Equações Diferenciais

Apontamentos de Equações Diferenciais (Complementos de Análise Matemática EE) Jorge Figueiredo, Carolina Ribeiro Departamento de Matemática e Aplicações Universidade do Minho 3 Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

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Conteúdo I Equações Diferenciais Ordinárias Introdução às equações diferenciais 3. Equaçõesdiferenciais: Algumasdefiniçõeseclassificações.................. 3. Soluçõesdeequaçõesdiferenciais............................... 6.3 Problemasdevaloresiniciaiseproblemasdevaloresdefronteira............. 9.3. Problemasdevaloresiniciaiseproblemasdevaloresdefronteira......... 9.3. Eistênciaeunicidadedesolução........................... 3.4 SoluçõesdoseercíciosdoCapítulo............................. 8 Resolução analítica de equações diferenciais de primeira ordem 9. Algumasformasderepresentação............................... 9. Equaçõesdiferenciaiseatas.................................. 3.3 Equaçõesdiferenciaiseatasefatoresintegrantes...................... 44.4 Equaçõesdiferenciaisdevariáveisseparáveis......................... 49.5 Equaçõesdiferenciaishomogéneas............................... 64.6 Equaçõesdiferenciaislineares................................. 74.7 EquaçõesdiferenciaisdeBernoulli.............................. 87.8 Aplicaçãoàdeterminaçãodetrajetóriasortogonais..................... 9.9 EercíciosderevisãodoCapítulo.............................. 97. SoluçõesdoseercíciosdoCapítulo............................. 3 Resolução analítica de equações diferenciais lineares de ordem n 3 3. Introduçãoàsequaçõesdiferenciaislinearesdeordemn.................. 3 3. Propriedadesdasequaçõesdiferenciaislineareshomogéneas................ 4 3.3 Propriedadesdasequaçõesdiferenciaislinearesnãohomogéneas.............. 7 3.4 Aequaçãolinearhomogéneacomcoeficientesconstantes.................. 3.5 Ométododoscoeficientesindeterminados.......................... 33 3.6 Ométododevariaçãodasconstantes............................. 43 3.7 AequaçãodeCauchy-Euler.................................. 57 3.8 EercíciosderevisãodoCapítulo3.............................. 6 3.9 SoluçõesdoseercíciosdoCapítulo3............................. 65 4 A Transformada de Laplace 69 4. Definição,eistênciaepropriedades.............................. 69 4. AtransformadainversadeLaplace.............................. 95 4.. Aconvolução...................................... iii Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

4.3 AplicaçõesdatransformadadeLaplace............................ 4 4.3. Solução de problemas de valores iniciais envolvendo equações diferenciais lineares comcoeficientesconstantes.............................. 4 4.3. Solução de problemas de valores iniciais envolvendo sistemas de equações diferenciaislinearescomcoeficientesconstantes..................... 8 4.4 EercíciosderevisãodoCapítulo4.............................. 4 4.5 SoluçõesdoseercíciosdoCapítulo4............................. 6 II Equações Diferenciais Parciais 7 5 Introdução às equações diferenciais parciais 9 5. Problemascomcondiçõesdefronteira: valoresprópriosefunçõespróprias........ 9 5. Classificaçãodeequaçõesdiferenciaisparciaisdesegundaordem............. 43 5.3 Oprincípiodasobreposiçãoeoprincípiodasubtração................... 48 5.4 EercíciosderevisãodoCapítulo5.............................. 5 5.5 SoluçõesdoseercíciosdoCapítulo5............................. 5 6 Separação de variáveis, séries de Fourier e aplicações 53 6. Ométododeseparaçãodevariáveis: aplicaçãoaedpslinearesdeprimeiraordem... 53 6. Aequaçãodecalor;separaçãodevariáveis.......................... 6 6.3 SériesdeFourier: definiçãoeprincipaispropriedades.................... 69 6.3. SériesdeFourierdecossenosesériesdeFourierdesenos.............. 78 6.4 Aplicaçãoàequaçãodecalor,equaçãodeondaeequaçãodeLaplace........... 98 6.5 EercíciosderevisãodoCapítulo6.............................. 3 6.6 SoluçõesdoseercíciosdoCapítulo6............................. 3 Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

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Estes apontamentos são baseados nos livros: Braun M., Differential Equations and Their Applications Springer-Verlag, 99(4ł edição) Pinsky M.A., Partial Differential Equations and Boundary-Value Problems with Applications McGraw-Hill International Editions, 998(3ł edição) Ross S.L., Differential Equations John Wiley, 989(4ł edição) O presente teto reflete, em boa medida, a eperiência dos autores na lecionação da unidade curricular de Complementos de Análise Matemática(EE) quer a vários cursos da Escola de Engenharia da Universidade do Minho, quer ao curso de Licenciatura em Estatística Aplicada da Escola de Ciências da Universidade do Minho. Universidade do Minho, dezembro 3 Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

Parte I Equações Diferenciais Ordinárias Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

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Capítulo Introdução às equações diferenciais. Equações diferenciais: Algumas definições e classificações Definição. Uma equação envolvendo derivadas de uma ou mais variáveis dependentes(as incógnitas) em ordem a uma ou mais variáveis independentes designa-se equação diferencial. Eemplo. São equações diferenciais d y d y ( ) dy 4 =, (.) d d 3 v dt 3 +5vdv =cost, (.) dt u u u + y + =, (.3) z v s + w =w v. (.4) t Definição. Uma equação diferencial envolvendo derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em ordem a uma variável independente designa-se equação diferencial ordinária(edo). Eemplo. As equações(.) e(.) são eemplos de equações diferenciais ordinárias(edos). Definição.3 Uma equação diferencial envolvendo derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes em ordem a mais do que uma variável independente designa-se equação diferencial parcial(edp). Eemplo.3 As equações(.3) e(.4) são eemplos de equações diferenciais parciais(edps). As equações diferenciais, quer ordinárias, quer parciais, são ainda classificadas de acordo com a ordem da derivada de ordem mais elevada que nelas figura. Definição.4 A ordem de uma equação diferencial é a ordem máima da(s) derivada(s) que nela figura(m). 3 Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

4. Introdução às equações diferenciais Eemplo.4 Assim, a equação(.) é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem(e não de quarta ordem!). A equação(.) é uma equação diferencial ordinária de terceira ordem. As equações (.3) e(.4) são equações diferenciais parciais de segunda e primeira ordem, respetivamente. Pode-se, ainda, classificar as equações diferenciais ordinárias quanto à sua linearidade (o mesmo acontece, como veremos mais adiante, com as equações diferenciais parciais). Definição.5 Seja I um intervalo aberto da reta real. Uma equação diferencial ordinária linear deordemn,navariáveldependenteyenavariávelindependente,éumaequaçãoqueé(oupodeser) epressa da seguinte forma a () dn y d n+a () dn y d n + +a n () dy d +a n()y=b(), (.5) ondeasfunçõesa,a,...,a n sãofunções(conhecidas)contínuasnointervaloi eafunçãoa nãose anula nesse intervalo. Nocasodesetratardeumaequaçãodiferencialdeprimeiraordem(n=),então(.5)assumea forma a () dy d +a ()y=b(), (.6) resultando,paraocason=, a () d y d +a () dy d +a ()y=b(). Definição.6 Uma equação diferencial ordinária não linear é uma equação diferencial ordinária que não pode ser epressa na forma(.5). Eemplo.5 Constituem eemplos de equações diferencias ordinárias lineares, supondo y = y(), d y d 5dy d +3y=, dy +(cos)y=, (.7) d d3 y d 3+edy d +3 y=cos, d 3 y y d 3 5ed d =cosh. Eemplo.6 São equações diferenciais ordinárias não lineares, supondo y = y(), d y d dy d +y =, (.8) d y d +ydy =, (.9) d Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Equações diferenciais: Algumas definições e classificações 5 d 3 y d 3+ ( ) dy 3y=, (.) d dy +cosy=, (.) d dy d 3ey =. (.) Naequação(.8)anãolinearidadedeve-seaotermoy ;naequação(.9)édevidaaoprodutoydy/d; na equação (.) é causada pelo termo (dy/d) ; finalmente, nas equações (.) e (.) é devida às funções transcendentes cosseno e eponencial que têm como argumento y ou uma função de y. Repare-se, desde já, na semelhança entre as equações(.7) e(.) que, no entanto, têm caraterísticas diferentes no que se refere à linearidade. Note-se, portanto, que nas equações diferenciais lineares: (i) tantoycomoassuasderivadassãosempredeprimeirograu; (ii) nãosurgemprodutosdeyoudassuasderivadas; (iii) não figuram funções transcendentes de y (eponencial, seno, cosseno, logaritmo, potência, etc.) ou das suas derivadas. Nota No caso das equações diferenciais de primeira ordem, e conforme veremos de seguida, estas podem ser escritas essencialmente de três formas equivalentes: dy d =f(,y), d dy = f(,y), f(,y)d dy=. Esta caraterística faz com que em muitos casos se possa escolher a variável independente que seja mais vantajosa na ótica da análise e resolução da equação diferencial em causa. Em particular, pode acontecer que determinada equação diferencial de primeira ordem não seja linear para determinada escolha da variável independente, mas passe a ser linear se for reescrita considerando outra variável independente(na prática, trocando o papel das variáveis dependente/independente). Por eemplo, a equação diferencial não linear(.) também se pode escrever como dy d 3ey = dy d =3ey d dy = 3 e y, onde se assumiu que = (y). Esta equação diferencial já é linear (na variável dependente ). No entanto, já a aplicação deste procedimento à equação diferencial (.) não conduz a uma equação lineardadoqueseobtém dy dy +cosy= = cosy cosyd d d dy + =, aqualnãoélinear(navariáveldependente)devidoaotermo/. Voltaremosatratarestaquestão posteriormente quando este tipo de equação diferencial for abordado de forma mais pormenorizada. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

6. Introdução às equações diferenciais Nota Para tornar a escrita menos pesada, ao longo deste teto adotar-se-ão duas notações distintas para representar as derivadas de uma função f em ordem ao seu argumento. Assim, sempre que tal não gere ambiguidade, serão usadas para representar as sucessivas derivadas de uma função f em ordemaoseuargumentoasnotações ou(equivalentemente) df d, d f d 3 f d 4 f f d, d 3, d 4,...,dk d k f, f, f, f (iv),...,f (k). Eercícios sobre classificação de equações diferenciais Eercício. Classificar cada uma das seguintes equações diferenciais como ordinárias ou parciais; mencionar a ordem de cada equação; averiguar, no caso de se tratar de uma equação diferencial ordinária, se esta é linear. (a) (b) dy d +y = e +cos; d 4 y y d 4 3d d +6y= sen; (c) u u + u y =; (d) (e) du dt =t u ; d ( v dv d d (f) (g) dy d =ysen; ds dt =tcoss; (h) dy d +y =; ) 3 +v=3+; (j) dy d =tgy.. Soluções de equações diferenciais (i) 4 v 4 v 4+ 4 v y + 4 v y 4 =; Considere-se agora, e antes de abordar qualquer método relativo à determinação de soluções de equações diferenciais, o conceito de solução de uma equação diferencial ordinária de ordem n. Para poder abordar esta questão com alguma generalidade convém ter em mente que uma equação diferencial ordinária de ordem n(linear ou não) estabelece uma relação entre: (i) algumas derivadas da variável dependente em ordem à variável independente;(ii) a variável dependente; e(iii) a variável independente. Assimsendo,talcomoaeistênciadeumarelaçãoentreasvariáveis,yezsepode epressar genericamente na forma f(,y,z)=, comoéocasode +y +z = +y +z =, correspondendo-lhe f(,y,z) = +y +z, o mesmo pode ser feito para representar qualquer equaçãodiferencialordináriadeordemnqueenvolvaasvariáveisye,asaber, ( F,y, dy ) y d,...,dn d n =, Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Soluções de equações diferenciais 7 onde se assumiu como anteriormente que y = y(). A igualdade anterior epressa, de forma genérica, que eiste uma relação entre as variáveis que figuram como argumento da função real F, relação essa que constitui uma equação diferencial. Assim, a cada equação diferencial corresponde uma forma particular da função F, a qual tem n+ argumentos (porquê?). Por eemplo, à EDO de primeira ordem dy dy =y d d y= corresponde enquantoqueàedodeordem3 F (,y, dy ) = dy d d y, d3 y d 3 y=e d3 y d 3 y e = corresponde F (,y, dy ) y y d,d d,d3 d 3 = d3 y d 3 y e. Com este formalismo podemos abordar, de forma genérica, a noção de solução de uma equação diferencial ordinária independentemente da forma específica da EDO. Definição.7 Considere-se a equação diferencial ordinária de ordem n F (,y, dy ) y d,...,dn d n =, (.3) onde F é uma função real dos seus n+ argumentos. Diz-se que uma solução desta equação diferencial équalquerrelação(eplícitaouimplícita )entreasvariáveisey quenãocontenhaderivadaseque verifique a equação(.3). Eemplo.7 Arelação(curva)y()= éumasolução(eplícita)daequaçãodiferencial dy d +y=(+), umavezquesubstituindoypor naequaçãoprecedenteseobtémumaidentidade: dy d +y=(+) d ( ) d + =(+) + =(+). Vejamos agora o que distingue as soluções eplícitas das soluções implícitas. Arelaçãodiz-seeplícitaseédaformay=f(),poreemploy=+,dizendo-seimplícitaseédaformag(,y)=, poreemploy +4=. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

8. Introdução às equações diferenciais Definição.8 Seja f() uma função real, definida para todo pertencente a um intervalo real aberto I,quetenhaderivadadeordemn-econsequentementetambémderivadasdeordeminferioran-para todo I. A função f designa-se uma solução eplícita da equação diferencial(.3) no intervalo I se satisfaz as condições: (a) F [,y,y,...,y (n)] estádefinidaparatodo I; (b) F [,f,f,...,f (n)] =paratodo I. Ou seja, a função F, que está associada eclusivamente à forma da equação diferencial, deve, enquantofunçãoeplícitade,fazersentidoparatodo I.Poroutrolado,asubstituiçãodef() edassuasderivadasem(.3)deveconduziraumaidentidadenointervaloabertoi. Definição.9 Uma relação(implícita) g(, y) = diz-se uma solução implícita da equação(.3) sedefinepelomenosumafunçãorealf()numintervaloabertoi,talquef()éumasoluçãoeplícita de(.3)emi. Pode-se assim dizer que uma solução da equação diferencial (.3) é uma relação - eplícita ou implícita - entre as variáveis ey(ou seja, uma curva em R ) que satisfaz a referida equação num determinado intervalo aberto I, sempre que o domínio de y, y, y,..., y (n) contenha I, o mesmo acontecendo com o domínio de F (enquanto função eplícita de ). Para fiar ideias, comecemos por ver alguns eemplos relativos a soluções eplícitas de algumas EDOs. Eemplo.8 A função f() = sen+3cos é uma solução eplícita da equação diferencial de segunda ordem d y d+y= (.4) paratodo R. Solução. Tem-se f()=sen+3cos, f ()=cos 3sen, f ()= sen 3cos, pelo que f(), f () e f () estão definidas paratodo R. Substituindo y por f() e d y/d por f ()em(.4),obtém-seumaidentidade ( sen 3cos)+(sen+3cos)= = que é válida para todo real. Portanto, a função f() diz-se uma solução eplícita da equação diferencial (.4) para todo R. Note-se ainda que a forma da equação diferencial (.4) não impõe, porsisó,qualquerrestriçãoaosvaloresqueavariávelindependentepodetomar,peloqued F =R. Emsuma,acurvay=f()verifica,paratodo R,ascondiçõesimpostaspelaequação(.4). Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Soluções de equações diferenciais 9 y 4-6 -4-4 6 - -4 Representaçãográficadafunçãoy=sen+3cos,soluçãodaequaçãodiferencial(.4) Eemplo.9 A função g() = / é uma solução eplícita da equação diferencial de primeira ordem dy d = / apenasnointervaloabertoi=],+ [. Solução. Tem-sedg/d= / peloqueafunçãogverificaaequaçãodiferencialdada. Noentanto, D g ={ R: }=R + e D g ={ R:>}=R +, peloquei=d g D g =],+ [. Nestecasoaformadaequaçãodiferencialtambémimpõecondiçõesa,embora,comoseverádeseguida,talnãoaltereI. Defacto,aequaçãodiferencialemcausapode-se escrever na forma dy d / =, pelo que neste caso concreto ( ) dy F d,y, = dy d / eodomíniodef,enquantofunçãodavariávelindependente,é D F ={ R:>}. Assim, em bom rigor, tem-se I=D g D g D F =],+ [, peloqueoresultadoobtidoanteriormenteparaointervaloi nãosealtera. Denovo,podefazer-seuma interpretação geométrica deste resultado: o declive da reta tangente ao gráfico da curva y = /, ],+ [,éemcadapontodessacurvacomcoordenadas(,y)iguala /. Eemplo. Afunçãoh()= éumasoluçãoeplícitadaequaçãodiferencial dy d = Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Introdução às equações diferenciais nointervalor\{}. Solução. Por um lado, tem-se a identidade Alémdisso,D h =D h =R. Noentanto, F dh d =. ( ) dy d,y, = dy d, peloqued F ={ R: }econsequentementei=d g D g D F =R\{}. Eemplo. Considere-se a equação diferencial d y d y=. Pretende-se averiguar para que valores da constante real k é que a função u()= k é uma solução eplícita desta EDO e indicar o respetivo intervalo. Solução. Comecemos por averiguar se d u d u= se verifica para algum valor de k, uma vez que essa é uma condição necessária para a função u ser uma solução eplícita da EDO dada num intervalo aberto I. Tem-se, ( d u k ) d u= d d k = k(k ) k k =. Assim,aconstantekterádeverificaraidentidadek k =(porquê?),peloque k= 3 k=4. Temosentãoduaspotenciaissoluçõeseplícitasu ()= 3 eu ()= 4,sendoque F ( d ) u d,du d,u, = d u d u, resultandod F =R\{} (porquê?). DadoqueD u =D u =D u =R\{} ed u =D u =D u =R, então devido ao termo d u d presente na EDO, tem-se que u () = 3 e u () = 4 são soluções eplíticas da EDO dada no intervaloabertoi=r\{}. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Soluções de equações diferenciais ProblemaDeterminaremqueintervalodaretarealéqueafunçãoh()=lnéumasoluçãoeplícita da equação diferencial de primeira ordem Resp.: ],+ [. dy d =. Problema Determinar em que intervalo da reta real é que a função θ() = 3 +k +k, onde k,k R,éumasoluçãoeplícitadaequaçãodiferencialdesegundaordem Resp.: R\{}. d y d 6=. ProblemaDeterminaremqueintervalodaretarealI équeafunçãop()=c +c,ondec,c R, é uma solução eplícita da equação diferencial de segunda ordem d y d =. Resp.: I= (nãoésoluçãoemnenhumintervaloabertodaretarealumavezquearetavertical= nãoéumintervaloabertoder). Problema Considere-se a equação diferencial d y d +dy d 4y=. Averiguarparaquevaloresdaconstanterealnéqueafunçãov()= n éumasoluçãoeplícitadesta EDO e indicar o respetivo intervalo. Resp.: São soluçõeseplícitas as funçõesv ()= e v ()=, qualquer uma delasno intervalo R\{}. Vejamos agora alguns eemplos relativos a soluções implícitas. Eemplo. Arelaçãoy=éumasoluçãoimplícitadaequaçãodiferencialdeprimeiraordem nointervaloi=r\{}. dy d = (.5) Solução. De facto, y=define umafunçãoreal f()= paratodo R\{}. Facilmentese conclui que f() é uma solução eplícita da equação diferencial(.5) em I, como requerido. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Introdução às equações diferenciais Eemplo.3 Arelação +y 5=éumasoluçãoimplícitadaequaçãodiferencial nointervaloi definidopor 5<<5. +y dy = (.6) d y 6 4-6 -4-4 6 - -4-6 Representaçãográficadarelaçãoimplícita +y 5= Solução. Neste caso a relação (implícita) entre as variáveis e y, +y 5 =, define duas funções reais f ()=+ 5 e f ()= 5, correspondendo cada uma delas a uma semi-circunferência (ver gráfico anterior). Tanto f () como f ()sãosoluçõeseplícitasdaequaçãodiferencial(.6)emi. Vejamosqueassiméparaf (): f ()= 5 f ()= 5. Substituindof ()ef ()em(.6)obtém-seaidentidade + 5 5 = =, conformerequerido. Poroutrolado,tem-se(porquê?) D f =[ 5,5]eD f =] 5,5[,eainda F ( ) dy d,y, =+y dy d D F =R, peloquei=d f D f D F =] 5,5[. Ademonstraçãoparaf ()ésimilar. Portanto, a relação +y 5= define duas funções, f e f, que são soluções eplícitas de (.6)nointervaloI=] 5,5[. Comovimos,éapenasnecessárioqueumadelastenhaessapropriedade paraseconcluirquearelação +y 5=éumasoluçãoimplícitade(.6)emI. Note-se que se o intervalo proposto I contivesse pontos fora do intervalo ] 5, 5[, então a relação +y 5=nãoseriaumasoluçãoimplícitadaequaçãodiferencialdadanesseintervalo,poistanto f ()comof ()nãoestãodefinidasemnenhumpontode], 5] [5,+ [(vergráficoanterior). Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Soluções de equações diferenciais 3 Problema Determinar em que intervalo da reta real é que a relação y = é uma solução implícita da equação diferencial dy d = y. (Atenção: emgeral ). Resp.: R\{}. ProblemaDeterminaremqueintervalodaretarealéquearelaçãoy +y+4=éumasolução implícita da equação diferencial (y+) dy d +y=. (Requerousoda fórmularesolvente paradeterminarumarelaçãoeplícitaentreey apartirda relação implícita dada). Resp.: ], [ ],+ [. Vejamos agora como lidar com casos em que a relação implícita dada entre as variáveis e y é demasiado complea para se poder definir uma relação eplícita entre as duas variáveis(por eemplo, ycosy+sen=). Seráquenestescasosaindasepodeconcluiralgo(útil)relativamenteàsolução de determinada equação diferencial? Eemplo.4 Seja k uma constante real. Considere-se a relação +y +k=, (.7) a qual coincide com a relação dada no eemplo precedente quando se toma k = 5. Considere-se ainda a equação diferencial que também surgiu no eemplo precedente +y dy =. (.8) d Comecemospordeterminarqualéodeclivedaretatangenteaográficodestacurvaemcadaponto de coordenadas(, y). Pode obter-se uma epressão para dy/d usando duas abordagens equivalentes: (i) derivando os dois membros de (.7) em ordem a, tendo sempre em conta que y depende de (regra da derivação da função composta): d ( +y +k ) = + dy d d ou seja, = +dy dy dy d = y ; dy = +ydy d d =, (ii) tendoemcontaquearelação(.7)édotipog(,y)=comg(,y)= +y +kequenesse caso se tem(derivada total da função implícita) dy d = G G y. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

4. Introdução às equações diferenciais Neste caso concreto, resulta talcomoobtidoem(i). dy d = y = y, Substituindo a epressão obtida para dy/d na equação diferencial(.6), obtém-se +y ( y ) = =, independentemente do valor de k. Assim, pode-se afirmar que a relação +y +k = verifica formalmente a equação (.8) na medida em que nos pontos do plano onde a família de curvas +y +k = está definida, o declive da reta tangente ao gráfico da curva em cada ponto de coordenadas(, y) é igual ao imposto pela equação diferencial. Poder-se-áconcluirentãoque +y +k=éumasoluçãoimplícitadaequaçãodiferencialdada? A resposta é negativa. Na realidade, +y +k = parece ser uma solução implícita da equação diferencial pois verifica-a formalmente, mas é ainda necessário que defina pelo menos uma função real que seja solução eplícita da equação dada num determinado intervalo aberto I. Vejamos,arelação +y +k=permitedefinirduasfunçõesquesãopotenciaissoluçõeseplícitas da equação(.8), a saber, g ()=+ k dg d = k, g ()= k dg d = k. Ora, tem-se concluindo-se que D g D g =D g D g = { : < k }, I= { ] k, k [, k<, k. Conclusão: arelação +y +k=,queverificaformalmenteaequaçãodiferencial +y dy d =, sóéumasoluçãoimplícitadestaequaçãosek<. Assim,considerandoporeemplok=5,concluise que +y +5= não é uma solução implícita desta equação diferencial em nenhum intervalo abertodaretareal(pelasimplesrazãodequeestacurvanãoeisteemr ). Do eemplo precedente pode-se concluir que, ainda que determinada relação implícita entre as variáveis e y verifique formalmente uma equação diferencial, tal não quer dizer que seja uma solução dessa mesma equação. Qual é então a utilidade de averiguar se determinada relação verifica formalmente uma equação diferencial? Conforme veremos mais adiante, averiguar se determinada epressão verifica formalmente uma dada equação diferencial é útil, pois caso tal não suceda pode-se concluir imediatamente que a epressão em causa não é uma solução implícita da equação diferencial em causa. Ou seja, a verificação Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Soluções de equações diferenciais 5 formal pode ser vista como uma condição necessária, ainda que não suficiente, para que determinada relaçãoentreasvariáveiseysejaumasoluçãodaequaçãodiferencialemestudo. Do ponto de vista prático, este procedimento permitirá aferir se uma relação implícita obtida na sequência da resolução de uma equação diferencial de primeira ordem está ou não correta, pelo menos dopontodevistaformal(i.e. semteremcontaqualéointervaloi envolvido). Eemplo.5 Considere-se a equação diferencial dy +y d = y. Pode 3 +y =serumasoluçãodestaequaçãodiferencial? Solução. Da relação implícita proposta resulta(porquê?) dy +y d = 3. y Então,para 3 +y =serumasoluçãodaedodada,teriadeverificar-se +y y = 3 +y y paratodo(,y)pertencenteaalgumconjuntoaberto de R. Ora, aigualdadeacimasó é válidapara =, lugar geométrico dos pontos situados no eio dos yy (que não é um conjnto aberto de R ), concluindo-se assim que a resposta é negativa. Problema Mostrar que a relação y +y = verifica formalmente a seguinte equação diferencial recorrendo: (i) à derivada da função composta; e(ii) à derivada total da função implícita. dy y = d y+. Considere-se agora a equação diferencial de primeira ordem dy =. (.9) d Ésimplesverificarquefunçãof ()= éumasoluçãoeplícitadestaequaçãodiferencialparatodo real. São também soluções da equação diferencial(.9), por eemplo, as funções f ()= +, f ()= +, f 3 ()= +3, f 7 ()= + 7. Defacto,paracadanúmerorealc,afunçãof c definidaparatodorealpor f c ()= +c (.) é uma solução da equação diferencial(.9). Ou seja, a epressão(.) define uma família(infinita) defunções,umaparacadavalordaconstanterealc,etodaafunçãodestafamíliaéumasoluçãode (.9). A constante c designa-se constante arbitrária. A família de soluções assim definida escreve-se y= +c. (.) Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

6. Introdução às equações diferenciais y 6 4 - - - -4 Representaçãográficadafamíliadeparábolasy= +c;cadaparábolaéumacurvaintegralda equação diferencial(.9) Embora seja evidente que toda a função pertencente à família de soluções definida por(.) é uma solução de(.9), tal não permite concluir que a família de soluções(.) contém todas as soluções de (.9). Assim, podem, em princípio, eistir outras funções que também sejam solução de (.9), pelo que de momento não designaremos o conjunto(infinito) de soluções(.) como a solução geral da equação diferencial, mas apenas como uma família de soluções dessa equação. Voltaremos a este ponto mais adiante. Considere-se de novo a equação diferencial de primeira ordem(.9). Esta equação diferencial pode serinterpretadacomodefinindoodeclive,,daretatangenteaográficodacurvay=y()noponto decoordenadas(,y)paratodooreal. Estaequaçãodiferencialadmiteumafamíliadesoluçõesda forma y= +c, (.) onde c é uma constante real arbitrária. A família de funções (.) corresponde geometricamente a uma família de parábolas. Para cada uma delas, o declive da reta tangente ao gráfico da parábola no ponto de coordenadas(, y) obedece a(.9). Estas parábolas designam-se curvas integrais da equação diferencial(.9). Problema Determinar curvas integrais da equação diferencial dy/d = cos. Resp.: y=sen+k,k R. Problema Determinar curvas integrais da equação diferencial dy/d = senh. Resp.: y= cosh+k,k R. Eercícios sobre soluções de equações diferenciais Eercício. Mostrar que a função é uma solução da equação diferencial f()=+e dy d +y=+. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Soluções de equações diferenciais 7 Eercício.3 Mostrar que toda a função f pertencente à família de funções f c ()=+ce, onde c é uma constante arbitrária, é uma solução da equação diferencial de primeira ordem dy d +4y=8. Eercício.4 Mostrarquetodaafunçãog definidapor g()=c e 4 +c e, ondec ec sãoconstantesarbitrárias,éumasoluçãodaequaçãodiferencialdesegundaordem d y d dy d 8y=. Eercício.5 Determinartodososvaloresdaconstanterealmparaosquaisafunçãof()=e m é solução da equação diferencial d 3 y y d 3 3d d 4dy d +y=. Nota: e éumasoluçãodaedo(verificar),oquepermiteusararegraderuffini. Eercício.6 Mostrarque 3 +3y =éumasoluçãoimplícitadaequaçãodiferencial nointervaloi=],[. y dy d + +y = y 5.5.5 -.5-5 Representaçãográficadarelação 3 +3y =(vereercício.6) Eercício.7 Mostrarque5 y 3 y =éumasoluçãoimplícitadaequaçãodiferencial dy d +y=3 y 3 Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

8. Introdução às equações diferenciais nosintervalos],[e ], 5 [. y 4 - - - -4 Representaçãográficadarelação5 y 3 y =(vereercício.7) Eercício.8 Mostrarquey=lnverificaformalmenteaequaçãodiferencial dy d =+y, masnãoéumasoluçãoeplícitadestaequaçãonointervaloi=],[. y 5 4 3 3 4 - - Representaçãográficadafunçãoy=ln(acheio)edarespetivaderivada(verEercício.8) Eercício.9 Mostrarquey +=nãoéumasoluçãoimplícitadaequaçãodiferencial y dy d = nointervaloi=],[,apesardeaverificarformalmente. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

.3 Problemas de valores iniciais e problemas de valores de fronteira 9.3 Problemas de valores iniciais e problemas de valores de fronteira.3. Problemas de valores iniciais e problemas de valores de fronteira Considere-se o problema que consiste em determinar a solução f da equação diferencial dy =, (.3) d tal que em = a solução f assume o valor 4 (note-se que se assume que a solução eiste e é única). Este problema, que corresponde a determinar a curva que passa pelo ponto de coordenadas (,y) = (,4) e cuja reta tangente ao seu gráfico tem declive em cada ponto pode ser escrito, na forma abreviada, dy =, y()=4. (.4) d Verifica-se facilmente que a equação(.3) admite uma família de soluções que é y= +c, (.5) ondecéumaconstantearbitrária,peloqueapenassenecessitadedeterminarovalordecdeformaa ter-sey=4quando=. Substituindo=ey=4em(.5)resulta Obtém-se, portanto, a solução(parábola) y()=4 4= +c c=7. y= +7, a qual verifica as duas condições epressas por(.4): dy d = d ( )=, d +7 y()= +7 =4. = Em aplicações envolvendo equações diferenciais de primeira ordem, ou de ordem mais elevada, os problemas mais frequentes são similares ao do eemplo precedente, já que envolvem uma equação diferencial e uma ou mais condições suplementares(tantas quantas a ordem da equação diferencial). Se todas as condições suplementares disserem respeito a um determinado valor da variável independente, diz-sequeseestánapresençadeumproblemadevaloresiniciais(pvi).seascondiçõessereferirem a dois valores distintos da variável independente, diz-se que se trata de um problema de valores de fronteira (PVF). Destas definições decorre que no caso de equações diferenciais de primeira ordem, estassópodemestarassociadasapvis(porquê?),comoéocasodopvi(.4). Eemplo.6 Considere-se o problema que consiste em determinar a solução do problema y y=, y()=, y ()=. (.6) Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Introdução às equações diferenciais Trata-se de um PVI que consiste em determinar a solução da equação diferencial y y = que assumeovalorem=ecujaprimeiraderivadatemvalorem=. Conformeveremos,todas as soluções da equação diferencial dada podem-se escrever como y()=c e +c e, ondec ec sãoconstantesarbitrárias,peloquey ()=c e c e. Ora, { y()= y ()= { c +c = c c = { c =3/ c = /, peloqueasoluçãodestepvié cuja representação é feita no gráfico seguinte. y()= 3 e e, y 4 3 - -.5.5 - RepresentaçãográficadasoluçãodoPVI(.6)edaretatangenteaoseugráficonopontodeabcissa =(cujodecliveéiguala) Eemplo.7 Considere-se o problema que consiste em determinar a solução de d y d+y=, y()=, y(π/)=5. (.7) Trata-se, neste caso, de um PVF. Conforme veremos, todas as soluções da equação diferencial dada sãodaformay()=c cos+c sen,ondec ec sãoconstantesarbitrárias. Assim, { y()= y(π/)=5 { c = c =5. Portanto,asoluçãodestePVFéy()=cos+5sen. Noentanto,oPVF d y d+y=, y()=, y(π)=5, (.8) Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

.3 Problemas de valores iniciais e problemas de valores de fronteira nãotemsoluçãopoisascondiçõesy()=ey(π)=5nãosãocompatíveiscomumasoluçãodotipo y()=c cos+c sen: { y()= y(π)=5 { c = c =5 { c = c = 5. y 5.5-5 -.5.5 5 -.5-5 Representaçãográficadafunçãoy=5sen+cos,soluçãodoPVF(.7) Poroutrolado,oPVF d y d+y=, y()=, y(π)= temumainfinidadedesoluçõesumavezque { y()= y(π)= { c = c =, e portanto c pode ser qualquer, resultando y() = cos+ksen, onde k é uma constante real arbitrária. OeemploprecedentemostraqueosPVFspodemtersoluçãoúnica,maisdoqueumasolução,ou não ter solução. Convém, desde já, notar que os PVIs têm uma estrutura bastante rígida no que diz respeito às condições impostas, já que para uma equação diferencial de ordem n têm de ser impostas eatamente ncondiçõesparaomesmovalordavariávelindependente=,peloqueopvitemdeserobrigatoriamente da forma: y( )=y, dy d ( )=y, d y d ( )=y,..., d n y d n ( )=y n, ondey,y,...,y n sãoconstantesreais. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Introdução às equações diferenciais Tal não acontece nos PVFs. Por eemplo, pode ter-se d y =, y()=, y()=, d d y d =, dy ()=, y()=, d d y d =, y()=, dy d ()=, d y d =, dy d ()=, dy d ()=. ÉimportantereferirquequersetratedeumPVIquerdeumPVF,ascondiçõesimpostasnunca podem envolver derivadas de ordem igual ou superior à ordem da equação diferencial presente no problema em causa. Problema Determinar uma solução do PVI Resp.: y=. dy =, y()=. d Problema Determinar uma solução do PVF Resp.: y=. d y d =, y()=, dy d ()=. Vejamos agora algumas considerações sobre problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais de primeira ordem. Definição. Considere-se a equação diferencial de primeira ordem dy =f(,y), (.9) d onde f é uma função contínua de e y nalgum domínio Ddo plano y. Seja ainda (,y ) um pontododomíniod. OPVIassociadoa(.9)consisteemdeterminarumasoluçãoh()daequação diferencial (.9), definida nalgum intervalo real contendo, que satisfaça a condição inicial do problemah( )=y. EstePVIescreve-se,habitualmente,naforma dy d =f(,y). (.3) y( )=y Um domínio é um conjunto aberto e coneo. Em termos simplistas, um domínio pode ser visto como o interior de uma curva fechada simples no plano. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

.3 Problemas de valores iniciais e problemas de valores de fronteira 3 Para resolver o problema(.3) deve-se determinar uma função h que satisfaça não só a equação diferencial(.9),mastambémacondiçãoinicial: talfunçãodevetervalory quandotomaovalor. Ométodoausarparadeterminarhdependedotipodeequaçãodiferencialpresentenoproblema, ouseja,daformadafunçãof(,y). Eemplo.8 Determinar uma solução do PVI dy d = y, y(3)=4, sabendo que a equação diferencial admite uma família de soluções que pode ser escrita na forma +y =c. (.3) Solução. A condição y(3) = 4 significa que se pretende determinar uma solução da equação diferencial dada,talquey=4quando=3. Assimsendo,opardevalores(,y)=(3,4)deveverificararelação (.3).Substituindo=3ey=4em(.3),obtém-se 9+6=c c =5. Substituindoestevalordec em(.3),tem-se +y =5. Resolvendoemordemay,resulta y=± 5. Deve-seescolherosinalpositivoparaquey=4quando=3. Assim,afunçãof definidapor f()= 5, 5<<5, éumasoluçãodoproblemapropostoearespetivasoluçãoescreve-sey= 5..3. Eistência e unicidade de solução NoEemplo.8foipossível determinarumasoluçãodopviemcausa. MasterãotodososPVIse PVFs solução? Viu-se anteriormente que a resposta é negativa, uma vez que, por eemplo, o PVF d y d+y=, y()=, y(π)=5, não tem solução. Surge,portanto,aquestãodaeistênciadesoluções: dadoumpviouumpvf,eletemsolução? Considere-se esta questão relativamente ao PVI genérico presente na Definição.. Neste caso pode-se dar uma resposta inequívoca: todo PVI que satisfaça a Definição. tem pelo menos uma solução. Coloca-se agora a questão da unicidade. Pode o referido problema ter mais do que uma solução? Considere-se o PVI dy d =y/3, y()=. Éfácilverificarqueasfunçõesf ef definidas,respetivamente,por f ()=, R, Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

4. Introdução às equações diferenciais e f ()= {, < ( 3 ) 3/,, são ambas soluções do PVI. De facto, este problema tem uma infinidade de soluções. A resposta relativa à unicidade é clara: o PVI, conforme atrás definido, não tem necessariamente solução única. Para garantir unicidade torna-se necessário impor algumas condições adicionais. Estas condições são dadas pelo seguinte teorema(de Picard). Teorema. ( Teorema de Eistência e Unicidade). Considere-se a equação diferencial onde dy =f(,y), (.3) d. Afunçãof écontínuanumdomínioddoplanoy;. Aderivadaparcial f/ y tambémécontínuaemd. Seja(,y )umpontoded. Entãoaequaçãodiferencial(.3)admiteumaeumasósoluçãoφnum intervalo <h,parahsuficientementepequeno,queverificaacondição φ( )=y. Este teorema estabelece que em determinadas condições o PVI dy d =f(,y), y( )=y, (.33) temumasoluçãoúnicaqueéválidanumdeterminadointervaloemtornode (istoé,numavizinhança de suficientementepequena). Noentanto,oteoremanãoindicaqualquermétodoparadeterminar a solução do problema, apenas garante a eistência de solução única se forem verificadas determinadas condições. No caso de alguma dessas condições não se cumprir, então nada se pode concluir. Eemplo.9 Considere-se o PVI dy d = +y, y()=3. O objetivo é tentar aplicar o Teorema., começando por verificar as suas hipóteses. Neste caso f(,y)= +y f(,y) y =y. As duas funções f e f/ y são contínuas em qualquer domínio D do plano y. A condição inicial y()=3implicaque =ey =3. Ora,opontodecoordenadas(,y )=(,3)pertenceaalgum destes domínios D. Portanto, verificam-se as hipóteses do teorema, pelo que a conclusão é válida. Ou seja, eiste uma eumasó soluçãoφdaequaçãodiferencial dy/d= +y, definida numintervalo <hemtornode =,quesatisfazacondiçãoinicialφ()=3. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

.3 Problemas de valores iniciais e problemas de valores de fronteira 5 Eemplo. Considere-se os PVIs.. 3. dy d = y /3, y()=; dy d = y /3, y()=; dy d =y/3, y()=. Que se pode concluir relativamente à eistência e unicidade de solução destes PVIs? Solução. Nocasodosproblemasetem-se f(,y)= y /3 f(,y) = y /3. Tantof como f/ y sãofunçõescontínuasemr, ecetonospontoscomabcissanula(isto é, ao longodoeiodosyy). Noproblema, =ey =. Ora,oquadradodeladounitáriocentradoem (,)nãointersetaoeiodosyyeassimtantof como f/ yverificam,nestequadrado,ashipóteses do Teorema.. O seu interior pode por isso ser considerado como o domínio D mencionado no Teorema. e o ponto de coordenadas (,) D. Portanto, o Teorema. permite concluir que o problematemumaeumasósoluçãodefinidanumavizinhançade =suficientementepequena. Vejamosoquesepassanoproblema. Nestecaso =ey =. Nestepontonemf nem f/ ysão contínuas. Poroutraspalavras,opontodecoordenadas(,y)=(,)nãopertenceanenhumdomínio D onde as condições do Teorema. sejam verificadas. Consequentemente, o Teorema. não permite concluir que o problema tem uma e uma só solução na vizinhança do ponto de coordenadas (,). Note-se que este teorema também não permite concluir que a solução não é única. Em suma, o Teorema. não permite obter qualquer conclusão. Saliente-se ainda que uma vez que a função f não é contínua no ponto de coordenadas (,), então o problema não está de acordo com a Definição.apresentadanapágina,peloquenãosepodesequerconcluirqueoproblematenhasolução. Nocasodoproblema3tem-se f(,y)=y /3 f(,y) y = 3 y /3. Portanto, f é contínuaemr, peloqueoproblema3obedeceàdefinição.eporissotemgarantidamentesoluçãonumavizinhançadopontodecoordenadas(,y)=(,). Noentanto,nãosepode garantirqueasoluçãosejaúnicaumavezque f/ ynãoécontínuaemnenhumdomínioquecontenha o ponto de coordenadas(, )(porquê?). Problema Relativamente aos PVIs, dy d = y, y()=3, dy d = y, y(3)=, Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

6. Introdução às equações diferenciais averiguar se é possível concluir que têm solução única. Resp.: Apenas para o primeiro PVI podemos concluir que tem solução única. Nota Atendendo ao resultado epresso no Teorema., quando noutros capítulos deste documento lidarmos com a solução de PVIs do tipo (.33), qualquer referência à eistência de solução única deverá ser entendida, à falta de um resultado mais forte, como algo que está garantido apenas numa vizinhança suficientemente pequena do ponto de coordenadas (,y ). Conforme veremos, caso a equaçãodiferencialenvolvidanopvisejalinear,entãoasoluçãoúnicaéglobal,masemgeraltalnão está garantido. Eercícios sobre problemas de valores iniciais, problemas de valores de fronteira, e eistência e unicidade de solução Eercício. Mostrar que a função f() = 4e +e 3 é uma solução do problema de valores iniciais d y d +dy d 6y=, y()=6, dy d ()=. Averiguarseh()=e +4e 3 tambéméumasoluçãodestepvi. Eercício. Sabendo que toda a solução da equação diferencial de segunda ordem d y d dy d y= podeserescritanaformaf()=c e 4 +c e 3,escolhendoadequadamenteovalordasconstantesc ec,determinarasoluçãodosseguintespvis: (a) (b) d y d dy d y=, y()=5, dy d ()=6; d y d dy d y= y()=, dy d ()=6. Eercício. Sabendo que toda a solução da equação diferencial d y d dy d +y= podeserescritanaformay=c +c escolhendoc ec adequadamente,determinarasoluçãodo PVF d y d dy +y=, y()=, y(3)=4. d Eercício.3 Sabendo que toda a solução da equação diferencial d y d dy d = Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

.3 Problemas de valores iniciais e problemas de valores de fronteira 7 podeserescritanaformay=c +c,mostrarqueopvf não tem solução única. d y d dy =, y()=, y( )= d Eercício.4 Sabendo que toda a solução da equação diferencial d y d +y= podeserescritanaformay=c cos+c sen,mostrarqueoproblemadevaloresiniciais d y d +y=, y()=, dy d ()=5 temsoluçãof()=5sen+cos,masqueopvf não tem solução. d y d+y=, y()=, y(π)=5 Eercício.5 AplicaroTeorema. (verpágina4)paramostrarquecadaumdosseguintespvis temumaeumasósoluçãodefinidanumintervalosuficientementepequeno, <h,emtornode =: dy (a) d = seny, y()= ; (b) Eercício.6 Considere-se o PVI dy d = y, y()=. dy d =P()y +Q()y, y()=5, ondep()eq()sãopolinómiosdeterceirograuem. Esteproblematemsoluçãoúnicanumintervalo suficientementepequeno, <h,emtornode =? Porquê? Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

8. Introdução às equações diferenciais.4 Soluções dos eercícios do Capítulo.. (a)edo, a ordem,nãolinearsey=y()ou=(y); (b)edo,4 a ordem,linear; (c)edp, a ordem; (d)edo, a ordem,nãolinearseu=u(t)out=t(u); (e)edo, a ordem,nãolinear; (f)edo, a ordem,linearsey=y(),masnãolinearse=(y).; (g)edo, a ordem,nãolinearses=s(t)out=t(s); (h)edo, a ordem,nãolinearsey=y()ou=(y); (i)edp,4 a ordem; (j)edo, a ordem,nãolinearsey=y(),maslinearse=(y)..5. m =,m =,m 3 =3(sãosoluçõesdaEDO:e,e ee 3 )... Nãoverifica,poish ()= 8... (a)y=3e 4 +e 3 ; (b)y= e 3... y= 8 3 +4 3..3. Asoluçãoéy=+c ( ),ondecéumaconstantearbitrária..6. Sim. O Teorema de Eistência e Unicidade é aplicável. Afunção f(,y)=p()y +Q()y é contínuaemd=r,omesmosucedendocom f/ y=p()y+q(). Finalmente,opontode coordenadas(,y )=(,5)pertenceaodomínioD. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

Capítulo Resolução analítica de equações diferenciais de primeira ordem. Algumas formas de representação As equações diferenciais(ordinárias) de primeira ordem que estudaremos são muitas vezes representadas na forma normal dy =f(,y), d (.) ou ainda M(,y)d+N(,y)dy=, (.) a qual podemos designar como forma diferencial. Conforme veremos, há outras formas de representaçãodestetipodeequações,masofactoéqueestasservemmuitasvezesdepontodepartidapara o estudo das mesmas. Eemplo. A equação diferencial está escrita na forma(.), onde dy d = +y +y f(,y)= +y +y. Pode-se também representá-la na forma(.), ou seja, ( +y ) d+ ( y + ) dy=, correspondendo M(,y)= +y, N(,y)=y. É também possível escrever a mesma equação diferencial, por eemplo, como ( +y ) d ( y + ) dy=, d+ y + +y dy=, +y y + d+dy=, pelo que se torna evidente que não eiste uma forma única de escrever uma equação diferencial na forma diferencial. 9 Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

3. Resolução analítica de equações diferenciais de primeira ordem Por outro lado, a equação diferencial (cos+y)d+(+y)dy=, queseencontraescritanaforma(.),podeserescritanaforma(.) dy d = cos+y +y. Nestecaso,estaéaúnicaformadeescreveraequaçãodiferencialdadanaformanormal. Note-se que quando uma equação diferencial de primeira ordem se encontra escrita na forma normal,apresençadotermody/dtornaclaroqueéavariávelindependenteeyavariáveldependente, istoé,afunçãoy()éaincógnitadoproblema. Omesmonãosepassaquandoaequaçãodiferencial éepressanaformadiferencial. Emtodocaso,assumiremosquesenadaforditoemcontrárioéa variável independente e y a variável dependente. Problema Escrever a equação diferencial dy d = y naforma: i)d/dy=g(,y);ii)m(,y)d+n(,y)dy=. Problema Escrever a equação diferencial naforma: i)dy/d=f(,y);ii)d/dy=h(,y). d+ydy=. Equações diferenciais eatas Começamos por introduzir o conceito de diferencial total de uma função de R em R, o qual será essencial na definição do primeiro tipo de equações diferenciais de primeira ordem que abordaremos: as equações diferenciais eatas. Definição. Seja F uma função real de duas variáveis reais que possui derivadas parciais contínuas (função de classe C ) num domínio D de R. O diferencial total df da função F é definido pela relação df(,y)= F(,y) d+ F(,y) dy (.3) y paratodo(,y) D R. Eemplo. SejaF(,y)afunçãodeduasvariáveisdefinidapor F(,y)=y, (,y) R. Então, F(,y) =y, F(,y) y =y, Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Equações diferenciais eatas 3 tendo-separaodiferencialtotaldef,poraplicaçãode(.3), paratodo(,y) R. df(,y)=y d+ydy Eemplo.3 SejaG(,y)afunçãodeduasvariáveisdefinidapor G(,y)=y + 3 y, (,y) R. Então, G(, y) =y +6 y, G(, y) y =y+ 3, tendo-se, por aplicação de(.3), dg(,y)= ( y +6 y ) d+ ( y+ 3) dy paratodo(,y) R. Problema Determinar o diferencial total da função H(, y) = cos y. Resp.: dh= ysenyd senydy. Definição. A epressão M(,y)d+N(,y)dy (.4) designa-se uma diferencial eata num domínio D R se eiste uma função F : D R, de classe C, tal que a epressão (.4) é igual ao diferencial total de F para todo (,y) D. Ou seja, atendendo às definições precedentes, conclui-se que a epressão(.4) é uma diferencial eata em D se eistirumafunçãof talque df(,y) F(,y) d+ F(,y) y paratodo(,y) D. Denotarquenestascondiçõestem-se dy=m(,y)d+n(,y)dy F(,y) =M(,y) e F(,y) y =N(,y), paratodo(,y) D,designando-seF umaprimitivadaformadiferencialdf. Eemplo.4 Aepressãoy d+ydyéumadiferencialeatapoiscorrespondeaodiferencialtotal dafunçãoy,conformeseviunoeemplo.. Eemplo.5 Aepressão(y +6 y)d+(y+ 3 )dy é umadiferencial eatapoiscorresponde aodiferencialtotaldafunçãoy + 3 y (vereemplo.3). Estamos agora em condições de definir o conceito de equação diferencial eata. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

3. Resolução analítica de equações diferenciais de primeira ordem Definição.3 Se M(,y)d+N(,y)dy é uma diferencial eata em D R, então a equação diferencial M(,y)d+N(,y)dy= (.5) designa-se uma equação diferencial eata. Note-se desde já que nestas condições eiste, por definição de diferencial eata, uma função F(, y) tal que df(,y)=m(,y)d+n(,y)dy e, portanto, pode-se escrever M(,y)d+N(,y)dy= df(,y)=. Este resultado será, conforme veremos em seguida, o ponto de partida para a determinação de famílias de soluções de equações diferenciais eatas. Eemplo.6 A equação diferencial y d+ydy= (.6) éumaequaçãodiferencialeataemr. Solução. Talresultadofactodey d+ydy serumadiferencialeataemr conformeseviuno Eemplo.4. Eemplo.7 A equação diferencial ( y +6 y ) d+ ( y+ 3) dy= éumaequaçãodiferencialeataemr. Solução. Novamente,talresultadofactode(y +6 y)d+(y+ 3 )dyserumadiferencialeata emr (vereemplo.5). Eemplo.8 Considere-se agora a equação diferencial que se obtém dividindo ambos os membros da equação diferencial eata(.6) por y, isto é, Será que esta equação diferencial é eata? yd+dy=. Solução. Neste caso a resposta é negativa. O objetivo é averiguar se eiste uma função F(, y), definidanalgumdomínioder,talquedf(,y)=yd+dy,ouseja e F(,y) F(,y) y =y (.7) =. (.8) Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

. Equações diferenciais eatas 33 Se tal função eistir, então de(.7) resulta F(,y)= y =y+φ(y), ondeφsódependedavariávely. SubstituindoaepressãoagoraobtidaparaF(,y)em(.8)resulta [y+φ(y)] y = dφ dy =. Ora, φ não pode depender de, pelo que dφ/dy também não pode depender de, contradizendo o resultadoobtido: dφ/dy=. Chegamosassimaumabsurdoque resultoudofactode termossuposto que eiste uma função F(,y) tal que df(,y)=yd+dy. Conclui-se portanto, por redução ao absurdo, que tal função não eiste e que consequentemente a equação diferencial dada não é eata. Problema Mostrar que a equação diferencial que se obtém multiplicando ambos os membros da equação diferencial eata(.6) por y, isto é, nãoéeata. Eemplo.9 A equação diferencial éumaequaçãodiferencialeataemr. y 3 d+y dy= (cosy+)d+ ( seny ) dy= (.9) Solução. Defacto,eistepelomenosfunçãoF(,y),definidaemR,talque df(,y)=(cosy+)d+ ( seny ) dy. (.) Tal função obedece necessariamente ao sistema de equações F(,y) ou, de forma equivalente, F(,y)= cosy++g(y) F(,y) y = seny =cosy+, F(,y) y = seny, F(,y)= cosy++g(y) [ cosy++g(y) ] = seny, y ouseja, istoé, F(,y)= cosy++g(y) seny+ dg dy = seny { F(,y)= cosy++g(y) g(y)=y+c F(,y)= cosy++g(y) dg dy =, F(,y)= cosy++y+c, Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3

34. Resolução analítica de equações diferenciais de primeira ordem onde c é uma constante arbitrária. De notar que se diferenciarmos a epressão agora obtida para F(, y) obtemos imediatamente a epressão(.), confirmando que o resultado obtido está correto. Conclui-se que eiste uma infinidade de funções definidas em R cujo diferencial total é igual a (cosy+)d+( seny)dy,peloqueaequaçãodiferencial(.9)éeata. DecorredoeemploprecedentequeaveriguarseumaepressãodotipoM(,y)d+N(,y)dy é umadiferencialeatapodeserumprocessoalgomoroso,dadoqueobrigaaindagarseeistef(,y)tal quedf(,y)=m(,y)d+n(,y)dy. Seriadesejáveldispordeumcritério,envolvendounicamenteas funções M(, y) e N(, y), que permitisse averiguar de forma direta e simples se uma equação diferencial de primeira ordem é(ou não) eata. Tal critério é dado pelo seguinte teorema que estabelece condições necessárias e suficientes para que determinada equação diferencial de primeira ordem seja eata. Teorema. Considere-se a equação diferencial M(,y)d+N(,y)dy=, (.) onde M(,y) e N(,y) têm primeiras derivadas parciais contínuas em todos os pontos (,y) de um domínioretangulard R. Nestascondições:. Seaequaçãodiferencial(.)éeataemD,então. Reciprocamente, se M(, y) y M(, y) y entãoaequaçãodiferencial(.)éeataemd. Em resumo, = N(,y), (,y) D; (.) = N(,y), (,y) D, M(,y)d+N(,y)dy= éeataemd M(,y) y = N(,y), (,y) D. DemonstraçãoPonto. Seaequaçãodiferencial(.)éeataemD,entãoM(,y)d+N(,y)dy éumadiferencialeataemd. EisteporissoumafunçãoF(,y)talque paratodo(,y) D. Então, F(,y) F(,y) y =M(,y) e = M(,y) y e F(,y) y F(,y) y =N(,y) = N(,y) paratodo(,y) D. Atendendoaofactode,porhipótese,asprimeirasderivadasparciaisdeMeN seremcontínuas,podemosaplicaroteoremadeschwarz, F(,y) y = F(,y), (,y) D, y O Teorema de Schwarz diz que se uma função de duas variáveis g(,y)étal que g, g,g y,g y e g y são contínuas numdomíniod,entãog y=g y emd. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro 3