Funçõs Trigonométricas META: Introduzir as principais funçõs trigonométricas: sno, cossno tangnt. AULA 7 OBJETIVOS: Dfinir as funçõs sno, cossno tangnt. Mostrar algumas idntidads trigonométricas. Calcular os valors das funçõs sno, cossno tangnt para alguns ângulos. PRÉ-REQUISITOS O aluno para acompanhar sta aula, é ncssário qu tnha comprndido todos os casos d smlhança d triângulos as propridads d ângulos inscritos m um círculo.
Funçõs Trigonométricas 7.1 Introdução Olá caro aluno, spro qu stja curtindo a litura. Nsta aula irmos iniciar nosso studo da funçõs trigonométricas. O studo dstas funçõs d suas aplicaçõs é dnominado trigonomtria. A trigonomtria iniciou-s como studo das aplicaçõs, a problmas práticos, das rlaçõs ntr os lados d um triângulo. Algumas funçõs ram historicamnt comuns, mas agora são raramnt usadas, como a corda, qu m notação atual é dada por crdθ =2sin(θ/2). Hoj as funçõs trigonométricas mais conhcidas são as funçõs sno, cossno tangnt. D fato, as funçõs sno cossno são as funçõs principais, visto qu todas as outras podm sr colocadas m trmos dstas. Nsta aula vrmos como utilizar smlhança d triângulo para dfinir as funçõs trigonométricas, bm como provrar algumas d suas principais propridads. Vrmos também como calcular alguns valors dstas funçõs tomando triângulo rtângulos particulars. 7.2 Funçõs Trigonométricas Considr um smicírculo d cntro P diâmtro AB. Tom um ponto C do smicírculo faça α = C ˆPB. Sja D um ponto d AB tal qu CD sja prpndicular a AB. Dfinição 7.1. a) Chama-s sno do ângulo α, dnotamos por sn α, ao quocint sn α = CD PC. b) Chama-s d cossno do ângulo α, dnotamos por cos α, ao quocint cos α = PD s 0 α 90 PC ou cos α = PD PC s 90 α 180. 134
Gomtria Euclidiana Plana c) Chama-s d tangnt do ângulo α, dnotamos por tan α ao quocint tan α = sn α cos α. AULA 7 Figura 7.1: Obsrvação: D acordo com as dfiniçõs acima podmos dduzir os sguints valors sn 0 =0, sn 90 =1, sn 180 =0, cos 0 =1, cos 90 =0, cos 180 = 1 tan 0 = tan 180 =0. Além disso, a tangnt não stá dfinida para α =90. Proposição 7.27. O sno cossno indpndm do smi-círculo utilizado para dfiní-los. Dmonstração D fato, s tmos dois smi-círculos como na figura abaixo tomamos C C tais qu C ˆPD = C ˆP D = α, ntão os triângulos PDC P D C, rtângulos m D D, rspctivamnt, são smlhants (Por quê?). Assim, Portanto, C P CP = C D CD = P D PD. sn α = CD CP = C D C P cos α = PD PC = P D P C. 135
Funçõs Trigonométricas Figura 7.2: Torma 7.1. Para todo ângulo α tmos sn α 2 +cosα 2 =1. Dmonstração S α =0, 90 180, o rsultado é imdiato, plo qu vimos antriormnt. Nos outros casos, considr a figura 7.2. Assim, ( ) 2 ( ) 2 PD CD sn 2 α +cos 2 α = + = PD2 + CD 2 PC PC PC 2 = PC 2 PC 2. Nsta trcira igualdad usamos o Torma d Pitágoras. Logo, sn 2 α +cos 2 α =1. 7.3 Fórmulas d Rdução Os próximos rsultados irão nos prmir calcular os valors d alguns ângulos a partir d outros. Torma 7.2. S α é um ângulo agudo, ntão a) sn (90 α) =cosα b) cos(90 α) =sn α c) tan(90 α) = 1 tan α 136
Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Figura 7.3: Dmonstração Considr a figura abaixo. Como os triângulos PFE PDC são rtos m F D, a soma dos ângulos agudos d um triângulo rtângulo é 90, sgu qu PFE CDP são congrunts. Em particular, PD PE = PC PE = DC PF. Logo, sn (90 α) = EF PE = PD PC =cosα, cos(90 α) = PF PE = DC PC = sn α, tan(90 α) = sn (90 α) cos(90 α) = cos α sn α = 1 tan α. Torma 7.3. Para todo α tmos a) sn (180 α) =sn α b) cos(180 α) = cos α Dmonstração Para α =0, 90 ou 180, sgu dirtamnt. Considr a figura abaixo. Como ants, mostramos qu PDC = 137
Funçõs Trigonométricas Figura 7.4: PFE, o qu implica qu sn (180 α) = EF PE = CD PC = sn α cos(180 α) = PF PE = PD = cos α. PC Como α 90, ntão α ou 180 α é agudo o outro obtuso. Isto implica qu cos α cos(180 α) têm sinais contrários. Exrcício 7.1. Mostr qu s ABC é um triângulo rtângulo m C, ntão BC = ABsn Â, AC = AB cos  BC = AC tan Â. Proposição 7.28. a) sn 45 = 1 2, cos 45 = 1 2 tan 45 =1 b) sn 30 = 1 2, cos 30 = Dmonstração 3 2 tan 30 = 1 3. a) Sja ABC um triângulo rtângulo m Ĉ com AC = BC. Então  = ˆB =45, já qu a soma dos ângulos intrnos d um triângulo é 180. O Torma d Pitágoras implica qu AB 2 = AC 2 + BC 2 =2AC 2 138
Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Figura 7.5: assim, AC = AB 2. Logo, sn 45 = cos 45 = CB AB = AB/ 2 AB = 1. 2 A tangnt é obtida pla simpls divisão dos valors do sno cossno. b) Sja ABC um triângulo quilátro. Considr D o ponto médio d AC. Daí, D ˆBC =30, plo Torma d Pitágoras CD = BC 2. Portanto, sn 30 = CD BC = BC/2 BC = 1 2, cos 30 = 1 (sn 30 ) 2 = tan 30 = 1 3. 1 1 4 = 3 2 139
Funçõs Trigonométricas Usando o Torma 7.28 as fórmulas d rdução, podmos calcular os valors do sno cossno dos ângulos 60, 120, 135 150. Dixamos como xrcício. 7.4 Li dos Cossnos Torma 7.4. Sja ABC um triângulo. Então AB 2 = AC 2 + BC 2 2AC BC cos Ĉ. Dmonstração S Ĉ =90, ntão não tmos nada a fazr, já qu cos 90 =0, nst caso, a fórmula rduz-s ao Torma d Pitágoras. Suponha qu Ĉ 90. Sja D o pé da prpndicular da altura do vértic A. Como Ĉ 90, ntão C D. S D = B, ntão ˆB =90. Nst caso cos Ĉ = BC AC AC 2 = AB 2 + BC 2, o qu implica qu AB 2 = AC 2 BC 2 = AC 2 + BC 2 2BC 2 = AC 2 + BC 2 2BC AC cos Ĉ, qu é o rsultado dsjado. Suponha agora qu D B C. Nst caso, ADB ADC são triângulos rtângulos m ˆD. Plo Torma d Pitágoras, AB 2 = AD 2 + DB 2 140
Gomtria Euclidiana Plana AC 2 = AD 2 + DC 2. AULA 7 Subtraindo, obtmos AB 2 AC 2 = DB 2 DC 2 qu é quivalnt a AB 2 = AC 2 + DB 2 DC 2. (7.5) Tmos três casos a considrar. Caso 1: B C D. Figura 7.6: Nst caso, BD = BC + CD. Assim, da quação (7.5), obtmos AB 2 = AC 2 +(BC + CD) 2 DC 2 Além disso, = AC 2 + BC 2 + CD 2 +2BC CD CD 2 = AC 2 + BC 2 +2BC CD. CD cos AĈD = AC cos AĈB = cos(180 AĈB)= cos AĈD. Logo, AB 2 = AC 2 + BC 2 +2BC AC cos Ĉ. 141
Funçõs Trigonométricas Figura 7.7: Caso 2: B D C. Nst caso, BC = BD + DC cos Ĉ = DC AC. Assim, a quação (7.5) implica qu AB 2 = AC 2 +(BC DC) 2 DC 2 Caso 3: C B D. = AC 2 + BC 2 + DC 2 2BC DC DC 2 = AC 2 + BC 2 2BC DC = AC 2 + BC 2 2AC BC cos Ĉ. Nst último caso, tmos qu CD = CB + BD CD = AC cos Ĉ dond, da quação (7.5) sgu qu AB 2 = AC 2 +(CD BC) 2 DC 2 = AC 2 + CD 2 + BC 2 2CD BC DC 2 = AC 2 + BC 2 2BC CD = AC 2 + BC 2 2ACBC cos Ĉ. 142
Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Figura 7.8: Portanto, fica dmonstrada a Li dos Cossnos. 7.5 Li dos Snos Torma 7.5. Sja ABC um triângulo. Então sn  sn ˆB = BC AC = sn Ĉ AB = 1 2R, ond R é o raio do círculo circunscrito no triângulo ABC. Dmonstração Considr o círuclo d cntro P raio R qu circunscrv o triângulo. Sja D um ponto do círculo tal qu BD é um diâmtro. Tmos dois casos, A C stão no msmo lado d BD ou m lados opostos. S A C stão m lados opostos d BD, ntão BÂC = B ˆDC, por srm ângulos inscritos no círculo qu subntnd o msmo arco. S A C stão no msmo lado d BD, ntão ABDC é um quadrilátro inscrito no círuclo. Então, pla Proposição 6.24, tmos CÂB + C ˆDB = 180. Em ambos os casos, sn BÂC = sn B ˆDC. Como BCD é rtângulo m C, já qu stá inscrito m um smi-círculo, sgu qu sn  = sn BÂC = sn B ˆDC = DC BD = DC 2R. 143
Funçõs Trigonométricas Figura 7.9: Da msma forma, mostramos qu sn ˆB = AC 2R Disto sgu o rsultado. DC sn Ĉ = 2R. Torma 7.6. Sjam α β ângulos agudos. Então a) cos(α + β) =cosαcos β sn αsn β b) sn (α + β) =sn α cos β +cosαsn β. Dmonstração a) Considr um ângulo d mdida α+β vértic P. Trac uma smi-rta S PH qu divid o ângulo m dois ângulos d mdidas α β. Trac uma prpndicular a S PH qu intrcpta os lados do ângulo α + β m A B. Sjam PH = h, PB = b, PA = a, BH = n AH = m. Pla Li dos Cossnos tmos qu (m + n) 2 = a 2 + b 2 2ab cos(α + β), (7.6) 144
Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Figura 7.10: m 2 = a 2 + h 2 2ah cos α (7.7) n 2 = b 2 + h 2 2bh cos β. (7.8) Além disso, cos α = h a cos β = h b. Portanto, h 2 = ab cos α cos β ah cos α = bh cos β = ab cos α cos β. Logo, d (7.7) (7.8) obtmos m 2 = a 2 ab cos α cos β (7.9) n 2 = b 2 ab cos α cos β. (7.10) 145
Funçõs Trigonométricas Além disso, sn α = m a sn β = n b qu junto com (7.9) (7.10), implica m (m + n) 2 = m 2 + n 2 +2mn = a 2 ab cos α cos β + b 2 ab cos α cos β +2absn αsn β = a 2 + b 2 2ab cos α cos β +2absn αsn β. Comparando com (7.6) obtmos qu cos(α + β) =cosαcos β sn αsn β. b) Nas condiçõs do ítm a), obtmos qu  =90 α. Isto implica qu, plo Torma 7.2, sn  = sn (90 α) =cosα. (7.11) Pla Li dos Snos, tmos sn (α + β) m + n o qu implica m = sn  b sn α m = sn  h, sn (α + β) = m b sn  + n sn  (7.12) b sn  = h sn α. (7.13) m Substituindo (7.13) no primiro trmo do sgundo mmbro d (7.12) (7.11) no sgundo trmo do sgundo mmbro d (7.13), obtmos sn (α + β) = h b sn α + n b cos α. (7.14) Porém, sn β = n b cos β = h b, qu substituindo m (7.14), obtmos sn (α + β) =sn α cos β +cosαsn β. 146
Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Corolário 7.1. S α>β,ntão a) cos(α β) =cosα cos β + sn αsn β. b) sn (α = β) =sn α cos β cos αsn β. Dmonstração No torma antrior, faça α + β = a α = b. Rsolva o sistma cos a =cosb cos(a b) sn b sn (a b), sn a = sn b cos(a b)+cosb sn (a b) para ncontrar cos(a b) sn(a b). 147
Funçõs Trigonométricas RESUMO Nsta aula nós vimos como dfinir as funçõs trigonométricas como utilizar smlhança d triângulos para mostrar qu las stão bm dfinidas. Mostramos algumas fórmulas d rdução, as Lis dos Cossnos a Li dos Snos, idntidads trigonmétricas muito útil nas aplicaçõs. Além disso, também calculamos alguns valors das funçõs trigonométricas, por xmplo, para os ângulos 30, 45 60. PRÓXIMA AULA Na próxima aula irmos dfinir a noção d ára mostrar como calcular a ára d algumas figuras gométricas. ATIVIDADES 1. Em um triângulo ABC, m qu todos os ângulos são agudos, a altura do vértic C forma com os lados CA CB, rspctivamnt, ângulos α β. Sja D o pé da altura do vértic C. Calcul AD, BD, AC CD sabndo qu AD =1, qu α =30 β =45. 2. Quando o sol stá 30 acima do horizont, qual o comprimnto da sombra projtada por um difício d 50 mtros? 3. Um barco stá ancorado no mio d um lago. Uma longa strada rtilína acompanha part d sua margm. Dois amigos m passio turístico obsrvam o barco d um ponto na strada anotam qu a rta daqul ponto ao barco forma um ângulo d 45 com a strada. Após viajarm 5 km ls 148
Gomtria Euclidiana Plana param anotam qu agora podm vr o barco sgundo um ângulo d 30 com a strada. Com sta informação calcul a distância do barco à strada. AULA 7 4. Um parqu d divrsõs dsja construir um scorrgador gigant cujo ponto d partida fiqu a 20m d altura. As normas d sgurança xigm qu o ângulo do scorrgador com a horizontal sja d, no máximo, 45. Qual srá o comprimnto mínimo do scorrgador? 5. Achar o comprimnto da corda d um círculo d 20cm d raio subtndida por um ângulo cntral d 150. 6. Do topo d um farol, 40m acima do nívl do mar, o faroliro vê um navio sgundo um ângulo (d dprssão) d 15. Qual a distância do navio ao farol? 7. Mostr qu o prímtro d um polígono rgular inscrito m um círculo d raio R é p n =2Rnsn ( ) 180 n. 8. Num triângulo ABC tm-s AC =23, Â =20 Ĉ = 140. Dtrmin a altura do vértic B. 9. O qu é maior: (a) sn 55 ou cos 55? (b) sn 40 ou cos 40? (c) tan 15 ou cot 15? 10. As funçõs scant, coscant cotangnt d um ângulo α são dfinidas por sc α =1/ cos α, csc α =1/sn α cot α = 1/ tan α. Para qualqur ângulo α difrnt d zro 180 mostr qu: (a) sn α csc α + cos α sc α =1. (b) tan α +cotα = sc α csc α. (c) sc α = sn α(cot α +tanα). 149
Funçõs Trigonométricas (d) sc 2 α csc 2 α =tan 2 α cot 2 α. cos α () 1 sn α = 1+sn α cos α. (f) sn 4 α cos 4 α =2sn 2 α 1. 11. Calcul cos 105, cos 15 sn 75. 12. Mostr qu s α β são ângulos agudos ntão tan α +tanβ (a) tan(α + β) = 1 tan α tan β cot α cot β 1 (b) cot(α + β) = cot α +cotβ. 13. Em um triângulo ABC, m qu todos os ângulos são agudos, a altura do vértic C forma com os lados CA CB rspctivamnt ângulos α β. Sja D o pé da altura do vértic C. Calcul AD, BD, AC CB sabndo qu AD =1. 14. Mostr qu cos θ 1+cosθ 2 =. 2 15. Mostr qu tan θ 2 = 1 cos θ sn θ. LEITURA COMPLEMENTAR 1. BARBOSA, J. L. M., Gomtria Euclidiana Plana. SBM. 2. EUCLIDES, Os Elmntos. Unsp. Tradução: Irinu Bicudo. 3. GREENBERG, M. J., Euclidan and Non-Euclidan Gomtris: Dvlopmnt and History. Third Edition. W. H. Frman. 4. POGORELOV, A. V., Gomtria Elmntal. MIR. 5. MOISE, E. E., Elmntary Gomtry from an Advancd Standpoint. Third dition. Addison-Wsly. 150