matemática aplicada à administração

Universidade regional do noroeste do estado do rio grande do sul unijuí vice-reitoria de graduação vrg coordenadoria de educação a distância CEaD Coleção Educação a Distância Série Livro-Texto Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges matemática aplicada à administração Ijuí, Rio Grande do Sul, Brasil 2009

2009, Editora Unijuí Rua do Comércio, 1364 98700-000 - Ijuí - RS - Brasil Fone: (0 55) 3332-0217 Fax: (0 55) 3332-0216 E-mail: editora@unijui.edu.br Http://www.editoraunijui.com.br Editor: Gilmar Antonio Bedin Editor-adjunto: Joel Corso Capa: Elias Ricardo Schüssler Revisão: Véra Fischer Designer Educacional: Liane Dal Molin Wissmann Responsabilidade Editorial, Gráfica e Administrativa: Editora Unijuí da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (Unijuí; Ijuí, RS, Brasil) Catalogação na Publicação: Biblioteca Universitária Mario Osorio Marques Unijuí D776m Drews, Sonia Beatriz Teles. Matemática aplicada à administração / Sônia Beatriz Teles Drews, Pedro Augusto Pereira Borges. Ijuí : Ed. Unijuí, 2009. 182 p. (Coleção educação a distância. Série livro-texto). ISBN 978-85-7429-784-2 1. Matemática. 2. Administração financeira. 3. Matemática comercial. 4. Matemática - Conceitos. I. Borges, Pedro Augusto Pereira. II. Título. III. Série. CDU : 51 51:658 658.15

Sumário Conhecendo os Professores...5 Unidade I GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO...9 Seção 1.1 Grandezas...9 Seção 1.2 Proporção...18 Seção 1.3 Regra-de-três...29 Seção 1.4 Porcentagem...34 Seção 1.5 Regra de sociedade...39 Unidade 2 FUNÇÕES...43 Seção 2.1 Intervalos e conjuntos numéricos...44 Seção 2.2 Definição, expressão matemática e gráfico de funções...49 Seção 2.3 Equação da reta...55 Seção 2.4 Funções quadráticas...70 Seção 2.5 Funções exponenciais e logaritmos...79 Unidade 3 TAXAS DE VARIAÇÃO E DERIVADAS...99 Seção 3.1 Taxa de variação de uma função...100 Seção 3.2 A derivada de uma função...103 Seção 3.3 Regras de derivação...109 Seção 3.4 Análise do crescimento de funções...118 Seção 3.5 Pontos críticos e extremos locais de funções...120 Seção 3.6 Aplicações de derivadas...128

Unidade 4 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES...137 Seção 4.1 Noções de matrizes e organização de dados com matrizes...137 Seção 4.2 Tipos de matrizes...141 Seção 4.3 Operações com matrizes...143 Seção 4.4 Sistemas lineares...148 Anexo 1 GABARITO DAS QUESTÕES...159 Anexo 2 COMO INSERIR UMA EQUAÇÃO...179 Referências...181

Conhecendo os Professores EaD Matemática aplicada à administração SONIA BEATRIZ TELES DREWS Sou natural da cidade de Cruz Alta/RS e desde 1958 resido na cidade de Ijuí/RS. Cursei o primeiro e segundo grau-normal na cidade onde nasci, possuo Bacharelado e Licenciatura em Pedagogia, ambas cursadas na Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul Unijuí, que na época era a Fafi. Durante toda minha carreira profissional sempre busquei ficar atualizada, realizando especialização em Educação e Administração Escolar, em Matemática e Estatística, e também Mestrado em Educação nas Ciências com enfoque matemático na Unijuí. Como profissional, a minha trajetória no ensino foi sempre comprometida com a aprendizagem dos alunos, atuando inicialmente no ensino primário, secundário, médio e nos cursos de pré-vestibular. Concomitantemente, atuei como professora universitária (Unijuí) desde 1968, como docente nos cursos de Matemática, Física, Economia, Administração, Agronomia, entre outros, desenvolvendo também atividades de ensino e extensão nas áreas de educação matemática, formação de professores e programas voltados para o desenvolvimento regional com enfoque no desenvolvimento profissional do professor. Também durante minha caminhada profissional assumi cargos administrativos. Fui secretária municipal de Educação/Ijuí, posteriormente assumi a Delegacia Regional de Educação 36ª DE, e na universidade em que atuo mais de uma vez fui chefe de Departamento (Defem) e coordenadora do curso de Matemática. Também desempenhei as funções de chefe de gabinete da Reitoria e tive o privilégio de iniciar a Coordenadoria de Apoio aos Estudantes Universitários da Unijuí. 5

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges Pela minha atuação na academia, sou membro do corpo editorial da Educação Matemática em Revista do RS. Durante esta minha trajetória educacional recebi alguns prêmios e títulos honoríficos. Minha maior satisfação é estar sempre em contato com os alunos e fazer da sala de aula a razão da minha profissão. 6

Matemática aplicada à administração PEDRO AUGUSTO PEREIRA BORGES Entre os alunos e colegas sou mais conhecido como Pedro Borges. Nasci em Tenente Portela/RS e moro em Ijuí/RS desde 1969. Sou casado e tenho duas filhas. Formei-me em Matemática pela Unijuí em 1983. Trabalhei bastante com o ensino de Matemática elementar desde 1980 nos ensinos Fundamental e Médio. Desde essa época o interesse pelas aplicações da Matemática orientava minhas ações, tanto na área da educação quanto no estudo da Matemática em si. A questão que me preocupava era: Para que serve a Matemática ensinada nas escolas? Em 1984 ingressei no Mestrado em Educação na Unicamp SP, quando aprendi a importância de conhecer a história e os fundamentos da educação matemática. A partir de 1989 passei a trabalhar somente no ensino superior. As disciplinas de funções, cálculo diferencial e integral, cálculo numérico e equações diferenciais ocuparam grande parte do meu tempo, principalmente com relação as suas aplicações nas Ciências, Engenharia e Economia. A questão que passou a me preocupar era: Qual é a função da Matemática nos cursos em que ela é ensinada como disciplina formadora básica? Em 1997 concluí o Mestrado em Matemática na Unijuí, em que não só entendi como a Matemática é usada nas Ciências, mas como ela é empregada para resolver problemas reais (Modelagem Matemática). Entusiasmado com o esclarecimento das questões de aplicação, fiz o Doutorado em Engenharia Mecânica/UFRGS (1998-2002), durante o qual tive a oportunidade de conhecer métodos matemáticos, que são a base da ciência moderna. 7

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges Trabalho na Unijuí desde 1986 e atualmente dedico-me às atividades de ensino na Graduação e no Mestrado em Modelagem Matemática. Neste Mestrado pesquiso aplicações de equações diferenciais em problemas de transferência de calor e massa, tais como: secagem de grãos, movimento da água no solo, irrigação e aquecimento/resfriamento de sólidos. Os problemas de economia e finanças também são de meu interesse e este livro é um passo nessa direção. 8

Unidade I Matemática aplicada à administração GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO Por meio do estudo dessa Unidade você terá condições de dominar a aplicação das propriedades algébricas empregadas para resolver situações-problema da área de Administração e que envolvam grandezas direta e inversamente proporcionais. Parece difícil? Não se preocupe, porque vamos percorrer esse caminho juntos, passo a passo. Para que possamos alcançar esses objetivos, as seções desta Unidade são: Seção 1.1 Grandezas Seção 1.2 Proporção Seção 1.3 Regra de três Seção 1.4 Porcentagem Seção 1.5 Regra de Sociedade Vamos dar o primeiro passo? Seção 1.1 Grandezas Uma grandeza é algo que podemos medir. Medir é comparar a quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como unidade padrão. Quando usamos uma régua para medir o comprimento de uma mesa estamos comparando uma 9

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges unidade de medida padrão (metro, centímetro...) com o tamanho da grandeza comprimento. Nesse caso estamos interessados em saber quantos centímetros cabem no comprimento da mesa. Assim, comprimentos, áreas e volumes são grandezas. O peso de uma mercadoria, o comprimento de uma corda, o tempo de uma reunião, a massa corporal, a velocidade de um carro, o custo de uma mercadoria, a produção, o trabalho, a matéria-prima, o preço, etc., são exemplos de grandezas. A propriedade de uma grandeza é a sua capacidade de ser medida. Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar, (lembre-se: o dinheiro é uma grandeza especial: cada país tem suas próprias unidades). 1.1.1 Razão Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b # 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por b a, a/b ou a: b, onde o primeiro termo chama-se antecedente e o segundo chama-se conseqüente. Exemplo 1.1.1: Estão matriculados na EaD da Unijuí 30 rapazes e 35 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças (lembre-se que razão é divisão). Solução: 30 6 simplificando temos (dividimos por 5 os dois termos da razão) 35 7 6 (indica que para cada 6 rapazes existem 7 moças). 7 6 (lê-se 6 está para 7) e significa que para cada 6 corresponde 7. 7 Nessa razão, o 6 é o antecedente e o 7 o conseqüente. 10 Simples, não é?

Matemática aplicada à administração Se a e b são dois números naturais (com b 0), chamamos de fração as expressões do tipo a, onde o número colocado acima do traço chama-se numerador e indica quantas partes do b inteiro foram tomadas e o número abaixo do traço chama-se denominador e indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido. As frações representam uma parte, ou algumas partes, de um todo que foi dividido em partes iguais. Fração 7 6 : lê-se 6 sétimos e significa 6 partes do total de 7. Propriedades das Frações Usaremos F1, F2,..., para numerar as propriedades das frações: F1 Uma fração não se altera quando se multiplica seus dois termos pelo mesmo número diferente de zero ou mesmo fazendo a divisão desta fração pelo mesmo divisor comum. Exemplo 1.1.2: Vamos testar a propriedade F1: 3 3 6 = 5 5 6 18 = 30 3 Você deve observar que obtemos 0,6 fazendo a divisão tanto em quanto em 18. 5 30 O mesmo teste pode ser feito dividindo numerador e denominador pelo mesmo número: 18 = 18 : 6 30 30 : 6 = 5 3 F2 Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma fração por um número, a fração é multiplicada ou dividida por esse número. Exemplo 1.1.3: Seja a fração 3 2. Multiplicando o numerador por 4, temos: 2 4 3 = 3 8 (multiplicada por 4). Ou seja, 3 8 é quatro vezes maior que 3 2. 11

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 2 : 2 1 1 2 = (dividida por 2). Ou seja, é a metade de. 3 3 3 3 F3 Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma fração por um número, a fração é dividida ou multiplicada por esse número. Exemplo 1.1.4: Seja a fração 4 3. Multiplicando o denominador por 2, temos: 3 4 2 3 4 : 2 = 8 3 (a fração ficou dividida por 2). Ou seja, 8 3 é a metade de 4 3. = 2 3 (a fração ficou multiplicada por 2). Ou seja, 2 3 é o dobro de 4 3. Vamos lá? Agora que você já foi apresentado à Razão, conhecerá a sua parente, a Razão Inversa. Razão Inversa Duas razões são inversas quando: 1) o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente da outra e vice-versa; ou 2) o produto de uma razão pela outra for igual a 1. 5 Exemplo 1.1.5: As razões e 10 são inversas, pois o antecedente da primeira é 10 5 igual ao conseqüente da segunda e vice-versa. Também podemos ver que são razões inversas por que 5. 10 = 50 = 10 5 50 1. Você deve estar se perguntando, há algum tempo: 12 Mas... E daí? Por que estudar grandezas, a Razão é importante? Siga adiante e você vai compreender.

Matemática aplicada à administração 1.1.2 Aplicações de razão ESCALA Você já ouviu falar em escala? Os desenhos de casas e mapas são feitos usando escalas. A escala é uma razão entre a medida no desenho e a medida do objeto real. medida nodesenho Escala = medida real Exemplo 1.1.6: A distância entre as cidades A e B é de aproximadamente 800 km e o mapa que mostra esta distância corresponde a 2,5 cm. Qual a escala utilizada? (lembre-se que na escala as medidas devem estar na mesma unidade). Solução: Usando a definição de escala anterior temos: E= 2,5cm 800km = 2,5cm 80.000.000cm Aplicando a propriedade F1 das frações, dividimos antecedente e conseqüente por 2,5 e obtemos: 1cm E=. Escrevendo na forma de razão, temos: 32.000.000cm E = 1: 32.000.000 (lê-se 1 para 32.000.000) Exemplo 1.1.7: Uma maquete de um edifício foi feita na escala de 1:100. A altura real do edifício é de 10 m. Qual é a altura aproximada do edifício na maquete? Solução: A razão das grandezas da escala ( 100 1 ) é igual à razão entre as alturas do edifício na maquete (D) e na construção real (10 m). Assim, 13

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 1 100 = D 10 m Empregando a propriedade F1, multiplicamos o numerador e o denominador da segunda razão por 10 e obtemos duas razões com denominadores iguais. 1 = D 10 10D = 100 10 10 100 Se os denominadores são iguais, então os numeradores também serão iguais. Portanto: 10 D = 1 D = 0,10m. Agora que você conheceu (e entendeu) a primeira aplicação para a razão, vamos passar para outra aplicação: Velocidade. VELOCIDADE A velocidade (V) de um objeto qualquer, se deslocando em uma trajetória, é a razão entre a distância percorrida e o tempo. distância (km) V = tempo (h) (Observe que neste caso as unidades das grandezas são diferentes). Exemplo 1.1.8: 150km/2h = 75km/h (as unidades km/h não podem ser simplificadas) TAXA As taxas são razões entre duas grandezas. Estas taxas podem ser relacionadas a conjuntos de 100, 1000,... unidades das grandezas envolvidas. Em outras palavras, multiplicadas por 100, 1000,... Dois exemplos desse tipo de taxa são a taxa de crescimento populacional e a taxa de juros. 14

Matemática aplicada à administração Exemplo 1.1.9: A taxa de variação (crescimento ou decrescimento) da população de uma cidade, em um certo período, é uma razão entre a variação do número de habitantes ( P, delta P), pelo número de habitantes que moravam na cidade no início do período considerado. Uma cidade tinha 80.000 habitantes no fim de 2007 e 86.000 habitantes no fim de 2008. Qual é a taxa de crescimento da população desta cidade, no período considerado? Solução: A variação do número de habitantes é P=86.000-80.000=6.000. A taxa de crescimento é P 6000 t = = = 0,075 P 80000 Isto significa que a população aumentou 0,075 habitante para cada habitante residente em 2007. Esta taxa é mais útil quando associada à população de 100 habitantes. Multiplicando a taxa por 100, temos: t = 7,5 para cada 100 habitantes residentes em 2007. Isso, porém, não é tudo. Se você percebeu a importância de entender esse conteúdo, veja uma outra aplicação... TAXA DE JUROS A taxa de juros de um capital aplicado, em um certo período, é uma razão entre a variação do capital ( C, delta C), pelo capital aplicado (C), multiplicada por 100. Ficou interessado? Aguarde, pois estudaremos este tipo de taxa mais adiante. Agora ainda é preciso apresentar você aos Índices! 1.1.3 Índices São obtidos por meio da comparação entre duas grandezas independentes. Ou, em outras palavras: índices são razões entre duas grandezas independentes. Veja alguns exemplos: 15

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges população total Densidade demográfica = superfície total Renda per capita = renda nacional/ano população nacional/ano Além dessas aplicações, muito utilizadas quando se trata de censo, por exemplo, também temos uma outra aplicação muito conhecida, que são os índices econômicos. ÍNDICES ECONÔMICOS Produção per capita = valor total do produto população Onde o valor total do produto é o PIB (Produto Interno Bruto). Consumo per capita = consumo total de bens de um país população Receita per capita = receita total população Percebeu como é importante o estudo dos índices? Ainda precisamos, no entanto, citar os coeficientes. Veja por que na seqüência. COEFICIENTES São razões entre o número de ocorrências e o número total. o n de nascimentos Coeficiente de natalidade = população total o n de óbitos Coeficiente de mortalidade = população total 16

Matemática aplicada à administração Não são poucas as vezes em que ouvimos falar sobre esses dois coeficientes, não é mesmo? A seguir você terá exemplo comentado de como calcular uma razão, porém o que vimos até aqui servirá de subsídio para você resolver alguns exercícios que propomos no intuito de que tenha segurança de que aprendeu o que acabamos de ver. Exemplo 1.1.10 Determine a razão que é igual a 5 3 e cujo antecedente seja igual a 9. 3 9 Solução: Das condições do problema podemos afirmar que =. Observe que se 5 x multiplicarmos o antecedente por 3, obtemos o antecedente 9. Usando a propriedade das frações F1, multiplicamos também por 3 o conseqüente e obtemos x= 15. Então a nova razão é 9/15. Exercícios 1.1. 1. Calcular as razões de: 7 a) 5 e 15 d) e 14 2 3 b) 64 e 4 e) 1,2 e 5 4 c) 3 2 e 6 f) 3,5 m e 0,7 dam 2. Determinar o antecedente e/ou conseqüente das seguintes razões, sabendo que: a) o conseqüente é 10 e a razão é 5 3 ; 2 b) o antecedente é e a razão é 12 3 14 17

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 3. A miniatura de um colégio foi feita na escala de 1 : 100, a altura real do colégio é de 20 m. Qual a altura aproximada da miniatura? 4. Um copo de suco corresponde a 250 ml. Um bar fez suco para 48 copos. Quantos litros de suco foram feitos? Se você realizou todos os cálculos, poderá conferir se as respostas estão corretos no final deste livro, mas não engane a si mesmo. Só depois de ter se esforçado para responder e achar o resultado é que você deve CONFERIR se está correto. Lembre-se: enganar a si mesmo é uma grande bobagem e dominar esses conteúdos básicos é essencial para o seu progresso! Proporção! Após esta combinação, passaremos para o estudo da segunda seção desta Unidade: Seção 1.2 Proporção Uma proporção é a igualdade entre razões a c = b d Os números que formam a proporção chamam-se, em geral, termos. O primeiro (a) e o quarto (d) chamam-se de extremos, o segundo (b) e o terceiro (c), meios. 12 Exemplo: = 4 6 formam uma proporção. 2 18 Essa proporção também pode ser escrita da seguinte forma: 12:4::6:2, e lê-se 12 está para 4, assim como 6 está para 2.

Matemática aplicada à administração Assim como as frações, as proporções também têm propriedades, as quais apresentaremos para você e, da mesma forma, também utilizaremos PP1, PP2 para numerá-las. PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES dos meios. Propriedade fundamental: em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto Na proporção a = b c d, multiplicando os extremos e os meios, obtemos a igualdade ad = bc. PP1) Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a soma ou diferença dos dois últimos está para o terceiro (ou quarto). No exemplo anterior: 12 4 6 = = 2 12 ± 4 12 = 6 ± 2 6 12 ± 4 ou = 4 6 ± 2 2 PP2) Em uma proporção, a soma do primeiro com o terceiro (a+c) está para a soma do segundo Deixamos para você substituir as letras por números e verificar se esta propriedade é correta! com o quarto termo (b+d), assim como o terceiro está para o quarto. Seja a proporção a + c = b + d c d = a b a = b c d. Usando a PP2, temos PP3) Em uma proporção, a troca de posições entre o primeiro e o quarto termos não altera a proporção. O mesmo ocorre para a troca entre o segundo e o terceiro. 19

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges Seja a proporção a = b c d. Usando a PP3, temos d b = c a a b ou =. c d Exemplo 1.2.1 Taxa percentual Chama-se taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre o número b, x x a x com b # 0, à razão: tal que = (indica-se por x%) 100 100 b 100 Você deve lembrar que o símbolo % lê-se por cento e significa centésimos. Qual é a taxa percentual de 6 sobre 30? Solução: Sendo x % a taxa percentual, temos pela definição que: x = 6 100 30 Usando a propriedade fundamental, temos: x = 100 6 = 20. Então, a taxa percentual é 20%. 30 Além de princípio fundamental e dos outros três apresentados até aqui, também temos o princípio de igualdade que, por sua vez, também se subdivide em outros dois princípios, o aditivo e o multiplicativo. Princípios de Equivalência de Igualdade IGUALDADE é uma sentença matemática em que as expressões matemáticas estão ligadas pelo sinal =. A expressão situada à esquerda do sinal = é denominada 1º membro da igualdade. 20 A expressão situada à direita do sinal = é denominada 2º membro da igualdade.

Matemática aplicada à administração Assim, vale lembrar que as equações são igualdades. A solução de uma equação consiste em obter o valor da incógnita (neste caso nos referimos à incógnita da equação, que não sabemos qual é) usando os princípios da igualdade, expostos a seguir. Os princípios da igualdade são: 1) Princípio aditivo: em uma igualdade, podemos adicionar um mesmo número aos dois membros e a igualdade permanece. Exemplo 1.2.2 resolver a equação: x + 10 = 5 Solução: Aplicando o princípio aditivo: adicionamos (-10) a ambos os membros da equação, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo. x + 10 + (-10) = -5 + (-10) Simplificando a equação equivalente, obtemos x = -15. 2) Princípio multiplicativo: em uma igualdade, podemos multiplicar ou dividir os dois membros por um mesmo número não nulo, e a igualdade permanece. Exemplo 1.2.3 resolver as equações: a) 5x = 25 b) -3x = 9 Solução: a) Ainda usando o princípio multiplicativo, multiplicamos ambos os lados da equação dada por 1/5, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo. 5x. 5 1 = 25. 5 1 21

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 5x = 25 5 5 x = 5. b) Ainda usando o princípio multiplicativo, dividimos ambos os lados da equação dada por (-3), com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo. 3x 9 = 3 3 x = -3 Exemplo 1.2.4 determinar a e b na proporção 6 a = 3 b, sabendo-se que a sua soma é 21. Solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos a + b b = 6 + 3 3 Usando a condição do problema: a + b = 21, temos 21 a b = = 9 6 3 Usando a primeira igualdade, temos 21 a = 9 6 Aplicando a propriedade fundamental das proporções em cada uma das igualdades, temos: Na primeira igualdade: Na segunda igualdade: 21 6 =9 a 21 x 3 = 9 x b 126 = 9 a 63= 9b 22

Matemática aplicada à administração 126 =a 63 = 9b 9 9 a=14 b = 7 Exemplo 1.2.5 Dadas as razões 2 x = 5 y = 8 z encontre o valor de x, y e z, sabendose que x+y+z =150. Solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos: x + y + Z x y z = = = 2 + 5 + 8 2 5 8. Usando a condição do problema, temos 150 x = ; 150 y = ; 150 z = 15 2 15 5 15 8 Aplicando a propriedade fundamental das proporções: 150.2 = 15.x 150.5 = 15y 150.8 = 15z 300 = 15x 750 = 15y 1200 = 15z 300 = x 750 = y 1200 = z 15 15 15 X=20 y= 50 z= 80 x Exemplo 1.2.6 Dadas as razões = 2 que 5x+2y+3z=440. y 5 = z calcule o valor de x, y e z sabendo-se 8 Solução: Como precisamos de 5x, 2y e 3z para empregarmos o valor de sua soma, isto é, 440, usando a propriedade F1 das frações, multiplicaremos os termos da primeira razão por 5, os da segunda por 2 e os da terceira por 3. Teremos então: 5x 10 = 2y 10 = 3z 24 23

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges Aplicando a propriedade PP2 das proporções: 5x + 2y + 3z 10 + 10 + 24 = 5x 10 = 2y 10 = 3z 24 Substituindo o numerador da 1ª igualdade, temos 440 x 440 Y 440 Z = = = 2 5 4 8 4 Usando a propriedade fundamental das proporções, nas três equações anteriores, obtemos: x = 20 ; y = 50 e z = 80. Chegou a vez de testar os seus conhecimentos! Exercícios 1.2.1 1. Escreva sob a forma de número decimal as seguintes porcentagens: a) 12% b) 140% 2. Calcule: a) 30% de 270 b) 0,7% de 4.900 3. Calcule 20% de 50% (lembre-se: escrever 20% de 50% significa 20% 50%). 24

Matemática aplicada à administração Considerando que você já fez todos os exercícios, ainda queremos retomar o tema da seção 1.1 que trata de grandezas e pensá-las com base nas proporções, tema desta seção 1.2. Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção. Se duas grandezas a e b são diretamente proporcionais, então os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é a =k, onde k é um número chamado constante de proporcionalidade. b Exemplo 1.2.7 Os números 3, 4 e 6, respectivamente, são diretamente proporcionais a 12,16, 24. Qual é a constante de proporcionalidade? Solução: Se os números dados são diretamente proporcionais, significa que a razão entre eles é a mesma. 3 4 6 = = 12 16 24 Usando a propriedade F1 das frações é fácil mostrar que podemos reduzir todas essas razões a ¼. Assim, k = 4 1 é a constante de proporcionalidade. Exemplo 1.2.8 A soma das idades de Carlos e Jair é 36 anos. Sabe-se que elas estão na razão de 2 para 10. Qual a idade de cada um? Solução: O dado do problema indica que C+J = 36. Fazendo a proporção sugerida no problema, temos 25

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges C 2 = J 10 Observe que J C = 10 2 pode ser escrito 2 C = 10 J aplicando a propriedade PP3 das proporções. Usando a propriedade PP2, temos: C + J 2 +10 36 C J = = =10 12 2 Usando a propriedade fundamental das proporções, na segunda igualdade, obtemos C=6. Usando a propriedade fundamental das proporções, na proporção entre a segunda e a terceira razão, obtemos J=30. Carlos tem 6 anos e Jair 30 anos. Atenção: Uma maneira de conferirmos se as respostas estão corretas é verificar se o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, substituindo os valores de C e J na proporção do problema. 6 2 = 30 10 Observe que 6 10 = 30 2. Exemplo 1.2.9 Dividir o número 55 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 6. Solução: Do problema, podemos concluir que a+b+c=55 e a b c = =. 2 3 6 Usando a propriedade PP2 e a equação do problema, temos: 26

Matemática aplicada à administração a + b + c 2 + 3 + 6 55 a b c = = = = 11 2 3 6 Da segunda proporção, temos: 55 a = e usando a propriedade fundamental, temos; a = 10. 11 2 Da igualdade da 2ª e 4ª razão, temos: 55 b = e usando a propriedade fundamental, temos; b = 15. 11 3 Da igualdade da 2ª e 5ª razão, temos: 55 c = e usando a propriedade fundamental, temos; c = 30. 11 6 10 15 30 Verificação: = = (todos os quocientes são igual a 5 ) 2 3 6 Grandezas inversamente proporcionais: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas a e b são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante k, tal que a b = k. Exemplo 1.2.10 Os números 2, 4, 5 são inversamente proporcionais a 20, 10 e 8. Qual é a constante de proporcionalidade k? 27

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges Solução: você deve observar que a seqüência de números 2, 4, 5 é crescente e a seqüência de números 20, 10 e 8 é decrescente. Se os números dados são inversamente proporcionais, então as razões entre eles são iguais. 2 4 5 = =. 20 10 8 A constante de proporcionalidade é 40. Observe que 2 20 = 40, 4 10 = 40 e 5 8 = 40. Exemplo 1.2.11 Dividir o número 174 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 9. Solução: Sejam x, y e z essas partes, então x+y+z = 174 e x y = 1/ 3 1/ 5 = z 1/ 9 Usando a PP2 e a equação do problema, temos: x y = 1/ 3 1/ 5 = z x + y + z = 1/ 9 1 / 3 + 1/ 5 + 1/ 9 = 174 29 / 45 1 (Lembre-se: adição de frações + 3 1 5 + 1 = 15 + 9 + 5 9 45 29 = ). 45 A última razão pode ser escrita da seguinte forma: 174 45 = 29 7830 = 270 29 Construindo proporções com a 1ª, 2ª, 3ª e 5ª razão e resolvendo-as para x, y e z, obtemos: x= 90 ; y= 54 e z=30. 28

Matemática aplicada à administração Para que você possa perceber a aplicação do que estudamos, apresentamos um problema que envolve operações com proporções inversas. Exemplo 1.2.12 Dividir entre três alunos 31 livros em partes inversamente proporcionais aos erros que tiveram na prova de Matemática Financeira. O aluno A teve 2 erros, o aluno B, 3 erros e o aluno C, 5 erros. Solução: Os valores 2, 3 e 5 precisam ser representados em forma inversa aos seus valores, ou seja : O inverso de 2 é ½, de 3 é 1/3 e de 5 é 1/5. Considerando a, b e c o número de livros recebidos por cada aluno, temos: a + b + c = 31 e a b c = = 1/ 2 1/ 3 1/ 5 Usando a PP2, temos: a + b + c 31 = 1/ 2 + 1/ 3 + 1/ 5 31/ 30 = 30 1 a b c = = = 1/ 2 1/ 3 1/ 5 Aplicando a propriedade fundamental das proporções formadas pelas razões 3ª e 4ª, 3ª e 5ª e 3ª e 6ª, obtemos, respectivamente: a = 15; b = 10 e c = 6. Note que à medida que você avança no estudo desta unidade, mais você precisa do que estudou no princípio dela. Dessa forma, não siga adiante se tem dúvidas. Leia o material novamente, refaça os cálculos e, somente depois, siga adiante! Seção 1.3 Regra-de-três Quando se pretende calcular uma quantidade desconhecida, direta ou inversamente proporcional às demais quantidades conhecidas, tem-se um problema de regra-de-três. 29

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges Regra-de-três simples: A regra-de-três simples é direta ou inversa. É direta quando, crescendo os termos principais, seus relativos também crescem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos também diminuem. Exemplo 1.3.1 Um operário levou 18 dias para construir um muro de 126 metros. Quantos dias levará para fazer outro muro igual com 252 metros? Solução: As quantidades 126 e 252 metros são as principais, 18 é o número de dias que pretendemos calcular, são os relativos. Se um operário levou 18 dias para fazer 126 metros de um muro, levará mais dias para fazer outro de 252 metros. Trata-se de uma regra-de-três simples e direta. Metros Dias 126 18 252 x 126 Escrevendo em forma de proporção: = 252 18 x Aplicando a propriedade fundamental das proporções: 126 x = 252 18 x = 252 18 126 x = 36 dias. 30 A regra-de-três é inversa quando, crescendo os termos principais, os seus relativos diminuem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos crescem.

Matemática aplicada à administração Exemplo 1.3.2 15 operários levam 8 dias para realizar um determinado trabalho. Quantos dias levarão 5 operários para a conclusão do mesmo serviço? Solução: Colocando na forma da regra-de-três, temos: Operários Dias 15 8 5 x O número de operários, porém, é inversamente proporcional ao número de dias: diminuindo o número de operários, aumenta o número de dias. Para usar a propriedade fundamental das proporções, precisamos inverter a segunda razão: 15 5 = x 8 Usando a propriedade fundamental, temos 5x = 8 15 x = 8 15 5 x = 24 dias. Lembre-se: a solução de um problema de regra-de-três simples, direta ou inversa, resume-se em calcular o quarto termo de uma proporção. Regra-de-três composta: é aquela que para resolução de seus problemas envolve três ou mais grandezas, sendo estas diretas ou inversamente proporcionais. Para resolvê-los: a) Escreve-se numa mesma coluna a grandeza de mesma espécie. 31

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges b) Identifica-se as grandezas direta ou inversamente proporcionais. c) Escreve-se a proporção correspondente e resolve-se. Exemplo 1.3.3 Se 30 pedreiros fazem 528 m de parede em 40 dias, quantos metros de parede farão 50 pedreiros em 45 dias? Solução: Disposição dos dados: 30 pedreiros em 40 dias fazem 528 metros. 50 pedreiros em 45 dias fazem x metros. Observe que quanto mais pedreiros, mais metros de parede serão feitos. Da mesma forma, quanto mais tempo, mais metros de parede serão feitos. Assim sendo, as duas primeiras grandezas são diretamente proporcionais à terceira. Reduzindo o problema a uma regra-de-três simples, fazemos: 30 40 = 50 45 120 2250 = 528 x Aplicando a propriedade fundamental na regra-de-três simples, temos: x = 990 m. Exemplo 1.3.4 Se 12 pedreiros fizeram certa obra em 26 dias, trabalhando 12 horas por dia, quer-se saber em quantos dias 8 pedreiros farão a mesma obra, trabalhando 13 horas por dia. Solução: Disposição dos dados: 32

Matemática aplicada à administração 12 pedreiros a 12 horas gastam 26 dias. 8 pedreiros a 13 horas gastam x dias. Observe que quanto MAIS pedreiros, MENOS dias serão necessários. Da mesma forma, quanto MAIS horas por dia trabalharem, MENOS dias serão necessários. Então, as duas primeiras grandezas são inversamente proporcionais à terceira. Reduzindo o problema a uma regra-de-três simples, fazemos: 12 12 = 8 13 144 104 = 26 x Invertendo a posição da última razão, temos 144 = 104 x 26 Usando a propriedade fundamental das proporções, temos: 144 26 x= 104 = 36 dias. Exercícios 1.3. 1) Uma fábrica de roupas produz 100 camisas em 1 hora de trabalho. Quantas camisas a fábrica produzirá em 3 horas? 2) Quinze operários constroem uma casa em 120 dias. Caso a obra fosse construída com mais 5 operários, qual seria o tempo necessário? 3) Um certo trabalho é feito por 50 homens, trabalhando 14 horas por dia, em 60 dias. Quantos homens seriam necessários para fazer o mesmo trabalho, em 100 dias, trabalhando 12 horas por dia? 4) Durante 10 dias um automóvel percorre 800 km andando 8 horas por dia. Quantos quilômetros percorreria se, com o dobro da velocidade, andasse 10 horas por dia, durante 6 dias? 33

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 5) Para construir 25 armazéns de soja são necessários 60 homens, trabalhando 10 horas por dia. Se 14 homens são dispensados, quantos armazéns farão trabalhando 12 horas por dia? seção 1.4. Concluída a seção 1.3, estamos prontos para iniciar a penúltima seção desta Unidade, a Seção 1.4 Porcentagem Definição : Chama-se percentagem ou taxa percentual de um número a razão de a sobre um número b, desde que b 0, tal que x a = 100 b Em outras palavras, a porcentagem é uma razão cujo conseqüente é igual a 100. Quando nos referimos a 20% de certo valor, queremos dizer que de cada 100 partes, estamos nos referindo a 20 partes deste valor. Um modo prático de calcular porcentagens é usar a multiplicação pelas razões percentuais. Veja o exemplo. Exemplo 1.4.1 Calcule 10% de 800. 10 Solução: Multiplicamos o inteiro (800) pela razão porcentual. 100 10 800 = 80. 100 Atenção: você também poderá se deparar com outros nomes usados para a razão percentual que podem ser: razão centesimal ou percentil. 34

Matemática aplicada à administração Taxa percentual Temos uma taxa percentual ou taxa centesimal quando o conseqüente 100 for substituído pelo símbolo %. Exemplo: 10 = 10% 100 Porcentagem Seja uma razão n m, chamamos de porcentagem o valor n a todo valor m, desde que este estabeleça uma proporção com uma razão centesimal. m n = r 100 = x % Como podemos resolver? 1º. Multiplica-se a razão centesimal por n: m = n r 100 2º. Por regra-de-três: Valores Taxas m r % n 100 % Porcentagem sobre o custo Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de custo da mercadoria, Com lucro, o custo é 100% e a venda representa o custo mais o lucro. V = C + L 35

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges Exemplo 1.4.2 Comprei certa mercadoria por R$ 5.000,00 e quero vender com um lucro de 50%. Qual é o valor da venda? Solução: Usando a equação anterior, temos: V= 100% + 50% Construindo uma regra-de-três 5.000,00 100% V 150% Venda = 5.000,00 150 100 Venda = R$ 7.500,00 Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de custo da mercadoria, Com prejuízo, o custo é 100% e a venda representa o custo menos o prejuízo. V = C P Exemplo 1.4.3 Comprei certa mercadoria por R$ 2.000,00 e depois a vendi com um prejuízo de 10%. Qual é o valor da venda? Solução: Usando a equação anterior, temos: V = 100% 10%. Construindo uma regra-de-três: 2.000,00 100% V 90% Venda = R$ 1.800,00. 36

Matemática aplicada à administração Porcentagem sobre o preço de venda Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de venda da mercadoria, com lucro, a venda é 100% e o custo representa a venda menos o lucro. 100%) (Como o valor da venda é maior, então a venda representa 100% e o custo menos que C = V L Exemplo 1.4.4 Comprei certa mercadoria por R$ 3.000,00 e quero vendê-ia com um lucro de 20% sobre preço de venda. Qual o valor da venda? Solução: Usando a equação anterior, temos: C = 100 20 = 80% 3.000,00 80% V 100% V = $ 3.750,00. Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de venda da mercadoria, Com prejuízo, a venda é 100% e o custo representa a venda mais o prejuízo. (Como o valor da venda é menor por ser vendida com prejuízo, então: a venda representa 100% e o custo mais que 100%) C = V + P Exemplo 1.4.5 Comprei certa mercadoria por R$ 4.000,00 e ela foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Qual o valor da venda? 37

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges Solução: Usando a equação anterior, temos: C = 100 + 20 = 120% 4.000,00 120% V 100% Venda = R$ 3.333,33. Exercício 1.4 1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 5.300,00 com um lucro de 18%. Qual o preço de custo desta mercadoria? 2) Uma pessoa vendeu uma mercadoria que havia custado R$ 1.500,00 com um lucro de 10% sobre o preço de venda. Qual o valor da venda desta mercadoria? 3) Um produto é vendido com um lucro bruto de 40%. Sabe-se que sobre o preço vendido, ou seja, sobre o valor da nota, 21% correspondem a despesas. Sendo assim qual é o lucro líquido que o comerciante obtém ao vender esta mercadoria? 4) O Sr. João Maria comprou uma mercadoria por R$ 650,00; 2 meses após a compra vendeu esta mesma mercadoria por R$ 505,00. Qual o percentual do prejuízo que o Sr. João Maria teve se for tomado por base o preço de venda? 5) O prejuízo na venda de uma mercadoria é 15% sobre o preço de custo, se esta mercadoria foi vendida por R$ 320,00. Determine o valor do prejuízo e o preço de custo desta mercadoria. Chegamos à última seção desta Unidade, e você verá que como em todas as outras, ela tratará de questões do dia-a-dia, principalmente para aqueles que, como você, se preparam para integrar uma empresa. 38

Matemática aplicada à administração Seção 1.5 Regra de sociedade Os problemas de divisão proporcional, numa empresa, que envolvem a divisão dos lucros, prejuízos, gratificações, participações de lucros e bonificações, em geral recebem o nome de regra de sociedade. Regra de sociedade, portanto, é uma aplicação da divisão em partes diretamente proporcionais. Podemos destacar três casos: 1º) Tempos iguais e capitais diferentes: divide-se o lucro ou o prejuízo da sociedade proporcionalmente aos capitais dos sócios. Exemplo 1.5.1 Três pessoas constituem uma sociedade com os capitais de R$ 5.000,00, R$ 50.000,00 e R$ 35.000,00 respectivamente. No fim de certo tempo a sociedade apresentou um lucro de R$ 220.000,00. Quanto coube a cada sócio? Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá. Sabemos que A A+B+C= 220.000,00 e = 25.000 B 50.000 = C 35.000 Aplicando a propriedade PP2 das proporções: A 25.000 = B 50.000 = C 35.000 A + B + C = 25.000 + 50.000 + 35.000 220.000 = = 2 110.000 Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas igualdades construídas com a 1ª e 6ª, 2ª e 6ª e 3ª e 6ª razão, respectivamente, obtemos: 39

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges A = 25.000 X 2 = 50.000 B = 50.000 X 2 = 100.000 C = 35.000 X 2 = 70.000 Cada sócio recebeu, respectivamente, R$ 50.000,00; R$ 100.000,00; R$ 70.000,00. 2º) Capitais iguais e tempos diferentes: divide-se o lucro ou o prejuízo da sociedade proporcionalmente aos tempos de permanência dos sócios. Exemplo 1.5.2 Três pessoas formam uma sociedade, permanecendo o primeiro sócio durante 6 meses, o segundo 10 meses e o terceiro 12 meses. Quanto ganhou cada um, se a sociedade teve um lucro de R$ 8.400,00? Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá. Sabemos que A A + B + C = 8.400 e, além disso, = 6 B 10 = C. 12 Aplicando a propriedade PP2 das proporções: A 6 = B 10 C A + B + C = = 12 6 + 10 + 12 8400 = = 28 300 Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas proporções construídas com a 1ª e 6ª, 2ª e 6ª e 3ª e 6ª razão, respectivamente, obtemos: A = 6.300 = 1.800 B = 10.300 = 3.000 C = 12.300 = 3.600 Cada sócio recebeu, respectivamente, R$ 1.800,00; R$ 3.000,00; R$ 3.600,00. 40

Matemática aplicada à administração 3º) Tempos diferentes e capitais diferentes: divide-se o lucro ou prejuízo da sociedade proporcionalmente aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada sócio. Exemplo 1.5.3 Constituiu-se uma sociedade formada por três sócios, 1º, 2º e 3º: o 1º entrou com um capital de R$ 60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses, o 2º entrou com um capital de R$ 70.000,00 e nela permaneceu por 40 meses e o 3º entrou com um capital de R$ 50.000,00 e nela permaneceu por 35 meses. Se o resultado (que pode se um lucro ou um prejuízo) da empresa, após certo período posterior, foi de R$ 50.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio? Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá, correspondentes ao 1º, 2º e 3º sócios, respectivamente. O produto capital por tempo de cada sócio é: 1º = 60.000 30 = 1.800.000 2º = 70.000 40 = 2.800.000 3º = 50.000 35 = 1.750.000 Sabemos que A A + B + C = 50.000 e que = 1.800.000 B 2.800.000 = C 1.750.000 Aplicando a propriedade PP2 das proporções: A 1.800.000 = B 2.800.000 = C 1.750.000 A + B + C = = 6.350.000 50.000 6.350.000 = 5 635 = 1 127 Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas proporções construídas com a 1ª e 7ª, 2ª e 7ª e 3ª e 7ª razão, respectivamente, obtemos as partes A, B e C. 1 1.800.000 A= (1.800.000) = = 14.173.228 127 127 1 2.800.000 B= (2.800.000) = = 22.047.244 127 127 41

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 1 1.750.000 C= (1.750.000) = = 13.779.527 127 127 Atenção: Como já comentamos anteriormente, esta Unidade é fundamental e dá sustentação a várias outras operações que você executará ao longo de todo o curso. Assim sendo, somente siga adiante depois de ter certeza de que domina os conceitos apresentados aqui: grandezas, proporção, regra-de-três, porcentagem e regra de sociedade! 42

Unidade 2 Matemática aplicada à administração FUNÇÕES Nesta segunda Unidade nossos objetivos são: 1. Desenvolver o conceito de função associado a assuntos simples do cotidiano e a conceitos da economia. 2. Desenvolver a prática do uso da notação de intervalos e função. 3. Analisar funções relacionando os parâmetros com o significado gráfico. 4. Aplicar o conceito e as propriedades das funções para resolver problemas simples de interesse da Economia e Administração. percurso: E, para que possamos alcançar os objetivos a que nos propusemos, faremos o seguinte Seção 2.1 Intervalos e conjuntos numéricos Seção 2.2 Definição, expressão matemática e gráfico de funções Seção 2.3 Equação da reta Seção 2.4 Funções quadráticas Seção 2.5 Funções exponenciais e logaritmos Antes de passar para a primeira seção, salientamos que nesta Unidade vamos estudar as funções matemáticas mais utilizadas nas áreas da Administração e Economia. Vamos aprender a expressar matematicamente uma série de situações econômicas, como o custo de produtos, valor do montante em investimentos de diferentes tipos, funções de procura e demanda, cálculo da prestação de financiamentos, além de outras situações. 43

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges Seção 2.1 Intervalos e conjuntos numéricos As variáveis utilizadas em aplicações da Matemática na Administração podem ser discretas ou contínuas. O número de funcionários de uma empresa, de carros, de pizzas, de sapatos, de casas,..., produzidos ou vendidos, são variáveis inteiras, que chamamos discretas. Não trabalhamos com meio funcionário, ou meio carro. O tempo, os valores monetários, o número de toneladas (massa) de arroz, soja, feijão,... são variáveis fracionárias que chamamos contínuas. Trabalhamos com meia hora, com meio dólar, etc. Para entendermos as expressões matemáticas dessas variáveis com clareza e precisão, precisamos conhecer os símbolos usados e as definições dos conjuntos numéricos. Eles podem ser números a) naturais, b) inteiros, c) racionais, d) irracionais e e) reais! Conjunto dos Números Naturais (N) Os números naturais estão associados à quantificação de objetos simples: 1 lápis, 5 maçãs, 12 parafusos, etc. São números inteiros, sem sinais. Matematicamente, podemos escrever os números naturais da seguinte forma: N={0,1,2,3,4,5,6,...} Onde N é a letra associada ao nome do conjunto dos números naturais. O conjunto dos números naturais é infinito e é representado uma reta numerada da seguinte forma: Os intervalos no conjunto dos números naturais são escritos usando os símbolos > maior 44 < menor

Matemática aplicada à administração maior ou igual e menor ou igual. Veja os exemplos: 1) A={x N / x > 2} Lê-se: x pertence aos Naturais, tal que x é maior do que 2. Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: A={3,4,5,6,7,...} Mostrando esse conjunto na reta dos números naturais, colocamos bolinhas pretas para os elementos do conjunto A e brancas para os elementos que não pertencem a A. 2) B={x N / 1< x <5} Lê-se: x pertence aos Naturais, tal que x é maior do que 1 e menor do que 5. (ou, x pertence aos Naturais, tal que 1 é menor do que x e x é menor do que 5). Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: B={2,3,4} Mostrando esse conjunto na reta dos números naturais, temos: 3) C={x N / x 5} Lê-se: x pertence aos Naturais, tal que x é maior do que 5. Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: C={5,6,7,8,9,10,...} Mostrando esse conjunto na reta dos números naturais, temos: Conjunto dos Números Inteiros (Z) Os números inteiros estão associados às quantidades inteiras relativas. Esses números descrevem variáveis como temperatura, saldos bancários, altitude, etc. 45

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges Z={...,-6,-5,-4-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5,+6,...} Escrevendo o conjunto Z como um intervalo, temos: Z={ x Z / - < x < + }. Simples, não é mesmo? Então, vamos aplicar o que aprendemos? Exercícios 2.1.1 1. Escreva os seguintes conjuntos usando os sinais de desigualdade. a) B={2,3,4,5,6} d) J={2,3,4,5,6,...} b) C={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3} e) K={-3,-2,-1,0,2,3,...} c) G={...,-2,-1,0,1} f) P={ -2,-1,0} 2. Desenhe os conjuntos do Ex.1 na reta numerada. Muito bem, se você conferiu seus resultados e ficou satisfeito, já pode seguir adiante! Conjunto dos Números Racionais (Q) a Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração onde b a e b são números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero. Simbolizados o conjunto dos racionais com a letra Q. 46

Matemática aplicada à administração Exemplo de números racionais: 4 5 2 0,6666... 4 6 = = 0,8. = 6 = 6,0000... 3 5 1 7 = 0,8 = 0,80000... = 1,166666... 6 5 0,5 =. = 10 3 1 0,3333... = = 13 = 0,131313... 9 3 99 (observe que o 13 se repete infinitamente) 1 2 Todo número decimal finito (por exemplo 4/5=0,8) ou periódico (por exemplo 2/3=0,666..., onde o periódico se repete infinitamente) pode ser representado na forma de um número racional a. Veja os exemplos e confira com sua calculadora: b 2 = 4/2 22,5 = 45/2 3,46 = 346/100 0,333333...=1/3 0,121212...=12/99 0,245245...=245/999 Você deve observar que todo número inteiro pode ser escrito na forma de fração, portanto também é um número racional. Números Irracionais (I) Os números irracionais são simbolizados pela letra I. Existem números decimais infinitas não periódicos, aos quais damos o nome de números irracionais, por que não podem ser escritos na forma de b a. Veja os exemplos: 2 = 1,4242135... (observe que não há repetições) 3 = 1,7320508... π (pi)= 3,1415926... e = 2,7182818284590452353602874... ( esse número é a base do sistema de logaritmo neperiano). 47

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges Conjunto dos Números Reais (R) O conjunto dos Números Reais é a união do conjunto dos Racionais e dos Irracionais. R = Q I A representação do conjunto R na reta numérica é uma reta cheia (reta real). Veja alguns exemplos de intervalos em R e suas respectivas representações na reta numerada: Os conjuntos também podem ser representados usando parênteses para intervalos abertos, por exemplo: (a,b) significa { x R / a < x < b} e colchetes para intervalos fechados, por exemplo: [a,b] significa ={ x R / a x b}. Os mesmos conjuntos representados anteriormente, poderiam ser escritos usando parênteses e colchetes. Veja: C = [-1,+ ) ; D = (-1,1] e E = [+2,4). 48 Entendido? Ótimo, então chegou a sua vez.

Matemática aplicada à administração Exercícios 2.1.2 1. Represente os seguintes conjuntos na reta real. a) B={ x R / -2 < x < + } d) J={ x R / x +3} b) C={ x R / -5 x < +3} e) K={ x R / x < +2} c) G={ x R / -5 x +3} f) P={ x R / 1 < x 3} 2. Escreva os intervalos do Exercício 1 usando a notação de parêntesis e colchetes. Seção 2.2 Definição, expressão matemática e gráfico de funções Muitos problemas da área de Administração requerem a expressão matemática das variáveis e parâmetros envolvidos na forma de funções. Nesta seção vamos usar a notação matemática e estudar as funções associadas a situações simples da vida de um cidadão, tais como compra e venda de produtos, orçamentos, financiamentos e aplicações financeiras e conceitos da economia. Exemplo 2.2.1 Dona Maria e sua família são vorazes consumidores de pizzas. Quando os seus filhos a visitam de surpresa, todas as sextas-feiras, levando os filhos, a alternativa mais prática (Dona Maria detesta cozinhar para muita gente!) é comprar as pizzas e dividir os custos entre todos. 49

Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges Na Pizzaria Sabor Derretido todas as pizzas têm o mesmo preço: P = R$ 20,00. A Tabela 2.2.1 mostra o custo para cada quantidade de pizzas. Podemos fazer uma expressão matemática para calcular o custo de qualquer número de pizzas: C(n) = P n (2.2.1) Onde C(n) é o custo de n pizzas (R$) P é o preço de uma pizza (R$/unidade de pizzas) e n é o número de pizzas. A Equação (2.2.1) relaciona as variáveis C e n, que chamamos de lei da função. Veja esta definição prática de função: Definição de função: função é uma expressão matemática que relaciona duas ou mais variáveis. Podemos representar a função Custo de pizzas C(n), na forma de gráfico, localizando cada ponto (n,c) no Plano Cartesiano XY, como mostra a Figura 2.2.1. É fácil verificar que os pontos estão alinhados. Esse alinhamento ocorre porque para cada aumento de uma pizza, aumenta sempre os mesmos R$ 20,00. Como não são vendidos meios, terços ou quartos de pizzas, a Fig. 2.2.1 mostra apenas pontos referentes a números inteiros de pizzas. Nesse caso, dizemos que a variável n é DISCRETA, pois SÓ pode assumir valores inteiros e é definida nos números naturais: n N. Tabela 2.2.1: Dados do Custo X número de pizzas n Custo (R$) 0 0 1 20 2 40 3 60 4 80 5 100 50