No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos. Dados do problema Resistores R 1 = Ω; R = Ω R = Ω; R 4 = Ω R = Ω; R 6 = Ω; R 7 = Ω; R 8 = Ω. f.e.m. das pilhas E 1 = V; E = V. E = 4 V. Solução Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. No ramo GHAB temos a corrente i 1 no sentido horário, no ramo BC a corrente i indo de B para C, no ramo CDEF a corrente i 4 no sentido horário, no ramo CF a corrente i indo de C para F, no ramo FG a corrente i 6 indo de F para G e no ramo BG a corrente i indo de B para G. Em segundo lugar para cada malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, para se percorrer a malha. Malha α (GHABG), malha β (BCFGB) e malha γ (CDEFC) todas percorridas no sentido horário (figura 1) figura 1 Aplicando a Lei dos Nós A corrente i 1 chega ao nó B e as correntes i e i saem dele i 1 = i i i 1 i i = 0 (I) 1
A corrente i chega ao nó C e as correntes i 4 e i saem dele i = i 4 i i i 4 i = 0 (II) As correntes i 4 e i chegam ao nó F e a corrente i 6 sai dele i 6 = i 4 i i 4 i i 6 = 0 (III) Aplicando a Lei das Malhas Para a malha α a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo as malhas β e γ (figura ), temos substituindo os valores do problema fica figura R i 1 R i R 1 i 1 E 1 = 0 i 1 i i 1 = 0 i 1 i = (IV) Para a malha β a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo as malhas α e γ (figura ), temos figura R 4 i E R 6 i R i 6 R i = 0 substituindo os valores i i i 6 i = 0
i i i i 6 = (V) Para a malha γ a partir do ponto C no sentindo escolhido, esquecendo as malhas α e β (figura 4), temos substituindo os valores figura 4 R 8 i 4 E R 7 i 4 R 6 i E = 0 i 4 4 i 4 i = 0 i 4 i 1 = 0 i 4 i = 1 (VI) Com as equações (I), (II), (III), (IV), (V) e (VI) temos um sistema de seis equações a seis incógnitas ( i 1, i, i, i 4, i e i 6 ) i 1 i = i i i i 6 = i 4 i = 1 i 1 i i = 0 i i 4 i = 0 i 4 i i 6 = 0 (VII) escrevendo o sistema como i 1 0i i 0i 4 0i 0i 6 = 0i 1 i i 0i 4 i i 6 = 0i 1 0i 0i i 4 i 0i 6 = 1 1i 1 1i 1i 0i 4 0i 0i 6 = 0 0i 1 1i 0i 1i 4 1i 0i 6 = 0 0i 1 0i 0i 1i 4 1i 1i 6 = 0 este sistema pode ser representado pela matriz a seguir, onde os valores a esquerda da linha tracejada representam a matriz dos coeficientes das correntes e os valores a direita representam o vetor dos termos independentes
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 Observação: para resolver este sistema vamos escalonar esta matriz de modo a obter uma matriz triangular superior. Para fazer o escalonamento podemos realizar operações sobre as linhas da matriz como multiplicar ou dividir uma linha inteira (no caso incluindo o vetor dos termos independentes) por um número qualquer, podemos somar ou subtrair uma linha de outra e podemos inverter duas linhas de posição. Uma matriz triangular superior é aquela em que os elementos abaixo da diagonal principal são todos nulos. Para que o elemento a 41 = 1 seja zerado vamos dividir a 1. a linha por e somar com a 4. a linha e substituir na 4. a linha L 1 L 4 L 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 L 1 1 1 1 0 0 0 0 L 4 L 4 0 1 1 0 0 a 41 = 1 = 1 1 = 0 ; a 4 = 0 1 = 0 1 = 1 ; a 4 = 1 = 1, multiplicando o numerador e o denominador do último termo por, a 4 = 1. = = 7 ; a 44 = 0 0 = 0 ; a 4 = 0 0 = 0 ; a 46 = 0 0 = 0 ; v 4 = 0 = 1. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 7 0 0 0 1 0 1 1 0 0 Para que o elemento a 4 = --1 seja zerado vamos dividir a. a linha por e somar com a 4. a linha e substituir na 4. a linha L L 4 L 4 e para que o elemento a = 1 seja zerado 4
vamos dividir a. a linha por -- e somar com a. a linha e substituir na. a linha L L L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 7 0 0 0 1 0 1 1 0 0 L L 4 L 4 L L L a 41 = 0 0 = 0 ; a 4 = 1 = 1 1 = 0 ; a 4 = 7 = 1 7, multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo por, a 4 = 1. 7 = 7 = 1 ; a 44 = 0 0 = 0 ; a 4 = 0 = 1 ; a 46 = 0 = ; v 4 = 1 = 1, multiplicando o numerador e o denominador do último termo por, v 4 = 1. = =. a 1 = 0 0 = 0 ; a = 1 = 1 1 = 0 ; a = 0 = 1 ; a 4 = 0 1 = 1 ; a = 1 = 1 1 = ; a 6 = 0 = ; v = 0 =. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1
Para que o elemento a 4 = 1 seja zerado vamos trocar de posição as linhas e 4 L L 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 L 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 L 4 Para que o elemento a = 1 seja zerado vamos multiplicar a. a linha por somar com a. a linha e substituir na. a linha 1 L L L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 L L L 0 1 a 1 = 1.0 0 = 0 ; a = 1.0 0 = 0 ; 1 e a = 1. 1 1 = 1 1 = 0 ; a 4 = 1.0 1 = 1 ; a = 1.1 = 1, multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 1, a = 1. 1 1 = 1 4 1 = 19 1.; a 6 = 1. = 4. 1 = 8, multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 4, a 66 = 8. 4 4 = 8 1 8 = 7 8 ; 6
v = 1. = 4. 1 = 8, multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 4, v = 8. 4 4 = 8 0 8 = 1 8. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 19 1 7 1 8 8 Para que o elemento a 4 = --1 seja zerado vamos dividir a 4. a linha por e somar com a. a linha e substituir na. a linha L 4 L L e para que o elemento a 64 = 1 seja zerado vamos dividir a 4. a linha por -- e somar com a 6. a linha e substituir na 6. a linha L 4 L L 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 19 1 7 1 8 8 L 4 L L L 4 L 6 L 6 a 1 = 0 0 = 0 ; a = 0 0 = 0 ; a = 0 0 = 0 ; a 4 = 1 = 1 1 = 0 ; a = 19 1 = 19, o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre e 1 é 60 1 mmc (, 1) = 60, a =.1 19. 60 a 6 = 0 7 8 = 7 8 ; = 4 9 60 v = 1 1 8 = 1 1 8, mmc (, 8) = 40, v = a 61 = 0 0 = 0 ; a 6 = 0 0 = 0 ; a 6 = 0 0 = 0 ; a 64 = 1 = 1 1 = 0 ; = 119 60 ; 1.8 1. 40 = 8 7 40 = 8 40. 7
a 6 = 1 = 1, multiplicando o numerador e o denominador do último termo por, a 6 = 1. = = 7 ; a 66 = 0 1 = 1 ; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 119 7 60 8 8 40 7 0 0 0 0 1 1 v 6 = 1 0 = 1. Para que o elemento a 6 = 7 seja zerado vamos multiplicar a.a linha por somar com a 6. a linha e substituir na 6. a linha 60 119. 7 L L L 6 6 60 119. 7 e Observação: multiplicamos por 60 119 para que o elemento a fique igual a 1 a 119 = 60. 60 119 = 1, em seguida multiplicamos por 7 para que o elemento a fique igual a 7 e somado com o elemento a 6 este elemento seja zero. 0 0 0 0 0 0 0 0 1 60 0 0 0 0 1 0 0 0 0 119 60 7 119. 7 L L 6 L 6 8 8 40 7 0 0 0 0 1 1 a 61 = 60 119. 7.0 0 = 0 ; a 6 = 60 119. 7.0 0 = 0 ; a 6 = 60 119. 7.0 0 = 0 ; a 64 = 60 119. 7.0 0 = 0 ; a 6 = 60 119. 7. 119 60 7 = 7 7 = 0 ; 8
119. 7. 7 8 www.fisicaexe.com.br a 66 = 60 1 1 = 119. 7. 7 7 1 = 1190 1, multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 1190, a 66 = 7 1190 1. 119190 = 7 1190 1190 1190 = 19 1190 ; v 6 = 60 119. 7. 8 40 1 = v 6 = 174.1 1. 8 1190 0 0 1 esta matriz representa o sistema = 10 1190. 119. 7. 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 119 7 60 8 8 40 0 0 0 0 0 19 1190 10 1190 174 = 1190 1, mmc (, 1190) = 1190, i 1 i = i i i i 6 = 1 i 1 i i 6 = i 4 i = 1 119 60 i 7 8 i = 8 6 40 19 1190 i 6 = 10 1190 este sistema é equivalente ao sistema (VII), de imediato da sexta equação temos 19 1190 i 6 = 10 1190 19 1190 i = 10 6 1190 i 6 = 10 1190. 1190 19 i 6 = 10 19 dividindo o numerador e o denominador por, temos 10: i 6 = 19: i 6 = 4 i 6 = 0,78 A Substituindo o valor da corrente i 6 na quinta equação, temos Observação: ao invés de substituirmos a corrente no valor decimal vamos substituir o valor dado pela fração para diminuir erros de arredondamento. 9
119 60 i 7 8. 4 8 = 40 119 60 i 01 440 = 8 40 119 60 i = 8 40 01 440 dividindo por 10 ambos os lados da igualdade, obtemos o mmc (4, 6, 44) = 1 119 60 :10 i = 8 40:10 01 440 :10 119 6 i = 8 4 01 44 119. 8. 01. i 1 = 1 618 1 i = 79 90 1 618 1 i = 186 1 simplificando o valor 1 de ambos os lados da igualdade 618 i = 186 i = 186 618 dividindo o numerador e o denominador por 4, temos 186 :4 i = 618:4 i = 4 i = 0,70 A Substituindo o valor da corrente i na quarta equação, temos i 4. 4 = 1 i 4 108 = 1 i 4 = 1 108 multiplicando o numerador e o denominador por do lado direito da igualdade i 4 = 1. 108 i 4 = 108 i 4 = 1 i 4 = 1. i 4 = 1 8 10
i 4 = 0,08 A Substituindo os valores das correntes i e i 6 na terceira equação, temos o mmc (,,, 110) = 0 1 i 1. 4. 4 = 1 i 4 19 110 = 1 i = 4 19 110 1. 14 i 0 = 4.10 19.7.8 0 1848 0 i = 40 90 11 0 1848 0 i = 88 0 simplificando o valor 0 de ambos os lados da igualdade 1848 i = 88 i = 88 1848 dividindo o numerador e o denominador por 4, temos 88 :4 i = 1848: 4 i = 1 i = 0,16 A Substituindo os valores das correntes i, i e i 6 na segunda equação, temos o mmc (1,, ) = 8 i. 1 4 4.. = i 4 108 19 = i 84 19 = i = 84 19.8 8 i. 8 84. 19.7 = 8 0 8 i = 19 40 90 8 0 8 i = 60 8 simplificando o valor 8 de ambos os lados da igualdade 0 i = 60 i = 60 0 11
dividindo o numerador e o denominador por 14, temos i = 60:1 0 :14 i = 4 i = 0,78 A Substituindo o valor da corrente i na primeira equação, temos i 1. 1 = i 1 = 4 multiplicando o numerador e o denominador por do lado direito da igualdade i 1 =. 4 i 1 = 8 4 i 1 = 61 i 1 = 61. i 1 = 61 8 i 1 = 0,94 A Como o valor das correntes são todos positivos os sentidos escolhidos na figura 1 estão corretos. Os valores das correntes são i 1=0,94 A, i =0,78 A, i =0,16 A, i 4=0,08 A, i =0,70 A, e i 6=0,78 A e seus sentidos estão mostrados na figura. 1