Introdução ao Controle Automático de Aeronaves Momentos Aerodinâmicos. Atmosfera Padrão. Equações nos eixos do Vento. Dinâmica Longitudinal. Leonardo Tôrres torres@cpdee.ufmg.br Escola de Engenharia Universidade Federal de Minas Gerais/EEUFMG Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1
Momentos Aerodinâmicos Os momentos aerodinâmicos são determinados de maneira independente das forças aerodinâmicas: L = qs w b w C l Rolamento; M = qs w c w C m Arfagem; N = qs w b w C n Guinada; Os coeficientes C l, C m e C n possuem tabelas próprias. Obs.: (i) De forma semelhante aos coeficientes das forças aerodinâmicas, as deflexões δ e, δ a e δ r das superfícies de controle irão produzir alterações nestes coeficientes, conduzindo ao surgimento de acelerações angulares. (ii) Envergadura: b w. Corda média da asa c w. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p.
Momento/Torque Total Para determinar o momento total atuando no veículo, é preciso considerar as seguintes parcelas: T ABC = [ L, M, N] + {z } Momentos aero. + Tthrust {z } Momento tracao ( r aero. ref r C.G. ) F aero {z } Forcas aero. 5 + sendo que r aero. ref corresponde ao ponto, na estrutura da aeronave, em relação ao qual se mediu, originalmente, os momentos aerodinâmicos e as forças aerodinâmicas. Ou seja, originalmente r aero. ref = r C.G.. Entretanto, como o C.G. pode mudar de lugar, as forças aerodinâmicas podem produzir momentos adicionais. (1) Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p.
Momento da Força de Tração O momento produzido pelo motor depende da posição do propulsor (hélice ou bocal do jato) em relação ao C.G.: Alguns casos: T thrust = ( r motor r C.G. ) F thrust Motores abaixo do C.G. tendem a produzir momento de arfagem positivo. Motores no alto da empenagem vertical tendem a produzir momento de arfagem negativo. Em uma aeronave bimotor, a perda de um motor irá produzir momento de guinada. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p.
Sistema de Coordenadas Estrutural As posições do ponto de referência aerodinâmico r aero. ref., do motor r motor, e do C.G. r C.G. são representadas no referencial estrutural. Note que a origem deste referencial não é importante, pois necessitamos apenas dos valores dos deslocamentos ( r aero. ref. r C.G. ) e ( r motor r C.G. ). Entretanto, é necessário multiplicar as coordenadas x e z por -1, para que o resultado seja corretamente representado no eixo ABC. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 5
Atmosfera A atmosfera da terra é composta por diversas camadas: Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p.
Atmosfera - Troposfera As forças aerodinâmicas estão suscetíveis a variações atmosféricas. As principais variáveis a serem observadas na troposfera (até 11km acima do nível do mar, onde voam os aviões) são: 1. Densidade do ar ρ;. Velocidade do som (efeitos de compressibilidade) a;. Pressão estática P stat ;. Temperatura T atm. Para lidar com essas variações ao longo de toda a superfície da terra (diferentes climas e condições atmosféricas), definiu-se a chamada atmosfera padrão. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p.
Atmosfera Padrão O modelo para a troposfera: T = T + ch; P = P ( T T ) g cr ; ρ = ρ ( T T ) g cr 1 ; a = γrt; sendo T = 88,15K(15 o C), P = 115N/m, g = 9,81m/s, ρ = 1,5kg/m, c = -,5K/m, R = 8,J/kg/K e γ = 1,. H é a altura em relação ao nível do mar, em metros. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 8
Efeitos de Compressibilidade Uma importante variável a ser observada para quantificar efeitos de compressibilidade no escoamento do ar, em torno do veículo, é o chamado número de Mach M: sendo que: M < 1 M > 1 M = V T a Regime subsônico; Regime supersônico;,8 < M < 1, Regime transônico; M > 5 Regime hipersônico. Obs.: (i) M muda a medida em que nos elevamos na atmosfera, mesmo para velocidade V T constante! (ii) Efeitos de compressibilidade do ar já são facilmente detectáveis em regime transônico. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 9
Velocidade do Avião em Relação a Atmosfera A velocidade v do avião em relação ao solo pode ser expressa de duas maneiras: v ABC = [U; V ; W] e v W = [V T ; ; ] sendo que v ABC = S v W = R WABC v W, e: S = cαcβ cαsβ sα sβ cβ sαcβ sαsβ cα 5 logo: U = V T cos(α) cos(β); V = V T sin(β); W = V T sin(α) cos(β) () Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1
Velocidade do Avião em Relação a Atmosfera De forma semelhante: V T = U + V + W α = atan ( ) W ( U ; V β = asen ; V T ) () E esta velocidade coincide com a velocidade da aeronave em relação a atmosfera, se considerarmos que a atmosfera está parada em relação ao solo não há ventos. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 11
Velocidade do Avião em Relação a Atmosfera Entretanto, como incluir o efeito de ventos nas direções Norte (N), Leste (E) e Descendente (D)? Neste caso, a velocidade do avião em relação ao solo v ABC será diferente da velocidade do avião em relação a atmosfera v ABC : v ABC = v ABC + W ABC v ABC = v ABC R NEDABC WNED, sendo W NED um vetor de novas entradas no modelo, que correspondem às velocidades da atmosfera em relação ao solo: W NED = W N W E W D Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1
Velocidade do Avião em Relação a Atmosfera No cômputo das forças e momentos que agem sobre a aeronave, deve-se utilizar a velocidade v ABC = U V W = U V W R NEDABC W N W E W D, () bem como no cálculo de V T, α e β: v W = V T V T = (U ) + (V ) + (W ) α = atan ( ) W ( U ; V β = asen ; V T ) (5) Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1
Velocidade do Avião em Relação a Atmosfera Se a equação dinâmica de variação v ABC da velocidade do avião em relação ao solo é escrita como: v ABC = Ω ABC v ABC + 1 m F ABC, como pode ser escrita a equação que descreve a variação v ABC da velocidade do avião em relação à atmosfera? Considerando que (B = R NEDABC ): v ABC = v ABC B W NED, é possível escrever que: v ABC = Ω ABC v ABC + 1 m F ABC B WNED. () Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1
Velocidade do Avião em Relação a Atmosfera Se a equação dinâmica de variação v ABC da velocidade do avião em relação ao solo é escrita como: v ABC = Ω ABC v ABC + 1 m F ABC, como pode ser escrita a equação que descreve a variação v ABC da velocidade do avião em relação à atmosfera? Considerando que (B = R NEDABC ): v ABC = v ABC B W NED, é possível escrever que: v ABC = Ω ABC v ABC + 1 m F ABC B WNED. () se o vento é não estacionário! Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1
Equações de Translação Eixos do Vento Como as forças aerodinâmicas têm um papel determinante na dinâmica de uma aeronave, é interessante escrever as equações de translação nos eixos do Vento. Multiplicando ambos os lados da equação () pela matriz de rotação S = R ABCW : S v ABC = (S ω ABC ) (S v ABC ) + 1 M S FABC S BẆNED S (Ṡ v W + S v W ) = ω W v W + 1 M S Ṡ v W + v W = ω W v W + 1 M F W S BẆNED, F W S BẆNED, sendo que v W = V T 5 ; v W = V T 5 e ω W = S P Q R 5 = P W Q W R W 5. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 15
Equações de Translação Eixos do Vento É possível mostrar que: S Ṡ v W + v W = V T βv T αv T cosβ. Além disso, lembrando que B = R NEDABC, tem-se F W = D C L }{{} F Aero. +S B Mg }{{} F Peso +S F T cosα T F T senα T }{{} F propulsao. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1
Equações de Translação Eixos do Vento Na equação anterior, assumiu-se que a força propulsiva está contida no plano x z do eixo ABC, inclinada em relação a linha de referência da fuselagem de um ângulo α T : F T α T AY 1 Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1
Equações de Translação Eixos do Vento Combinando as expressões anteriores, obtém-se 8 >< >: sendo V T = 1 M [F T cos(α + α T )cos β D] + g 1 (ẇ 1 ) ; β = α = 1 [ F MV T cos(α + α T )senβ C] + g R T V W T 1 MV T cos β [ F T sen(α + α T ) L] + g V T cos β + Q W cos β g 1 g 5 = S B 5 ; e ẇ 1 ẇ 5 = S B Ẇ N Ẇ E 5 ẇ V T ẇ V T cos β ; ; (8) g g ẇ Ẇ D onde g = 9,8m/s. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 18
Movimento Longitudinal As equações (8) podem ser consideravelmente simplificadas para um caso especial em que: A força lateral é nula C =, e não há vento lateral w = ẇ = ; Não há derrapagem β = ; As asas estão niveladas φ = ; Não há momento de rolamento e a velocidade angular P = ; Não há momento de guinada e a velocidade angular R =. Ou seja, toda a dinâmica da aeronave se manifesta somente no plano XZ do referencial ABC: a aeronave pode somente subir, descer, cabrar ( θ > ) e picar ( θ < ). Diz-se que as equações irão representar o Movimento Longitudinal. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 19
Movimento Longitudinal Fazendo ψ = (aeronave apontada para o norte), para fins de simplificação, podemos escrever: 1. β = (e β = );. S = R ( α) =. Portanto, g 1 g g cα sα 1 sα cα 5 = S B g 5 e B = R (θ) = 5 = g sen(θ α) cos(θ α) cθ sθ 1 sθ cθ 5 5 ; γ = θ α. Além disso, ω W = S Q 5 = Q W 5 Q W = Q. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p.
Movimento Longitudinal Desprezando a influência de rajadas de vento (ẇ 1 = ẇ = ẇ = ), e considerando o que foi mostrado anteriormente, as equações (8) podem ser reescritas como: 8 < : V T = 1 M [F T cos(α + α T ) D] g sen(θ α) α = 1 MV T [ F T sen(α + α T ) L] + 1 V T g cos(θ α) + Q. (9) Além disso, as equações cinemática e dinâmica de rotação se reduzem a: 8 < : θ = Q; Q = M J y ; (1) sendo que M é o momento total de arfagem (aerodinâmico + devido à tração, conforme equação (1)); e J y é o momento de inércia em torno do eixo Y do referencial ABC. Para encontrarmos um conjunto auto-contido de equações diferenciais, isto é, tal que as evoluções temporais de todas as variáveis de estado presentes estão representadas, é preciso incluir a equação de evolução da altitude H (as forças L e D, e o momento M dependem da densidade do ar e, portanto, da altitude). Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1
Movimento Longitudinal A equação de variação da altitude pode ser escrita a partir da equação cinemática que relaciona a variação de posição da aeronave com sua velocidade em relação ao solo: p NED = B v ABC, = B ( v ABC + B W NED ), = B v ABC + W NED. Lembrando que β =, tem-se: v ABC = U W 5 = V T cos α V T sen α 5 B v ABC = V T cos(θ α) V T sen (θ α) 5. Logo, a variação da posição vertical (sentido de crescimento para baixo) pode ser escrita como: ṗ D = V T sen(θ α) + W D. (11) Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p.
Movimento Longitudinal Como a altitude é contabilizada no sentido contrário ao sentido de crescimento do eixo Z do referencial NED, devemos multiplicar a equação (11) por 1 para obtermos: Ḣ = V T sen(θ α) W D. (1) A dinâmica longitudinal pode então ser representada por somente 5 equações diferenciais: V T = 1 M [F T cos(α + α T ) D] g sen(θ α) 1 α = [ F MV T sen(α + α T ) L] + 1 g T V cos(θ α) + Q; T θ = Q; Q = M J y ; (1) Ḣ = V T sen (θ α) W D ; sendo que W D representa a componente vertical para baixo do vento (que também aparece na composição do valor de V T ); e γ = (θ α) é o ângulo de trajetória de vôo. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p.