Integral Impróprio de 1ª Espécie

Parte IV I. Impróprios [ELL] O cálculo de integrais definidos anteriormente realizado assenta na aplicação do 1º Teorema Fundamental do Cálculo. Se é uma função contínua em, então é um integral definido. No entanto quando não é contínua em, isso nem sempre acontece. Falaremos em seguida de integrais impróprios. Existem três tipos de integrais impróprios. Integral Impróprio de 1ª Espécie Os integrais impróprios de 1ª espécie são da forma: sendo uma função contínua em, sendo uma função contínua em, No 1º caso dizemos desde que o limite exista. Nota: pelo 1º Teorema Fundamental do Cálculo. Página 1 de 11

No 2º caso dizemos desde que o limite exista. Para analisar a convergência do integral, utilizamos os seguintes critérios:. 1. Se o limite existir e for finito, diz se que o integral impróprio é convergente. 2. Se o limite não existir ou for infinito, diz se que o integral impróprio é divergente. Exemplos: 1. Calcule. Sendo \1, em todo o seu domínio. é uma função contínua em 0,, dado que é contínua 2 1 1 1 1 1 Cálculo Auxiliar: 2 1 2 1 2 1 2 O integral impróprio é convergente com valor 1. Página 2 de 11

Uma vez que 0, para todo 0,, este integral corresponde à área da região ilimitada assinalada a sombreado na figura ao lado. Esta região não é limitada mas tem área finita 1. 2. Calcule. \0, é u ma função contínua em 3,. 3 Cálculo Auxiliar: 1 ln O integral impróprio é divergente. Sendo 0, para todo 3,, como no exemplo anterior este integral corresponde à área da região ilimitada assinaladaa a sombreado na figura ao lado. No entanto, difere do exemplo precedente por não ter valor finito, pelo que não podemos quantificar a área desta região. Página 3 de 11

Integral Impróprio de 2ª Espécie Os integrais impróprios de 2ª espécie são aqueles em que a função integranda é ilimitada num único extremo do intervalo de integração,,,, ou seja, f é contínua em, e, é contínua em, e. No 1º caso dizemos desde que o limite exista. No 2º caso dizemos desde que o limite exista. Se os limites anteriores existirem e forem finitos, diz se que o integral impróprio de 2ª espécie é convergente, caso contrário diz se que o integral é divergente. Página 4 de 11

Exemplo: Calcule. : 0 \0,1 Calculo auxiliar: 000 0 01 A função integranda não está definida em 0 1. Assim, só podemos afirmar que é contínua em 1,, notandoo ainda que lim. 1 1 lim ln ln ln ln lim 1 ln 1 lim ln lim ln ln ln1 O integral impróprio é divergente pelo que não podemos atribuir nenhum valor real à área. (Note que é positiva em 1, ). Integral Impróprio Misto (3ª Espécie) Ao integral impróprio que se decompõee numa soma finita de integrais impróprios de 1ª espécie, de 2ª espécie ou de 1ª e 2ª espécie, chamamos integral impróprio misto ou integral de 3ª espécie. O integral misto é convergente se e só se, todos os integrais de 1ª e/ou 2ª espécie que o compõemm são convergentes e será divergente se pelo menos um destes é divergente. Página 5 de 11

São várias as situações em que temos um integral impróprio misto. Se é uma função contínua em, então com. Exemplo: Calcule. A função é contínua em. Seja por exemplo 1. A função é contínua no intervalo, 1. Estamos perante um integral impróprio de 1ª espécie. A função é contínua no intervalo 1,. Estamos perante um integral impróprio de 1ª espécie. O integral dado mais não é do que a soma de 2 integrais impróprios de 1ª espécie, logo um integral impróprio misto. Comecemos por tratar a primeira parcela: é 1 3 3 Cálculo Auxiliar: 2 3 3 1 3 3 Página 6 de 11

Sendo a 1ª parcela um integral impróprio divergente podemos imediatamente concluir que o integral misto inicial também é divergente. Se é continua no intervalo, e tal que lim e lim, escolhemos,, definimos. Exemplo: Calcule. A função é contínua em \1,1. Ou seja, este integral impróprio pode ser escrito como soma de 2 integrais impróprios de 2ª espécie. Portanto o integral impróprio misto. 1 1 1 é um integral A função é contínua no intervalo 1,0. Estamos perante um integral impróprio de 2ª espécie. A função é contínua no intervalo 0,1. Estamos perante um integral impróprio de 2ª espécie. 1 1 1 1 2 2 Nota: 0 0 porque 0 0 1 2 porque 2 1 Página 7 de 11

Logo, o integral impróprio é convergente e é igual a. Como nos o valor da região ilimitada assinalada ao lado. Se é continua no intervalo, \ e lim ou lim,,, definimos Exemplo: Calcule é positiva em 1,1, este integral fornece A função tem domínio \ \1, sendo contínua em 0,4\1. Ou seja, estee integral impróprio mais não é do que a soma de 2 integrais impróprios de 2ª espécie. Portanto, o integral é um integral impróprio misto.. 1 1 1 1 1 1 A função é contínua no intervalo 0,1. Estamos perante um integral impróprio de 2ª espécie. A função é contínua no intervalo 1,4. Estamos perante um integral impróprio de 2ª espécie. 1 1 01 Cálculo Auxiliar: 1 1 3 2 1 1 1 1 Página 8 de 11

1 41 1 Cálculo Auxiliar: 1 3 1 2 1 O integral impróprio Exemplo: Calcule. 3 1 9 é convergente e é igual a 9. A função tem domínio \0, sendo continua em 1, \0. Ou seja, este integral impróprio mais não é do que a soma de integrais impróprios de 1ª e 2ª espécie. Portanto o integral é um integral impróprio misto. 1 1 1 1. A função é contínua no intervalo 1,0. Estamos perante um integral impróprio de 2ª espécie. A função é contínua no intervalo 0,1. Estamos perante um integral impróprio de 2ª espécie. A função é contínua no intervalo 1,.Estamos perante um integral impróprio de 1ª espécie. Comecemos por estudar o primeiro integral impróprio: 1 lim 1 lim lim 1. Sendo a 1ª parcela um integral impróprio divergente podemos imediatamente concluir que o integral misto inicial também é divergente. Página 9 de 11

Resumidamente a classificação dos integrais impróprios pode ser feita como nos indica o seguinte esquema: Temos um Integral impróprio de 1ª espécie quando o intervalo de integração é da forma, ou, e a função é continua nesse intervalo. Temos um integral impróprio de 2ª espécie quando a função integranda tende para infinito quando (ou quando ), sendo contínua em, (ou em, ). Chama se integral impróprio misto ou integral impróprio de 3ª espécie ao integral impróprio que é a soma de integrais impróprios de 1ª espécie e/ou de integrais impróprios de 2ª espécie. Exercícios: 1. Calcule os seguintes integrais impróprios: a. b. c. ; ; d. ; e.. ; 2. Esboce a região ilimitada definida pelas condições seguintes e determine a sua área, se possível. a.,0 2 0. b., 0 3 1. Página 10 de 11

Bibliografia [ELL] Lima, L. E.; Curso de Análise, Vol.2, Projecto Euclides, Nona Edição, 1999. [CUV] Malta I., Pesco, S., Lopes,H.; Cálculo a uma variável, Vol. II, Derivada e Integral; Editora PUC Rio, 2002. [CGA] Swokowski; Cálculo com Geometria Analítica, Vol.1, Makron Books, 1991. [MA] Harshbarger, R. J., Reynolds, J. J., Matemática Aplicada Administração, Economia e Ciencias Sociais e Biológicas, Mc Graw Hill, 2006. Página 11 de 11