INVERSÃ NUMA CIRCUNFERÊNCIA A inversão na circunferência C(, P no único ponto Q P tal que é a aplicação que envia cada ponto P Q = 2 r (também se chama a esta aplicação a inversão de pólo e potência r 2 ) inverso do pólo de inversão não está definido. A inversão é assim uma bijecção de plano furado em si próprio. A inversão é involutiva: se P é o inverso de Q, então Q é o inverso de P por isso podemos dizer que P e Q são os inversos um do outro. Em seguida veremos algumas construções no Sketchpad que permitem encontrar os inversos de pontos, circunferências e rectas, bem como alguns apontamentos teóricos. I) Inversão do ponto P 1. ponto P pertence ao interior de C (, Construir C (, Marcar ponto P no interior de C (, Traçar semi-recta com origem em e que passa em P Traçar a perpendicular à semi-recta P, que passa por P Determinar uma das intersecções dessa perpendicular com C(,. Seja T. Traçar tangente a passa por P) C(,, passando por T (basta traçar perpendicular a T que ponto Q é a intersecção da tangente com a semi-recta P. 1
C(, T P Q Q é o inverso de P Justificação: Q P por construção. ao triângulo ou seja, [ TQ] rio de semelhança AA, temos que o triangulo PT é semelhante, e portanto T Q = P T Pelo crité [ ] 2 P Q = T mas T=r, logo P Q = 2 r o que conclui a justificação. Notas: o Enquanto P se mantém no interior de C (,, Q está sempre no exterior de C(,. o Quanto m ais próximo está P da circunferência C(,, mais próximo está Q da mesma. o Quando colocamos P sobre C(,, Q coincide com P. o Quando aproximamos P de C(,, Q afasta-se para o infinito. 2
o Se arriscarmos levar P para o exterior de C(,, vemos que Q desaparece! (a construção é apenas válida se P está no interior de C(, ). 2. ponto P pertence ao exterior de C (, Construir C (, Marcar ponto P no exterior de C(, Traçar tangente a C (, por P: - unir a P por um segmento - marcar ponto médio, M, de P - construir C ( M, MP) - determinar uma da s intersecções de C( M, MP ) com C(,. Seja T. Traçar a tangente a C (, em T, que passa por P Para determinar Q, basta tirar uma perpendicular a P passando por T. Q será a intersecção da perpendicular com P. T C(M,MP) C(, Q M P Justificação: análoga à anterior. Q é o inverso de P 3
Notas: o Enquanto P se mantém no exterior de C (,, Q está sempre no interior de C(,. o Quanto mais próximo está P da c ircunferência C(,, mais próximo está Q da mesma. o Quando colocamos P sobre C(,, Q coincide com P. o Quando afastamos P para o infinito, Q aproxima-se de. 3. ponto P coincide com o centro de C (, A inversão não está definida nestes casos. 4. ponto P está sobre a C (, Neste caso, P coincide com Q. Determinamos em seguida as imagens de rectas e circunferências por inversão de pólo. Veremos que por aplicação de inversões, a família de rectas e circunferências do plano é preservada, embora algumas rectas sejam enviadas em circunferências e vise-versa. Assim, e ao contrário das transformações como reflexões, rotações e translações, a inversão pode alterar radicalmente o aspecto das figuras. II) Inversão da circunferência C(Õ, 1. A circunferência C(Õ, pertence ao interior de C(,r ) 1.1. A circunferência C(Õ, não passa por Construir C(, 4
Construir C ( Õ, no interior de C (, Marcar um ponto P sobre C ( Õ, Utilizando o processo citado em I)1., construir Q, inverso de P Depois de seleccionar P e Q, utilizar o comando Locus, do menu Construct, para visualizar as imagens Q quando arrastamos P ao longo de C ( Õ,. T C(, Õ P Q C(Õ, D D é o inverso de C ( Õ, 1.2. A circunferência C(Õ, passa por Na construção anterior arrastarc( Õ, de forma a que passe em. 5
T Q C(, C(Õ, Õ P D D é o inverso de C ( Õ, 2. A circunferência C(Õ, pertence ao exterior de C (, Construir C (, Construir C( Õ, no exterior de C (, Marcar um ponto P sobre C( Õ, Utilizando o processo citado em I)2., construir Q, inverso de P Depois de seleccionar P e Q, utilizar o comando Locus, do menu Construct, para visualizar as imagens Q quando arrastamos P ao longo de C( Õ,. 6
T C(, Q D M Õ P C(Õ, D é o inverso de C ( Õ, 3. A circunferência C(Õ, intersecta C (, Construir C (, Construir C( Õ, que intersecte C(, em I1 e em I 2 Marcar um ponto P 1 sobre o arco I 1 I 2 que está no interior de C (, Utilizando o processo citado em I)1., construir Q 1, inverso de P 1 Depois de seleccionar P 1 e Q 1, utilizar o comando Locus, do menu Construct, para visualizar as imagens Q 1 quando arrastamos P 1 ao longo do arco I 1 e em I 2 que está no interior de C(, 7
D 1 I 1 C(, P 1 Õ C(Õ, I 2 Q 1 D 1 é o inverso do arco de circunferência I 1 P 1 I 2 de C( Õ, Marcar um ponto P 2 sobre o arco I 1 e em I 2 que está no exterior de C (, Utilizando o processo citado em I)2., construir Q 2, inverso de P 2 Depois de seleccionar P 2 e Q 2, utilizar o comando Locus, do menu Construct, para visualizar as imagens Q 2 quando arrastamos P 2 ao longo do arco I 1 e em I 2 que está no exterior de C(, 8
I 1 C(, D 2 C(Õ, Õ Q 2 P 2 I 2 D 2 é o inverso do arco de circunferência I 1 P 2 I 2 de C( Õ, I 1 C(Õ, C(, Q 2 Õ P 1 P 2 I 2 D Q 1 D é o inverso de C ( Õ, (sem construções auxiliare 9
Apontamentos teóricos A1 Seja C(, a circunferência de inversão. Se C( Õ, for uma circunferência que passe por, a inversa de uma recta ortogonal a Õ e que não passa por. C( Õ, \ { } é Demonstração: l C(Õ, Õ R S C(, P Q Seja [R] o diâmetro de C( Õ, colinear com e Õ. Seja S o inverso de R. Afirmamos que a inversa de C ( Õ, \ { } é a recta l, a perpendicular Õ por S. Cada recta por (excepto a paralela à recta l, que é também a tangente a C ( Õ, em ) intersecta a recta l num ponto Q, e intercepta C( Õ, num ponto P e basta mostrar que Q e P são inversos um do outro. De facto, pelo critério de semelhança AA, temos que o triangulo[ SQ] é semelhante ao triângulo [ PR], e portanto R P = Q S ou seja (e uma vez que Q e P estão na mesma semi-recta de origem, e R é o inverso de S), 2 Q P = S R = r o que conclui a demonstração. 10
A2 Seja C(, a circunferência de inversão. Se C( Õ, for uma circunferência que não passa por, a inversa de C( Õ, é ainda uma circunferência que não passa por mais precisamente, é a imagem de 2 r C( Õ, pela homotetia de centro e razão. Pot( C( Õ, ) Demonstração: Sejam P e R os dois pontos em que uma recta l por intersecta tangente a C ( Õ, ). Sejam Q e S os seus inversos, respectivamente. Então C( Õ, (P=R se l for P Q = R S = 2 r P R = Pot( C( Õ, ) e portanto Q R = 2 r Pot( C( Õ, ) = S P o que mostra que Q (respectivamente S) é a imagem de R (respectivamente P) pela dita homotetia, e demonstra que a imagem de C( Õ, é uma circunferência. Isto conclui a prova. II) Inversão da recta l 1. A recta l não intersecta C (, Construir C (, Construir recta l que não intersecte C(, Marcar um ponto P sobre a recta l Utilizando o processo citado em I)2., construir Q, inverso de P Depois de seleccionar P e Q, utilizar o comando Locus, do menu Construct, para visualizar as imagens Q quando arrastamos P ao longo da recta l. 11
l T P C(, Q M E E é o inverso da recta l 2. A recta l intersecta C(, 2.1. A recta l não passa em Construir C (, Construir recta l que intersecte C (, e não passe em Marcar um ponto P 1 que pertença à recta l e ao interior da C (, Utilizando o processo citado em I)1., construir Q 1, inverso de P 1 Depois de seleccionar P 1 e Q 1, utilizar o comando Locus, do menu Construct, para visualizar as imagens Q 1 quando arrastamos P 1 ao longo da recta l. 12
l T C(, P 1 Q 1 E 1 E 1 é o inverso da parte da recta l que pertence ao interior de C (, Marcar um ponto P 2 que pertença à recta l e ao exterior da C(, Utilizando o processo citado em I)2., construir Q 2, inverso de P 2 Depois de seleccionar P 2 e Q 2, utilizar o comando Locus, do menu Construct, para visualizar as imagens Q 2 quando arrastamos P 2 ao longo da recta l. 13
l E 2 C(, Q 2 T M P 2 E 2 é o inverso da parte da recta l que pertence ao exterior de C (, l C(, P 1 Q 1 Q 2 E P 2 E é o inverso da recta l 14
2.2. A recta l passa em Na construção anterior arrastar a recta l de forma a que passe em. Q 1 E l P 1 C(, Q 2 P 2 E é o inverso da recta l Apontamentos teóricos A3 Seja C(, a circunferência de inversão. Se l for uma recta que passe por, então a inversa de l \ { } é ela própria. 15
A4 Seja C(, a circunferência de inversão. C, em que C( Õ, é uma certa circunferência que passa por e com centro na recta perpendicular a l que passa por. Se inversa de uma recta l que não passa por é ( Õ, \ { } Demonstração: Esta afirmação é apenas uma reformulação de A1. bserve-se que A1 e A4 implicam, em particular, que: A5 Seja C(, a circunferência de inversão. As inversas de restas paralelas que não passam por são circunferências tangentes em, e vise-versa. 16