82 CPÍTULO 9 CINEMÁTIC DO MOVIMENTO ESPCIL DE CORPOS RÍGIDOS O estudo da dinâmica do corpo rígido requer o conhecimento da aceleração do centro de massa e das características cinemáticas do corpo denominadas velocidade angular e aceleração angular, em cada instante. Neste capítulo serão estudadas as propriedades cinemáticas dos movimentos espaciais de corpos rígidos. Inicialmente são estudados movimentos em torno de um ponto fio e em seguida movimentos espaciais quaisquer. 9.1 SOM DE ROTÇÕES EM RELÇÃO EIXOS NO ESPÇO posição espacial de um corpo rígido pode ser definida por seis coordenadas independentes, sendo bastante usadas três coordenadas de um ponto qualquer deste corpo mais três coordenadas angulares. Estas últimas definem o que chamaremos de atitude do corpo rígido. No caso dos movimentos planos, a atitude é definida apenas por uma coordenada angular que pode ser tratada de forma vetorial. No caso espacial deve-se tomar cuidado com as coordenada angulares, pois a soma de ângulos de rotação em relação a eios no espaço não obedece à propriedade da comutatividade da soma vetorial. Figura 9.1 mostra um eemplo em duas situações: inicialmente dá-se uma rotação de 90 em torno do eio e em seguida mais 90 em torno do eio. Na outra situação, partindo-se da mesma posição inicial, dá-se inicialmente uma rotação de 90 em torno de e em seguida uma rotação de 90 em torno do eio. Observa-se que o resultado final é distinto ao inverter-se a ordem da soma. ssim pode-se concluir no caso espacial que
83 θ (9.1) 1 θ2 θ2 θ1 1=90 2=90 2=90 1=90 Figura 9.1 - Soma de rotações de um corpo rígido. Se fiermos estas duas somas com pequenas rotações 1 e 2, as posições finais obtidas também não serão iguais, mas estarão próimas. Por outro lado considerando rotações infinitesimais d 1 e d 2, a propriedade da comutatividade da soma vetorial é restabelecida. Portanto, podemos escrever dθ θ (9.2) 1 dθ2 dθ2 d 1 Lembrando que a velocidade angular de um corpo é dada por dθ (9.3) podemos derivar no tempo a (9.2) para obter (9.4) 1 2 2 1 Pode-se concluir, portanto, que a velocidade angular se comporta como vetor.
84 9.2 MOVIMENTO EM TORNO DE UM PONTO FIXO O movimento espacial de um corpo rígido pode ser analisado a partir da composição de um movimento de translação espacial com um movimento de rotação em torno de um ponto fio. Neste item vamos analisar a questão do movimento de um corpo rígido em torno de um ponto fio. Sea um corpo rígido C que tem um ponto O fio. posição de qualquer outro ponto P num referencial, cua origem está em O, é dada pelo vetor posição r r(t) (9.5) P r C O Figura 9.2 - Movimento em torno do ponto fio O. que é um vetor de módulo constante, sendo O e P pontos do corpo rígido C. Logo, para obtermos a velocidade de P faemos a derivada em t de r, v dr r (9.6) onde é a velocidade angular do corpo no instante t. Lembremos que a derivada em relação ao tempo de um vetor de módulo constante é dada pelo produto vetorial (9.6) - ver pêndice no final deste capítulo. Sendo O um ponto fio do corpo rígido, as traetórias do ponto P estão localiadas sobre uma superfície esférica de raio igual à distância entre O e P, ou sea, igual ao módulo do vetor r.
aceleração do ponto P é dada pela derivada no tempo da velocidade (9.6): 85 dv d dr a r (9.7) plicando (9.6) em (9.7), obtemos onde a α r ( r) (9.8) d α é a aceleração angular do corpo no instante t. Um importante caso particular de movimento em torno de um ponto fio ocorre quando um determinado corpo tem velocidade angular torno de um eio do corpo e este eio tem velocidade angular P constante em S constante em torno de um referencial fio. Neste caso a velocidade angular do corpo é igual a: P S (9.9) E a aceleração angular pode ser obtida através de d d P ds α (9.10) Sendo P um vetor de módulo constante, com direção variável, e constante, então a segunda parcela é igual a ero e a primeira é dada por S um vetor α S P (9.11) onde foram aplicados novamente resultados mostrados no pêndice deste capítulo com relação à derivação de vetores em relação ao tempo.
86 9.3 MOVIMENTO GERL DE UM CORPO RÍGIDO Conforme mencionado neste capítulo, o caso geral de movimentos espaciais pode ser visto como uma composição de dois movimentos, sendo um de translação e outro de rotação em torno de um ponto fio. Vamos tomar o ponto como referência e sea outro ponto qualquer do corpo rígido. relação entre as posições r e r desses dois pontos do corpo rígido é dada por r r r (9.12) / figura 9.3 ilustra dois sistemas de referência utiliados para a análise do movimento geral que faremos neste item. O sistema XYX é considerado o referencial em relação ao qual se estuda o movimento do corpo rígido C, chamado aqui de referencial fio. O referencial, chamado de referencial móvel, tem sua origem fia num ponto do corpo rígido, mas mantém-se durante todo o movimento em translação em relação ao fio XYZ. ssim, seus eios estão sempre paralelos entre si, o que equivale a ambos terem seus versores iguais em qualquer instante de tempo. Z r / C X Y v a Figura 9.3 - Movimento geral: referencial em translação. Derivando a (9.12) podemos relacionar as velocidades dos pontos e dr / v v (9.13) onde, neste caso
87 dr / v / ( v ) (9.14) corresponde à velocidade de em relação ao referencial, fio no ponto. O movimento do corpo rígido em relação ao referencial é um movimento de rotação em relação a um ponto fio, com velocidade angular. Logo e ( v ) r (9.15) / v v r (9.16) / Para se obter a relação entre as acelerações dos pontos e, derivamos a equação (9.16) dv dv d dr / / r (9.17) partir dos resultados obtidos no item anterior, podemos escrever a a α r r ) (9.18) / ( / onde é a aceleração angular do corpo rígido. ssim, é possível obter a posição, a velocidade e a aceleração de um ponto qualquer de um corpo rígido a partir dos correspondentes valores de um ponto, cuo movimento sea dado. s equações (9.12), (9.15) e (9.18) epressam estas relações para um movimento espacial qualquer. Podem ser aplicadas, é óbvio, para os casos particulares de translação, onde os vetores velocidade angular e aceleração angular são nulos mostrando que nestes casos as velocidades e as acelerações de todos os pontos do corpo rígido são iguais em cada instante. Estas equações também podem ser usadas para os movimentos de rotação em torno de um ponto fio em. Nestes casos os vetores velocidade e aceleração deste ponto são nulos e as equações resultantes repetem aquelas obtidas no item anterior. Observemos que como os dois referenciais utiliados neste caso estão sempre paralelos, todos os vetores podem ser escritos no referencial móvel.
88 9.4 MOVIMENTO GERL E MOVIMENTO RELTIVO Em muitas situações conhece-se o movimento de um corpo rígido em relação a outro corpo, representado por um referencial móvel, e conhece-se o movimento deste referencial móvel em relação a outro referencial fio XYZ. Podese escrever para este caso que r r r (9.19) / figura 9.4 ilustra estes dois sistemas de referência. Vamos analisar o movimento do corpo rígido C faendo a composição a partir dos dados do movimento relativo entre ambos os referenciais. origem do referencial móvel está num ponto qualquer não necessariamente pertencente ao corpo rígido C. Em muitas aplicações este referencial representa outro corpo em relação ao qual se conhece o movimento de C. C Z r Y r r / X Figura 9.4 - Movimento geral: referencial em movimento qualquer. Para obtermos a relação entre as velocidades de e, tomadas em relação ao referencial XYZ, vamos derivar a (9.19) dr / v v (9.20) Conforme mostrado no final deste capítulo, a derivada do vetor r / é igual a
d r d / / r r / 89 (9.21) onde é a velocidade angular do referencial em relação a XYZ. É importante observar que neste caso dr / v / v / (9.22) ou sea, é a velocidade de em relação ao referencial, de origem em. Substituindo (9.22) em (9.21) e, em seguida, o resultado em (9.20) obteremos v (9.23) v r / v/ onde são definidas as componentes da velocidade v r velocidade de arraste / v velocidade de relativa ao referencial móvel / v / Para se obter a relação entre as acelerações dos pontos e, derivamos a equação (9.23) dv dv d r dr / dv / / (9.24) partir dos resultados (9.21) e (9.22), podemos escrever d a a r / ( r / v / ) v / a / (9.25) onde d é a aceleração angular do referencial em relação à XYZ. Portanto, agrupando de forma conveniente, escrevemos d a a r / ( r / ) 2 v / a / (9.26)
90 onde são definidas as componentes de aceleração: d a r / ( r / ) aceleração de arraste 2 v/ aceleração de Coriolis ou complementar a / aceleração de relativa ao referencial móvel a Portanto, as equações (9.23) e (9.26) relacionam as velocidades e as acelerações de dois pontos e, pertencentes a corpos rígidos distintos. Observe que são iguais às equações gerais do movimento relativo para o caso de movimentos planos, conforme á mostradas no Capítulo 5. ssim, é possível obter a posição, a velocidade e a aceleração de um ponto qualquer de um corpo rígido a partir dos correspondentes valores de um ponto, cuo movimento sea dado. s equações (9.23) e (9.26) epressam estas relações para um movimento espacial qualquer. Podem ser aplicadas, é óbvio, para o caso particular no qual o ponto está fio no referencial. Neste caso as equações (9.23) e (9.26) tem apenas as parcelas de arraste não nulas, tanto para a velocidade como para a aceleração, conforme mostrado no item 9.3. 9.5 ÂNGULOS DE EULER Para definir a posição angular de um corpo rígido no espaço é usual utiliar 3 coordenadas da posição do centro de massa e 3 ângulos sequencialmente tomados em relação a determinados referenciais móveis ou fios. Um conunto entre as várias sequências para estes ângulos são os ângulos de Euler. Vamos defini-los com auílio das Figuras 9.5. Seam inicialmente coincidentes dois referenciais, um fio XYZ e um móvel. Conforme mostrado nas Figura 9.5, os ângulos de Euler, representados por, θ e ψ são definidos através de 3 posições sucessivas do sistema móvel. primeira posição é definida através do ângulo de rotação em torno de Z levando o referencial móvel à posição angular mostrada na Figura 9.5a como 1 1 1 ; a segunda posição é definida através do ângulo θ de rotação em torno de 1 levando o referencial móvel à posição angular mostrada na Figura 9.5b como 2 2 2 e a posição final é definida através do ângulo ψ de rotação em torno de 2 levando o
referencial à posição mostrada na Figura 9.5c como 3 3 3. Esta posição é corresponde à atitude do corpo rígido preso ao referencial móvel em relação ao referencial fio XYZ. Observe-se que sempre os ângulos são definidos numa sequência convencionada a fim de determinar corretamente a posição angular de um corpo rígido. Conforme mostramos na seção 9.1, se alterarmos a ordem desta sequência obteremos uma posição final diferente. 91 Z, Z, 1 1 Y, Y X, (a) 1 1 1 rotação X 1 em torno de Z 2 Z, 1 θ 2 θ 1 X θ 1, 2 Y (b) 2 2 2 rotação θ em torno de 1 2, 3 Z, 1 3 ψ θ ψ θ 2 1 X θ ψ 3 Y 1, 2 (c) 3 3 3 rotação ψ em torno de 2 Figura 9.5 - Ângulos de Euler
Devemos relacionar as componentes da velocidade angular do corpo rígido no referencial, com as velocidades angulares relativas dadas pelas derivadas temporais dos ângulos de Euler. Sea dada a velocidade angular do corpo rígido escrita em componentes do referencial móvel como 92 i (9.27) Observando nas Figuras 9.5, podemos escrever esta velocidade angular em função dos ângulos de Euler como i ( sen ) ( cos ) (9.28) lgumas vees, quando o corpo rígido é dado por um sólido de revolução com velocidade angular relativa em torno de seu eio longitudinal denominada spin, utiliamos o referencial móvel de forma um pouco modificada. O referencial móvel passa a ser parcialmente preso ao corpo, isto é, tem seu eio sempre coincidente com o eio longitudinal do corpo rígido, mas não acompanha o movimento de spin. ssim o referencial móvel está na posição dada por 2 2 2 e a velocidade angular do corpo rígido é dada por: (9.29) R onde é a velocidade angular do referencial móvel e R é a velocidade angular relativa do corpo rígido em relação a este referencial. Portanto, i ( sen ) ( cos ) (9.30) e R (9.31) Nestes casos chama-se precessão ao movimento angular representado pela variação do ângulo, chama-se nutação ao movimento angular definido pela variação do ângulo θ e spin ao movimento definido pela variação angular ψ.
93 PÊNDICE - RELÇÃO ENTRE DERIVDS TEMPORIS Seam dois referenciais: XYZ um referencial fio e outro referencial móvel em relação ao primeiro. Sea um vetor, variável no tempo, escrito no referencial móvel como i (9.32) derivada temporal deste vetor em relação ao referencial, é dada por i (9.33) Para calcular a derivada temporal do vetor em relação ao referencial XYZ, temos XYZ i di d d (9.34) Como di i d d (9.35) onde é a velocidade angular do referencial móvel em relação a XYZ, i ( i) ( ) ( ) (9.36) ou i i (9.37) Logo XYZ (9.38) Observe-se que se é constante em relação à, então XYZ (9.39)