= 60 2 Logo, se o triângulo [BOA] tem os três ângulos iguais, também tem os três lados iguais. Portanto, o triângulo [BOA] é equilátero.

Transcrição

1 5. Áreas e volumes de sólidos 1. h + 5 = 1 h = h = 144 h>0 h = 1 A = 1 1 = 5 A = 5 cm Resposta:(C) Pág AÔB = 60 : 6 = 60 Como OA = OB, vem que BÂO = O ˆBA pois, num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais. Então BÂO = O ˆBA = = 60 Logo, se o triângulo [BOA] tem os três ângulos iguais, também tem os três lados iguais. Portanto, o triângulo [BOA] é equilátero... = 1 6 ( ( Acírculo A 1 hexágono) π 6 6 A, 6 cm Resposta: (C). Os triângulos [ADC ] e [BCD] são semelhantes. AD CD = CD DB ) 6 6 5, 196, 6 CD = CD 6 CD = 6 CD = 1 CD = A [ABC] = AB CD = ( + 6) = 8 A [ABC] = 8 cm Resposta: (A) 4. AB = OC = 6, = 1, 4 A [OCDA] = OA + CD OC = 6, + 1, 4 6, = 57, 66 A = 57, π 6, = 57, 66 9, 61π 7, 47 A 7, 47cm Resposta: (D) 5. AD + DE = AE AD + (, 5) = 5 AD = 5 AD = 75 4 ( AD > 0 ) AD = 75 ( ) 5 AD = AD = 5 A [AED] = 5, 5 = 5 8 1

2 Os triângulos [AED] e [ABC ] são semelhantes pelo critério AA (são triângulos retângulos com um ângulo agudo comum). A razão de semelhança da ampliação é r = AC AE = 8 5 ( ) 8 A [ABC] = A [AED] = = 8 8 A área do quadrilátero [EBCD] é igual a A = A 8, 4cm Resposta:(A) 9 = 8, V = A base altura =, 4cm = (4, 5, 4)cm = 10, 8cm Pág V = A base altura = 6 8cm = 48cm 6.. 4,8 : =,4 h +, 4 = 4 h = 16 5, 76 h = 10, 4 h>0 h = 10, 4 h =, V = A base altura = 4,8, 4cm = 0, 7 cm 7.1. Como = 10, pelo teorema recíproco do Teorema de Pitágoras, o triângulo da base é retângulo. Portanto, A base = 8 6 cm = 4 cm 7.. V = A base altura = 4 1 cm = 88 cm 7.. A lateral = P base altura= = ( ) 1 cm = 88 cm 7.4. A total = A lateral + A base = (88 + 4)cm = 6 cm 8. V = A base altura V 191 cm 8 6 7, 4 8 cm 190, 656 cm 9. Caixa A: A base = 9, 6cm P base = 6cm Caixa B: A base = 5cm V B = 75cm 9.1. A base = P ba se ap 9, 6 = ap = 5, cm 6 ap 9, 6 = 6 ap 6 ap = 187, ap = 187, 6 ap = 5,

3 9.. V B = A base altura 75 = 5 h h = 75 5 h = 15 As caixas têm 15 cm de altura. V A = A base h = 9, 6 15 cm = 1404 cm V A V B = ( ) cm = 109 cm 9.. O cilindro de volume máximo tem altura igual à do prisma e raio da base igual ao apótema da base do prisma (é tangente às faces laterais do prisma) a) A base do prisma é um quadrado de lado 5 cm. Logo, o apótema da base é igual a,5 cm. V = π, 5 15 cm = 9, 75π cm 94, 5 cm b) V = π (5, ) 15 cm = 405, 6π cm 174, cm 1. A: Pirâmide pentagonal B: Pirâmide triangular C: Pirâmide hexagonal D: Pirâmide quadrangular. As pirâmides B, C e D não são regulares. Questão 1 Base: 4, : =,1 h +, 1 =, 5 h =, 5, 1 h>0 h = 7, 84 h =, 8 A base = Face 1: 4,, 8 = 5, 88 h +, 1 = 7, 5 h + 7, 5, 1 h = 51, 84 h>0 h = 51, 84 h = 7, A face 1 = Face e A faces = 4, 7,, 5 7, 5 = 15, 1 = 1, 15 A total = (5, , 1 + 1, 15) cm = 74, 5 cm Pág. 10 Pág. 11 Questão V = 1 A base altura = ( 1 5 ) 5 cm = 1, 5 cm Pág. 1

4 Questão.1. Volume da pirâmide [ABDV ] = ( ) cm = ( 4 8) cm = 96 cm Volume da pirâmide [ABCDV ] = 96 cm = 19 cm Pág A base altura = [ ] 1 (8 8) 9 cm = 19 cm 1.1. Pág. 14 V = = 96 V = 96 cm 1.. Comprimento do retângulo x: x + 8 = 17 x = x = 5 x>0 x = 15 V = = 400 V = 400 cm.1. Aresta do cubo: a = 5 cm = 10 cm. V = 1 V = 500 cm = V cubo = 10 = 1000 V = 1000 cm.1. A reta IJ é concorrente oblíqua com o plano ABC. Resposta: (B).. A reta HD é paralela ao plano ABC. Resposta:(D).. V = V prisma + V pirâmide Altura da pirâmide: IK + KJ = IJ } IK + 0, 6 = 1 IK = 1 0, 6 IK = 0, 64 ( IK > 0 ) IK = 0, 8 V = 1, 1, 1, , 1, 0, 8 =, , 84 =, 544 V =, 544 m = cm 4. V [DEF G] = 1 6 = 9 Os triângulos [ACG] e [DFG], tal como os triângulos [CBG] e [FEG] são semelhantes. Pág. 15 4

5 A razão de semelhança (ampliação) é: r = CG F G = 10 6 = 5 Então, AC = CB = 5 cm = 5 cm V [ABCG] = V = 15 cm 41, 7 cm 5.1. Por exemplo: a) a reta AB e o plano BCF b) os planos ABC e ABF = 15 V casa = V prisma + V pirâmide = , 5 = = 168 V casa = 168 m 6. V tronco = V [EF GH] V [ABCD] = V 1109, cm = , 1. Resposta: (C) Pág ( ) 60 ˆx = = ˆx = 60 9 = 68.. ˆx = 60 0 = Área do círculo = π 10 = 100 π.. C 1 : 100 π C : 100π 4 C : 100π 8 = 50π = 5π = 1, 5π Amplitude do ângulo ao centro (em graus) Área do setor circular (cm ) 50π 5π 1, 5π 50π 180 = 5 18 π ; 5π 90 = 5 18 π ; 1, 5π = π ; 50π 180 = 5π 1, 5π =

6 Questão 4 Pág π Por exemplo: x 45 x = π A = 81 8 π cm = 81 8 π Questão 5 A cone = A e + A base = ( π π 5 ) cm = (50π + 5π) cm = 75π cm Questão Pág. 18 Pág. 19 V 1, , 1 V 47, 1cm 6.. V 1, , 1 V 5, 1cm 1.1. Pág π 6 0 A 60 π 6 0 C A = 0 π 6 60 A 9, 4cm = 0, , 4 C = 0 π 6 60 C, 1 cm 60, , π A 60 π C A = 150 π 6 60 A 47, 1 cm 5400, , 1 C = 150 π 6 60 C 15, 7 cm 1800, , = π 6 40 A 40 π 6 A = 60 A 75, 4 cm 8640, , 4 60 π 6 40 C 40 1π C = 60 C 5, 1 cm 880, , 1 6

7 π C 50 π 14 C = 60 C 1, cm = π C 1400, , 10 π , 1416 C = 75, P = (75, ) cm 10, 7 cm.. 60 π A 50 π 14 A = 60 A 85, 5 cm 9800, , π A 1 A 1 = 45 π π 4 45 A = 4500π 60 = 5π A = A = 5π 45 π 4 60 = π π = 1π 1, 1416, 0 m 4.1. g = g = 100 Como g > 0, vem g = 10 cm Pág a) A = A lateral + A base = π π 6 = 60π + 6π = 96π 96, , 6 A 01, 6 cm b) 5.1. V = 1 A base altura = 1 π , , 6 V 01, 6 cm V cone = 1 V cilindro V sólido = V cilindro V cone ; V sólido = V cilindro 1 V cilindro = V cilindro 5.. r = 15 cm ; h = 40 cm a) V sólido = V cilindro = π = 6000π V sólido = 6000π cm 7

8 b) A base = π 15 = 5π Área lateral do cilindro: A cilindro = π = 100π Área lateral do cone = π r g g = g = 185 A cone = π A = 5π + 100π π 6490 A 6490 cm 6. V = V cilindro + V cone = π(0, 5) π (0, 5), 5, , 65, , 1 V 10, 1 cm 7.1. Os triângulos [OVB] e [O VD] são semelhantes pelo critério AA (são triângulos retângulos com um ângulo agudo comum). Logo: OB O D = OV O V , 5 = 15 + O V O V Seja x = O V ; 10 : 6,5 = 1,6 1, 6 = 15 + x x Logo, O V = 5 cm 1, 6x = 15 + x 1, 6x x = 15 0, 6x = 15 x = 15 0, 6 x = 5 V cone grande = 1 π 10 (15 + 5) = 1 π V cone pequeno = 1 π (6, 5) 5 1, 1416 (6, 5) 5 10, 7 V (4188, 8 10, 7) cm 166, 1 cm, 1661 dm, 17 L, , 8 1. São necessários cones para encher o cilindro. Pág. V cone = 1 A base altura = 1 V cilindro. Se V semiesfera = V cone, então V esfera = 4 V cone Logo: V esfera = 4 V cone = 4 1 π r h = 4 1 π r r = 4 πr Questão Pág. 4 V = 4 πr 4, 1416 (9, 5) 591 V = 591 cm 8

9 7.. A = 4πr 4, 1416 (9, 5) 114 A = 114 cm 1.1. r = 10 cm 1.. V = 1 4 π r, V 094 cm =,094 dm Como a capacidade da jarra é de aproximadamente L, a garrafa de água não é suficiente. A = 1 4πr, , A 68, cm. r = 9 cm.1... V = πr 1 6, , 7 V 81, 7 cm A = 1 8 4πr 1, , A 17, cm. Aresta: a cm ; r = a cm V caixa = a Pág. 5 V esfera = 4 πr = 4 π ( a a a 1 = a 6 πa a ( ) 1 π = 1 6 π 6 6 Resposta: (C) 4.1. a) h = 4 (r) = 8r b) V = A base h = πr 8r = 8πr c) ) = 4 π a 8 = 1 6 πa = 6 6 π V = 4 4 πr = 16 πr πr 8πr = 16 8 = As bolas ocupam do cilindro. 9

10 5. A semiesfera = 1 4 π 7, 5 cm 5, 49 cm A coroa circular = π (6 + 7, 5) π 7, 5 cm 95, 841 cm A chapéu (5, , 841) cm 749, cm Agora é a tua vez Pág. 6 A = 4πr 4, 1416 (600) A km 1.1. ha = hm = 0000 m Resposta: (B) Pág m = dm = L Resposta:(C) ml = 500 cm =,5 dm Resposta: (A).1. Os triângulos são semelhantes pelo critério AA (são triângulos retângulos com um ângulo comum).... CD = 1 CA CA CD = CA CD = A razão de semelhança que transforma o triângulo [DEC ] no triângulo [ABC ] é. A [ABC] = A [DEC] = ( 10 ) cm = 90 cm Resposta: (D) r = 1.1. V = 9 = 79 V = 79 cm Resposta: (A).. 9cm 1 = cm Resposta: (A).. V = = 7 V = 7 cm Resposta: (C) 4. a = AB, b = BC, c = CD 10

11 4.1. a b c = 000 cm 1 a 1 b 1 c = a b c V = 75 cm Resposta: (C) : 00 = = 7, 5 ( ) 1 = = 75 O paralelogramo da figura 5 tem 7,5 cm de altura. Resposta: (D) 5. A e B: 7π 7, C : 1, 6π 1, 6, A planificação B não representa um cilindro. 6. r = 10 cm h = 14 cm 6.1. V = A base altura = π = 1400π V = 1400π cm Resposta: (A) 6.. V cubo = ( ) cm = 8 cm A base = πr = π 10 = 100π A base = 100π cm 100π h = 8 h = 8 100π Resposta: (D) 7.1. Não. Nenhuma das faces é um quadrado. 7.. a) V = (7 6) cm = 16 cm b) A base = ( ) cm = 16 cm 8.1. V = A base altura = 4 V = 6 cm 6 = Hipotenusa da base: a a = + 4 a = 5 a>0 a = 5 A lateral = ( ) 6 = 1 6 = 7 A lateral = 7 cm 8.. A total = A lateral + A base = ( ) cm = 84 cm 9.1. A total = ( ) cm = 000 cm Pág m.d.c. (0, 15) = 5 0 : 5 = 4 15 : 5 = 4 4 = 48 Na caixa cabem 48 cubos. 11

12 cm = 5 dm ; 0 cm = dm 5 L = 5 dm 5 h = 0 h = 0, 5 h = 0,5 dm = 5 cm degraus são equivalente a 10 paralelepípedos retângulos de dimensões 0, m, 0, m e m V = (10, 0 0, ) m = 1,8 m 1.1. Os planos são concorrentes oblíquos. 1.. Volume do prisma triangular Altura do triângulo: h h + (0, 5) = 1 h = 1 0, 5 h>0 h = 0, 75 V = A base altura = 1 0, 75 Volume do paralelepípedo: V = 1 1 1, = 1, V casa = ( 0, 6 0, , ) m 1, 7 m 1, = 0, 6 0, V = ( ) cm = 76 cm Pág Por exemplo: a) a reta AE b) a reta EF c) os planos ABF e DCG d) os planos ABF e ABG e) a reta JN = 6 6 = 4 6 = 54 A: 6 cm ; B: 4 cm ; C : 54 cm 14.. a) A área total é multiplicada por 4. b) A área total é multiplicada por = V A = 1 cm = 1 cm V B = cm = 8 cm V C = cm = 7 cm a) V a = a V a = (a) = a = 8a O volume é multiplicado por = 8. b) V a = a V a = (a) = a = 7a O volume é multiplicado por = Por exemplo: a) os planos ABF e DCG 1

13 b) os planos ILK e IBC c) os planos EFG e BCF d) as retas AB e CF e) as retas BC e FG f) as retas BC e BF g) o plano EFG e a reta BF 15.. A reta é estritamente paralela (HGF e ADC são planos estritamente paralelos porque contêm faces opostas de um paralelepípedo) É perpendicular porque [ABCDEFGH ] é um paralelepípedo retângulo São estritamente paralelas porque contêm faces opostas de um paralelepípedo São perpendiculares porque [ABCDEFGH ] é um paralelepípedo retângulo V = ( ) 1, , 7 10 São necessários litros de água. m = (40 60) m = 80 m = dm Prisma quadrangular. Pág Prisma triangular Altura do triângulo [EFI ]: h + 5 = 6 h = 6 5h = 11 h>0 h = 11 ( ) V = ( 10 cm = ) 11 cm 1666 cm O ( semicilindro tem 1,5 cm de raio e 16) cm de altura. V = π (1, 5) 16 cm ( , 1416) cm 1197 cm 17.. A = π 1, π 1, 5 16 ( , 5, , 1416) cm 159 cm Por exemplo: a) as retas AE e BC b) as retas AB e CD c) as retas AB e BF d) as retas AB e AC 1

14 18.. V = ( 1 ) 5 m = 10 m, m V = 1 A base altura = ( ) cm = 48 cm Pág (ap) = 4 + ap = 5 ap>0 ap = 5 ap = 5 cm 19.. A lateral = cm = 60 cm A total = ( ) cm = 96 cm 0. V recipiente = ( ) cm = 100 cm Volume da água: Consideremos o esquema seguinte de um corte na pirâmide perpendicular à base e que passa no vértice: Os triângulos [AVB] e [CVD] são semelhantes pelo critério AA (têm um ângulo comum e ângulos agudos paralelos são iguais). AB CD = EV F V 0 CD = 9 0 CD CD = 10 4, 5 ( ) 1 Vágua = , 5 cm = 150 cm Volume Tempo (s) x x = = s 5 s = 5 s Resposta: (B) 1.1. A base = π cm = 9π cm 1.. A lateral == (π 5) cm = 15π cm 1.. A total = (9π + 15π) cm = 4π cm 1.4. h + = 5 h = 5 9 h = 16 h>0 h = 4 h = 4 cm 1.5. V cone = ( ) 1 9π 4 cm = 1π cm 14

15 .1. Altura do cone: h + (1, 5) = (, 5) h = 6, 5, 5 h = 4 h>0 h = V = V cilindro + V cone = π (1, 5), + 1 π (1, 5) 7,, , 5, , V moinho 7, m Resposta: (A).. A = A cilindro + A cone = P base h+ = π 1, 5, + π 1, 5, 5 9, 6, , 75, , 9 A 41, 9 m Resposta: (A). V depósito = V semiesfera + V cone = 1 4 π r + 1 π r h, , , 6 V depósito 141, 6 cm 0 L = 0 dm = cm 1 min 40 s = ( ) s = 100 s 100 s cm x 141,6 São necessários 10 segundos, aproximadamente Pág C = 1 πr 1, 8 = πr r = 1, 8 π V = 4 πr = 4 π ( 1, 8 π 0, m = ,5 cm , 5 cm ) = 4 1, 8 π π = 4 1, 8 π 0, V esfera = 4 πr V cone = 1 πr h V esfera = V cone 4 πr = 1 πr h 4r = r h h = 4r r h = 4r 6. O volume da água com h cm de altura é igual ao volume da esfera: Vágua = V esfera π 5 h = 4 π (1, 5) 5h = 4, 75 75h = 1, 5 h = 1, = r = 0 r = r = 56 r>0 r = 56 r = 16 r = 16 cm h = 0, 18 15

16 8. r = 6 cm h + 6 = 1 h = h = 108 h>0 h = 108 Comprimento: (4 6) cm = 4 cm Largura: ( h) cm= ( ) cm 1. V = 1 A base altura =. V M = V M = 676 V M = 6 A total = A base + 5 A face A total 108 cm ( ) , 5 10 cm = 84 cm , 5 6 6, , , 7 Pág. 4. h + 1 = 0 h = h = 56 h>0 h = 56 h = 16 V cone = 1 π 1 16 = 768π 768, , 75 V cone 41 cm columnbreak 4.1. r = 10 cm 60 π x x = 16 π = 1π O comprimento do arco AB é igual a 1π cm. 4.. Seja r o raio da base do cone. A geratriz do cone é g = 10 cm. O comprimento do arco AB é igual ao perímetro da base do cone: 1π = r = 6 r = 6 cm A total = A lateral + A base = πrg + πr = π π 6 = 60π + 6π = 96π A cone = 96π cm 5.1. Pág. 5 4 πr = πr = r = r r 10, π 4, 1416 r 10, 61 m 5.. A = 4πr 4 π (10, 6078) m 1414 m 6. r = (7 : ) cm = 1,5 cm 6.1. V = V cilindro + V cone = π (1, 5) 1, π ( 1, 5 ) 1,, 1416, , 79, , 06 V areia cm 16

17 6.. V semiesfera = 1 4 πr, 1416 (1, 5) 5, 15 V areia = V semiesfera + V parte do cilindro 10, 06 = 5, 15 + π (1, 5) h 5, 15 = π (1, 5) 5, 15 h h h 0, 900, 1416 (1, 5) h 0, 9 cm 7.1. A reta AD é estritamente paralela GHI porque os planos ADC e GHI são estritamente paralelos. 7.. Na figura está representado, em esquema, o corte do modelo da figura 8 pelo plano que passa em V e nos pontos médios dos lados [AB] e [DC ]. Os triângulos [RVS] e [UVX ] são semelhantes pelo critério AA (são triângulos retângulos com um ângulo agudo comum) RS UX = RV UV 9 UX = UX = UX = 18 = UX UX = 6 HI = UX = 1cm V prisma = cm = 160 cm ( 1 V tronco = ) cm = ( ) cm = 40 cm V casa = ( ) cm = 5040 cm : = 107,5 Apótema da pirâmide ap = , 5 ap = , 5 178, 900 m A lateral 4 A lateral m , Pág π 8 10 x x = 10 16π 60 = 16π 16, , 756 O arco AB tem aproximadamente 16,8 cm de comprimento π 8 10 x x = 10 64π 60 = 64π 64, , 01 A área da figura é aproximadamente 67,0 cm.1. Face da pirâmide: ap + 9 = 5 ap = ap>0 ap = 544 ap = 16 4 ap =

18 .. A = A base + A lateral A 101 cm , 59.. Altura do cone = altura da pirâmide (h) h + (15, 588) = ( 4 4 ) (4 ) h = 4 (15, 588) h 17, Raio da base do cone = apótema da base da pirâmide 15, 588 V cone = 1 π (15, 588) 17, , 87 V cone 4414, 8 cm 841, , V = V prisma V cone = 5 1 π (1, 5) 5 45, 75, 1416, 19 V, cm Pág r = 10 cm ; h = 5 cm 5.1. V = V semiesfera + V cilindro = 1 4 π r + π r h = π 10 + π 10 5 = = 000 ( ) 000 π + 500π = π = 9500π V = 9500π cm 5.. A lateral = πr h = π 10 5 = 500π A lateral = 500π cm 5.. A = 1 4πr = π 10 = 00π A = 00π cm 6. A = = = 84 A = 84 cm 7. Seja a a aresta do cubo. V cubo = a V pirâmide = 1 a a V pirâmide V cubo = 1 6 Resposta: (C) a = 1 6 a 18

19 8. Os triângulos [V QC] e [UP C] são semelhantes, pelo critério AA (são triângulos retângulos com um ângulo agudo comum). V Q V P = QC P C 1 5 = QC 1 = 5 QC QC = 6 5 QB = QC BC = 7, = 1, QC = 7, Volume do cone de raio da base: ( ) 1 QB : V = π (1, ) 1 cm = 5, 76π cm Volume do conde de raio da base: P C : V = 1 π 5 = 15π cm 1.1. A resposta esperada é sete faces. (5 faces da pirâmide quadrangular + 4 faces da pirâmide triangular faces que ficam sobrepostas). 1.. O sólido fica com cinco faces (das nove faces há duas que ficam sobrepostas e duas faces de um sólido que ficam, cada uma, no mesmo plano de duas faces do outro sólido). Pág V A = π 10, cm V B = 5, 5, 10 8 cm A A = ( π 10 + π 9) cm = (60, , 1416) cm 45 cm A B = 5, + 4 5, 10 cm 69 cm. Seja r o raio da bola. V A = πr 8r = 8πr V B = πr 4r + r r 4r = 4πr + 16r = 4 (π + 4) r V C = 4r 4r r = r V D = 4 πr + πr 6r = ( ) 4 π + 6π r Pág. 9 V D < V A < V B < V C 19

20 6. Trigonometria no triângulo retângulo Pág Critério AA. Os triângulos são semelhantes porque dois ângulos internos de um são iguais a dois ângulos internos de outro (são triângulos retângulos com um ângulo agudo igual) = 1, 5 = 4 Critério LLL. Os triângulos são semelhantes porque os comprimentos dos lados de um são diretamente proporcionais aos comprimentos dos lados do outro = 4 Critério LAL. Os triângulos são semelhantes porque os comprimentos de dois lados de um são diretamente proporcionais aos comprimentos de dois lados do outro e os ângulos por eles firmado em cada triângulo são iguais.. Os triângulos [ABE] e [ACD] são semelhantes pelo critério AA (são triângulos retângulos com um ângulo agudo comum). Logo, DC EB = DA EA = CA BA x 5 = y = x = 7 45 e y + 40 = x = e y + 40 = x = 56 e y = 4 Resposta: (C). A [BCD] = 4, 5 m = 4, 5 m Os triângulos [ABE] e [CDE] são semelhantes pelo critério AA, pois C ˆBE = E ˆBC e BÂE = DĈB. A razão de semelhança (da ampliação) é r = BE = 5 BD. Então, A [ABE] = ( ) 5 A [BCD] = 5 4 4, 5 m = 8, 15 m A secção = (4, 5 + 8, 15) m =, 65 m 4. Atendendo à semelhança dos triângulos, temos h = h = 10 h = 0 4 h = 0 cm 5.1. DC // AB e AB está contida no plano ABE. Logo, a reta DC é paralela ao plano ABE. Resposta: (C) Pág. 4 0

21 5.. Altura do triângulo [FEG] h + 1, 5 = h>0 h = 4, 5 h = 1, 75 ( ) 1, 75 ( V = m = 9 ) 1, m 65, 9 m 6.1. Se o triângulo [SLT ] é isósceles, a altura relativa à base [ST ] é igual ao raio da circunferência ( cm) Logo, ( 1 V = 6 ) 5 cm = 15 cm 6.. ( π V semicilindro = ) 5 cm = 45π cm π 15 = 45π 15 = π Área da superfície lateral do cone 60 π 1 40 x x = 40 π 1 60 A = 94π cm = 94π 7.. Área da superfície lateral do cone = π r g sendo r o raio da base e g a geratriz π r g = 94π r 1 = 94 r = 14 Seja h a altura do cone h + 14 = 1 h>0 h = h = 45 ( 1 V cone = π 14 ) ( 1 45 cm, ) 45 cm 1, 7 cm Pág a) e b) Por exemplo: c) Os triângulos [OPQ] e [OSR] são semelhantes pelo critério AA dado que P ÔQ = SÔR = θ e Q ˆP O = O ˆRS = 90. d) Os triângulos são semelhante pelo critério AA pois têm dois ângulos internos de um iguais a dois ângulos internos de outro: o ângulo reto e o ângulo agudo θ.. [ABG] [ACF ] [ADE] GB = GA 5 BA = 4 GA 5 GB = GA 4 F C F A = 6 10 = 5 CA = 8 F A 10 = 4 5 F C = 6 CA 8 = 4 ED EA = 9 15 = 5 DA = 1 EA 15 = 4 5 ED DA = 9 1 = 4 1

22 . a) b) comprimento do cateto oposto a α comprimento da hipotenusa = 5 comprimento do cateto adjacente a α comprimento da hipotenusa = 4 5 c) comprimento do cateto oposto a α comprimento do cateto adjacente a α = 4 Questão 1 Pág sin α = 4 5 cos α = 5 tan α = 4 sin β = 5 cos β = 4 5 tan β = 4 Questão Pág Os triângulos são semelhantes (critério AA) x, 75 = 7, 5 x =, 75 1, 5 x = 5, 65 5 x = 5,65 m.. Cálculo da hipotenusa h =, h>0 h = 9, 065 h = 6, 5 sin α =, : 15 = 6, 5 65 : 15 = a) m b) r 1.. a) r b) m cos α = : 15 = 6, 5 65 : 15 = 4 5 tan α =, 75 5 = 75 : : 15 = a) b) c) d) e) f) sin α = m a cos α = π a tan α = m r sin β = r a cos β = m a tan β = r m = = = = = = = = = = = = 1 Pág Triângulo Hipotenusa Cateto oposto Cateto adjacente [ABC ] [DEF ] [IGH ] 1 5 1

23 .. Triângulo [ABC ]: sin α = 1 9 Triângulo [DEF ]: sin α = 6 10 = 5 Triângulo [IGH ]: sin α = 5 1 cos α = 0 9 cos α = 8 10 = 4 5 cos α = 1 1 tan α = 1 0 tan α = 6 8 = 4 tan α = AB + AC = BC 4 + AC = 5 AC = AC = 49 AC = 7 ( AC > 0 ).. a) b) c) d) e) f) sin α = 7 5 cos α = 4 5 tan α = 7 4 sin β = 4 5 cos β = 7 5 tan β = I ) A soma das amplitudes dos três ângulos internos é um ângulo raso, ou seja, é igual a dois ângulos retos. Logo a soma dos dois ângulos não retos é igual a um ângulo reto. Portanto, cada um destes dois ângulos tem uma amplitude inferior à de um ângulo reto pelo que são dois ângulos agudos. II ) Se um dos ângulos agudos tem amplitude então o outro ângulo agudo tem a mesma amplitude porque a soma dos dois é um ângulo reto. Como num triângulo, a ângulos iguais, opõem-se lados iguais, o triângulo tem dois lados iguais. Logo, é isósceles < sin x < 1 pelo que sin x Num triângulo retângulo, se A é o comprimento da hipotenusa e se b e c são o comprimento dos catetos então 0 < b < a e 0 < c < a, dado que a hipotenusa é o maior dos lados. Então, 0 < b a < 1 e 0 < c a < 1, ou seja, se α é um dos ângulos agudos do triângulo, então 0 < sin α < 1 e 0 < cos α < A tangente de um ângulo agudo pode tomar qualquer valor real positivo Os triângulos [ADC ] e [CDB] são semelhantes Pág. 49 AD CD = DC DB = AC CB CD = CD 8 CD CD = 8 CD = 16 CD>0 CD = 4 CD = 4 cm 6.. AC = + 4 AC = 0 AC>0 AC = 4 5 AC = 5 BC = BC = 80 BC>0 BC = 16 5 BC = 4 5 P = = P = ( ) cm

24 6.. a) (DÂC ) sin = = a) ( sin C ˆBD ) = = 5 b) b) (DÂC ) cos = = 5 ( cos C ˆBD ) = = 5 5 c) c) (DÂC ) tan = = ( tan C ˆBD ) = = Os triângulos [ABC ] e [AED] são semelhantes pelo critério AA (são triângulos retângulos com um lado agudo comum). 7.. Da semelhança dos triângulos [ABC ] e [AED] resulta que AĈB = DÊA. a) c) (AĈB ) (DÊA ) sin = sin = AD AE = 5 (AĈB ) (DÊA ) tan = tan = AD DE = 4 b) (AĈB ) (DÊA ) cos = cos = DE AE = sin α = 5 AC BC = 5 4 BC = BC = 5 4 BC = 10 5 AC + AB = BC 4 + AB = 10 AB = AB>0 AB = 84 AB = 4 1 AB = a) tan (α) = AC AB = 4 1 = 1 b) c) sin β = AB BC = 1 1 = 10 5 cos β = AC BC = 4 10 = 5 tan β = AB AC = 1 1 = 4 Pág A soma dos três ângulos internos de um triângulo é igual a um ângulo raso. Logo, α + β é um ângulo reto pelo que α e β são complementares..1. a) b) c) sin α = c a cos α = b a tan α = c b.. a) b) c) sin β = b a cos β = c a tan β = b c.1. sin α = cos β.. cos α = sin β.. tan α = 1 tan β 4

25 4.1. c sin α cos α = a b a 5.1. sin α cos α = tan α = c a a b = c b 4.. b sin β cos β = a c a 5.. sin β cos β = tan β = b a a c = b c Questão Pág a) sin 0 = cos (90 0 ) = cos 70 b) cos 45 = sin (90 45 ) = sin 45 c) cos a = sin (90 a) d) cos (a 0 ) = sin [90 (a 0 )] = sin (90 a + 0 ) = sin (110 a).. tan α = 7 4 ; sin α = 0, 8; cos α = x tan α = sin α cos α 7 0, 8 = 4 x 7x = 4 0, 8 x = x = 4 4 x = 0, cos α = 0, 96 Questão 4 Pág. 5 sin α = 1. processo sin α + cos α = 1 ( ) + cos α = 1 cos α = cos α = 5 9 Como cos α > 0, temos cos α = 5. tan α = sin α cos α = 5 = 5 = 5. processo + x = x = 9 4 x>0 x = 5 5 cos α = tan α = sin 0 = cos (90 0 ) = cos 60 (verdadeira) Pág cos 0 = sin (90 0 ) = sin 60 (verdadeira) 1.. tan 0 = sin 0 cos 60 = cos 0 sin 60 5

26 (falsa) 1.4. sin 0 + cos 0 = 1 (verdadeira) 1.5. (sin 60 ) = sin 60 (verdadeira) 1.6. (sin 6 ) = sin 6 sin ( 6 ) (falsa). cos α = 1.1. sin α + cos α = 1 ( ) 1 sin α + = 1 sin α = sin α = sin α = ± 9.. Como sin α > 0, temos: 8 sin α = = tan α = sin α cos α = 8 1 = 8 = 8 =. tan α = x = 1 + x>0 x = 5 Se tan α =, sin α = 5 e cos α = 1 5 sin α + cos α = = (sin θ + cos θ) + (sin θ cos θ) = sin θ + cos θ + sin θ cos θ + sin θ + cos θ sin θ cos θ = = tan α + 1 tan α + 1 sin α cos α = sin α cos α (sin α) 1 tan θ + cos θ sin θ = 1 tan θ + 1 tan θ = tan θ cos θ + cos α + sin α (cos α) tan θ = ( sin θ ) = 1 + cos θ sin θ = sin θ + cos θ sin = 1 θ sin θ 1 = sin α + cos + 1 = sin α cos α sin α cos α sin α cos α = sin α cos α (1) (sin θ + cos θ) sin θ cos θ = sin θ + sin θ cos θ + cos θ sin θ cos θ = sin θ + cos θ = tan α + 1 = ( ) sin α + 1 = sin α cos α cos α + 1 = sin α + cos α cos = 1 α cos α 6

27 6.. tan α = tan α + 1 = 1 cos α + 1 = 1 cos α 1 cos α = 10 cos α = 1 10 Como cos α > 0, vem: 1 cos α = 10 = Num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais. Logo, BÂC = AĈB. Como BÂC + AĈB + C ˆBA = 180, BÂC = AĈB e C ˆBA = 90 vem BÂC + BÂC + 90 = 180 BÂC = 90 BAC = 45 Pág AC = AB + BC AC = AC>0 AC = a) tan 45 = 1 1 = 1 b) c) sin 45 = 1 cos 45 = 1.1. a) Cada um dos ângulos internos de um triângulo equilátero tem amplitude 180 : = 60. b) AĈB AĈM = = 60 = 0.. AM + MC = 1 ( ) 1 + MC = 1 MC = MC = 4 Como MC > 0, a) c) MC = sin 60 = MC AC = 1 = b) d) cos 60 = MC AC = 1 tan 60 = CM AM = 1 = = sin 0 = AM AC = 1 7

28 e) f) cos 0 = MC AC = tan 0 = AM 1 MC = = 1 = 1 Questão sin 0 tan 45 cos 60 = 1 ( 1 1 ) = (4) 4 = = () Pág (cos 0 + cos 45 ) 6 ( = + ) 6 = = = sin 0 + cos 0 + tan 45 = = Questão 6 (100 1,5) m = 98,5 m tan α = 98, 5 00 ( ) 98, 5 tan 1 6, 0 00 α 6, 0 0, 0 60 = 1, α 6 1 Questão 7 Pág x = cos 1 10 x 0, 857 x 8, x 8, 57 cm 7.. sin α = 1 8 ( ) 1 α = sin 1 7, cos α = 7 ( ( )) ( ( )) sin α + tan α = sin cos 1 + tan cos 1, C ˆBA = BĈA porque AB = AC Portanto, C ˆBA + C ˆBA + 90 = 180 C ˆBA = 90 C ˆBA = 45 Pág AB 5 = cos 45 AB = 5 AB = 5 cm 8

29 1... A [ABC] = AB AC A [ABC] = 6,5 cm = 5 5 = = 5 4 BC = 4 6 cm = 4 cm BÔC = = 60 6 Como OC = OB, temos C ˆBO = OĈB. Portanto, BÔC + C ˆBO + OĈB = 180 C ˆBO + C ˆBO + 60 = 180 C ˆBO = 10 C ˆBO = 60 P B = BC = 4 cm = cm OP ( P B = tan C ˆBO ) OP = tan (60 ) OP = OP = cm A = ( ) 4 cm = 4 cm c = 15 c = c = 15 c>0 c = 15 c = 5 5 c = 5 5 cm 11, cm sin α = sin α = ( ) α = sin 1 41, 8 cos β = cos β = ( ) β = cos 1 48,.. a = a = 08 a>0 a = 08 a = 08 cm 14, 4 cm tan α = 8 1 tan α = ( ) α = tan 1, 7 a] tan β = 1 8 tan β = ( ) β = tan 1 56, 9

30 .. β = = 6 r 0 = tan 7 r = 0 tan 7 r ( ) cm 15, cm 0 m = cos 7 m = 0 cos 7 m 0 cm, 7 cm 0, α = = r 17 = tan 58 r = 17 tan 58 r 17 1, 600 cm 7, cm 17 t = cos 58 t = 17 cos 58 t 17 cm, 1 cm 0, 599 Pág h = tan 45 5 h = 5 tan 45 = 5 1 = 5 Altura da árvore = (5 + 1,5) m = 6,5 m Questão 8 AC 6 = sin 0 AC = 6 sin 0 ( AC = 6 1 ) m = m Pág. 59 Questão 9 60 : 5 = 7 7 : = 6 0 : = h = tan 6 h = 10 tan tan 6 A = 5 A 688, m = 500 tan 6 0

31 AG = sin 10 AG = 500 sin 10 AG 500 0,176 m 879, 4 m Pág. 60. tan β = 8 ( ) β = tan 1 0, tan θ = 5 8 ( ) 5 θ = tan 1, α = θ β (, 005 0, 556) 11, 4. x = cos 4, 5 x =, 5 cos 4 h =, 5 x h = (, 5, 5 cos 4 ) cm 0, 6 cm 4. h = sin h = (10 sin 70 ) m 9,4 m 5. a 5 = sin 0 a 5 = 1 a =, 5 b 1, 4 = tan 70 b = 1, 4 tan 70 a + b + 1, 6 =, 5 + 1, 4 tan , 6 7, 9 m 1

32 Pág (, 6 1) m = 1, 6 m cos α = 1, 6, 6 ( ) 1, 6 α = cos 1, 6 5, Se a reta AB é tangente à circunferência no ponto B então AB BC. 7.. DĈB = = 70 O arco DB tem 70 de amplitude. 7.. a) 7 AC = sin 0 AD = AC DC = b) = π 7 90 x x = 90 π A 14,0 cm ( 7 ) sin , cm 1, 5 cm 14, 0 Pág CM + 6 = 1 CM = CM>0 CM = 108 CM = 6 CM = 6 CM = 6 cm 8.. AÔB = 60 : = 10 MÔB = 10 : = 60 6 r = sin 60 6 r = 1 = r r = 1 r = 1 r = 1 r = 4 cm 8.. ( ( A = π 4 ) 1 6 ) cm = ( 48π 6 ) cm

33 9.1. a) AÊD = = 108 β = Resposta: β = 6. b) α =? 60 AÔE = = 7 5 = 6 (o triângulo [AED] é isósceles) AO = EO, porque são raios da circunferência, logo o triângulo [AOE] é isósceles. OÊA = OÂE = α= 54 6 = 18 Resposta: α = 18. = sin 54 = h 7 h = 7 sin 54 AB =? cos 54 = x 7 x = 7 cos 54 AB = 7 cos 54 = 14 cos 54 =5 AB h = 5 14 cos 54 7 sin , 5 cm Resposta: A área pedia é, aproximadamente, 116,5 cm. 9.. cos 6 x = 14 cos 54 x = 14 cos 54 cos 6 AD = x = 14 cos 54 cos 6 1, Resposta: 1, cm 10. A base = 100 cm ; E ˆBA = AB = 100 = 10 cm Resposta: AB = 10 cm 10. AE =? tan 5 = AE AB AE = 10 tan 5 AE 1, 80 cm Resposta: AE 1,80 cm

34 10.. V = A base altura = 100 1, 80 = 180 cm = 1,80 dm 1,80 dm corresponde a 1,80 litros. Logo, a Helena não tem razão (1,8 l < 1,5 l) Prisma triangular reto. Pág V sólido =? A base[abc] = CB AC 7, V sólido 849, , 7 m. Cálculos auxiliares 849, 5888 m tan 50 = AC CB tan 50 = CB = CB tan 50 Logo, CB 7, 7595 Resposta: O volume pedido é, aproximadamente, 5487,7 m 11.. A total = A lateral + A bases A lateral = P [ABC] 0 A lateral = (45 + 7, , 74) , , m Cálculos auxiliares 1. BC = 45 7, 7595 tan 50 sin 50 = AB = AB sin 50 Logo, AB = 58, 74 Resposta: A área total pedida é, aproximadamente, 5944, m V sólido = V cilindro + V cone = π 1, π 1, 5 GE = 9π + 1 π 1, 5 tan 60 4, 4m Resposta: V 4,4 m Pág. 64 Agora { é a tua vez tan 0 = h x tan 0 = h 5+x { h = x tan { h = x tan h = (5 + x) tan 0 x tan = 5 tan 0 + x tan 0 { h = x tan x (tan tan 0 ) = 5 tan 0 { h = x tan 5 tan 0 x = tan tan 0 Logo, x 40, 06 e h 6, 0. Resposta: O castelo tem, aproximadamente, 6,0 m de altura. 4

35 1. Pág = 16 = 4 sin α = 5 cos α = 4 5 tan α = ( 1 ) = = 4 1 = 4 = sin α = 1 cos α = tan α =.1. BC = BC = 100 BC = 10 cm.. a) ( sin C ˆBA ) = 8 10 = 4 5 b) ( cos C ˆBA ) = 6 10 = 5 c) ( tan C ˆBA ) = 8 6 = 4 (AĈB ) d) sin = 6 10 = < sin α < < cos α < tan α > 0 5. A equação tan θ =, 7 é possível. Resposta: (B) 6. cos x = 1 m 0 < cos x < 1 0 < 1 m < 1 1 m > 0 1 m < 1 m > 1 m < 0 m < 1 m > 0 m ] 0, [ ( 8.1. Se tan C ˆBA ) = 1 então C ˆBA = 45 5

36 8.. Se C ˆBA = 45 então BĈA = = 45, pelo que o triângulo [ABC] é isósceles. Então AB = AC = 4 BC = BC = 4 BC = 4 ( sin C ˆBA ) = AC CB = 4 4 = 1 = = ( cos C ˆBA ) = AB CB = 4 4 = ( Logo, sin C ˆBA ) = cos ( C ˆBA ) 9.1. cos = sin (90 ) = sin 58 = 9.. sin 65 = cos (90 65 ) = cos sin (x 0 ) = cos (90 (x 0 )) = cos (90 x + 0 ) = cos (10 x) sin 0 = cos 60 = 1 cos 0 = sin 60 = 1 tan 0 sin 0 = cos 0 = = 1 = 1 = = Pág cos (5x) = sin 45 cos 5x = cos (90 45 ) cos 5x = 45 x = sin x = cos (x) cos (90 x) = cos (x) 90 x = x x = 90 x = ( ) x 0 cos = sin 80 ( ) x 0 cos = cos (90 80 ) x 0 = 10 x 0 = 0 x = sin α = 4 5 a) sin α + cos α = 1 ( ) 4 + cos α = 1 cos α = cos α = 9 5 cos α = 5 (cos α > 0) 6

37 b) tan α = sin α 4 cos α = 5 = 4 5 tan α + tan α = tan α = tan α = sin α cos α tan α = sin α cos α = sin α cos α sin α + cos α = 1 sin α = 1 cos α Logo, = 4 4 = 4 + = = 17 6 () () 4 = 1 cos α cos α 4cos α = 1 cos α4cos α + cos α = 1 5cos α = 1 cos α = 1 5 sin α = = 4 5 sin α cos α = = sin (90 α) = sin α + cos α = 1 ( 5 sin a + 5 (sin a > 0) sin a = cos α = 5 ) = 1 sin a = sin a = 4 5 sin a = 4 5 tan a = sin a cos a = sin a tan a = = = 5 = 5 = (sin θ cos θ) = 1 ( sin θ sin θ cos θ + cos θ ) = 1 ( sin θ + cos θ ) + sin θ cos θ = sin θ cos θ = sin θ cos θ cos θ 1 cos θ + sin θ = cos θ + sin θ = cos θ tan θ tan θ sin θ + sin θ = cos θ + sin θ = 1 sin θ sin θ AC BC = tan 60 AC 15 = AC = 15 A distância entre o António e o Carlos é 15 m 7

38 15.1. CD 1 = sin 45 CD 1 = CD = 1 cm CB = (1 + ) cm = 15 cm 1 CD = CD = Os triângulos [ABC ] e [EDC ] são semelhantes pelo critério AA (são triângulos retângulos com um ângulo agudo comum). Então, AC EC = BC DC Fazendo AE = x x = 15 1 x = 5 (x ) = 5 1 4x + 48 = x = x = 1 x = AE = cm cos α = 1 4 Logo, α = 0 cos α = 4 cos α =, 5 5 cos α = 1 Logo, α = 60 tan α = Logo, α = 45 tan α = 1 66 AĈB = = cos α = BC 100 = cos BC = 100 cos (90 ) BC = 100 cos 57 BC (100 0, 54) cm 54 cm 8

39 Pág CB =? sin 5 = 5 BC Logo, BC = 5 sin 5 8, 7 Resposta: BC 8,7 cm 18.. HI =? sin 5 = HI Logo, HI = sin 5 4, 7 Resposta: HI 4,7 cm AB =? cos 7 = AB 10 Logo, AB = 10 cos 7 8, 0 AC =? sin 7 = AC 10 Logo, AC = 10 sin 7 6, 0 Resposta: AB 8, 0cm ; AC 6, 0cm 18.. DF =? cos 4 = 5 DF Logo, DF = 5 cos 4 6, 7 Resposta: DF 6,7 cm JK =? cos = 5 JK Logo, JK = 5 cos 5, 9 Resposta: JK 5,9 cm 19.. DE =? cos 58 = DE 8 Logo, DE = 8 cos 58 4, EF =? sin 58 = EF 8 Logo, EF = 8 sin 58 6, 8 Resposta: DE 4, cm ; EF 6, 8cm 19.. IG =? cos 4 = IG 70 Logo, IG = 70 cos 4 58, 0 HI =? sin 4 = HI 70 Logo, HI = 70 sin 4 9, 1 Resposta: HI 9, 1cm ; IG 58, 0cm LK =? cos = LK 00 Logo, LK = 00 cos 169, 6 LY =? sin = LY 00 Logo, LY = 00 sin 106, 0 Resposta: LY 106, 0 cm ; LK 169, 6 cm 9

40 0.1. α =? tan α = 4 α = tan 1 ( 4 Logo, α 5, 1 β =? tan β = 4 β = tan 1 ( 4 ) ) Logo, β 6, 9 Resposta: α 5, 1 ; β 6, α =? cos α = 10 0 α = cos 1 Logo, α = 60 β =? sin β = 10 0 β = sin 1 Logo, β = 0 Resposta: = α60 ; β = 0 ( ) 10 0 ( ) α =? tan α = α = tg 1 Logo, α 50, β =? tan β = β = tg 1 ( ) ( ) Logo, β 6, 8 Resposta: α 50, ; β 9, α =? sin α = α = sin 1 Logo, α 56, 4 β =? cos β = β = cos 1 ( ) ( ) Logo, β, 6 Resposta: α 56, 4 ; β, ( ) 5 tg 1 =, Resposta: A amplitude do ângulo é de aproximadamente, sin, 9 = x 600 x = 600 sin, 9 x 0, 0 Resposta: Aproximadamente, 0,0 m. Pág. 68. BÂC =? (BÂC ) sin = CB AC BÂC = sin 1 ( ) 0, 5, 8 Logo, BÂC 10. Resposta: A amplitude do ângulo BAC é aproximadamente, 10.. tan α = 48, 00 α = tan 1 Logo, α 1, 5 Resposta: 1, 5 ( ) 48, 00 40

41 4.1. a) BÂC =?; BÂC = x tan x = BC AB Logo, x 0, 964 Resposta: BÂC 1 tan x = 6 60 x = tan 1 ( ) 6 60 b) AC =? AC = BC + AB AC = AC = 4896 Logo, AC 70 cm. Resposta: AC 70cm c) OB =? d) OB = AC Resposta: OB 5cm AÔB =? AO = OB logo o triângulo [AOB] é isósceles. OÂB = O ˆBA 0, 964 AÔB = 180 0, 964 Resposta: AÔB A = BC ( AB : ) = Resposta: Área = 540 cm 6 0 = AĈB = AĈD = 1 = 6 C ˆBA = DÂC = = 59 Resposta: C ˆBA = CD =? (AĈD ) tan = AD DC tan 1 = 6 DC DC = 6 tan 1 Área = 1 6 tan 1 59, 9 Resposta: A área é aproximadamente 59,9 cm Pág a) BÂE =? (BÂE ) tan = BE AB Logo, BÂE 6, 6 Resposta: BÂE 6, 6 BÂE = tan 1 ( ),

42 b) BÂC =? (BÂC ) tan = BC AB = 7 7 = 1 Logo,BÂC = 45. Resposta: BÂC = 45 c) EÂC =? EÂC = BÂC BÂE 45 6, 6 18, 4 Resposta: EÂC 18, AE não é bissetriz do ângulo BAC porque, BÂE EÂC. 7. AC = 8 cm ; DB = 4, cm 7.1. DĈB =? tan α =, 1 4 α = tan 1 ( ), 1 4 Logo, α 7, 699 DĈB = α 7, , 4 Resposta: DĈB 55, C ˆBA =? tan β = 4, 1 β = tan 1 ( ) 4, 1 Logo, β 6, 0 C ˆBA = β 6, 0 14, 6 Resposta: C ˆBA 14, P = AB + BC + CD + DA = 4 AB = 4 0, 41 18, 1 Cálculo auxiliar: AB = 4 +, 1 AB = 0, 41 Resposta: 18,1 cm 8. MC = MB + BC MB =? tan 5 = MB 40 MB = 40 tan 5 BC =? tan 56 = BC 40 BC = 40 tan MC = 40 tan tan 56 MC 87, Resposta: MC 87, m. AB = AC + CB 75 = = = 565 c. q. m. 4

43 9.. a) C ˆBA =? ( tan C ˆBA ) Logo, C ˆBA 7 Resposta: C ˆBA 7 = C ˆBA = tan 1 ( ) b) ( ) BÂC =?; tan BÂC = 60 BÂC = tan 1 45 ( ) Logo, BÂC 5 Resposta: BÂC 5 Pág tan 40 = 1, 6 x x = 1, 6 x 1, 91 tan 40 tan 40 h = h 16, 91 tan , 91 Logo, h 14, m Resposta: A altura da torre é, aproximadamente, 14, m α =? sin α = 0, 6 1, 9 α = sin 1 ( ) 0, 6 1, 9 α 18, 4 AĈB = α 18, 4 6, 8 Resposta: AĈB 6, Pelo teorema de Pitágoras:. d = 1, 9 0, 6 d =, 5. Logo, d 1, 80 m. Resposta: A distância da escada ao solo é de 1,80 m aproximadamente. tan 40 = x x = 0 tan 40 0 h = x + 1, 6 m h = 0 tan , 6 h 6, 8 m Resposta: A torre tem uma altura de, aproximadamente, 6,8 m.. sin x 1 + cos x = 1 cos x sin x sin x sin x (1 + cos x) = 1 cos x sin x (1 + cos x) sin x sin x (1 + cos x) = sin x sin x (1 + cos x) c. q. p. Pág. 71 4

44 4.1. AB =? cos 5 = AB AB = 10 cos 5 10 Logo, AB 74. Resposta: AB 74 km 4.. AC =? sin 5 = AC AC = 10 sin 5 10 Logo, AC 95. Resposta: AC 95 km 5. EC =? EA = x tan = Logo, x 74, 984 EC = AB x x = 10 tan 100 tan 7 = BD F B tan 7 74, AB 10 + AB = Logo, AB 19 Resposta: EC 19 m 6. BC =? sin 1 = 6 BC CA =? tan 1 = 6 AC 104, , 984 AB = tan 7 tan 7 10 BC = 6 sin 1 AC = 6 tan 1 BC + CA = 6 sin tan 1 7, Resposta: O bernardo vai percorrer, aproximadamente, 7, m 7. AB = x α = 110 : = 55 y =? sin 55 = y 5 y = 5 sin 55 x = 5 sin 55 x 8, m Resposta: x 8, m 44

45 Pág D ˆV E = D ˆV C Resposta: D ˆV E = EV =? V F =? = 40 = 0 tan 0 = ED EV EV = 6 EV 16, 4849 tan 0 tan 0 = F B V F V F = 10 V F 7, 4748 tan 0 Resposta: EV 16, 48 cm ; V F 7, 47 cm V balde = 1, , , , 4849 V balde 55, 7 cm, dm Resposta: A capacidade do balde é de aproximadamente, litros. sin 5 = h h = 0 sin 5 0 Logo, h 1, 679 cos 5 = x x = 0 cos 5 0 Logo, x 7, 189 DC 90 7, 189 6, 811 BC DC + h BC 6, , 679 BC 4105, Resposta: BC 64 km ( tan C ˆV ) B = CB ( CV tan C ˆV ) 0, 65 B = 0, 4 C ˆV B = tan 1 Logo, C ˆV B 58, 9 Resposta: C ˆV B 58, V B =? V B = V C + CB V B = 0, 4 + 0, 65 Logo, V B 0, 76 Resposta: V B 0, 76 m ( ) 0, 65 0, Área lateral do cone = π raio geratriz = π 0,65 0,76 1,6 m Resposta: A área lateral do cone é, aproximadamente, 1,6 m 45

46 Pág ( cos C ˆBA ) = BC AB = 6, 4 8 = 0, 8 C ˆBA = cos 1 (0, 8) 6, 8700 OB = OC. Logo OĈB = C ˆBO Então, como C ˆBO = C ˆBA, BÔC = 180 C ˆBA 180 6, , , 6 BM = BC = 6, 4 =, BO = 4 OM + BM = BO h +, = 4 h = 16 10, 4 h>0 h = 5, 76 h =, 4 A [BCO] = BC h A [BCO] = 7,68 cm = 6, 4, Área do setor circular BOC : 60 π 4 106,60 x x 106, 60, = 7, 68 x 17, 87 cm A colorida = A setor BOC A [BCO] 7, 68 14, 87 7, 16 cm A colorida 7,16 cm BA BC 7 = cos 50 BC = cos 50 7 = BC cos 50 7 BC = cos 50 r = OB = 1 BC = 1 7 5, 4450 cos 50 r 5, 4450 cm Área do triângulo [AOB] AO = OB BM = 7 =, 5 OM BM h, 5 = tan 50 h =, 5 tan 50 A [AOB] = 7, 5 tan 50 = tan 50 cm 14, 599 cm Área do setor circular AOC OÂB = A ˆBO = 50 BÔA = = 80 AÔC = = π r 100 x Como π, 1416 e r 5, 445, temos x 100, 1416 (5, 445) 60 cm 5, 87 cm A colorida = A círculo A [AOB] A setor AOC (, , , 599 5, 87 ) cm 5, 67 cm A 5, 7 cm 46

47 4.1. OR = cos 50 OQ OR = cos 50 OR = cos 50 RP = ( cos 50 ) m 0, 71 m 71 cm RP 71 cm 4.. Se QS = m então QR = 1 m QR QO = sin θ sin θ = 1 Logo, θ = cm = dm 1 m = 10 dm EC BC = sin θ EC = sin θ EC = sin θ EB BC = cos θ EB = cos θ EB = cos θ V prisma = A base + altura = A trapézio 10 = (4 + sin θ) 10 cos θ = 40 cos θ + 0 sin θ cos θ C (θ) = 40 cos θ + 0 sin θ cos θ AB + DC EB 10 = + ( + sin θ) cos θ 10 = 44.. C (60 ) = 40 cos sin 60 cos 60 = = Resposta: A capacidade do bebedouro é aproximadamente igual a 9 litros Hipotenusa [MA]. Pág Cateto oposto ao ângulo α : [MR]. 1.. Cateto adjunto ao ângulo α: [RA]..1. AV = AU + UV 7, 5 = 4, ,5 = 56,5 c. q. m... a) b) c) d) sin α = 4, 5 7, 5 = 5 sin β = 6 7, 5 = 4 5 e) cos α = 6 7, 5 = 4 5 cos β = 4, 5 7, 5 = 5 f) tan α = 4, 5 6 = 4 tan β = 6 4, 5 = 4 47

48 .1. RI =? RI = MI RI = 6 RI = 7 Logo, RI 5, cm α =?; cos α = ( ) 6 α = cos 1 α = 60 6 β =? β = β = 0 Resposta: RI 5, ; α = 60 ; β = 0.. AB =? cos = AB 5 AB = 5 cos BC =? sin = CB 5 BC = 5 sin β =? β = 90 β = 58 Logo AB 4, Logo, BC, 6 Resposta: β = 58 ; BC, 6 ; AB 4, 4. BC =? tan 48 = BC 60 BC = 60 tan 48 Área = AB BC = tan , Resposta: 998, m Pág tan 1 = 8 x x = 8 tan 1 x 4, 7 Resposta: A altura da grua é de, aproximadamente, 4,7 m 6. (BÂC ) 7 sin = 6 (BÂC ) Se sin = 9 6 = 6 = =, então BÂC = Como o triângulo [ABC ] é isósceles, vem BÂC = C ˆBA [CM ] é a altura relativa à base [AB], sendo M o ponto médio de [AB] : = 56, 5 C ˆBA = 90 56, 5 =, 5 BM BC = cos (, 5 ) BM 0, 89 m AB = BM 1, 668 AB 1, 67 m 7.. CM = sin (, 5 ) CM 0, 5519 m CM 0, 55 m 48

49 8.1. sin x cos x tan x (sin x cos x) = sin x cos x 1 tan x ( sin x sin x cos x + cos x ) = = tan x 1 tan x ( sin x + cos x ) + sin x cos x = tan x 1 + sin x cos x = tan x = sin x cos x = sin x cos x 8.. cos α = 1 4 a) sin α + cos α = 1 ( ) 1 sin α + = 1 sin α = sin α = sin α = 16 sin α = 4 b) tan a = sin a cos a = = 4 = cos ( ) ( ) 1 1 x + 60 = sin (x 0 ) cos x + 60 = cos (90 (x 0 )) 1 x + 60 = 90 x x + x = x + x = 60 x + x = 10 x = 10 x = x =? Pág. 76 tan 40 = x 5 x = 5 tan Altura: 1, tan 40 5,7 m Resposta: A altura é de aproximadamente 5,7 m. 55 = x + 4 x = 55 4 x = , 08 = 8 % Resposta: Como 8 % 10 %, o sinal de trânsito não está de acordo com o esquema... α =? sin α = 4 55 α = sin 1 ( ) ( ) 4 4 α = sin 1 α 9, sin α = 4 4 sin 9, 177 CB CB CB = 4 CB 6 m sin 9,

50 . V O = 0 cm AÔB = = 7 5 Resposta: A amplitude de AOB é 7... AB : = 10 : = 5 7 : = 6 tan 6 = 5 h h = 5 6, 88 tan 6 Resposta: A altura do triângulo é aproximadamente 6,9 cm... V = 1 A base altura V , Resposta: O volume é de 1147 cm 4.1. AB + BC = AC ( ) + 1 = AC + 1 = AC AC = ( AC > 0 ) (BÂC ) sin = BC AC = 1 Resposta: (D) (BÂC ) 4.. Se sin = 1 então BÂC = 0 AĈB = = 60 Pág cos β = cos α = 4 5 Resposta: (B) 6. AB AC = tan 0 AB 15 = 15 AB = AB = 15 A altura do edifício é de 7,5 m. AB = 7, 5 7. AĈB = = 0 Se AĈB = BÂC então AB = BC O triângulo [ABC ] é isósceles. Logo, se [BM ] é a altura do triângulo relativa à base [AC ], M é o ponto médio de [AC ]. Então: AM AB = sin 60 AM 10 = AM = 10 AM = 5 AC = AM = 5 = 10 50

51 MB AB = cos 60 MB 10 = 1 MB = 5 A [ABC] = 10 5 A [ABC] = 5 cm = 5 8. tan α = Por exemplo, x = + 1 x = 5 sin α = 5 cos α = sin α + cos α = 5 ( ) = = = c. q. m. 51

52 7. Lugares geométricos. Circunferência 1.1. A afirmação é verdadeira: BO = BV. Pág A afirmação é verdadeira. Num triângulo isósceles os ângulos adjacentes à base, considerando como base o lado [OV ], são iguais. 1.. A afirmação é falsa. A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180 e, neste caso, O ˆBV = 180 ( ) = = A afirmação é verdadeira. Os ângulos CBO e OBV são suplementares. Portanto, C ˆBO = 180 O ˆBV, ou seja, C ˆBO = = A afirmação é verdadeira. Os lados [CO] e [BO] do triângulo [OBC ] são raios e, portanto, são iguais A afirmação é verdadeira. Os ângulos CBO e OCB são adjacentes à base [BC ] do triângulo isósceles [OBC ] e, portanto, são iguais. Logo, OĈB = C ˆBO = A afirmação é verdadeira. A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180 e, neste caso, BÔC = 180 (0 + 0 ) = A afirmação é falsa. A soma das amplitudes dos ângulos AOB, BOC e COD é 180. Logo, CÔD = = A afirmação é verdadeira. Os ângulos BOC e COD são suplementares e, portanto, CÔD = = A afirmação é verdadeira. O triângulo [OBC ] é isósceles, pois dois dos lados, [BO] e [CO] são raios. Os ângulos adjacentes à base, CBO e OCB, são iguais. Logo, C ˆBO = OĈB = = A afirmação é verdadeira. O triângulo [OBC ] tem três ângulos internos iguais e, portanto, três lados iguais..4. A afirmação é falsa. Como as diagonais [AC ] e [BD] não são perpendiculares, o retângulo [ABCD] não é quadrado. Logo, DA AB, [DAB] é um triângulo retângulo e DB é a hipotenusa. Logo DB > DA e DB > AB..5. A afirmação é verdadeira. Um dos lados do ângulo COD, [DO], é um prolongamento do lado [BO] do triângulo e o outro lado do ângulo contém o lado [CO] do triângulo..6. A afirmação é falsa. O ponto D é o transformado do ponto B por uma rotação de centro O e amplitude A afirmação é falsa. O ponto A é o transformado do ponto D por uma rotação de centro O e amplitude A afirmação é verdadeira, pois AD = BC..9. A afirmação é verdadeira, pois BC = AD..10. A afirmação é falsa. [AC ] e [BD] não são perpendiculares..11. A afirmação é falsa. A imagem do ponto D por T DO é o ponto O..1. A afirmação é falsa. AĈB DĈA (AĈB = 60 e DĈA = 0 )..1. a) A soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é 60. Assim: F ĈE = = 15 Logo, a afirmação é verdadeira. Pág. 8 b) Os ângulos FCE e DCF são suplementares. Assim: DĈF = = 55 Logo, a afirmação é verdadeira. 5

53 c) A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180. Assim, F ˆDC = 180 ( ) = 5, a afirmação é falsa. d) Os ângulos ECB e DCF são verticalmente opostos. Assim: EĈB = DĈF = 55, a afirmação é verdadeira. e) Os ângulos BEC e CEA são suplementares. Assim: BÊC = = 80, a afirmação é falsa. f) A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180. Assim: C ˆBE + EĈB + BÊC = 180 e, portanto, C ˆBE = = 45. A afirmação é verdadeira... Pelo Teorema de Pitágoras, vem: F C = 6 4, 8 F C = 1, 96 F C = ± 1, 96 F C = ±, 6 Como F C > 0, F C =, 6. Resposta: F C= =,6 cm [ABCD] é um paralelogramo porque as suas diagonais se bissetam, uma vez que são as diagonais de duas circunferências concêntricas. 4.. O transformado do paralelogramo através de uma rotação de centro em O do segmento de reta [AB] nunca poderá originar um retângulo, uma vez que num retângulo as diagonais são iguais, o que não é o caso, pois as diagonais são diâmetros de duas circunferências concêntricas. 4.. Se [AB] e [CD] fossem perpendiculares, tendo em conta que se bissetam, o quadrilátero obtido seria um losango Por exemplo 5.. Por exemplo 6.1. Por exemplo, a translação de vetor AB 6.. Por exemplo, a rotação de centro A e amplitude Por exemplo, rotação de centro A e amplitude 10 seguida da translação de vetor AB. Pág. 85 No desenho I está representada uma bissetriz de um ângulo, o que corresponde à descrição da Catarina (C). No desenho II está representada uma circunferência de raio igual a metros, o que corresponde à descrição do Francisco (F). No desenho III está representada uma circunferência de raio igual a metros e a região exterior a esta, o que corresponde à descrição da Maria (M). No desenho IV está representada a mediatriz do segmento de reta [FT ], o que corresponde à descrição do Duarte (D). No desenho V está representado um círculo de raio igual a metros, o que corresponde à descrição do Tiago (T). No desenho VI está representada a região formada pelo conjunto de pontos que estão à mesma distância de F e T (mediatriz de [FT ]) ou mais próximos de F do que de T, o que corresponde à descrição da Inês (I). Resposta: I C; II F; III M; IV D; V T; VI I. 5

54 Pág. 86 Questão 1 O triângulo [ABC ] é isóscele porque, se o ponto C pertence à mediatriz de [AB], então AC = BC. Questão.1. a) Como P B OL e P A OS, os triângulos [OPB] e [OAP] são retângulos. Se o ponto P pertence ao ângulo SOL e é equidistante de OS e OL então P é equidistante dos pés das perpendiculares A e B. Logo, P A = P B Pelo teorema de Pitágoras OA colorblue) + AP = OP OA = OP AP Como OA > 0, temos OA = OP AP OB + BP = OP OB = OP BP Como OB > 0, temos OB = OP BP Logo, como AP = BP, vem OA = OB c) Os triângulos [OPB] e [OAP] são iguais pelo critério LLL (P A = P B, OA = OB e o lado [OP] é comum aos dois triângulos). d) AÔP = P ÔB porque, em triângulos iguais a lados iguais opõem-se ângulos iguais... P é um ponto da bissetriz do ângulo AOB porque a semirreta OP divide o ângulo em dois ângulos geometricamente iguais. Pág. 88 Questão Conjunto dos pontos do retângulo [ABCD] cuja distância a A é igual ou superior aad e que estão a menos distância de D do que B Na figura, a parte colorida representa o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância ao ponto O é maior ou igual a cm e menor ou igual a,5 cm. 54

55 Pág A posição do árbitro corresponde ao ponto de interseção das mediatrizes dos segmento de reta [JM ] e [MT ]. Resposta:.. O local onde pode estar a bola situa-se no interior de uma circunferência de centro no ponto T e raio 8 metros ou na mediatriz do segmento de reta [JM ], pertencentes ao retângulo de jogo. Resposta: 4. A quarta antena localiza-se dentro do retângulo [ABCD], no ponto de interseção da mediatriz do segmento de reta [QR] com a circunferência de centro no ponto P e raio com 5 km de comprimento. Pág A região do retângulo pretendida pertence à parte da mediatriz do segmento de reta [BC ] contida no círculo de centro A e raio 7,5 km A parte do caminho onde pode ser colocado o banco está contida na parte do retângulo limitado pela mediatriz do segmento de reta [MN ] que contém o ponto N

56 Pág Para obter a região pretendida, é necessário desenhar a mediatriz do segmento de reta [BD] e circunferência de centro em A e raio 7,5 m. A zona a sombrear corresponde ao exterior da circunferência e ao semiplano definido pela mediatriz de [BD], ao qual pertence o ponto B. 8. O ponto S é o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos ABC e BCD Lugar geométrico dos pontos do retângulo [OABC ] que distam três ou mais unidades do ponto O. 9.. Lugar geométrico dos pontos do quadrado [ABCD] que distam duas unidades ou menos de duas unidades do ponto D ou que estão à mesma distância dos ponto A e C ou mais próximos do ponto C do que do ponto A. 9.. Lugar geométrico dos pontos do círculo de centro no ponto B e de raio igual a quatro unidades e que estão a menos distância do ponto B do que do ponto A. 1. Como o ponto C pertence às mediatrizes dos segmento [PQ], [QR] e [RP] então CP = CQ = CR. Portanto, C é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.. I é equidistante de PQ, QR e PR. Pág

57 Pág. 94 Questão 4 Questão 5 Questão 6 Pág Os triângulos [ABC ] e [MNC ] são semelhantes pelo critério LAL de semelhança de triângulos dado que o vértice c é comum aos dois triângulos e os lados que formam este ângulo são proporcionais, pois, AC = BC =. MC NC 6.. Como a razão da ampliação é temos que AB = MN. Logo, 5 = MN pelo que MN =, 5 cm. Questão 7 Pág MN + MP = NP 6 + MP = 9 Como MP > 0, vem MP = = 15 MP = 15 cm 7.. MC = 1 MS = 1 P N = 1 9 = 19, 5 MC = 19, 5 cm 7.. MB = MC = ( 19, 5 ) cm = 1 cm 7.4. BC = 1 MC = ( 1 19, 5 ) cm = 6, 5 cm 7.5. AP = MP + MA AP = Como AP > 0, vem AP = AP = 61 cm 1. AĈB = IĈB = 8 = 76 BÂC = AĈB = 76 (o triângulo ABC é isósceles). IÂC = 1 BÂC = 1 76 = 8 CÎA = = 104 AI = 1 BC = 1 18 cm = 9 cm AG = AI = 9 cm = 6 cm 57

58 .1. r = OM = 1 MC = 1 8, 1 cm =, 7 cm.. d = OC = MC = 8, 1 cm = 10, 8 cm Pág C, E, F e G.. C.. E e F Questão 8 CD = 60 iguais. Questão 9 Pág. 100 DEC = = 65 CD = AB Logo, CD = AB pelo que as cordas [AB] e [CD] são 9.1. O quadrilátero [ABCD] é um trapézio porque se AB = CD então a reta DA é paralela à reta CB. Portanto, o quadrilátero tem dois lados paralelos. 9.. Se AB = CD, então AB = CD Logo, CD = AB = 10 cm. Questão 10 Pág A reta AC passa no centro da circunferência é perpendicular à corda [DB]. Logo BE = ED e BC = CD, pelo que BC = CD. Os triângulos [DEC ] e [EBC ] são iguais pelo critério LLL. Portanto B ˆDC = C ˆBD = CB = CD = 4 cm EB CB = cos 0 EB 4 = EB = cm EB = x = x = (60 160) = x = (60 80) = x = x = ( ) = x = (180 50) = x = (180 0) = x = 6 cm.1. a) Arcos compreendidos entre retas paralelas são iguais. b) Os lados opostos de um triângulo são iguais... CD = (180 70) = x = (180 70) = z = (90 5) = 55 ( ) y = = 5 Pág Ângulo ao centro é um ângulo com o vértice no centro da circunferência. Pág

59 . Ângulo inscrito num arco de circunferência ABC é um ângulo de vértice no arco e distinto dos extremos e com os lados passando por eles.. Por exemplo: Questão 11 Pág = 140 Resposta: x = = 0 Resposta: x = = 40 Resposta: x = = 70 Resposta: x = = 60 Resposta: x = 60 Questão 1 Pág C ˆBD = CÂD = 0 Resposta: (B) 1.. CÔD = 0 = 40 Resposta: (C) 1.. B ˆDC = = 140 = 70 Resposta: (B) 1. Pág. 109 DĈO = = 70 C ˆBD = 40 = 0.1. A ˆDC = 90, pois é ângulo inscrito numa semicircunferência. 40 CÂD = = 0 40 Resposta: A opção correta é a (D). BÂC = B ˆDC = BÔC = 70 = 5.. BÔC = BÂC = 4 = 84 e B ˆDC = BÂC = 4.. BÔC = B ˆDC = 40 = 80 e BÂC = B ˆDC = 40 59

60 .1. BC = BÔC = = 0.. B ˆDC = BC = 0 = 10.. A ˆDB = AÔB = 160 = EĈA = EA AÊC = AC 4.. Como EĈA + AÊC = e EA + AC = EA + AC EA + AC = , então EĈA + AÊC = = 90. Logo, os ângulos ECA e AEC são complementares. ou CÂE + AÊC + EĈA = AÊC + EĈA = 180 AÊC + EĈA = 90 AD AÊD = DĈA = Ora, DA 4.. AÊD + DĈA = AD DA + = AD + DA = 60 = 180 Logo, os ângulos AED e DCA são suplementares. D ˆBE = DE CD CÊD = Ora, D ˆBE + CÊD = DE + CD = DE + CD = 180 = 90 Logo, os ângulos DBE e CED são complementares. D ˆBE + CÊD = DE + CD = DE + CD = 180 = AB = AÔB = 60 porque o triângulo [AOB] é equilátero. Pág

61 5.. Área do triângulo [AOB] h + 5 = 10 h>0 h = h = 75 A 1 = = 5 5 = 5 5 = 5 cm Área do setor circular: 60 π x x = 60 π A = 50π A = A A 1 = = 100π AB = 10 cm Comprimento do arco AB 60 π x x = 60 π P = π 0, 5 P 0, 5 cm = 50π ( ) 50π 5 9, 1 cm = 10π Questão 1 Pág x = 10 = AB T ÂB = AB = 180 BC = = 10 AB T ÂB = = 10 = 60 Questão 14 Pág AB AĈB = = 100 = 50 BĈD = BC + CA = ( ) = 10 Questão 15 Pág C ˆBD = 0 = AĈB = = A ˆV B = C ˆBV + AĈB = = = 65 61

62 Questão 16 Pág CD CÂD = = 100 = CÂD = AĈB + B ˆV A 50 = 15 + B ˆV A B ˆV A = B ˆV A = AB AĈB = = 0 = 15 Pág x = x = BD + CB = = x = DA + BC CD AB = 80 ( ) = = 0 = = x = = 110 (o triângulo [EAD] é isósceles).1. a) Por exemplo, OTC. b) Por exemplo, TOA c) Por exemplo, ATO d) Por exemplo, TCA.. a) BÔT = 90 4 = 48 b) T ÔA = = 1 c) A ˆT O = = 48 = 4 Pág AB = = 90 = 45 BD BÂD = 4. Por exemplo, = = 15 = 67, A ˆDV = AC = 90 = 45 D ˆV A = = 15 = 67, 5 ou D ˆV A = , 5 = 67, a) BAE b) EBA c) EFA d) EVA e) DFE e AFB. f) AEB e BED. g) DFE e EFA. h) BAF e FAE. 4.. a) EA = E ˆBA = 50 = 100 b) E ˆDA = E ˆBA = 50 6

63 c) EA CD = CD = 60 CD = 40 Logo, CD CÂD = = 40 = 0 5. DÊA = DA + BC BC = 15 = 0 Por outro lado, C ˆV B = 5 Logo, DA BC = 5 DA 0 = 5 DA 0 = 70 DA = 100 DÊA = = 10 = Os polígonos A e D são convexos. Qualquer segmento de reta que une dois pontos do polígono está nele contido. Pág Um polígono regular tem os lados e os ângulos iguais..1. a) = 1080 b) 60 c) = 70.. (n ) 180 = (6 ) 180 = 70 (n ) 180 é a soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono de n lados. Questão 17 Pág n = 15 (15 ) 180 = a) (n ) 180 = 160 n = O polígono tem 14 lados. n = 1 n = 14 b) (n ) 180 = 4500n = O polígono tem 7 lados. n = 5 n = 7 6

64 Pág Determinação de x Os ângulos EDC e CDF são suplementares. Logo, E ˆDC = = 100 Determinação de y (5 ) 180 = 540. A soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a y + y = 540 y + y = y = 44 y = 1 Resposta: x = 100 ; y = Determinação de x O triângulo [ABE] é equilátero (BE = CD = AB = EA). Logo, x = BÂE = 60. Determinação de y A soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a y y = 540 y + y = y = 00 y = 150 Resposta: x = 60 ; y = (n ) 180 = 1800 n = 10 n = 1.. (n ) 180 = n n 60 = 140n 180n 140n = 60 40n = 60 n = n = 0 0n = 60 n = 18. Num polígono regular de n lados (n é um número natural maior ou igual que ), a amplitude de um ângulo externo é igual a 60 : n. Logo, o quociente entre 60 e a amplitude do ângulo externo é um número natural maior ou igual que = 5 60 = 15, = = = 4 60 = 7, 69 1 Logo, as amplitudes que não podem representar amplitudes de ângulos externos de polígonos regulares são 1 e. 4. Determinação de x x representa a amplitude de um dos ângulos internos do pentágono regular [ABCDE]. (5 ) 180 = 540. A soma dos ângulos internos do pentágono regular é 540. Logo, x = = 108 Determinação de y A soma das amplitude dos ângulos internos do pentágono regular, do quadrado e do triângulo é 60. Logo, y = = 7. Determinação de z Os triângulos são isósceles. Os ângulos adjacentes à base são congruentes. Logo, z = = 54 Resposta: x = 108, y = 7, z = 54 64

65 5. C ˆBA = = 71 A amplitude dos ângulos adjacentes à base [AB] é igual a = = 15 A amplitude de um dos ângulo externos do octógono regular é 45, pelo que a amplitude de um dos seus ângulos internos é 15. Como D ˆBC + C ˆBA + A ˆBD = 60, então, D ˆBC = = Há um número infinito de circunferências que passam em A e B. Pág. 1. Há uma e uma só circunferência.. ABC CDA ABC + CDA a + b = + = = 60 = 180 Questão 18 x e y são amplitudes de dois ângulos de um quadrilátero inscrito numa circunferência. Como a soma das amplitudes de dois ângulos opostos é 180, vem: Pág x = = 107. y = = 98 Os ângulos de amplitudes y e z são suplementares. Assim, temos que z = = 8. Resposta: x = 107, y = 98 e z = 8. Pág

66 Um quadrilátero é inscritível numa circunferência se a soma de dois dos ângulos opostos é = 180 Resposta: O quadrilátero pode ser inscrito numa circunferência = Resposta: O quadrilátero não pode ser inscrito numa circunferência = Resposta: O quadrilátero não pode ser inscrito numa circunferência.. Um hexágono regular pode ser inscrito numa circunferência, sendo os lados do hexágono cordas da circunferência iguais às quais correspondem arcos de circunferência iguais. O hexágono pode ser decomposto em seis triângulos iguais, cujos lados são raios e cujas bases são os lados do hexágono. Relativamente a cada triângulo, a amplitude do ângulo ao centro é 60 (60 : 6 = 60 ) e a amplitude de cada um dos ângulos inscritos, adjacentes à base é 60 (10 : = 60 ). Logo, cada um dos triângulos é equilátero, pelo que o lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio da circunferência, como queríamos mostrar Dado que as cordas [MI ] e [AR] são paralelas e numa circunferência cordas e arcos compreendidos entre retas paralelas são iguais, temos que IR = AM e IR = AM. Deste modo, conclui-se que IRA = RAM pelo que os ângulos RIM e IMA são iguais. Logo, I ˆMA = RÎM = 7 (como queríamos mostrar). 4.. Sabemos que A ˆRI + I ˆMA = 180. Logo, A ˆRI = = 108. Resposta: A ˆRI = Um ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. Logo, x = 90. A soma de ângulos suplementares é igual a 180 e num triângulo, a soma das amplitudes dos ângulos internos é 180. Logo, y = = 49 e z = = 41 Resposta: x = 90, y = 49 e z = Ângulos inscritos com o mesmo arco compreendido entre os seus lados são iguais. Logo, z = 55. Num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais e a soma das amplitudes dos ângulos internos é 180. Logo, x = = 70 A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente. Logo, y = 70 = 5 Resposta: x = 70, y = 5 e z =

67 5.. Os ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a mesma amplitude. Logo, y = 0. A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180 e ângulos verticalmente opostos são congruentes. Logo, x = = 110 A soma das amplitudes dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência é 180. Logo, z + y = 180 e, portanto z = = 50 Resposta: x = 110, y = 0 e z = 50. Pág O quadrilátero [OACB] pode ser inscrito numa circunferência porque OBC e CAO são ângulos opostos de um quadrilátero e O ˆBC + CÂO = = 180 (as retas tangentes à circunferência e as retas que contêm o centro da circunferência e o ponto de tangência são perpendiculares) BÂD = = 114 Resposta: A amplitude do ângulo BAD é Os ângulos DBA e ADB são congruentes, pois, num triângulo, a lados congruentes opõem-se ângulos congruentes. Logo, D ˆBA = A ˆDB = = 66 = Resposta: A amplitude do ângulo DBA é A ˆNO = NÂO, pois os lados [NO] e [AO] são raios. Logo, AÔN = = 54. Resposta: A amplitude do ângulo AON é A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente. AÔN AÎN = = 54 = 7 Resposta: A amplitude do ângulo AIN é A ˆNB + O ˆNA + I ˆNO = 180. Logo, A ˆNB = = 90 Resposta: A amplitude do ângulo ANB é ATI é um ângulo inscrito numa semicircunferência. Logo, A ˆT I= 90. Resposta: A amplitude do ângulo ATI é Num quadrado, as diagonais bissetam-se e são perpendiculares. Logo, o ponto P coincide com o centro da circunferência e as cordas são perpendiculares. 9.. Num retângulo não quadrado, as diagonais bissetam-se e não são perpendiculares. Logo, o ponto P coincide com o centro da circunferência e as cordas não são perpendiculares. 9.. O ponto P não coincide com o centro O da circunferência e a reta OP é bissetriz dos lados paralelos do trapézio. 67

68 Agora é a tua vez Pág. 16 BÂO = OĈB = 90 (BA e BC são tangentes à circunferência) C ˆBA + BÂO + AÔC + OĈB = 60 (A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 60 ) AÔC + 90 = 60 AÔC = 10 Logo, AC = 10. A amplitude de um ângulo de segmento é igual a metade da amplitude do arco compreendido entre os lados: x = AC = 65 y = = Pág Desenha-se a mediatriz do segmento de reta [AB]. Qualquer ponto desta reta fica igualmente distanciado de A e de B. Logo, a árvore pode ser plantada em qualquer ponto desta linha... Desenha-se a mediatriz de dois segmentos de reta: [AB], [BC ] ou [CD]. O ponto de interseção das duas mediatrizes é o ponto onde deve ser plantada a quarta árvore. 68

69 4.1. e [OA] e [OB] são raios da circunferência e, portanto, OA = OB, pelo que o ponto O dista igualmente de A e de B. Logo, a mediatriz de [AB] contém o centro da circunferência Pág Conjunto dos pontos do retângulo [ABCD] que distam três centímetros ou menos do lado [AB]. Pág Conjunto dos pontos do retângulo [ABCD] que estão a igual distância de [AB] e de [AD] ou mais perto de [AB] do que de [AD] e distam quatro unidades ou mais do ponto C

70 São todos os pontos da circunferência de centro em P e raio P A Círculo de centro P e raio P A e AD = DB e os dois triângulos têm a mesma altura relativamente a estas bases (distância do ponto C à reta AB). 1. AG = AG AD AD = AD AG = Resposta: (B) Retas-suporte das alturas do triângulo [ATC ]: TI, JC e AK O ortocentro de [ATC ] é o ponto B. Pág Retas-suporte das alturas do triângulo [ABC ]: TI, TK e TJ O ortocentro de [ABC ] é o ponto T Retas-suporte das alturas do triângulo [ABT ]: TK, BJ e AI O ortocentro de [ABT ] é o ponto C Retas-suporte das alturas do triângulo [BCT ]: TJ, CI e BK O ortocentro de [BCT ] é o ponto A Retas-suporte das alturas do triângulo [JTB]: TJ e BJ O ortocentro de [JTB] é o ponto J Retas-suporte das alturas do triângulo [ABJ ]: AJ e BJ O ortocentro de [ABJ ] é o ponto J Os triângulos [OBA] e [ODC ] são semelhantes pelo critério LAL ( o ângulo de vértice C é comum aos dois triângulos e OC OA = OD OB = 4 ) = 70

71 Então OC OA = OD OB = DC BA donde, pelo teorema recíproco do teorema de Tales, as retas AB e CD são paralelas Da alínea anterior, DC AB = OD OB DC = 4 DC = 6 DC = 6 cm 16. O ponto P é equidistante dos pontos A, B e C. P é o circuncentro do triângulo [ABC ] A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente. Logo, x = AĈB = 10 Resposta: x = 60. = x = BÔC = BÂC. Logo, x = 70 = 140 Resposta: x = x = C ˆBA = CÔA Logo, x = = 111 Resposta: x = x = AĈB = A ˆDB. Logo, x = 60 Resposta: x = x = BÂC = BÔC BÔC = = 0. Logo, x = 0 = 110 Resposta: x = x = Logo, AD AD = 180 DB = = 168 x = 168 = 84 Resposta: x =

72 18.1. x = AĈB = A ˆDB. Logo, x = 50 y = C ˆBD = CÂD. Logo, y = 60 Resposta: x = 50 e y = x = CÔA = = 40 y = C ˆBA = CÔA Resposta: x = 40 e y = 10. = 40 = Pág. 11 x = EÔF = EÂF = 0 = 40 y = C ˆBD = CÔD Resposta: x = 40 e y = 6. = 7 = x = OĈB = C ˆBO = 6 e y = BÂC = 90 6 = 7 Resposta: x = 6 e y = BĈD = 180 OĈB 70 OĈB = = 5 e BĈD = = 145 Resposta: BĈD = ĈA = DA DA = 180 CD e CD = C ˆBD = 70 = 140 Logo, DA = = e DĈA = = 0 Resposta: DĈA = D ˆBA = Logo, DA = CA CD e CD = C ˆBD = 0 = 40 D ˆBA = = 140 = 70 Resposta: D ˆBA = CÂD = C ˆBD = 0 Resposta: CÂD = A ˆDB = A ˆDC B ˆDC = 90 8 = 5 Resposta: A ˆDB = 5.1. A ˆBD = AÔD = 140 = 70 Resposta: A ˆBD = 70 7

73 .. A ˆBC = 90 (ângulo inscrito numa semicircunferência) Resposta: A ˆBC = 90.. D ˆBC = A ˆBC A ˆBD = = 0 Resposta: D ˆBC = 0 Pág O triângulo [ACD] é um triângulo retângulo, porque está inscrito numa semicircunferência (A ˆDC ) = Os ângulos DCA e DBA são iguais, porque têm o mesmo arco compreendido entre os seus lados. Logo, DĈA = D ˆBA... a) b) D ˆBA = DA = 18 = 64 Resposta: D ˆBA = 64 CD CÂD = = 180 DA = = 5 = 6 Resposta: CÂD = 6.4. Por exemplo, a rotação de centro O e amplitude 5 (CD = 6 = 5 ) ou amplitude O arco DA está compreendido entre os lados do ângulo inscrito DCA, cuja amplitude é 40. O ângulo OBA também tem 40 de amplitude e um dos lados contém o ponto A. Logo, O ˆBA = D ˆBA = DA pelo que, necessariamente, os pontos B, O e D pertencem à mesma reta (como queríamos mostrar). 4.. Por exemplo, a rotação de centro O e amplitude 80 ( DA = D ĈA = 40 = 80 ) ou amplitude a) CÊD = 180 DÊA = = 0 Resposta: CÊD = 0 b) DĈA = DF A Resposta: DĈA = 110 = 60 AD = 60 AÔD = = 0 = 110 c) B ˆDC = 180 DĈA CÊD = = 40 Resposta: B ˆDC = 40 d) BÂC = B ˆDC = 40 Resposta: BÂC = BC = B ˆDC = 40 = 80 Resposta: BC = O triângulo [ABC] é retângulo porque está inscrito numa semicircunferência (AĈB = 90 ). 7

74 6.. CÂT = 90 BÂC e BÂC = 90 C ˆBA = 90 = 67, CÂT = = ou CÂT = CA = C ˆBA = (CAT é um ângulo de segmento) Resposta: CÂT = 7.1. BÂQ = 90 Q ˆBA= = Resposta: BÂQ = Pág BQT é um ângulo de um segmento. B ˆQT = BQ = BÂQ = = Resposta: B ˆQT = 8.1. ATR é um ângulo de um segmento. 8.. A ˆT R = AT = A ˆBT Resposta: A ˆT R = 46. = A ˆBT = 46 T B T ĈB = e T B = 60 BC CA AT = 60 BÂC C ˆBA A ˆBT = = = 108 Logo, 108 T ĈB = = 54 Resposta: T ĈB = C ˆBD = 90 (ângulo inscrito numa semicircunferência). Resposta: C ˆBD = B ˆDC = BÂC = 60 Resposta: B ˆDC = DĈB = = 0 ou AĈB DĈB = = 60 = 0 Resposta: DĈB = a) O triângulo [ABC ] é retângulo porque está inscrito numa semicircunferência. b) BC = CD porque, numa circunferência, cordas compreendidas entre arcos de circunferência iguais são iguais. Logo, o triângulo [BCD] é isósceles. 0.. DFA é um ângulo excêntrico com o vértice no interior da circunferência. D ˆF A = DA + BC = = 40 = 10 Resposta: D ˆF A = 10 74

75 0.. Sabemos que DA + AB = DB. Logo, o ponto D transforma-se no ponto B. Resposta: É o ponto B. 1. Sabe-se que AĈB = A ˆDB = 55. Deste modo, C ˆBA = = 90. Logo, o triângulo [ABC ] é um triângulo retângulo. Pág O triângulo [ABC ] é isósceles e BC = CA. Logo, y = BÂC = C ˆBA, donde AĈB = 180 y. De forma análoga conclui-se que x = B ˆDA = AĈB. Assim, temos que: 180 y = x x + y = 180 Ângulo com vértice no exterior da circunferência: C ˆBA = Logo, temos que { 180 = x + y y x = x CA AB x = c. q. m CA AB x = C ˆBA AĈB x = y x.. { 180 = x + y y x = x { 180 = x + x y = x { 180 = 5x y = x { x = 6 y = 7 Resposta: x = EB = EC porque as cordas [EB] e [EC ] estão compreendidas entre arcos de circunferência iguais ( ) EB = CE = 5 60 = a) CFD é um ângulo excêntrico com o vértice no interior da circunferência. b) C ˆF D = EB + CD = = 16 = 108 Resposta: C ˆF D = 108 D ˆBE = F ˆBE = DE = 7 7 = 6 BÊF = BÊC = = 6 E ˆF B = C ˆF D = 108 Resposta: F ˆBE = BÊF = 6 e E ˆF B = 108. c) TEB é um ângulo de um segmento. EB T ÊB = = 144 = 7 Resposta: T ÊB = 7... a) Como EA = AB, então AE = AB. Por outro lado, o triângulo [EBF ] é isósceles, pois BÊF = B ˆDE. Logo, EF = BF. Portanto, os pontos A e F pertencem à mediatriz de [BE], como queríamos mostrar. b) BO = EO, pois [BO] e [EO] são raios da circunferência. Logo, a mediatriz de [BE] contém necessariamente o centro da circunferência, como queríamos mostrar..4. Podem observar-se cinco simetrias de rotação e cinco simetrias de reflexão. 75

76 .5. Rotação de centro O e amplitude 144 ou amplitude O eixo de reflexão é a reta EO x = AB + CD = 97 + = 10 = 65 AB CD y = = 97 = 64 = Resposta: x = 65 ; y =. Pág CÂD = =, 5 Logo, x = 180 CÂD = 180, 5 = 157, 5 y = Logo, DA + BC e BC = = y = = 10 Resposta: x = 157,5 e y = 10. BT x = T ÂC = 180 BÂT e BÂT = = 160 = 80 Logo, x = = 100. y = BT T A = = 7 = 6 Resposta: x = 100 e y = O triângulo [ABC] é isósceles e AC = BC. Assim, C ˆBA = BÂC = = 14 = 6 Logo, x = 180 C ˆBA = = 118. DÂC = 90 e DÂB = 90 BÂC = 90 6 = 8 Logo, y = 180 DÂB = = 15 Resposta: x = 118 e y = Os ângulos BAD e DCB são ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência. Logo, BÂD = = DÂE = 180 F ÂB BÂD Logo, DÂE = = O ângulo TAB é um ângulo de um segmento. Logo, 140 AĈB = = 70 AB = 70 = 140. Por outro lado, ou BÂC = = 0 e AĈB = = 70 porque C ˆBA =

77 6.. Sabemos que CÂD = 90 0 = 60. Assim, BD BÂD = = 60 AB DA Logo, BÂD = = x = DĈB = 180 BÂD e BÂD = = 7. Logo, x = = 108 y = 180 A ˆDC e A ˆDC = = 75. Logo, x = = 108 Logo, y = = 105 Resposta: x = 108 e y = 105. Pág A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 60. x = = 76 Resposta: x = (8 ) 180 = 15 e 8 (6 ) 180 = 10 6 A amplitude de um dos ângulos internos de um octógono regular é 15 e a amplitude de um dos ângulos internos de um hexágono regular é 10. Logo, x = = Não. Não há informação quanto ao comprimento dos lados x = 60 x = x = a) x representa a amplitude de um dos ângulos externos do polígono regular. 60 = 40 9 Resposta: x = 40 b) y representa a amplitude de um dos ângulos internos do polígono regular. y = = 140 Resposta: y = DÔF = 40 = F ÊD = = y = 140 O ˆF E = E ˆDO = = O polígono regular pode ser inscrito numa circunferência de centro O e raio OA. O ângulo BDC é um ângulo inscrito numa circunferência entre cujos lados está compreendido um arco de circunferência de amplitude 40 Logo, B ˆDC = 40 = 0 ou O triângulo [BCD] é isósceles, porque DC = CB e DĈB = y = 140. Logo, B ˆDC = = 0 77

78 4.1. a) C ˆBA = 90 b) C ˆDH = (6 ) = 10 c) H ˆDA = = 150 Pág a) (6 ) 180 = 70 e 70 : 6 = 10. A amplitude de cada um dos ângulos internos do hexágono regular é 10. Assim, a amplitude de cada um dos ângulos internos da figura obtida é: = 150 e a amplitude de cada um dos ângulos externos é = 0. Como 60 0 = 1, o polígono obtido (linha a vermelho) forma um polígono regular e, desta forma, a figura 7 forma uma figura fechada sem sobreposição de figuras. b) Como 60 0 = 1 a figura interior (colorida a vermelho) forma um polígono regular com 1 lados. 4. DF A ABD x = = = ( ) ( ) DF + F A AB + BD = 60 = 0 = ( ) F AB F A + 10 = 44. BC = x DA = y AÊD = = 100 B ˆV C = BC DA x y 0 = e { x y = 0 Logo, x + y = 100 x = 65 e y = 5 e AÊD = BC + DA x + y 100 = { x = y + 0 y y = 100 { x = y + 0 y = 70 { x = 65 y = GF + DE GĤF = x é a solução da equação GĤF = x + DE (1) GĤF = = 100 BÊA = = 0 Se BÊA = 0 então F D = 0 = 40 Como [EF ] é um diâmetro, temos DE = 180 F D = = 140 Voltando à equação (1), temos 100 = x x = 00 x = 60 GF = 60 78

79 Pág , 1.. e 1... Circuncentro: D Incentro: F Baricentro: G Ortocentro: A.1. e Os triângulos [IJC ] e [ABC ] são semelhantes pelo critério LAL. O ângulo IJC é comum aos dois triângulos e os lados que os formam são proporcionais, pois AC IC = BC JC = Os ângulos CJI e CBA são iguais por serem ângulos correspondentes em triângulos semelhantes. Como os ângulos são ângulos correspondentes determinados pela reta secante CB nas retas IJ e AB e como são iguais então as retas IJ e AB são paralelas. 4.. Os ângulos GIJ e GBA são iguais por serem ângulos alternos internos determinados pela reta IB no par de retas paralelas IJ e AB. Os ângulos JGI e AGB também são iguais por serem verticalmente opostos. Logo, pelo critério AA os triângulos [ABG] e [IGJ ] são semelhantes. Sabemos de 4.1. que AB IJ = Então, como AG GJ = BG GI = AB IJ temos que AG GJ =, ou seja, AG = GJ Se AG = GJ então AG = AJ 79

80 5.1. Numa circunferência são iguais os ângulos e os arcos compreendidos entre retas paralelas. Então BÔC = AÔD. Portanto, CÔM = 90 BÔC = = 90 AÔD = MÔD Pág a) Sabe-se CD = 95 e BC = DA = = 4, 5 Assim, CA = CD + DA = , 5 = 17, 5 Resposta: CA = 17, 5 b) BÔC = BC = 4, EÔB = EĈB = 5 = 106 Resposta: EÔB = Sabe-se que AB = = 64 (ângulo de um segmento) Logo, A ˆDB = Resposta: A ˆDB = AB = 64 = 7.1. A corda [BC ] corresponde ao arco de circunferência BC. Como [BC ] é o lado do triângulo equilátero inscritível na circunferência, então BC = 10. Logo, BÂC = Resposta: BÂC = 60 BC = 10 = CÂD = 180 BÂC = = 10 Resposta: CÂD = = 10 Logo, o polígono regular tem 10 lados. 9. Os lados de um pentágono regular correspondem a 5 arcos de circunferência iguais, os quais têm 7 de amplitude. Assim, para desenhar o pentágono regular desenham-se 5 ângulos adjacentes com 7 de amplitude cada um, cujos lados intersetam a circunferência em 5 pontos. Obtém-se o pentágono regular unindo os cinco pontos com segmentos de reta. 10. Os seus ângulos opostos são suplementares. Pág A semirreta ĊP é a bissetriz do ângulo ACB porque o divide em dois ângulos com a mesma amplitude. BÂC = = 40 Logo a semirreta AP é a bissetriz do ângulo BÂC dado que BÂP = P ÂC = 0 Portanto P é o incentro do triângulo [ABC ] dado que é o ponto de interseção das bissetrizes..1. P ˆQR = S ˆQR = 90 porque os triângulos [RQP] e [PQS] são inscritos numa semicircunferência. Logo, são triângulos retângulos... S ˆQR = S ˆQP + P ˆQR = = 180. SQR é um ângulo raso. Logo, S, Q e R pertencem à mesma reta. 80

81 = 45 8 Resposta: (A) BÔD BĜD = = 45 = DĈB = 180 BÂD = = 90 porque os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência são suplementares. 4.. Como AP e BP são retas tangentes à circunferência, então AP = BP e, portanto, o triângulo [ABP] é isósceles. Assim, P ÂB = A ˆBP = 70. Logo, B ˆP A = = Os triângulos [BCD] e [ABD] são retângulos e, portanto, podem ser inscritos em semicircunferência. Desta forma, conclui-se que os arcos DB e BD são semicircunferências. Logo, [BD] é um diâmetro da circunferência. 5. O centro da circunferência é o circuncentro do triângulo [ABC ] AC + AB = BC AC + 4, = 15 AC = 07, 6 Como BC > 0, temos BC = 07, 6 = 14, 4 BC = 14, 4 cm Pág IM = AB = 4, =, 1 IN = AC = 14, 4 = 7, a) b) A [ABI] = AB IN A [ABI] = 15, 1 cm = 4, 7, = 15, 1 A [AIC] = AC IM = 14, 4, 1 A [AIC] = 15, 1 cm A [ABI] = A [AIC] = 15, 1 cm = 15, 1 7. Altura do triângulo: h +, 5 = 5 h = 18, 75 Como h > 0, h = 18, 75 Raio do círculo: r = OC = h (Num triângulo equilátero, a altura coincide com a mediana) Portanto, r = 18, 75 A colorida = πr 5 18, 75, 1416 ( ) 18, 75, 5 18, 75 15, 4 cm 81

82 8.1. AB + AC = 4, = 56, 5 BC = 7, 5 = 56, 5 Pelo teorema recíproco do teorema de Pitágoras, como AB + AC = BC, o triângulo [ABC ] é retângulo em A. 8.. [ABD] e [ABE] são triângulos inscritos numa semicircunferência. Logo, são triângulos retângulos. 8.. F é a imagem de E por uma reflexão central de centro M. Logo M é o ponto médio de [EF ] M é o ponto médio de [BC ]. Logo, o quadrilátero [EBFC ] é um paralelogramo porque as diagonais se bissetam. 9. A [ABC] = 14, 4 cm A [JP IC] = ( ) 6 14, 4 cm = 4, 8 cm 8

83 8. Organização e tratamento de dados 1.1. A, J, K Pág B, C, D, E, F, G, H, I. A soma de todos os valores que aparecem no diagrama de Venn (número total de pessoas inquiridas) deverá ser igual a 0. 0 ( ) = 0 15 = 5 Logo, o número em falta é 5. Resposta: A opção correta é (B). Pág A afirmação (A) é falsa porque na turma do Duarte há mais raparigas do que rapazes. A afirmação (B) e (C) são falsas porque na turma do Duarte há alunos que usam óculos. A afirmação (D) é verdadeira porque dos 4 alunos da turma do Duarte há somente três raparigas que usam óculos. Resposta: A opção correta é (D). 4. Dado Dado É possível obter quatro resultados: EE, EN, NE e NN. 5.. É possível obter oito resultados: EEE, EEN, ENE, ENN, NEE, NEN, NNE e NNN. Classes Altura (cm) n i f i [175, 18[ 16 = 0, 15 4 [18, 191[ 4 16 = 0, 5 5 [191, 199[ 5 16 = 0, 15 [199, 07[ 16 = 0, 1875 [07, 15[ 16 = 0, 15 Pág. 148 Questão 1 N de golos n i f i [11, 18[ 5 0,5 [18, 5[ 0,10 [5, [ 0,15 [, 9[ 4 0,0 [9, 46[ 0,10 [46, 5[ 4 0,0 0 1 Pág

84 Questão Pág = 9 9 : 5 = 1, 8 Classes Freq. absoluta [10, 1[ 5 [1, 14[ 6 [14, 16[ [16, 18[ 4 [18, 0[ Total 1 Pág A opção (A) é de rejeitar porque, por exemplo, não é a classe [0, 5[ que corresponde a maior frequência. A opção (B) é rejeitada porque as classes [0, 5[ e [0, 5[ têm a mesma frequência. A opção (D) é de rejeitar porque a frequência da classe [5, 10[ é maior do que a frequência da classe [15, 0[ Resposta: (C) = 8 8 alunos obtiveram menos de Estiveram estacionados menos de 1 hora 10 automóveis = 90 Estiveram estacionados duas ou mais horas, 90 automóveis... Classes Freq. absoluta Freq. relativa [0, 1[ 10 0,06 [1, [ 60 0,8 [, [ 50 0,1 [, 4[ 0 0,19 [4, 5[ 10 0,06 Total Pág Variável quantitativa discreta = = = 56, 5 % Classes Freq. absoluta Freq. relativa [0, 40[ 4 5 % [40, 50[ 6 7,5 % [50, 60[ 18,75 % [60, 70[ 1,5 % [70, 80[ 1 6,5 % % 84

85 5.1. Valor mínimo: 10 ; Valor máximo: = : 5 =, 6 4 Classes Freq. absoluta Freq. relativa [10, 14[ 1 15 [14, 18[ [18, [ [, 6[ [6, 0[ Valor mínimo: 0, ; Valor máximo: 5 5 0, = 4,7 4, 7 : 5 = 0, 94 1 Classes Freq. absoluta Freq. relativa [0, 1[ 5 0,5 [1, [ 0,15 [, [ 4 0,0 [, 4[ 0,15 [4, 5] 5 0, representa,5 horas a) x = b) Mo =, 9 1, 7 + 1, 9 +, , 19 = c) Número de dados: 19 (ímpar) A mediana é o dado de ordem 19+1 = 10 x =, O primeiro quartil é a mediana dos dados de ordem inferior a 10. É o dado de ordem = 5. Q 1 =, 6 O terceiro quartil é a mediana dos dados de ordem superior a 10. É o dado de ordem 15. Q =, 6 Pág , 1,7 =,5,5 : 5 = 0,5 Classes Freq. absoluta [1,7 ;,[ [, ;,7[ [,7 ;,[ 7 [, ;,7[ 4 [,7 ; 4,] Total

86 8.1. Classes Freq. absoluta 8.. [40, 47[ [47, 54[ [54, 61[ 8 [61, 68[ [68, 75[ 5 Total a) Rio A Classes Freq. absoluta [10, 15[ [15, 0[ 6 [0, 5[ [5, 0[ 0 [0, 5[ Total 14 b) Rio B Classes Freq. absoluta [15, 0[ 8 [0, 5[ 0 [5, 0[ 0 [0, 5] Total 11 c) Rio A e Rio B Classes Freq. absoluta [10, 15[ [15, 0[ 14 [0, 5[ [5, 0[ 0 [0, 5] 5 Total a) b) c) Pág Sair a face europeia ou a face nacional tem a mesma probabilidade (supondo que a moeda é equilibrada).. Todas as chaves têm a mesma probabilidade de ganhar o primeiro prémio. Questão Pág Por exemplo: Lança um dado com todas as faces numeradas com o número 6 e registar o número que sai... { 1 S =, }, 8, 10 Questão 4 E = {1,,, 4}; acontecimento certo F = {}; acontecimento elementar G = {, }; acontecimento composto H = {1,, 4}; acontecimento composto Pág

87 Questão 5 S = {1,,, 4, 5, 6} Pág B C = e B C = {1,, 4, 5, 6} S B e C são incompatíveis e não complementares. 5.. A B = e A B = S A e B são complementares. 5.. A C = {, 5} A e C são compatíveis. Pág S = {0, 1,,, 4, 5} 1.. S = {V, A, R, L}.1. S = {L, V, A, R}.. Por exemplo A = {L, V } e B = {A, R} ou C = {L, V, A} e D = {R}.1. S = {1,,, 4, 5, 6, 7}.. a) A = {, 4, 6} b) B = {1,, 5, 7} c) C = {,, 5, 7} d) D = {1,,, 6} e) E = {, 4, 6} = A f) F = {1, 4} g) G = {1} h) H = i) I = {1,,, 4, 5, 6, 7} = S.. Acontecimento elementar: G Acontecimento impossível: H Acontecimento certo: I Acontecimento composto: A = E, B, C, D, F e I.4. a) C e F C F = e C F = {1,,, 4, 5, 7} S b) A e B A B = e A B = S c) Por exemplo, A e F A F = {4} Pág. 160 Figura 1 Deve escolher o frasco 1 porque a proporção de bolas azuis relativamente ao total de bolas é maior neste frasco: > 1 Figura Neste caso deve escolher o frasco ( 4 > 5 7 pois 4 = 1 8 e 5 7 = 0 ) 8 Questão Número de casos possíveis: = 8 Número de casos favoráveis: 0 P = 0 8 = a) Número de casos possíveis: 8 1 = 7 Número de casos favoráveis: 8 P = 8 7 b) Número de casos possíveis: 8 1 = 7 Número de casos favoráveis: 8 1 = 7 P = 7 7 Pág

88 Questão 7 Pág a) O acontecimento E é certo porque P (E) = 1 b) O acontecimento D é impossível porque P (E) = 0 c) Por exemplo, o acontecimento E é possível porque P (E) 0. d) A e C são equiprováveis porque P (A) = P (C) 7.. Se P (C) = P (A) e P (A) > P (B) então P (C) > P (B). Logo, o acontecimento C é mais provável do que o acontecimento B. Questão 8 Seja x o número de rifas que a Lurdes teria de comprar. Pág. 16 x 00 = 5 % x 00 = 5 x = () A Lurdes teria de comprar 10 rifas S = {1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1} 1.. a) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 6 {, 4, 6, 8, 10, 1} b) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 5 {,, 5, 7, 11} P = 6 1 = 1 P = 5 1 c) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: {6, 1] d) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 6 {1,,, 4, 6, 1} P = 1 = 1 6 P = 6 1 = 1 e) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: {1, } P = 1 = 1 6 g) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 11 ; {1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} P = 11 1 f) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 1 P = 1 = 1 (É o acontecimento certo) 1 h) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 1 (O número 1 não é primo nem composto) P = a) A afirmação é falsa porque sendo os acontecimentos: A: sai um número ímpar ; A = {1,, 5, 7, 9, 11} B: sai um número primo ; B = {,, 5, 7, 11} P (sair um número ímpar) = 6 1 P (sair um número primo) = 5 1 b) P (sair divisor de 1) = 6 1 P (sair número ímpar) = 6 1 Logo, a afirmação é verdadeira. 88

89 . Número de raparigas: 18 Número de rapazes: x Total de alunos 18 + x Número de casos possíveis: 18 + x Número de casos favoráveis: x x 18 + x = 1 x = 18 + x x x = 18 x = 18 x = = 7 A turma tem 7 alunos.. Azuis: ; Cor-de-rosa: ; Verdes: 5 10 Pág Por exemplo a) Qual é a probabilidade de a chupeta retirada ser azul? b) Qual é a probabilidade de a chupeta retirada ser cor-de-rosa? c) Qual é a probabilidade de a chupeta retirada ser verde? d) Qual é a probabilidade de a chupeta retirada não ser cor-de-rosa?.. Número de casos possíveis: 10 Número de casos favoráveis: + = 5 ou 10 5 = 5 P = 5 10 = 1.. É necessário colocar na caixa três chupetas azuis para que fiquem na caixa tantas chupetas azuis como verdes Número de casos possíveis: = 5 Número de casos favoráveis: = 10 P = 10 5 = Número de casos possíveis: 5 Número de casos favoráveis: = Número de casos possíveis: 5 Número de casos favoráveis: = 15 P = 15 5 = Número de casos possíveis: 5 Número de casos favoráveis: 7 P = 7 5 P = Número de casos possíveis: 00 Número de casos favoráveis: = 60 P = = Número de casos possíveis: 00 Número de casos favoráveis: 80 P = = Número de casos possíveis: 00 Número de casos favoráveis: = 80 P = = Número de casos possíveis: 00 Número de casos favoráveis: = 10 P = = 5 89

90 Número de casos possíveis: 5 Número de casos favoráveis: 5 Pág. 165 P = 5 5 = a) P (gravata ser azul) = 1 5 significa que a quinta parte das gravatas que estão na gaveta são azuis. Logo, há na gaveta, pelo menos, cinco gravatas sendo uma azul e quatro vermelhas. b) Se na gaveta havia, pelo menos três gravatas azuis então havia, pelo menos 5 = 15 gravatas sendo azuis e 1 vermelhas. 7.. A gaveta tem 0 gravatas; 5 das gravatas são verdes 0 = gravatas são verdes 0 1 = 8 Há na gaveta 8 gravatas sendo pelo menos uma de cor azul. Logo, há no máximo sete gravatas lilases S = {1,,, 4, 5} 1.. {1}, {}, {}, {4}, {5}, {6} 1.. A = {,, 5} ; B = {4} ; C = {, 4} ; D = {1,, 5} Pág a) b) P (C) = 5 c) C D = {, 4} {1,, 5} = {1,,, 4, 5} = S C D = e) P (C) + P (D) = = 1 d) P (D) = 5 P (C D) = 5 5 = a) P (B) = 1 5 b) B C = {4} {, 4} = {, 4} B C = {4} c) d) P (B C) = a) b) P (B) + P (C) = = 5 P (A) = 5 c) A D = {,, 5} {1,, 5} = {1,,, 5} A D = {, 5} d) P (D) = 5 P (A D) = 4 5 e) P (A) + P (D) = =

91 Questão 9: Verdes: ; Vermelhos: 5 ; Amarelos: 4 1 Pág P (C) = 4 1 = A e B são disjuntos (não há nenhum pimento verde e vermelho). P (A B) = P (A) + P (B) = = 8 1 = 9.. B e C são disjuntos P (B C) = P (B) + P (C) = = 9 1 = A, B e C são disjuntos, dois a dois P [(A B) C] = P (A B) + P (C) = P (A) + P (B) + P (C) = = 1 1. A probabilidade de um acontecimento é um número maior ou igual a 0 e menor ou igual a 1. Como 8 7 > 1, a resposta que o Dinis deu está necessariamente errada..1. Os acontecimentos tirar um cartão com uma rosácea do tipo A e tirar um cartão com uma rosácea do tipo B são acontecimentos complementares = 5 A probabilidade de tirar um cartão com uma rosácea do tipo B é 5. 5 = 14 tipo A 5 14 = 1 tipo B 5 Há 14 rosáceas do tipo A e 1 rosáceas do tipo B... A rosácea do tipo A tem 6 simetrias de rotação e 6 simetrias de reflexão. A rosácea do tipo B tem 4 simetrias de rotação e 4 simetrias de reflexão..1. a) A e B são disjuntos (não há no horto uma gerbéria com duas cores) P (A B) = P (A) + P (B) = = = 8 15 b) (A B) C é o acontecimento certo (o vaso selecionado tem uma flor cor de laranja ou cor-de-rosa ou amarela). Então P [(A B) C] = 1.. a) O acontecimento ser amarela é o complementar de ser cor de laranja ou cor-de-rosa, ou seja, P (C) + P (A B) = 1 P (C) = 1 P (C) = P (C) = 7 15 b) P (não ser amarela) = 1 P (C ) = =

92 4.1. Número de funcionários com vencimento entre: 1000 e ; 1500 e ; 000 e ; 500 e = 18 Logo, conclui-se que a empresa tem 18 funcionários. 4.. a) Há 8 funcionários em 18 cujo salário pertence à classe A. P (A) = 8 18 = 4 9 Há 5 funcionários em 18 cujo salário pertence à classe B. P (B) = 5 18 Resposta: P (A) = 4 9 e P (B) = 5 18 b) Os acontecimentos A e B são disjuntos porque não pode haver funcionários cujo salário pertença, simultaneamente, às classes A e B. c) Como os acontecimento A e B são disjuntos, P (A B) = P (A) + P (B) = = 1 18 d) P (B) + P ( B) = P ( ( 5 B) = 1 P B) = 1 18 P ( 1 B) = 18 e) Ā B é o acontecimento o salário não pertence à classe A ou o salário pertence à classe B Pretende-se a probabilidade de o salário pertencer a uma das classes B, C ou D, ou seja, a probabilidade do acontecimento complementar de A. Logo, P ( Ā B ) = = = 5 9 ou P ( Ā B ) = P ( Ā ) = 1 P (A) = = = 5 9 Questão 10 Pág Logo, há 1 refeições diferentes com uma entrada, um prato e uma sobremesa Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 6 P = 6 1 = 1 9

93 Questão 11 Pág. 171.ª ª Número de casos possíveis: 5 5 = 5 Número de casos favoráveis: 9 P = 9 5 Pág Na primeira questão de escolha múltipla há 4 possibilidades de resposta, das quais apenas uma está correta: P (C) = 1 4 e P ( C) = 1 P (C) = = Em cada questão há uma resposta certa (C ) e três erradas (E 1, E e E ). No diagrama em árvore seguinte apresentam-se todas as possibilidades de resposta às duas questões: 1.. Do diagrama em árvore, podemos concluir: Número de casos possíveis: 16 a) Número de casos favoráveis: 1 (CC ) P = 1 16 b) Número de casos favoráveis: 7 (CC, CE 1, CE, CE, E 1 C, E C e E C ) P = Conforme se observa no diagrama em árvore, temos: Número de casos possíveis: 8 Número de casos favoráveis: 1 (apenas o resultado NNN conduz a que o Duarte ganhe pontos) P = Número de casos possíveis: 8 Número de casos favoráveis: (NEE, ENE e EEN ) P = 8 9

94 Pág Consideramos que D, A, B e T representam o Dinis, o Alex, a Beatriz e a Tita. Como dos quatro nomes vamos selecionar dois, as situações possíveis são as seguintes: DA, DB, DT, AB, AT e BT. Logo, há 6 casos possíveis, como queríamos mostrar... Número de casos possíveis: 6 Número de casos favoráveis: 1 (BT) P = Número de casos possíveis: 6 Número de casos favoráveis: 4 (DB, DT, AB e AT).4. Número de casos possíveis: 6 Número de casos favoráveis: (DA, AB e AT) P = 4 6 = P = 6 = 1.5. a) O espaço de resultados tem 1 elementos. b) Probabilidade de duas raparigas fazerem parte da comissão: Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: (BT e TB) P = 1 = 1 6 Probabilidade de a comissão ser constituída por um aluno de cada género. Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 8 (DB, DT, AB, AT, BD, BA, TD e TA) P = 8 1 = Probabilidade de o Alex fazer parte da comissão: Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 6 (DA, AD, AB, AT, BA e TA) 4. P = 6 1 = 1 Os valores obtidos são iguais. x Ganha A Ganha B Ganha C P (A ganhar) = 1 6 P (C ganhar) = 1 6 O jogo não é justo: ; P (B ganhar) = 11 6 ; P (A) > P (C) = > P (B) = ,6 5 = 0,4 5 = É previsível que o saco do grupo 1 tenha fichas verdes e fichas azuis. Pág

95 Pág. 175 Questão 1 À medida que o número de experiências aumenta, a frequência relativa de sair bola vermelha tende para 0,. Pela definição de probabilidade frequencista, podemos inferir que 0, (ou 0 %) das 10 bolas existentes no saco são vermelhas. 0, 10 =. Logo, é previsível que o saco tenha bolas vermelhas. Pág O número de experiências realizadas não é significativo, pelo que nada pode concluir-se relativamente à probabilidade de sair cada uma das cores. Para se tirar qualquer conclusão, minimamente rigorosa, seria necessário realizar um número relativamente elevado de experiências..1. Número de experiências: 10 0 = 00 Número de fósforos que ficam sobre uma linha: 56 A frequência relativa do número de fósforos que ficaram sobre uma linha é: = 7 = 0, 8 = 8 % 5 A probabilidade pedida é 7 5 ou 0,8 ou 8 % = No total, a Eduarda lançou 1000 fósforos, 8 % dos quais se estima que caíram sobre uma linha % = 80 Estima-se que, no total, caíram cerca de 80 fósforos sobre as linhas. Pág O grupo cujos resultados permitem melhor estimativa para o cálculo da probabilidade é o grupo, uma vez que efetuou um maior número de lançamentos... Número total de lançamentos: 600 Número de vezes em que as faces são diferentes: 4 A frequência relativa correspondente é: = 57 = 0, 57 = 57 % 100 A probabilidade pedida é ou 0,57 ou 57 % = Número de lançamentos Resultados teóricos Todas diferentes Duas iguais Três iguais Se os dados forem equilibrados, os resultados teóricos são os valores para os quais tendem os valores obtidos experimentalmente, à medida que o número de experiências aumenta. Agora é a tua vez Pág. 179 a) Número de casos possíveis: 4 4 = 16 Número de casos favoráveis: = 9 b) Número de casos possíveis: 4 4 = 16 Número de casos favoráveis: 1 1 = 1 P = 9 16 c) Número de casos possíveis: 4 4 = 16 Número de casos favoráveis: = 6 P = 6 16 = 8 P = 1 16 d) Número de casos possíveis: 4 4 = 16 Número de casos favoráveis: 1 = P = 16 95

96 Pág Classes Freq. absoluta [11,5 ; 1,5[ 4 [1,5 ; 1,5[ 7 [1,5 ; 14,5[ 6 [14,5 ; 15,5[ [15,5 ; 16,5[ [16,5 ; 17,5[ 1 Total 4. Saco I: P = 0, 67 Saco II: P = 5 = 0, 65 8 Saco III: P = 5 = 0, 6 É mais provável tirar uma bola vermelha do saco I.. A Impossível B Possível e Certo C Possível D Possível 4.1. Não há na caixa elásticos de duas cores. Logo, os acontecimento sair vermelho, sair azul, sair verde e sair amarelo são disjuntos dois a dois. S = {Vermelho, Azul, Verde, Amarelo} P (verde) = P (amarelo) = x P (S) = 1 0, + 0,4 + x + x = 1 x = 1 0, 7 x = 0, x = 0, 15 a) P (amarelo) = 0,15 b)p (A B) = P (A) + P (B) = 0, , = 0, 45 c) Na caixa há n elásticos dos quais 88 são azuis n = 0, 4 0, 4n = 88 n = 88 0, 4 n = 0 Na caixa há 0 elásticos. P (A B) = P (A) + P (B) = = Como P (S) = 1, temos P (C) = = 8 Logo, P (C) = P (B) = 8 96

97 6. não pode ser porque < não pode ser porque 7 6 > não é de esperar que seja porque % A probabilidade de não fazer um bom jogo poderá ser % Os valores pedidos são 1 6, 7 6 e 7.1. A: sair um número primo A = {,, 5} B: sair um múltiplo de B = {, 6} P (A) = 6 = 1 e P (B) = 6 = 1 É mais provável sair um número primo. Pág a) é certo que sai um número natural; b) é impossível que saia 7; c) é provável que saia um número maior que 1; d) é improvável que saia das 60 azeitonas são verdes 5 60 = azeitonas são verdes 60 5 = 5 Há no frasco 5 azeitonas pretas e castanhas. Como há pelo menos uma azeitona castanha, há, no máximo, 4 azeitonas pretas Acontecimento A Número de casos possíveis = 10 (Há 10 rebuçados no chapéu) Número de casos favoráveis = (No chapéu há rebuçados azuis) P (A) = 10 = 0, Acontecimento V Número de casos possíveis = 10 (há 10 rebuçados no chapéu) Número de casos favoráveis = 5 (No chapéu há 5 rebuçados verdes) P (V ) = 5 10 = 0, 5 Resposta: P (A) = 0, e P (V ) = 0, No chapéu, cada rebuçado tem uma única cor, pelo que os acontecimentos A e V não podem ocorrer simultaneamente. Assim, A e V são acontecimentos incompatíveis ou disjuntos. 9.. Como A e B são disjuntos, temos P (A V ) = P (A) + P (V ) = 0, + 0, 5 = 0, 7 = 70 % 97

98 9.4. Acontecimento Sair verde Sair azul Sair vermelho Sair amarelo Probabilidade O acontecimento é impossível, pois no chapéu não há qualquer rebuçado cor roxa, a probabilidade é igual a S = {1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Há 10 casos possíveis a) A = {,, 4, 6, 7} b) B = {1, 5} c) C = {8, 9, 10} d) D = {, 7} e) E = {, 4, 6, 8, 10} P (A) = 5 10 = 1 P (D) = 10 = 1 5 P (B) = 10 = 1 5 P (E) = 5 10 = 1 P (C) = Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 1 Pág. 18 P (A) = B e C são disjuntos P (B C) = P (B) + P (C) = = 1 ou B C = {8, 9} P (B C) = Não. O número de lançamentos efetuados é reduzido P (D) = 1 1 P ( D) = = Como 000 já é um número de lançamentos significativo, caso o dado fosse equilibrado as frequências relativas associadas aos diferentes acontecimentos (sair 1,,, 4, 5 ou 6) não deveriam de ser muito díspares, o que não acontece nesta situação. Deste modo, podemos inferir que o dado é imperfeito. 1.. A melhor aposta serio no número 6, uma vez que a respetiva frequência relativa é substancialmente superior às frequências relativas da saída dos outros números a) x = = = 4, 8 b) O número de dados é ímpar (n = 5) A ordem de referência para o cálculo dos quartis é 5+1 = 1. A mediana é o elemento de ordem 1 na sequência ordenada dos dados. x = 4 c) R = 7 = 5 d) O. quartil é a mediana dos dados de ordem superior a 1 14, 15, 16, 17, 18, 19, 0, 1,,, 4, 5. O. quartil é a média dos elementos de ordem 19 e 0 da sequência de dados. Q = = 5 98

99 1.. Mo = Número de casos possíveis: 5 Número de casos favoráveis: + = 5 P = 5 5 = x i n i Total: %, % = , 7 Pág O número de dados é par (n = 0). A mediana é a média aritmética dos dois valores centrais da sequência ordenada de dados (15 e 16). x = a) P = 10 0 = 1 b) P = 0 c) = 16 P = Cálculos auxiliares 1 1 = 1 1 = 1 4 = 0 ou P = = A probabilidade de seguir em frente é A probabilidade de rodar para a direita é A probabilidade de rodar para a esquerda é A probabilidade de qualquer acontecimento é um número maior ou igual a zero e menor ou igual a 1. Assim, as resposta erradas foram 0, ; 1, e P (rebuçado) = 1 (0,1 + 0,5 + 0,5) = 0, 99

100 , 1 = 0 Estima-se que a Adriana ganhe 0 bonecas P(o comboio não chegar atrasado) = 1 P(o comboio chegar atrasado) = 1 0, = 0, , 0 = 4 Espera-se que o comboio chegue atrasado quatro vezes. Pág a) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 1 P = 1 = 1 4 b) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 1 = 9 P = 9 1 = 4 c) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 6 P = 6 1 = Número de casos possíveis: 9 Número de casos favoráveis: P = 9 = 1 A probabilidade pedida é a) 1 0,7 = 0, b) 0,7 10 = 7 A Joana tem 7 iogurtes de morango. c) Ana: Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: P = 1 = 1 4 Joana: Número de casos possíveis: 10 Número de casos favoráveis: P = 10 É menos provável a Ana tirar um iogurte de banana porque 1 4 < Número de casos possíveis: 5 Número de casos favoráveis: P = Na caixa não há qualquer cubo azul. O acontecimento é impossível. P = A probabilidade de sair um cubo vermelho é = 0 Estima-se que, em 100 vezes, o cubo vermelho saia 0 vezes a) A A V 1 V 1 V A (A, A) (A, A) (A, V 1 ) (A, V 1 ) (A, V ) A (A, A) (A, A) (A, V 1 ) (A, V 1 ) (A, V ) V 1 (V 1, A) (V 1, A) (V 1, V 1 ) (V 1, V 1 ) (V 1, V ) V 1 (V 1, A) (V 1, A) (V 1, V 1 ) (V 1, V 1 ) (V 1, V ) V (V, A) (V, A) (V, V 1 ) (V, V 1 ) (V, V ) b) Números de casos possíveis: 5 5 = 5 Número de casos favoráveis: 16 (contados na tabela) P =

101 Pág Tem 4 elementos: (1 + 6, + 5, + 4 e 4 + ) 1.. Número de casos possíveis: 4 Número de casos favoráveis: P = 4 4 = 1 6 P (soma 7) = 4 P (soma 9) = 4 4 É mais provável obter soma 7. ( 4 4 > ) 4.1. S = {(1, E) ; (1, N) ; (, E) ; (, N) ; (, E) ; (, N) ; (4, E) ; (4, N)}.. Cada acontecimento elementar tem igual probabilidade de ocorrer. Logo, a probabilidade de cada acontecimento elementar é Número de casos possíveis: 8 Número de casos favoráveis: ((1, N); (, N); (, N)) P = 8. Chapéus verdes: 8 Chapéus roxos: = A probabilidade de escolher um chapéu vermelho é 1. Logo, metade dos chapéus são vermelhos. Portanto, há 14 chapéus vermelhos num total de 8. P (escolher chapéu verde) = 8 8 = 7 P (escolher chapéu roxo) = 6 8 = 14 Cor do chapéu Número de chapéus Probabilidade Verde Vermelho 14 Roxo A probabilidade de sair um chapéu vermelho passa de para 14 8 Resposta: (B) 4. Na tabela seguinte apresentam-se todos os casos possíveis: 14 para 9. Logo, a probabilidade diminui. Pág. 186 Saco V A B B Saco 1 V V V V A V B V B V V V V A V B V B V V V V A V B V B V V V V A V B V B A A V A A A B A B A A V A A A B V B Número de casos possíveis: 4 Número de casos favoráveis a A: 18 Número de casos favoráveis a B: 18 P (A) = 18 4 = 4 P (B) = 18 4 = 4 Logo, P (A) = P (B) = 4 101

102 5. A soma das probabilidades dos três acontecimentos elementares é 1. P (morango) + P (banana) + P (ananás) = P (anan á s) = 1 P (anan á s) = P (anan á s) = 7 15 A probabilidade de tirar ao acaso uma gelatina de ananás é Então, 15 n = n = = 7n n = n = Ao todo, há 0 gelatinas no frigorífico. 6. Dos quatro ingredientes, a Inês vai escolher dois. Vamos contar todos os casos possíveis. P resunto + cogumelos P resunto + ananás 6 casos possíveis Número de casos favoráveis: 1 A probabilidade pedida é 1 6 P resunto + camarão Cogumelos + ananás Cogumelos + camarão Ananás + camarão 7. Vamos organizar os dados numa tabela de dupla entrada. Número de casos possíveis: 6 Número de casos favoráveis: 8 P = 8 6 = 9 8. Na tabela apresentam-se todos os resultados possíveis: Número de casos possíveis: Número de casos favoráveis: 6 P = 6 0 = Número de casos possíveis: 0 1 = 19 P = Número de casos favoráveis: 4 P = 4 0 = 1 5 Pág N. de casos possíveis para entrada e prato: 4 Número de casos favoráveis: 1 P = Número de casos possíveis: 1 a) Número de casos favoráveis: 1 P = 1 1 b) Número de casos favoráveis: 4 P = 4 1 = 1 10

103 0.1. Número de casos possíveis: 79 Número de casos favoráveis: 76 P = Número de casos possíveis: 76 Número de casos favoráveis: 1 P = Há bilhetes, um de cada cor, com o número 0. Número de casos possíveis: (0 azul, 0 amarelo e 0 verde) Número de casos favoráveis: 1 P = Número de casos possíveis: = 15 Número de casos favoráveis: 5 P = 5 15 = Número de casos possíveis: 15 Número de casos favoráveis: 6 P = 6 15 = Número de casos possíveis: 400 Número de casos favoráveis: = 5 P = = Pode colocar as ventoinhas de 6 maneiras diferentes: VRA VAR RAV RVA ARV AVR Pág a) Número de casos possíveis: 6 Número de casos favoráveis: P = 6 = 1 b) Número de casos possíveis: 6 Número de casos favoráveis: 4 P = 4 6 =.1. A Patrícia está errada porque na realização das 1 experiências estas decorrem nas mesmas condições, uma vez que o laço era reposto após ter sido retirado, e portanto, não representa o número de laços de cor vermelha que estavam no saco, simplesmente, o número de vezes que estes saíram durante a realização das 1 experiências... Em duas das 1 experiências saiu um laço de cor verde. Logo, concluir-se que há, no mínimo, um laço de cor verde no saco... A Patrícia está errada, porque, apesar de não ter saído qualquer laço de cor roxa, não é impossível que exista no interior do saco, uma vez que nas 1 experiências realizadas pode, eventualmente, não ter sido retirado a) = 4 b) x = = , 8 c) O número de dados é par. A mediana é a média dos dados de ordem central (8. e 9. ) x = d) Mo = = 1 10

104 4.. Para construir o gráfico de extremos e quartis é necessário conhecer os valores do mínimo, máximo, mediana e quartis. Para calcular os quartis, vamos organizar os dados por ordem crescente x = = Q 1 = = 11 Q = = 1, 5 Gráfico relativo à figura 5: x = = Q 1 = = 10, 5 Q = = 1 Gráfico relativo à figura 6: Os gráficos pedidos são: 4.. P 4 16 = Vamos começar por organizar os dados numa tabela de dupla entrada. Observando a tabela, verifica-se que o produto é negativo, nulo ou positivo em três situações. Assim, a Ana, a Adriana e o Alexandre têm igual probabilidade de ganhar o jogo. Logo, o jogo é justo a) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 8 P = P b) Número de casos possíveis: 1 Número de casos favoráveis: 5 P = Para termos a certeza de tirar um peixe amarelo, é necessário garantir a saída de cinco peixes vermelhos. Assim, para sair de certeza um peixe amarelo é necessário tirar 6 peixes y x Número de casos possíveis: 5 a) x = y x y = 0 Número de casos favoráveis: 5 P = 5 5 = 1 5 c) A soma é 10 se e só se x = 5 e y = 5 Número de casos possíveis: 1 b) y x x y 0 Número de casos possíveis: 15 P = 15 5 = 5 P =

105 4.. Se o João escreveu o número sabe que os casos possíveis para x y são, 1, 0, 1,. Entre estes 5 casos há três (1, 0 e 1) cujo módulo é inferior a. P = Os casos possíveis que, que o João, quer a Joana, apresentam não são equiprováveis. Por isso, as suas respostas estão, provavelmente erradas. Na tabela seguinte apresentam-se todos os resultados possíveis (equiprováveis). saco B B P 1. saco P P B P B P P P P B P B P P B B B B B B P Número de casos possíveis: 9 Número de casos favoráveis: 4 P (A) = Pág. 190 Classes Freq. absoluta [150, 160[ 4 [160, 170[ 7 [170, 180[ 9 [180, 190[ 5 Total 5. Atirar uma pedra ao rio e verificar se vai ao fundo é uma experiência determinista. Resposta: (C). S = {(N, 1), (N, ), (N, ), (N. 4), (N, 5), (N, 6) ; (E, 1), (E, ), (E, ), (E, 4), (E, 5), (E, 6)} 4.1. a) C = {D}, por exemplo b) D = {R, D, P } 4.. Por exemplo a) E: sair a letra X b) F = {R, T, D, P } c) G = {R} d) A = {R, P } 5. P (sair bola amarela) = 1 0, 4 1 0, 1 = Número de casos possíveis: = 6 Número de casos favoráveis: + 8 = 10 P = 10 6 = Número de casos possíveis = 6 Número de casos favoráveis = 10 P = 10 6 = Número de casos possíveis = 6 Número de casos favoráveis = 14 P = 14 6 =

106 7.1. Número de casos possíveis = = 6 Número de casos favoráveis = 7.. Número de casos possíveis = 6 Número de casos favoráveis = + 1 = P = 6 = 1 P = 6 = 1 ou P = = Número de casos possíveis = 6 Número de casos favoráveis = 6 = Número de casos possíveis = 6 Número de casos favoráveis = 6 = P = 4 6 = P = 6 = 1 ou P = 1 6 = ou P = 1 6 = Número de casos possíveis: 4 a) Número de casos favoráveis: 1 P = 1 4 b) Número de casos favoráveis: P = 4 = 1 Pág , 4 0, 50 = = = 11 Classes Freq. absoluta Freq. relativa( %) [0, 15[ 1 4 % [15, 0[ 17 4 % [0, 45[ 10 0 % [45, 60[ 11 % Total %.1. a) 9 0, b)a = {,, 5} = , c) B = {5, 6} = = 0, P = 1 6. A probabilidade do acontecimento impossível é 0. Resposta: (C) 4. Número de casos possíveis: Número de casos favoráveis: 1 P = {, 4} Número de casos favoráveis: 4.. {,, 5} Número de casos possíveis: P = 6 = O acontecimento é impossível P = 0 P = 6 = 1 106

107 5.1. Número de casos possíveis: = 50 Número de casos favoráveis: = 0 P = 0 50 = Número de casos favoráveis: 14 P = = Número de casos favoráveis: 50 1 = 8 P = 8 50 = 19 5 ou P = = Número de casos favoráveis: 50 (8 + 14) = 50 = 8 P = 8 50 = 14 5 ou P = = Para cada par de calças, o João pode escolher uma de 7 camisas. No total, pode vestir-se de 10 7 = 70 maneiras diferentes. Resposta: (C) Pág Vermelhas: 8 ; Azuis: n ; Brancas: m P (B) = 5 P (A) = 1 Seja x o número total de bolas P (V ) = x = 8 4x = 15 8 x = 15 4 x = 0 O saco tem 0 bolas ( ) = = 4 15 P (B) = 5 0 = 1 5 O saco tem 1 bolas brancas. 8. Se A e B são disjuntos. P (A B) = P (A) + P (B) = 0, + 0, 5 = 0, 8 P (A B) 0, 8 P (A B) P (A) e P (A) = 0, P (A B) P (B) e P (B) = 0, 5 Logo, 0, 5 P (A B) 0, 8. Resposta: (C) 9. Rapazes (M): Raparigas (F): Na tabela ao lado apresentam-se todos os casos possíveis. Número de casos possíveis: 10 Número de casos favoráveis: 6 P = 6 10 = 5 M 1 M F 1 F F M 1 M 1 M M 1 F 1 M 1 F M 1 F M M F 1 M F M F F 1 F 1 F F F F F F F (a) (b) (a) A equipa F M 1 é a mesma que M1 F (b) Não é possível escolher duas vezes a mesma pessoa. 107

108 10. Vamos organizar os dados num diagrama de Venn = = 4 5 ( ) = 5 19 = 6 P = Soma 9 Soma Pág