetia inversa, o quadrilátero homotético: 50. Determinemos a razão de semelhança que transforma o triângulo A no triângulo B: r = 15 = 1,5 10 Assim, dado que a razão entre a área do triângulo B e a área do triângulo A é igual ao quadrado da razão de semelhança que transforma A em B, tem-se: AB ( 1,5 ) AB, 5 AB 18 A = 8 = = A A área do triângulo B é 18 cm. 51. Uma vez que a razão de semelhança é dois, então a área do quadrado obtido é vezes superior. Resposta: (D) Exercícios, problemas e desafios complementares Pág CD m ' m AB = 5.. AB = m e CD = m ' ; CD m ' m ' AB = m = m AB = 5AE e CD = AE ; Logo, 10 AB = unidades. 3 AB 5AE 10 = = 5 = CD 3 AE 3 3 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 41

42 AB = 5AE e EF = CD = AE ; AB EF 5AE 4 0 = = 5 = 3 AE Logo, 0 AB = unidades Por exemplo: [AB] e [AM], sendo M o ponto médio de [AB] Por exemplo: a aresta e a diagonal facial de um cubo. Autoavaliação Pág Número de retângulos: 50; número de quadrados: 00 Como qualquer quadrado é um retângulo, então o número de retângulos não quadrados é 50 00, ou seja, igual a Número de losangos: 75 Como qualquer quadrado é um losango, então o número de losangos não quadrados é 75 00, ou seja, igual a O número de paralelogramos que não são retângulos é igual a = O número de paralelogramos é 300 e o número de quadriláteros é 350. Logo, o número de quadriláteros que não são paralelogramos é igual a , ou seja, Os triângulos são semelhantes atendendo ao critério LAL de semelhança de triângulos... Atendendo aos lados correspondentes do triângulo, tem-se: 4 BC 8 = BC = 4 = 3, Logo, BC = 3, cm. 3. Obtemos um quadrilátero [A B C D ] obtido por uma homotetia inversa de razão em O. Os quadriláteros são isométricos. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 5 Página 4