Geometria dos Sólidos Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Geometria Espacial - 2014.2 1 de abril de 2015
Ângulos Poliedrais Sumário 1 Ângulos Poliedrais 2
Ângulos Poliedrais Diedros Ângulo Diedral Um diedro ou ângulo diedral é a abertura entre dois planos se intersectam.
Ângulos Poliedrais Diedros Ângulo Diedral Um diedro ou ângulo diedral é a abertura entre dois planos se intersectam. Os planos AM, BN são chamados de faces do ângulo diedral.
Ângulos Poliedrais Diedros Ângulo Diedral Um diedro ou ângulo diedral é a abertura entre dois planos se intersectam. Os planos AM, BN são chamados de faces do ângulo diedral. A reta AB é chamada aresta do ângulo diedral.
Ângulos Poliedrais Diedros Ângulos Diedrais Adjacentes Se dois ângulos diedrais têm uma aresta em comum, e uma face em comum entre eles, tais diedros são ditos adjacentes.
Ângulos Poliedrais Diedros Ângulos Diedral Reto Se um plano encontra outro plano de modo a produzir dois ângulos diedrais adjacentes e iguais, cada um deles é chamado ângulo diedral reto. Planos perpendiculares Se dois planos se intersectam formando um ângulo diedral reto, então dizemos que tais planos são perpendiculares.
Ângulos Poliedrais Diedros Ângulo Plano de um Diedro O ângulo plano formado por dois segmentos de reta, um em cada plano, perpendiculares a aresta do diedro no mesmo ponto, é chamado ângulo plano do diedro.
Ângulos Poliedrais Ângulo Poliedral Quando uma porção do espaço é separada do restante por três ou mais planos que se encontram em um único ponto, tais planos formam um ângulo poliedral. Elementos O ponto comum é chamado vértice. As interseções entre os planos, são chamadas arestas. As partes dos planos entre duas arestas, são as faces. Duas arestas adjacentes, formam um ângulo de face e duas faces adjacentes formam um ângulo diedral.
Ângulos Poliedrais Teorema A soma de dois ângulos de face em um ângulo triedral é maior que o terceiro ângulo de face. X V Y + Y V Z > X V Z
Ângulos Poliedrais Teorema A soma dos ângulos de face em um ângulo poliedral qualquer é menor que quatro ângulos retos (ou 360 0 ou 2π).
Sumário 1 Ângulos Poliedrais 2
O que é um sólido?
Sólido Geométrico Sólidos que têm figuras geométricas em suas construções.
Sólido Geométrico Sólidos que têm figuras geométricas em suas construções. Sólidos Geométricos: bola de sinuca, barra de sabão, diamantes lapidados, etc.
Sólido Geométrico Sólidos que têm figuras geométricas em suas construções. Sólidos Geométricos: bola de sinuca, barra de sabão, diamantes lapidados, etc. Sólidos não Geométricos: pedras, corpo humano, etc.
A geometria tridimensional desempenha um importante papel na estrutura das moléculas.
A geometria tridimensional desempenha um importante papel na estrutura das moléculas. Por exemplo, quando os átomos de carbono. Dependendo da forma de como estão agrupados, podem formar diamantes ou o grafite, como os usados nos lápis.
A geometria tridimensional desempenha um importante papel na estrutura das moléculas. Por exemplo, quando os átomos de carbono. Dependendo da forma de como estão agrupados, podem formar diamantes ou o grafite, como os usados nos lápis.
A geometria tridimensional desempenha um importante papel na estrutura das moléculas. Por exemplo, quando os átomos de carbono. Dependendo da forma de como estão agrupados, podem formar diamantes ou o grafite, como os usados nos lápis.
Um sólido geométrico formado por poĺıgonos que determinam uma região (fechada) no espaço é chamado poliedro [do grego: poly (vários) + hedra (face ou assento, banco)].
Um sólido geométrico formado por poĺıgonos que determinam uma região (fechada) no espaço é chamado poliedro [do grego: poly (vários) + hedra (face ou assento, banco)]. : prismas, cubos, pirâmides, etc.
Um sólido geométrico formado por poĺıgonos que determinam uma região (fechada) no espaço é chamado poliedro [do grego: poly (vários) + hedra (face ou assento, banco)]. : prismas, cubos, pirâmides, etc. Sólidos Geométricos, mas não poliedros: cilindro, cone, esfera, etc.
As superfícies planas (poĺıgonos) que delimitam um poliedro são chamadas faces.
As superfícies planas (poĺıgonos) que delimitam um poliedro são chamadas faces. Um segmento onde duas faces se encontram, é chamado aresta.
As superfícies planas (poĺıgonos) que delimitam um poliedro são chamadas faces. Um segmento onde duas faces se encontram, é chamado aresta. O ponto de interseção entre três ou mais arestas, é chamado vértice.
As superfícies planas (poĺıgonos) que delimitam um poliedro são chamadas faces. Um segmento onde duas faces se encontram, é chamado aresta. O ponto de interseção entre três ou mais arestas, é chamado vértice.
Classificação Assim como os poĺıgonos são classificados pelo número de lados, os poliedros são classificados pelo número de faces. Os prefixos são os mesmos dados aos poĺıgonos como uma exceção: um poliedro com quatro faces é chamado tetraedro.
TETRAEDRO
Geometria dos So lidos PENTAEDRO
HEXAEDRO
HEXAEDRO
HEPTAEDRO
HEPTAEDRO
HEPTAEDRO
OCTAEDRO
OCTAEDRO
Outras nomenclaturas:
Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO.
Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO.
Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Onze faces: UNDECAEDRO.
Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Onze faces: UNDECAEDRO. Doze faces: DODECAEDRO.
Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Onze faces: UNDECAEDRO. Doze faces: DODECAEDRO. Treze faces: TRIDECAEDRO.
Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Onze faces: UNDECAEDRO. Doze faces: DODECAEDRO. Treze faces: TRIDECAEDRO. Quatorze faces: TETRADECAEDRO.
Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Onze faces: UNDECAEDRO. Doze faces: DODECAEDRO. Treze faces: TRIDECAEDRO. Quatorze faces: TETRADECAEDRO. Quinze faces: PENTADECAEDRO
Outras nomenclaturas: Nove faces: ENEAEDRO. Dez faces: DECAEDRO. Onze faces: UNDECAEDRO. Doze faces: DODECAEDRO. Treze faces: TRIDECAEDRO. Quatorze faces: TETRADECAEDRO. Quinze faces: PENTADECAEDRO Vinte faces: ICOSAEDRO.
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É possível construir um poliedro com n faces, para todo inteiro n > 2?
Poliedro Convexo Um poliedro é dito convexo se quaisquer dois pontos do sólido podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente dentro do poliedro.
Poliedro Convexo Um poliedro é dito convexo se quaisquer dois pontos do sólido podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente dentro do poliedro.
Teorema de Euler O Número de faces (f), vértices (v) e arestas (a) de um poliedro estão relacionadas pela fórmula f + v = a + 2
Teorema de Euler O Número de faces (f), vértices (v) e arestas (a) de um poliedro estão relacionadas pela fórmula f + v = a + 2
Exemplo Qual o número de arestas?
Exemplo Qual o número de arestas? Resposta...
Exemplo Qual o número de arestas? Resposta... 15 arestas (7 face e 10 vértices!).
Poliedro Regular ou Sólidos de Platão Um poliedro é dito regular quando TODAS as suas faces são poĺıgonos regulares iguais.
Poliedro Regular ou Sólidos de Platão Um poliedro é dito regular quando TODAS as suas faces são poĺıgonos regulares iguais. Poliedro Regular ou Sólidos de Platão Existem apenas cinco poliedros regulares: 1 Tetraedro Regular (faces triangulares); 2 Cubo (faces quadradas); 3 Octaedro Regular (faces triangulares); 4 Dodecaedro Regular (faces pentagonais); 5 Icosaedro Regular (faces triangulares).
Por quê apenas cinco Sólidos Regulares???
>>>Flashback Teorema A soma dos ângulos de face em um ângulo poliedral qualquer é menor que quatro ângulos retos (ou 360 0 ou 2π).
>>>Flashback Teorema A soma dos ângulos de face em um ângulo poliedral qualquer é menor que quatro ângulos retos (ou 360 0 ou 2π).
Exemplo A partir de um pentágono regular de lado a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V?
Exemplo A partir de um pentágono regular de lado a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V? Resposta...
Exemplo A partir de um pentágono regular de lado a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V? Resposta... 10.arctg a 2h
Exemplo A partir de um hexágono regular de lado a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V?
Exemplo A partir de um hexágono regular de lado a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V? Resposta...
Exemplo A partir de um hexágono regular de lado a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V? Resposta... 12.arctg a 2h
Exemplo A partir de um poĺıgono regular de n lados, cada um deles medindo a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V?
Exemplo A partir de um poĺıgono regular de n lados, cada um deles medindo a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V? Resposta...
Exemplo A partir de um poĺıgono regular de n lados, cada um deles medindo a, erguem-se triângulos isósceles de altura h que se encontram em um ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dos ângulos de face no vértice V? Resposta... 2n.arctg a 2h
Exemplo Dispõe-se de 7 triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um heptágono regular de lado 4cm. É possível construir um poliedro com tais peças?
Exemplo Dispõe-se de 7 triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um heptágono regular de lado 4cm. É possível construir um poliedro com tais peças? Resposta...
Exemplo Dispõe-se de 7 triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um heptágono regular de lado 4cm. É possível construir um poliedro com tais peças? Resposta... Sim. O ângulo entre os lados iguais do triângulo isósceles é de 33, 2 0. Portanto, é possível colocá-los dentro de uma circunferência de raio 7cm de modolo que os lados de tamanho 7cm fiquem adjacentes. Ao colocarmos 7 triângulos, teremos ocupado uma área correspondente a um setor circular de 7 33, 2 0 = 232, 42 0 < 360 0, isto é, é possível formar um ângulo poliedral e, portanto, construir um poliedro.
Exemplo Dispõe-se de 15 triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um pentadecágono regular de lado 4cm. É possível construir um poliedro com tais peças?
Exemplo Dispõe-se de 15 triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um pentadecágono regular de lado 4cm. É possível construir um poliedro com tais peças? Resposta...
Exemplo Dispõe-se de 15 triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um pentadecágono regular de lado 4cm. É possível construir um poliedro com tais peças? Resposta... Não. Usando o raciocínio da questão anterior para dispor estes 15 triângulos, teríamos um ângulo poliedral de aproximadamente 498 0. Portanto, teríamos triângulos demais para formar o poliedro.
Exemplo Dispõe-se de n triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um poĺıgono regular de n lados, cada um deles medindo 4cm. Qual o máximo valor de n para que se possa construir um poliedro com tais peças?
Exemplo Dispõe-se de n triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um poĺıgono regular de n lados, cada um deles medindo 4cm. Qual o máximo valor de n para que se possa construir um poliedro com tais peças? Resposta...
Exemplo Dispõe-se de n triângulos isósceles de papelão cujos lados medem 4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposição um poĺıgono regular de n lados, cada um deles medindo 4cm. Qual o máximo valor de n para que se possa construir um poliedro com tais peças? Resposta... n deve ser no máximo igual a 10.