Exercícios de Matemática Computacional

Exercícios de Matemática Computacional 1 Teoria dos erros 1.1 Representação de números reais 1. Os resultados aproximados da medição de uma ponte e de uma viga foram, respectivamente, 9999 cm e 9 cm. Se as medidas exactas são, respectivamente, 10000 cm e 10 cm, calcule (a) o erro absoluto da medição, (b) a percentagem de erro relativo da medição, Comente. 2. Represente x em vírgula flutuante com 4 dígitos na mantissa e arredondamento simétrico nos seguintes casos (a) x = 1/6 (b) x = 1/3 (c) x = 83784 (d) x = 83785 (e) x = 83798 (f) x = 0.0013296 3. Determine o erro absoluto cometido no cálculo do determinante da matriz 5.7432 7.3315 A := 6.5187 8.3215 se utilizar um sistema de vírgula flutuante com arredondamento simétrico e mantissa de comprimento 6. 1.2 Cancelamento subtractivo 1. Considere os números x = π e y = 2199/700. (a) Determine aproximações x e ỹ de x e y, respectivamente, com 4 dígitos na mantissa e arredondamento simétrico. Obtenha x ỹ e calcule a percentagem de erros relativos de x, ỹ e x ỹ. Comente. (b) Com o objectivo de ilustrar a influência nos resultados da precisão utilizada, repita a alínea (a) considerando aproximações com 6 dígitos na mantissa. Comente. 1

2. Sugira formas de evitar perda de precisão nas seguintes expressões (a) x 2 + 1 x (b) x 3 (sin x x) (c) log x 1 (d) sinx tan x (e) e x e 1.3 Propagação de erros. Estabilidade e condicionamento 1. A velocidade de um pára-quedas pode ser determinada pela equação v(t) = gm c ( 1 e (c/m)t ), onde g designa a aceleração da gravidade, m a massa, e c é o coeficiente de resistência ao ar. Calcule v em t = 6, se g = 9.8 m/s 2, m = 50 Kg e c = 12.5. Estime o erro se considerar uma aproximação de c tal que c c 2. 2. Avalie e comente o número de condição de f(x) = ex 1 x para x = 0.01. 3. Considere o cálculo de z = f(x, y) = x 2 y 2 que pode ser feito usando três algoritmos diferentes w 1 = x x y y; w 2 = (x + y) (x y); w 3 = (x + y) x (x + y) y. (a) Determine as expressões dos erros absolutos dos três algoritmos. (b) Supondo que x e y são representados exactamente no computador, sob que condições um algoritmo é melhor do que os outros? 4. Considere a função real de variável real f(x) := 1 cosx x 2. (a) Justifique que, para valores de x perto de zero, o cálculo de f(x) constitui um problema bem condicionado, i.e., o número de condição de f em x é pequeno. (b) Determine f(10 3 ). Considere o seguinte algoritmo para o cálculo de f(10 3 ) z 1 = cosx, z 2 = 1 z 1, z 3 = z 2 /x 2. Que sucede se usar este algoritmo num sistema de vírgula flutuante com 6 dígitos na mantissa e arredondamento simétrico? 2

(c) Mostre que em geral o algoritmo anterior é instável para x próximo de zero (apesar de o problema ser bem condicionado). 5. Considere os valores Com a finalidade de calcular A = 0.492, B = 0.603, C = 0.494, D = 0.602, E = 10 5 F := A + B + C + D E dois alunos efectuaram esse cálculo numa máquina com 3 dígitos na mantissa e arredondamento simétrico de forma diversa, mas aritmeticamente equivalente. O primeiro calculou A + B, depois C +D, somou os valores, dividiu por E e obteve F = 0. O segundo, calculou A+C, depois B + D, somou os valores, dividiu por E e obteve F = 100. Verifique os cálculos efectuados pelos dois alunos e comente a disparidade de resultados obtidos. 6. Ao calcular f(x) := x x 2 1 numa máquina com sistema de vírgula flutuante V F(10, 6, 30, 30) e arredondamento simétrico, verificou-se que para valores de x muito grandes o erro relativo era também muito grande. (a) Verifique que o erro relativo é de 100% para x = 2000. Qual o valor do erro relativo para valores de x ainda maiores? (b) Justifique a causa deste erro relativo ser grande, i.e, indique se o problema é mal condicionado ou se se trata de um caso de instabilidade numérica. Apresente uma forma de calcular f(x) que não apresente erro relativo grande. 2 Métodos iterativos para equações não lineares 2.1 Método da bissecção 1. Uma empresa estima que o lucro (em euros) da produção de x miligramas de um solvente é: L(x) := x 5 + 3x 3 x. Aproxime, pelo método da bissecção com um erro inferior a 0.01, a quantidade de solvente que é necessário vender para ter um lucro de 1000 euros. 2. O volume V dum líquido num tanque esférico de radio r está relacionado com a altura h ocupada pelo líquido pela expressão V = πh2 (3r h) 3 Determine h pelo método da bisecção com um erro inferior a 10 3 se V = 0.5 m 3 e r = 1 m. 3

3. Considere a equação e x 4x 2 = 0. (2.1) (a) Prove que tem apenas três raízes reais z 1 [ 1, 0], z 2 [0, 1] e z 3 [4, 5]. (b) Considere o método da bissecção para aproximar z 1 e z 2 com um erro inferior a 0.05. Quantas iteradas seriam necessárias para garantir uma aproximação de z 3, pelo mesmo método, com um erro inferior a 0.01? 2.2 Método do ponto fixo 1. A acidez duma solução dum certo hidróxido em ácido hidrocloridrico vem dada pela equação A(x) = 1 + e x + x 3 14x, onde x representa a concentração de H3O+. Pretende-se determinar a concentração z [0, 1] de H3O+ duma solução saturada deste hidróxido, i.e. duma solução com acidez nula. Seja g(x) := 1 + ex + x 3. 14 Justifique que o método do ponto fixo com função iteradora g é aplicável e convergente para z qualquer que seja a aproximação inicial x 0 [0, 1]. 2. Pretende-se calcular a menor raíz positiva da equação Considere as fórmulas x 2 101x + 1 = 0. x = 101 101 2 4, x = 2 2 101 + 101 2 4 e ainda o método iterativo x 0 = 0, x n+1 = x2 n + 1 101, n N. Use cada um dos referidos métodos e comente a precisão dos resultados obtidos sabendo que o valor da raíz é 0.0099019608794976148... 3. Para aproximar as raízes positivas da equação (2.1), considere o método do ponto fixo com função iteradora g(x) = 1 2 ex/2. Mostre que z 2 e z 3 são pontos fixos de g, que o método iterativo associado a g converge para z 2 qualquer que seja a iterada inicial x 0 [0, 1], mas que não é possível usar este método para aproximar z 3. 4. Consider a função real f(x) := 2x cos(x). 4

(a) Mostre que a equação f(x) = 0 possui uma só raíz z no intervalo (0, π/4) e calcule-a com erro inferior a 0.25 pelo método da bisecção. (b) Mostre que o método iterativo x n+1 := cos(x n) 2 n N converge para z, independentemente da escolha que fizer de x 0 (0, π/4). Dê uma estimativa do coeficiente assimptótico de convergência. A convergência é monótona?. Justifique. (c) Faça x 0 = π/8. Calcule um majorante para x 16. 5. Considere a equação 3x 2 e x = 0 (a) Indique intervalos de comprimento unitário que contenham as suas raízes. (b) Considere as seguintes sucessões: (S1) x n+1 = e x n 3 (S2) y n+1 = ln (3y 2 n) Mostre que é possível obter aproximações das raízes positivas da equação usando, para cada raíz, uma destas sucessões e indique, em cada caso, um intervalo onde poderá escolher a iterada inicial. (c) Efectue 2 iterações usando a sucessão (S1) com x 0 = 1. (d) Será possível usar (S1) para aproximar a maior raíz positiva da equação? E (S2) para aproximar a menor raíz positiva? 6. Considere a sucessão de números reais definida por onde b é um número real dado. z 0 = 1, z k+1 = 1 1 bz k, k = 0, 1, 2,... (a) Com base no teorema do ponto fixo mostre que, se b > 4 esta sucessão converge e que todos os seus termos estão compreendidos entre 1 2 e 1. (b) Seja b = 25 4. Através da definição de ponto fixo calcule z = lim k z k. (c) Para o valor de b da alínea anterior mostre que todos os termos da sucessão pertencem ao intervalo [ 4 5, 1] e que se tem: z k+1 z 4 ( ) k 1 75 4 7. Seja a função g(x) = 1 3 ln (x2 + 1). (a) Prove que a sucessão definida por x n+1 = 1 3 ln (x2 n + 1), n N converge para um número z [ 1, 1]. Determine z e a ordem de convergência. 5

(b) Efectue algumas iterações, começando com x 0 = 5. 8. Pretende-se determinar uma raíz da equação x = φ(x) pelo método do ponto fixo com um erro inferior a 0.5 10 4. Suponha que foram obtidas as iteradas x 4 = 0.43789 x 5 = 0.43814. Sabendo que φ (x) 0.4, determine o número de iterações que tem ainda de se efectuar até atingir a precisão pretendida. 3 Métodos iterativos para a resolução de sistemas 3.1 Sistemas lineares 1. Pretende-se obter aproximações da solução do sistema linear pelos métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel. x 1 + 10x 2 + x 3 = 12 x 1 + x 2 + 10x 3 = 12 10x 1 + x 2 + x 3 = 12 (a) Reordene-o de modo a que a matriz do novo sistema seja de diagonal estritamente dominante por linhas. Comente. (b) Aplique o método de Jacobi ao novo sistema e efectue quatro iterações considerando X (0) := ( 4, 4, 4). Calcule um majorante para o erro da iterada X (4). (c) Aplique o método de Gauss-Seidel até que X (k) X (k 1) < 10 2. Conclua sobre o erro da iterada X (k). Comente os resultados obtidos. 2. Determine para que valores de c R estão garantidas as condições necessárias e suficientes de convergência do método de Jacobi quando aplicado a resolução de um sistema linear com matriz 3. O sistema de equações lineares Ax = b com 3c 2 5 2 A := 0 1 0. 2c 1 1 A := ( 1 a a 1 pode, sob certas condições, ser resolvido pelo método iterativo ( 1 0 λa 1 ) ) ( 1 λ λa x (k+1) = 0 1 λ a) Para que valores de a o método converge se λ = 1? b) Se a = 1 e λ = 1 2 o método converge? ) x (k) + λb 6

4. Considere o método iterativo x (k+1) = Cx (k) + b, k N, x (0) R 4, onde e b:= (1,0,1,0). C := 1/2 1/6 1/6 1/6 0 2/3 1/6 1/3 1/6 0 1/2 1/6 1/6 0 0 1/6 (a) Mostre que qualquer que seja a aproximação inicial x (0) R 4, este método iterativo converge para a solução do sistema linear (I C)x = b. (b) Considere x (0) = (0, 0, 0, 0) e efectue duas iteradas. Obtenha uma estimativa para o erro x x (2). (Exame 11/01/2005) 5. Considere o sistema linear Ax = b com onde α R. A := 2 α 0 1 2 2α 0 1 2 b := (1, 0, 1). (a) Mostre que tanto o método iterativo de Jacobi como o de Gauss-Seidel convergem para a solução deste sistema, qualquer que seja a aproximação inicial x (0) R 3 se e só se α < 4/3. Prove também que o método de Gauss-Seidel converge mais rapidamente, desde que α 0. Como é que os dois métodos convergem quando α = 0? (b) Seja α = 1/2 e x (0) o vector nulo. Calcule as três primeiras iteradas pelo método de Gauss- Seidel. Obtenha uma estimativa para o erro x x 3. 6. Seja a matriz A := ( 1 a 0 2 ) onde a R. Calcule o número de condição associado às normas, 1 e 2. Com o auxilio do Mathematica trace o gráfico de cond 1 (A) em função do parámetro a. Comente. 7

7. Considere as matrizes e A := à := 1 0 1 1 1 0 a 0 3 1 0 1 1 1 0 ã 0 3 onde a, ã R e ã é uma aproximação de a. Suponhamos que ao resolver o sistema à x = b se obteve a solução x = (1, 1, 1). Se ã está afectado dum erro de valor absoluto não superior a ε, determine um majorante de x x, onde x é a solução de Ax = b. 3.2 Sistemas não lineares 1. Pretende-se resolver pelo método de Newton o seguinte sistema de equações não lineares 2x 1 + x 2 (x 3 + 1) = 10 3(x 2 + 1) + x 2 3 = 11 3x 1 + x 2 3 = 9 tomando como aproximação inicial x (0) := [3 2 1] T. Mostre que o sistema linear a ser resolvido para se obter x (1) é da forma Ax = b, onde e obtenha o vector b. Determine x (1). A = 2 2 2 0 3 2 3 0 2 2. Pretende-se obter uma aproximação do seguinte sistema não linear pelo método de Newton. e x 3 = 0 3y + 4z = 3 2x 2 + 2x + 2z = 1 (a) Tomando como aproximação inicial x (0) = [0 1 2] T para o cálculo de x (1), somos conduzidos a resolver um sistema de equações lineares. Determine este sistema. (b) Considere o método de Gauss-Seidel para resolver o anterior sistema linear com aproximação inicial o vector nulo. Efectue duas iterações e dê uma aproximação de x (1). 3. Considere o sistema de equações algébricas não lineares F(x) = 0 x = G(x) 8

onde x = (x 1, x 2, x 3 ) e F(x) := ( 3x 1 + x 2 2 + x 3 2, x 1 2 3x 2 + x 3 2, x 1 2 + x 2 2 3x 3 1) G(x) := 1 3 (x 2 2 + x 3 2, x 1 2 + x 3 2, x 1 2 + x 2 2 1). (a) Mostre que o sistema tem uma solução única z no conjunto D = {x R 3 : x 1/3}. (b) Obtenha um valor aproximado x (2) de z usando duas iterações pelo método do ponto fixo partindo da condição inicial x (0) := (0, 0, 0). Apresente uma estimativa para o erro x x (2). (c) Mostre que a determinação de um valor aproximado x 1 de z usando uma iterada do método de Newton com aproximação inicial x (0) := (α, α, 0), α R, conduz a resolução de um sistema linear Ay = b, onde A := 3 2α 0 2α 3 0 2α 2α 3, b := (3α α 2, 3α α 2, 1 2α 2 ). (d) Tomando α = 1, resolva o sistema Ay = b da alínea anterior pelo método de eliminação de Gauss e conclua a determinação do valor aproximado x 1. (Exame, LEFT 15/07/2003) 4. Mostre que a condição w (0, 2) é necessária para que o método de SOR convirja para a resolução dum sistema Ax = b. 4 Interpolação polinomial 1. Numa experiência de laboratório um aluno foi encarregue de medir a corrente eléctrica (I) dum dado circuito eléctrico. Fez apenas três medições, tendo obtido os seguintes valores t 0 1 2 I(t) 2 1.8 1.5 (a) Usando o polinómio interpolador de I nos pontos tabelados, qual seria o valor aproximado da corrente do circuito no instante 1.5 que este aluno poderia dar? Qual o erro cometido sabendo que I (3 (t) 0.1 qualquer que seja t > 0. (b) Posteriormente, um colega disse-lhe que tinha medido um valor de 1.1 Ampères para a corrente no instante 1.25. Tendo em conta mais este dado e usando interpolação polinomial, dê uma nova estimativa da corrente do circuito no instante 1.5. Qual o erro cometido sabendo que I (4 (t) 0.2 qualquer que seja t > 0. (c) Sabendo que I é um polinómio de grau quatro da forma I(t) := t 4 + at 3 + bt 2 + ct + d, determine uma expressão para I a partir do polinómio obtido na alínea anterior. 9

2. O primeiro selo dos correios americanos foi lançado em 1885, sendo o preço de envio de uma carta de 2 cêntimos. Em 1917 este preço subiu para 3 cêntimos, tendo voltado aos 2 cêntimos em 1919. Em 1932 voltou a subir para 3 cêntimos e assim se manteve durante 26 anos. Seguidamente deu-se uma série de aumentos: 1958 : 4c, 1963 : 5c, 1968 : 6c, 1971 : 8c, 1974 : 10c, 1978 : 15c, 1981 : 18c em Março e 20c em Outubro; 1985 : 22c, 1988 : 25c, 1991 : 29c, 1995 : 32c, 1999 : 33c e 2001 : 34c. Determine a interpolação polinomial para estes dados. Baseado nela, quando custará 1 dolar o envio duma carta? E 10 dólares? 3. Pretende-se construir uma tabela de valores da função e x, para x [0, 1], com pontos igualmente espaçados x j = jh, j = 0, 1,...N, onde h é o espaçamento entre os pontos. Em cada subintervalo [x j, x j+1 ] a função é aproximada pelo polinómio interpolador de grau menor ou igual a 1 nos pontos x j, x j+1. Determine o valor máximo do espaçamento h para que o erro de interpolação em qualquer ponto do intervalo [0, 1] seja inferior a 10 6. 4. Considere a seguinte tabela de valores x -3-1 1 3 f(x) -33 14-2 -5 (a) Sabendo que a funçao tabelada é contínua e estritamente monótona em [ 1, 3], determine por interpolação da função inversa um valor aproximado do zero da função situado no intervalo [ 1, 1], utilizando o maior número possível de pontos. Justifique. (b) Obtenha o polinómio interpolador de f nos três últimos pontos. Se determinasse o zero deste polinómio no intervalo [ 1, 1], obteria o mesmo valor que na alínea anterior? Justifique. (c) Supondo que, para x 1 a função é da forma f(x) := 3x 4 + ax 3 + bx 2 + c + d e que f[ 1, 1, 2] = 4, escreva, recorrendo ao polinómio interpolador calculado na alínea anterior, uma expressão que permita obter f(x). 5. Considere a seguinte tabela de valores de uma função x -1 0 1 2 f(x) 1 0 1 16 (a) Determine o polinómio interpolador de f, P 3, nos pontos da tabela pela fórmula interpoladora de Newton. (b) Mostre que max x(x x [ 1,2] 2)(x2 1) = 1. (c) Sabendo que f (4 (x) 24, para todo x [ 1, 2], obtenha um majorante para o erro válido para todos os valores de x [ 1, 2]. (Exame 19/01/04) e 3 (x) = f(x) P 3 (x), 10

6. Considere a tabela de valores x -1 1 4 f(x) 2-2 -8 Sabendo que f é um polinómio e que determine a forma de f. f[ 1, 1, 2] = 4, f[ 1, 1, 2, 4, x] = 3, x R/{ 1, 1,, 4} 7. Seja f C 3 [a, b] e p 2 o polinómio de grau menor ou igual a dois que interpola f nos pontos x 0 = a, x 1 = a+b 2 e x 2 = b. Mostre que f(x) p 2 (x) (b a)3 72 3 max y [a,b] f(3 (y) para todo x R. 8. Considere a seguinte tabela de valores de uma função x -1 0 1 2 f(x) 1 1 1 2 (a) Usando a fórmula de Newton com diferenças divididas, construa o polinómio interpolador de f de grau menor ou igual a três. (b) Sabendo que f 3) (x) = 4x 1, utilize a alínea anterior para determinar a expressão exacta de f. 5 Mínimos quadrados 1. Seja f uma função tal que f( 2) = 3, f(0) = 6 e f(2) = 15. Obtenha a função do tipo g(x) = ax+b que melhor se ajusta aos valores dados, no sentido dos mínimos quadrados. Mostre ainda que: para quaisquer α, β valores reais. 3 (f(x i ) αx i β) 2 6 i=1 2. Considere a seguinte tabela: x 1 1.2 1.5 1.6 f(x) 5.44 6.64 8.96 9.91 a) Obtenha o polinómio do primeiro grau que melhor se ajusta (no sentido dos mínimos quadrados) aos pontos tabelados. b) Idem, mas para o polinómio do segundo grau. Usando o polinómio obtido, determine uma estimativa do valor de f(1.4) c) Admitindo que f (x) g (x) M, x [1.2, 1.5], obtenha um majorante do erro absoluto do valor obtido na alínea anterior. 11

d) Relativamente aos dois casos anteriores, calcule o valor das somas dos quadrados dos desvios. Qual seria o valor dessa soma no caso de se fazer um ajustamento por um polinómio do terceiro grau? 3. Considere a seguinte tabela de valores de uma função x -1-0.5 0 1 f(x) 0.262087 1.20472 1.34375 0.0130539 Calcule (com o auxilio do Mathematica) os valores das constantes a, b que minimizam o funcional 4 (f j ae bxj2 ). j=0 Sugestão: Utilize o método de Newton para sistemas lineares. 4. Considere a seguinte tabela de valores de uma função Obtenha a função do tipo x 0 π/2 π 3π/2 f(x) 1 0.5-1 0 g(x) = a + b sin(x) + c cos(x) que melhor aproxima f no sentido dos mínimos quadrados e determine 3 Q = (f(x j ) g(x j )) 2. j=0 Seja Justifique que para todo d R 3 Q 1 = (f(x j ) d cos(x j )) 2. j=0 Q 1 > 0.0625, (Exame LEIC 13/02/2003) 6 Integração numérica 1. Considere a região S do plano, situada no primeiro quadrante, delimitada pelas rectas x = 1/2 e x = 1, e pelas curvas de equações y = x 3 e y 2 = x. (a) Estabeleça o integral definido que lhe permite calcular a área de S, denotada por A(S). (b) Determine uma aproximação de A(S) pela regra de Simpson composta de modo a garantir um erro inferior a 3 10 3. 12

2. A massa que entra ou sai de um reactor pode determinar-se pelo integral M = t2 t 1 Qc dt, onde t 1 e t 2 são os instantes inicial e final, respectivamente, Q representa o fluxo por unidade de tempo e c a concentração de massa. Um aluno mediu a concentração do reactor em vários instantes de tempo, obtendo t min 0 2 4 6 8 12 16 20 c mg/m 3 10 20 30 40 60 72 70 50 Para um fluxo constante Q = 12, estime a massa que sai do reactor entre t = 0 e t = 20 min usando várias formas de integração. Comente. 3. Para medir o ritmo cardíaco do coração costuma-se usar o método de diluição: Injecta-se corante no atrium direito do coração, e com ajuda duma proveta inserida na aorta mede-se a concentração de corante que sai do coração em instantes igualmente espaçados dum intervalo de tempo [0, T] até o corante desaparecer. Seja c(t) a concentração de corante num instante t. Pode-se ver que o fluxo de sangue bombeado pelo coração em [0, T] é dado por F = A T 0 c(t)dt, onde A é a quantidade de corante injectado. Suponhamos que injectamos 5-mg de corante e que a concentração deste (em miligramas por litro) é medido na aorta em intervalos de longitude um segundo conforme se mostra na seguinte tabela: t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c(t) 0 0.4 2.8 6.5 9.8 8.9 6.1 4 2.3 1.1 0 Estime o volume de sangue bombeado pelo coração em [0, 10] usando as regras do Trapézios e Simpson. 4. O coeficiente de inteligência (Q.I) é medido através de uma distribuição normal com média 100 e desvio 15. A percentagem da população que tem um Q.I entre 85 e 115 é dado pela fórmula ( 115 ) 100 e (x 100)2 /(2 15 2) dx %. 85 Obtenha uma aproximação desta percentagem pela regra de Simpson. 5. Considere o integral 1 0 e x2 dx (a) Determine o seu valor aproximado considerando quatro subintervalos e utilizando: i) A regra dos trapézios. ii) A regra de Simpson. 13

(b) Indique uma estimativa do número mínimo de subintervalos que se deveria considerar se se pretendesse calcular o integral com um erro inferior a 10 4 utilizando, respectivamente, as regras indicadas na alínea anterior. 6. Suponha que a função f está definida no intervalo [0, 3] do seguinte modo: f(x) = { 3 x se 0 x 1 3x 1 se 1 x 3 a) Obtenha aproximações para o integral 3 f(x)dx dos seguintes modos: 0 i) Utilizando a regra dos trapézios composta no intervalo [0, 3] com passo h = 1. ii) Utilizando a regra de Simpson no intervalo [0, 3] e apenas três pontos. b) Compare e comente os valores obtidos com o valor exacto do integral. 7. A tabela seguinte mostra os resultados obtidos por uma regra de Newton-Cotes composta (Trapézios ou Simpson) no cálculo do integral I(f) de uma certa função f indefinidamente diferenciável. n 8 16 32 64 I n 295.27 274.15 268.97 267.68 O valor I n representa a aproximação obtida com n + 1 nós de integração. Sabendo que o valor exacto do integral é I(f) = 267.25, diga, justificando, que fórmula poderá ter sido usada. 8. Para aproximar o integral considere a fórmula de quadratura I = 0 e x f(x)dx Q(f) = A 0 f(2 2) + A 1 f(2 + 2). Determine os pesos A 0 e A 1 de tal modo que a fórmula seja pelo menos de grau um. Mostre que a fórmula obtida é de grau três. 9. Encontre uma fórmula de quadratura Q(f) = 2f(a) + Af(b) que seja exacta para os polinómios de grau dois no intervalo [0, 1]. Aproxime 1 0 x4 1 x/2dx. Indique como construir uma fórmula composta, partindo da expressão obtida anteriormente. Aplique esta fórmula ao integral anterior considerando seis sub-intervalos igualmente espaçados. 10. Seja f C[a, b], com f integrável em [a, b]. 14

Prove a seguinte estimativa do erro para a regra dos trapézios composta E T n (f) = n j=1 [x j 1 + x j 2 x ] f (x)dx, onde x j = a + jh, j = 0,..., n, h = b a/n. Calcule um valor aproximado do integral I(f) = 1 0 e x dx, pela regra dos trapézios composta com h = 1/6. Estime o erro. 11. Encontre uma fórmula para calcular π π f(x)cosxdx que seja exacta quando f é um polinómio de grau menor ou igual a 3 e que utilize os pontos 3π 4, π 4, π 4, 3π 4. 12. Considere o integral 1 0 x(1 + e x )dx (a) Verifique que as derivadas de primeira e segunda ordem da função integranda não estão definidas no ponto 0. (b) Efectue a mudança de variáveis x = t 2 e verifique que a função integranda do integral obtido tem derivadas até à segunda ordem contínuas no intervalo de integração. (c) Construa uma tabela com as aproximações do integral obtidas pela regra do trapézio composta com 5, 8, 10, 20 subintervalos. 13. Considere o integral 1 0.2 1 x dx (a) Determine uma aproximação para o valor do integral utilizando a regra de Simpson composta com 8 subintervalos. (b) Escreva 1 0.2 1 0.3 x dx = 1 0.4 0.2 x dx + 1 0.6 0.3 x dx + 1 1 0.4 x dx + 1 0.6 x dx e calcule uma aproximação do integral dado aplicando a regra de Simpson simples a cada um dos integrais do segundo membro. (c) Compare os resultados obtidos com a solução exacta (que é igual a log 0.2 = 1.6094379...). 15

7 Aproximação de (sistemas de) equações diferenciais ordinárias 1. Considere o problema de Cauchy que tem solução exacta y(x) = x 4 3 16 + 19 16 e4x. y (x) = 1 x + 4 y(x), 0 x 1 y(0) = 1 (a) Obtenha um valor aproximado y 2 para y(0.2) usando o método de Euler com passo h = 0.1. (b) Recorrendo a um resultado teórico deduza um majorante para y(0.2) y 2. Compare com o valor do erro cometido de facto. (c) Utilize o método de Taylor de ordem 2 com passo h = 0.1 para obter uma aproximação de y(0.2) e compare com o resultado obtido na alínea a). (d) Obtenha uma aproximação de y(0.2) usando o método do ponto médio com h = 0.1. Compare com o resultado obtido nas alínea a) e c). 2. A taxa de crescimento do número de bactérias numa certa amostra é modelado pela equação dy dt = 1.2y( 1 y ). 4200 Sabendo que num instante inicial t = 0 havia 1200 bactérias na amostra, dê uma estimativa do número de bactérias quando t=5,10,15 pelo método de Euler. 3. A água do mar contém 0.03 Kg. de sal por cada litro de água. Num tanque com 5000 L. de água encontram-se dissolvidos 20 Kg. de sal. Neste tanque mete-se água do mar a uma velocidade de 25 L/ min, mistura-se bem e faz-se sair à mesma velocidade. Seja y(t) a quantidade de sal (em kilogramas) que permanece no tanque após o instante t. Pode-se ver que dy dt 150 y(t) =. 200 Use o método do ponto médio para aproximar a quantidade de sal que permanece no tanque após 5, 10 e 15 min. 4. Os métodos para resolver problemas de Cauchy para equações diferenciais podem também ser usados para calcular integrais. Podemos por exemplo calcular 1 0 e x2 dx resolvendo o problema: x (t) = e t2, 0 t 1 x(0) = 0 Utilize o método de Euler com passo h = 0.25 e indique uma estimativa do erro para o valor aproximado de x(1) que obteve. 5. Dado o problema de Cauchy x (t) = 0.04 x(t), 0 t 2 x(0) = 1 com solução exacta x(t) = e 0.04t, estime x(1) pelos métodos de Taylor de ordem 2 e pelo método de Heun com h = 0.1, 0.5, 0.25. Com que método e com que espaçamento obteve um melhor resultado? 16

6. Considere o problema de valor inicial y (x) + 2y (x) + y(x) = e x, 0 x 1 y(0) = 1, y (0) = 1 Obtenha valores aproximados para y(0.3) e y (0.3) pelo método de Euler com passo h = 0.1. 7. Considere o problema de valor inicial dy 1 dx = 2y 1 + 5e x, 0 x 1 dy 2 dx = y1y2 2 2 y 1 (0) = 2, y 2 (0) = 4. (a) Obtenha valores aproximados para y 1 (0.1) e y 2 (0.1) pelo método de Euler com passo h = 0.05. (b) Idem pelo método de Runge-Kutta de ordem quatro com passo h = 0.05. 17