Noções de Simulação Ciências Contábeis - FEA - Noturno 2 o Semestre 2013 MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 1 / 23
Objetivos da Aula Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Geração de Variáveis Aleatórias 4 Geração de Variáveis Aleatórias Discretas 5 Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 2 / 23
Objetivos da Aula Objetivos da Aula Geração de Variáveis Aleatórias O objetivo principal desta aula é apresentar noções de simulação de variáveis aleatórias. MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 3 / 23
Motivação Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Geração de Variáveis Aleatórias 4 Geração de Variáveis Aleatórias Discretas 5 Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 4 / 23
Motivação Motivação Motivação Quando certas questões não podem ser resolvidas analiticamente podemos recorrer ao estudo de simulação para obter soluções aproximadas. Exemplos cálculo de integral que não pode ser resolvido analiticamente; solução de equações diferenciais; cálculo de probabilidade de um evento complexo; aproximação da distribuição de uma variável aleatória; cálculo de média de uma variável aleatória complexa. MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 5 / 23
Motivação Estimar a Média de uma Variável Aleatória Estimar a Média de uma Variável Aleatória Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que E(X) = µ e Var(X) = σ 2 e que temos interesse em estimar µ. Podemos observar os valores X 1,...,X n da variável aleatória X e calcular a média amostral X = X 1 + +X n. n Pela Lei dos Grandes Números sabemos que X µ à medida que n cresce. MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 6 / 23
Motivação Estimar a Média de uma Variável Aleatória Regra 3 Sigmas Pelo Teorema do Limite Central sabemos que para n grande X N(µ, σ2 n ). Então ( P µ 3σ X µ+ 3σ ) = P( 3 Z 3) n n em que Z N(0, 1). = 0, 997, MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 7 / 23
Motivação Estimar a Média de uma Variável Aleatória Regra 3 Sigmas Portanto, para n grande, temos a seguinte aproximação: ( X P 1 + +X n µ n 3σ ) = 0, 997. n Ou seja, a diferença entre a média amostral e a média verdadeira não deve ultrapassar 3σ n com uma probabilidade muito alta. MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 8 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Geração de Variáveis Aleatórias 4 Geração de Variáveis Aleatórias Discretas 5 Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 9 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Geração de Variáveis Aleatórias Simulação Manual Roleta e tabela de números aleatórios oferecem a sequência de números aleatórios independentes e identicamente distribuídos. Contudo, na prática precisamos de uma grande quantidade de números aleatórios e a simulação manual pode se tornar muito trabalhosa. MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 10 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Geração de Variáveis Aleatórias Simulação Manual Roleta e tabela de números aleatórios oferecem a sequência de números aleatórios independentes e identicamente distribuídos. Contudo, na prática precisamos de uma grande quantidade de números aleatórios e a simulação manual pode se tornar muito trabalhosa. Simulação Eletrônica Números pseudo-aleatórios gerados através de relações matemáticas recursivas determinísticas. Na prática a simulação eletrônica resolve o problema, gera uma grande quantidade de números aleatórios, mas exige a aplicação de testes sofisticados para ter certeza que os números gerados são realmente uniformemente distribuídos e são independentes. MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 10 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Geração de Variáveis Aleatórias 4 Geração de Variáveis Aleatórias Discretas 5 Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 11 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Distribuição Discreta Vamos supor que a variável aleatória X tem a seguinte função de probabilidades: x P(X = x) x 1 p 1 x 2 p 2 x k p k MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 12 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Distribuição Discreta A função de distribuição acumulada F(x) = P(X x) fica dada por F(x) = 0 x < x 1 p 1 x x 1 p 1 + p 2 x x 2 p 1 + p 2 + p 3 x x 3 1 x x k MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 13 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Distribuição Discreta Como 0 F(x) 1 a ideia é gerar uma variável U U[0, 1] e adotar o seguinte critério para gerar X: X = x 1 0 U p 1 x 2 p 1 < U p 1 + p 2 x 3 p 1 + p 2 < U p 1 + p 2 + p 3 x k p 1 + +p k 1 < U 1 MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 14 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo Vamos supor o seguinte exemplo: x P(X = x) 0 0,3 1 0,5 2 0,2 MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 15 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Distribuição Discreta A função de distribuição acumulada F(x) = P(X x) fica dada por 0 x < 0 0, 3 x 0 F(x) = 0, 8 x 1 1, 0 x 2 MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 16 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Geração de Variáveis Aleatórias Discretas Distribuição Discreta Como 0 F(x) 1 a ideia é gerar uma variável U U[0, 1] e adotar o seguinte critério para gerar X: 0 0 U 0, 3 X = 1 0, 3 < U 0, 8 2 0, 8 < U 1 MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 17 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Geração de Variáveis Aleatórias 4 Geração de Variáveis Aleatórias Discretas 5 Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 18 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas Como 0 F(x) 1 a ideia é gerar uma variável U U[0, 1] e adotar o seguinte critério para gerar novos valores de X: X = F 1 (U), ou seja, o valor gerado será obtido pela inversa da função F(x). MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 19 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas Distribuição Exponencial Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro λ > 0, a função densidade de probabilidade de X é definida por f(x) = λe λx, em que x > 0. MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 20 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas Distribuição Exponencial Função de Distribuição Acumulada A Função de Distribuição Acumulada de uma variável aleatória exponencial fica dada por { 0 x 0 F(x) = 1 e λx x > 0 MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 21 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas Descrição de F(x) F(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 x MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 22 / 23
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas Distribuição Exponencial Geração de Valores Como F(x) = 1 e λx, para x > 0, a ideia é gerar uma variável U U[0, 1] e resolver a equação U = 1 e λx obtendo o valor gerado x = log(1 U). λ MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 23 / 23