TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO B

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO B POLIEDROS REGULARES E SEMIRREGULARES. CONCEITOS, HISTÓRIA E CLASSIFICAÇÃO. Aluna: Helena Chagas Parreira RA: 282251 Orientador: Prof. Dr. João Carlos Vieira Sampaio (DM) São Carlos, junho de 2010

2 RESUMO Esse trabalho tem por objetivo estudar e classificar os poliedros regulares e semirregulares, através de condições de regularidade e semirregularidade requeridas histórica e matematicamente. Para isto, foi feito um estudo detalhado: poliedros; (a) das definições e dos elementos de um poliedro; (b) das condições de regularidade e semirregularidade dos (c) do número máximo e mínimo de faces (em polígonos regulares) em torno de cada vértice; (d) de configurações combinatórias das faces em poliedros regulares e semirregulares; (e) dos possíveis padrões de poliedros regulares e semirregulares; (f) da existência de poliedros dos vários padrões detectados. Através desses estudos, foi possível verificar que existem cinco tipos possíveis de poliedros regulares, conhecidos como poliedros de Platão; treze tipos de poliedros semirregulares, chamados de poliedros de Arquimedes, e ainda uma lista (infinita) de prismas e a antiprismas, que também são poliedros semirregulares.

3 INTRODUÇÃO Chegar a um acordo sobre uma definição adequada do que seja poliedro não é uma tarefa simples, já que ao longo dos séculos diversas foram as propostas que surgiram e que foram utilizadas pelos matemáticos. Não há, na literatura matemática, uma definição única para o termo poliedro. Entretanto neste trabalho faremos uso de uma definição que consideramos conveniente e satisfatória para os propósitos do trabalho. Não podemos falar da história de poliedros sem falar um pouco de Johannes Kepler (1571 1630), um filósofo e matemático que criou o modelo do universo, utilizando para isto os poliedros regulares. Para Kepler, a existência dos poliedros regulares estava relacionada com a existência dos seis planetas conhecidos na época: Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Vênus e de Mercúrio. Ele acreditava que as órbitas dos planetas estavam relacionadas com o assentamento dos cinco poliedros regulares dentro das esferas celestes. Para tanto, em Harmonia do Mundo, publicado no século 17, Kepler repetiu sucessivas vezes o procedimento de inscrever poliedros platônicos e esferas uns dentro dos outros. Primeiramente ele utilizou a esfera da órbita de Saturno para inscrever um cubo, depois, no interior do cubo ele inscreveu a esfera referente à órbita de Júpiter e no interior desta esfera ele inscreveu um tetraedro; entre as órbitas de Júpiter e Marte ele inscreveu um tetraedro; entre as órbitas de Marte e da Terra ele inscreveu um dodecaedro; entre as órbitas da Terra e de Vênus um icosaedro, e entre as órbitas de Vênus e Mercúrio Kepler inscreveu um octaedro. Kepler acreditava também na teoria atômica dos quatro elementos, formulada pelos gregos no período clássico, e para essa teoria tinha as seguintes justificativas. O cubo pode ser colocado sobre uma mesa plana, de forma que não pode ser facilmente deslocado, ele é o mais estável dos poliedros platônicos, portanto, ele deve representar o elemento terra.

4 Figura 1. Modelo do universo de Kepler. O octaedro pode ser girado facilmente entre dois dedos, logo, ele é o mais instável, e, portanto, deve ser o ar. Já o tetraedro contém o menor volume para uma área fixa, assim é o mais seco dos cinco poliedros, então ele representa o fogo. De forma análoga, o icosaedro contém o maior volume de uma superfície fixa, por isso é mais molhado, e então deve representarr a água. Nessa teoria, o dodecaedro seria a representação do cosmos. Figura 2. Desenho de Kepler dos poliedros regulares, associados elementos, em seu livro Harmonices Mundi (Harmonia do Mundo). a seus

5 Recapitulando à definição do termo poliedro, sabemos que poliedro tem origem grega, onde poli significa muitos e edro significa assento, mas uma tradução razoável para poliedro seria muitas faces. Entretanto, antes de definirmos o que é um poliedro, precisamos definir alguns conceitos básicos que serão usados ao longo deste trabalho, e que se referem às partes constituintes de um poliedro. Deste modo, vamos estabelecer os seguintes conceitos. Poliedro é um objeto tridimensional, constituído como reunião de faces poligonais planas, no qual pares de faces adjacentes compartilham uma aresta, e onde arestas adjacentes encontram-se em um vértice comum. Requer-se ainda que cada aresta seja compartilhada por exatamente duas faces e que de cada vértice saiam pelo menos três arestas. Cada um dos polígonos é chamado de face do poliedro; Aresta do poliedro é todo segmento de reta que é aresta comum de duas faces adjacentes; Um ponto onde várias arestas e faces se encontram é chamado de vértice; Ângulo plano do poliedro é o ângulo no canto (ou vértice) de uma face poligonal, ou seja, ângulo interno de uma das faces; Existem cinco tipos possíveis de poliedros regulares, que fazem uso apenas de um tipo de polígono regular e que mantém a mesma distribuição de polígonos em torno dos vértices. Tais poliedros são conhecidos como poliedros de Platão. Temos treze tipos possíveis de poliedros semirregulares, nos quais se usam dois ou mais tipos diferentes de polígonos regulares ao redor de cada vértice, chamados de poliedros arquimedianos, e há ainda uma lista infinita de prismas e antiprismas, que também são poliedros semirregulares. Notemos que não podemos formar poliedros de maneira aleatória: precisamos obedecer a certas regras, as quais serão especificadas nos próximos capítulos.

6 Podemos notar que os poliedros estão presentes por toda parte, e encontram um lugar de destaque na arquitetura, na arte, nas jóias, etc. Podemos encontrar, também, poliedros na natureza, e isto se da através das pedras preciosas e de organismos unicelulares. Figura 3. Protozoários oários que lembram os sólidos regulares.

7 CAPÍTULO 1 Poliedros Regulares Os poliedros regulares são aqueles cujas faces são polígonos regulares de um único tipo. Tais poliedros obedecem a quatro condições: (a) o poliedro é convexo; (b) todas as faces são polígonos regulares congruentes entre si, assim como os ângulos internos também são todos congruentes entre si; (c) cada aresta de uma face é compartilhada por exatamente duas faces, que terão essa aresta em comum, e (d) em torno de cada vértice encontramos sempre o mesmo número de faces adjacentes ao vértice. Faremos uso do seguinte teorema de geometria espacial, que não demonstraremos neste trabalho: Em todo poliedro convexo a soma dos ângulos planos que se encontram em torno de um vértice é sempre menor que 360. Vamos verificar quantos polígonos podem dispor-se em torno de um vértice, a fim de obtermos um poliedro semirregular. Consideremos um poliedro regular ou semirregular e seja = + ++ + o número de polígonos regulares que se dispõem ao redor de cada vértice, sendo m 1 polígonos de certo tipo, de ângulos internos de medida α 1, m 2 polígonos de um outro tipo, com ângulos internos de medida α 2, m 3 polígonos de um terceiro tipo, com ângulos internos de medida α 3, e assim por diante. Como o ângulo interno de cada polígono é sempre maior que ou igual a 60º, então em cada vértice teremos: 360 > + + + (1)

8 ( + + + ) 60 = 60 Portanto, 3 m < 6 e então podemos enunciar uma regra que diz: Cada poliedro regular ou semirregular deve ter pelo menos 3 polígonos regulares e não mais que 5 polígonos regulares ao redor de cada um dos vértices. 1.1 Poliedros regulares de padrão m.m.m Os poliedros regulares de padrão m.m.m são aqueles em que temos três m-ágonos regulares em torno de cada vértice. temos: Seja β o ângulo interno de um m-ágono regular. Desta maneira β + β + β <360 3β <360 β <120 (2) Consideremos a seguinte tabela: Tabela 1. Correspondência entre o número de lados e o ângulo interno de um polígono regular. Polígono Número de lados Ângulo interno Triângulo 3 60º Quadrado 4 90º Pentágono 5 108º Hexágono 6 120º Heptágono 7 128,5º Octógono 8 135º Eneágono 9 140º Decágono 10 144º Dodecágono 12 150º Pentadecágono 15 156º Octodecágono 18 160º Icoságono 20 162º

9 Sendo β < 120, pela tabela acima podemos determinar que m = 3; m = 4 ou m = 5, ou seja, o polígono regular de m lados só pode ser um triângulo, um quadrado ou um pentágono. teorema: Para construirmos estes poliedros, faremos uso do seguinte Teorema: A soma dos ângulos internos de um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, é igual a (V 2) 360. Demonstração: Seja F o número de faces do poliedro. Vamos etiquetar estas F faces com os números 1, 2, 3,..., F. Seja agora, S k a soma dos ângulos planos (internos) da face k, para k = 1, 2, 3,..., F. Lembrando que a soma dos ângulos internos de um polígono é ( 2) 180, temos que S =(n 2) 180. Assim, a soma S de todos os ângulos planos do poliedro será igual à soma dos ângulos internos de todas as suas faces, que é dada por: S= S + S + S + +S =(n 2) 180 + (3) + (n 2) 180 + + (n 2) 180 = (n + n + +n ) 180 (2 +2+ +2) 180 Como cada lado (aresta) de uma face é compartilhado por exatamente duas faces, teremos n + n + +n = 2A. Então, S=2A 180 2F 180 =(A F) 360 (4) Pela fórmula de Euler para poliedros convexos, temos V A + F = 2, logo A F = V 2, e, portanto S=(V 2) 360

10 1. Para m = 3, temos o padrão m.m.m = 3.3 3.3 Seja V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro. Em cada vértice do poliedro contamos três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice). Então, o número total de extremidades de arestas é 3V. Por outro lado, cada arestaa do poliedro tem duas extremidades e, portanto o número total de extremidades de arestas é 2A. Logo, 3V = 2A (5) Percorrendo-se todas as faces, contando-se o número de arestas em cada uma das faces e somando-se todos os valores encontrados teremos 3F; e como cada vértice do poliedro tem valência três (3V), podemos dizer que 3V = 3F V = F (6) Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos: V A + F = 2 2V 2A + 2F = 4 (7) 2V 3V + 2V = 4 V = 4 = F Portanto, temos um poliedro formado por quatro faces triangulares, tendo 4 vértices, 6 arestas e 4 faces. Este poliedro é o tetraedro regular. Figura 4. Tetraedro regular poliedro regular de padrão 3.3.3

11 2. Para m = 4, temos o padrão m.m..m = 4.4.4 Fazendo uso de um raciocínio análogo ao anterior, temos que em cada vértice do poliedro há três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice). Então, o número total de extremidades de arestas é 3V. No entanto, cada aresta do poliedroo tem duas extremidades, e, portanto o número total de extremidades de arestas é 2A. Logo, 3V = 2A. Ao percorrer todas as faces, ao contar o número de arestas de cada uma das faces e ao somar todos os valores encontrados, temos 4F. Como cada vértice do poliedro tem valência três, podemos dizer que 3V = 4F (8) Agora, substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos: V A + F = 2 8V 8A + 8F = 16 (9) 8V 12V + 6V = 16 V = 8 Assim, o poliedro tem oito vértices. Como 3V = 4F, deduzimos que F = 6. Portanto, temos um poliedro formado por 6 faces quadradas, tendo 8 vértices e 12 arestas. Este poliedro é o cubo. Figura 5. Cubo ou hexaedro regular poliedroo regular de padrão 4.4 4.4

12 3. Para m = 5, temos o padrão m.m.m = 5.5 5.5 Novamente em cada vértice do poliedro há três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice). Então, o número total de extremidades de arestas é 3V. Porém, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, número total de extremidades de arestas é 2A. logo o Portanto, 3V = 2A. Percorrendo-se todas as faces, contando-se o número de arestas em cada uma das faces e somando-se todos os valores encontrados teremos 5F. Como cada vértice do poliedroo tem valência três, podemos dizer que 3V = 5F (10) Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos: V A + F = 2 10V 10A + 10F = 20 (11) 10V 15V + 6V = 20 V = 20 Assim, o poliedro possui vinte vértices. Como 3V = 5F, deduzimos que F = 12. Logo, temos um poliedro formado por 12 faces pentagonais, tendo 20 vértices e 30 arestas. Este poliedro é o dodecaedro regular. Figura 6. Dodecaedro regular poliedro regular de padrão 5.5.5

13 1.2 Poliedros regulares de padrão m.m.m.m Os poliedros regulares de padrão m.m.m.m são aqueles nos quais temos quatro polígonos regulares e congruentes em torno de cada vértice, ou seja, temos quatro m-ágonos. Seja β o ângulo interno do m-ágono regular. Assim, temos: β + β + β + β <360 4β <360 β <90 (12) Pela tabela 1, temos que único polígono regular, com ângulo interno de medida menor que 90º, é o triângulo, com ângulo interno de 60º. Então, o poliedro é do tipo 3.3.3.3 Em cada vértice do poliedro há quatro extremidades de arestas adjacentes a cada vértice. Logo, o número total de extremidades de arestas é 4V. Por outro lado, cada aresta do poliedro tem duas extremidades e o número total de extremidades de arestas é 2A. Portanto, 4V=2A 2V=A (13) Ao percorrermos todas as faces, ao contarmos o número de arestas em cada uma das faces (triangulares) e ao somarmos todos os valores encontrados, contabilizamos 3F. Como cada vértice do poliedro tem valência quatro, podemos dizer que 4V = 3F (14) Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos: V A + F = 2 6V 6A+6F=12 (15) 6V 12V+8V=12 V=6 Portanto, o poliedro possui seis vértices. Como 4V = 3F, deduzimos que F = 8.

14 Portanto, temos tendo 12 arestas e 6 vértices. um poliedro formado por 8 faces triangulares, Este poliedro é o octaedro regular. Figura 7. Octaedro regular poliedro regular de padrão 3.3.3.3 1.3 Poliedros regulares de padrão m.m.m.m.m Os poliedros de padrão m.m.m.m.m são aqueles em que temos cinco polígonos regulares e congruentes, ou seja, temos cinco m-ágonos regulares, em torno de cada vértice. Seja β o ângulo interno do m-ágono regular, temos então: 5β 360 β 72 Pela tabela 1, que relaciona o número de lados de um polígono regular com a medida do seu ângulo interno, temos que o triãngulo equilátero é o único polígono regular com medida do ângulo interno menor que 72º. Logo, o poliedroo é tem padrão 3.3.3.3.3 Em cada vértice do poliedro há cinco extremidades de arestas (adjacentes ao vértice). Portanto, o número total de extremidades de arestas é 5V. No entanto, cadaa aresta do poliedro tem duas extremidades, logo, o número total de extremidades de arestass é 2A.

15 Então, 5V 2A (17) Percorrendo-se todas as faces, contando-se o número de arestas em cada uma das faces e somando-se todos os valores encontrados teremos 3F. Como cada vértice do poliedroo tem valência cinco ( 5V), podemos dizer que 5V = 3F (18) Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos: V A + F = 2 6V 6A + 6F 12 (19) 6V 15V + 10V 12 V 12 Assim, o poliedro tem doze vértices. Como 5V = 3F, podemos deduzir que F = 20. Logo, temos um poliedro formado por 20 faces triangulares, sendo 12 o número de vértices e 30 arestas. Este poliedro é o icosaedroo regular. Figura 8. Icosaedro regular poliedro regular de padrão 3.3.3.3.33

16 CAPÍTULO 2 Poliedros semirregulares Poliedros semirregulares são aqueles em que as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos diferentes. Os poliedros obedecem às condições: (a) o poliedro é convexo; (b) todas as faces são polígonos regulares; (c) cada aresta de uma face deve ser compartilhada por exatamente duas faces, que terão essa aresta em comum, e (d) ao fazermos um pequeno percurso cíclico na superfície do poliedro, ao redor de cada vértice, encontramos sempre a mesma configuração cíclica de polígonos regulares. Recapitulando que Em cada poliedro regular ou semirregular a soma dos ângulos internos dos polígonos que se encontram ao redor cada único vértice é menor que 360º. podemos pensar da seguinte maneira: O ângulo interno de um polígono regular de m lados tem medida: β = (m 2) 180 m (20) Temos, como exemplos, β = 60º (ângulo interno de um triângulo eqüilátero) β = 90º (ângulo interno de um quadrado) β = 108º (ângulo interno de um pentágono regular) β = 120º (ângulo interno de um hexágono regular) e assim por diante.

17 O que se nota então, e é fato, é que β m 2 m 180 1 2 180 m é uma função crescente da variável m.. Então, se tivermos, em um poliedro semirregular, quatro polígonos diferentes ao redor de cada vértice, a menor soma possível dos quatro ângulos adjacentes a cada vértice será: β + β + β + β = 60º + 90º + 108º + 120º = 378º > 360º (21) Portanto estabelecemos a seguinte regra: Em um poliedro semirregular, não podemos ter quatro tipos diferentes de polígonos regulares em torno de cada vértice 2.1 Poliedros semirregulares de padrão k.l.m Os poliedros de padrão k.l.m são aqueles nos quais temos três polígonos regulares em torno de cada vértice: um k-ágono, um l-ágono e um m-ágono. Vamos estudar primeiramente poliedros de padrão k.l.m,, com k ímpar, iniciando pelo padrão 3.l.m, isto é, com k = 3. Observemos então a seguinte figura: Figura 9. Configuração das faces, ao redor de um triângulo, em um poliedro de padrão 3.l.m.

18 No vértice A, temos a configuração de vértice 3.l.m, ou seja, A é um vértice do tipo 3.l.m. Suponhamos que o lado AB do triângulo é compartilhado por um polígono regular de m lados. Então necessariamente o lado AC é compartilhado por um polígono regular de l lados. Os vértices B e C são também do tipo 3.l.m, pois esse é o padrão do poliedro, ou seja, a disposição cíclica dos polígonos em tornoo de cada vértice é sempre essa. Assim, o lado BC do triângulo é compartilhado por um m-ágono e simultaneamente por um l- ágono. Logo, temos que m = l. Portanto, não podemos ter um poliedro de padrão 3.l.m, se l m. Podemos pensar vértice do tipo 5.l.m. de maneiraa semelhante para uma configuração de Vejamos: Figura 10. Configuração das faces, ao redor de um pentágono, em um poliedro de padrão 5.l.m Observando a disposição combinatória dos polígonos em torno de um pentágono ABCDE, temos no vértice A uma configuraçãoo de vértice 5.l.m. Os demais vértices têm todos a mesma configuração. Assim, supondo que AB seja compartilhado por um m-ágono, o lado DC do pentágono regular é compartilhado simultaneamente por um m-ágono e por um l-ágono. Portanto, temos que m = l.

19 se m l. Deste modo, também não podemos ter poliedros de padrão 5.l.m, Prosseguindo de maneira análoga para um polígono de k lados, presente em um poliedro de padrão k.l.m, sendo k um número ímpar, ou seja, k = 2s + 1, e tendo esse polígono os vértices A 1, A 2, A 3,... A 2s + 1, ao fazermos a leitura ordenada, no sentido anti-horário, dos diferentes polígonos ao redor de cada um dos vértices do k-ágono, podemos supor que temos em sequência os seguintes tipos de vértices: A 1 A 2 A 3.... A 2s A 2s + 1 k.m.l k.l.m k.m.l... k.l.m k.m.l Figura 11. Configuração das faces, ao redor de um padrão k.l.m, sendo k = 2s + 1. k-ágono, em um poliedro de Na figura acima, ao fazermos a leitura ordenada, no sentido anti-horário, dos diferentes polígonos ao redor de cada um dos vértices do k- ágono, notamos que no vértice A 1 temos a configuração de vértice do tipo k.l.m. Vamos supor que o lado A 1 A 2 é compartilhado por um l-ágono. Então A 2 A 3 é compartilhado por um m-ágono. Prosseguindo ao redor do k-ágono, teremos que o lado A 2 2sA 2s + 1 é compartilhado por um m-ágono. Assim, o lado A 2s sa 1, que precede A 1 A 2 e sucede A 2s A 2s + 1, indicado por? deveria ter m lados e também l lados. Portanto, temos que m = l é a única condição conciliatória.

20 Isto anuncia a seguinte regra: Nenhum poliedro semirregular pode ter uma configuração de vértices da forma k.l.m, quando k é um número ímpar e l m. Vamos determinar agora, quais polígonos de k lados, com k ímpar, podem fazer parte um poliedro semirregular de padrão k.l.m. Analisemos quando k 7. Como l = m, β k + β m + β m < 360º β k + 2β m < 360º (22) (k 2) 180 k + 2 (m 2) 180 m < 360 1 2 k +2 1 2 m <2 1 2 k +2 4 m <1 2 k 4 m < 1 2 k + 4 m <1 1 k + 2 m <1 2 1 k <m 4 2m k< 2m m 4 k<2+ 8 m 4 m 5 e k< 10 pois k decresce à medida em que m aumenta. Temos então 7 k < 10, com k ímpar k = 7 ou 9. Portanto, se tivermos poliedros de padrão k.l.m, com k ímpar, então necessariamente k = 3, 5, 7 ou 9. Suponhamos agora que l também seja ímpar. Então temos um poliedro de padrão l.k.m, pois os padrões k.l.m, l.m.k, m.k.l, l.k.m, k.m.l e m.l.k são todos equivalentes. Logo, pelos argumentos anteriormente construídos, deveremos ter k = m. Assim, temos k = l = m, todos ímpares (neste caso teremos o tetraedro ou o dodecaedro regular) ou, se k é ímpar e os valores k, l e m não são todos iguais temos que l = m, sendo l e m ambos pares.

21 Recapitularemos agora o estudo dos padrões de poliedros k.l.m, quando k e ímpar. 2.1.1 Poliedros semirregulares de padrão 3.l.m. Para determinarmos qual polígono poderá ser encaixado adjacente a cada vértice do triângulo, a fim de obtermos um poliedro semirregular, vamos pensar da seguinte maneira: poliedro. Seja β m o ângulo interno do m-ágono regular que é face do Então: β 3 + β m + β m < 360º 60º + 2β m < 360º 2β m < 300º (23) β m < 150º De acordo com tabela 1, do capítulo anterior, e ainda considerando que o m-ágono regular deve ter um número par de lados, devemos ter m = 4; m = 6; m = 8 ou m = 10. Ou seja, teremos necessariamente um quadrado, ou um hexágono, ou um octógono, ou um decágono. 1 O poliedro semirregular de padrão k.l.m = 3.4.4 Seja V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro. Seja agora, F 3 o número de faces triangulares e seja F 4 o número de faces quadradas deste poliedro. Temos então que o número total de faces é: F = F 3 + F 4 (24) Percorrendo todas as faces do poliedro, contando o número de arestas em cada uma destas faces e somando todos os valores encontrados, obtemos 3F 3 + 4F 4. Porém, ao procedermos desta maneira, contamos duas vezes cada aresta do poliedro, pois cada aresta é comum a duas faces. Assim temos que

22 3F 3 + 4F 4 = 2ª (25) Sabemos que em cada vértice do poliedro temos três extremidades de arestas adjacentes ao vértice. Então, o número total de extremidades de arestas é igual a 3V. Por outro lado, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, logo o número total de extremidades de arestas é 2ª. Portanto, 3V = 2ª Como temos um triângulo 22qüilátero e dois quadrados adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 60 +2 90 =240. Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 240. Por um teorema do capítulo I, sabemos que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro é S=(V 2) 360, portanto, (V 2) 360 =V 240 V 120 =720 V=6 (26) Assim, o poliedro tem seis vértices. arestas. Como 3V = 2ª, deduzimos que A = 9, ou seja, o poliedro tem 9 Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos: V A + F = 2 6 9 + F = 2 F = 5 (27) Então, o poliedro possui cinco faces. Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações: F + F =5 3F + 4F =2 9 (28) A solução do sistema é F 3 = 2 e F 4 = 3, ou seja, o poliedro tem dois triângulos eqüiláteros e três quadrados.

23 Este poliedro é o prisma regular de base triangular. Figura 12. Prisma triangular poliedro semirregular de padrão 3.4..4 2 O poliedro semirregularr de padrão k.l.m = 3.6.6 Seja F 3 o número de faces triangulares e seja F 6 o número de faces hexagonais deste poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: temos que F = F 3 + F 6 Utilizando um raciocínio análogo ao 3F 3 + 6F 6 = 2ª Sabemos que 3V = 2ª (29) empregado no caso anterior, (30) Como temos um triângulo 23qüilátero e dois hexágonos regulares adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 60 + 2 120 300. Portanto, a soma dos ângulos planos do poliedroo é V 300. Então, V 2 360 V 300 V 60 720 V 12 31 Portanto, o poliedro tem 12 vértices. Como 3V = 2ª, podemos deduzir que A = 18, assim, o poliedro tem dezoito arestas.

24 Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V A + F = 2 obtemos F = 8, logo, o poliedroo tem 8 faces. Chegamos, então, ao seguinte sistema de equações: F + F 8 3F + 6F 2 18 (32) A solução do sistema é F3 = 4 e F 6 = 4, ou seja, o poliedro tem quatro triângulos eqüiláteros e quatro hexágonos regulares. Este poliedro é o tetraedro truncado. Figura 13. Tetraedro truncado poliedro semirregular de padrão 3.6.6 3 O poliedro semirregularr de padrão k.l.m = 3.8.8 Seja novamente F 3 o número de faces triangulares e seja F 8 o número de faces octogonais deste poliedro. Temos que o número total de faces é dado por: F = F 3 + F 8 (33) Utilizando um raciocínio semelhante, temos: 3F 3 + 8F 8 = 2ª (34) Lembremos que 3V = 2ª.

25 Como ao redor de cada vértice temos um triângulo 25qüilátero e dois octógonos regulares, a soma dos ângulos planos do poliedro, adjacentes a cada vértice, é igual a 60 + 2 120 330. Então, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 330. Assim, V 2 360 V 330 V 30 720 V 24 35 Portanto, o poliedro tem24 vértices. Como trinta e seis arestas. 3V = 2ª, deduzimos que A = 36, ou seja, o poliedro tem Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V A + F = 2 obtemos F = 14, logo, o poliedro tem catorze faces. Chegamos ao seguinte sistema de equações: F + F 14 3F + 8F 2 36 A solução do sistema é F 3 = 8 e F 8 = triângulos eqüiláteros e seis octógonos regulares. (36) 6, então, o poliedro tem oito Este poliedro é o cubo truncado. Figura 14. Cubo truncado poliedro semirregular de padrão 3.8.8

26 4 O poliedro semirregular de padrão k.l.m = 3.10.10 Seja F 3 o número de faces triangulares e seja F 10 o número de faces dodecagonais deste poliedro. Temos então que o número total de faces é: F = F 3 + F 10 (37) Pelos procedimentos anteriores, sabemos que 3F 3 + 10F 10 = 2A (38) E que 3V = 2A Como temos um triângulo equilátero e dois dodecágonos regulares adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 60 +2 144 =348. Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 348. Assim, (V 2) 360 =V 348 V 12 =720 V=60 (39) Então, o poliedro tem sessenta vértices. Como 3V = 2A, podemos deduzir que A = 90, ou seja, o poliedro tem noventa arestas. Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V A + F = 2 obtemos F = 32, portanto, o poliedro tem trinta e duas faces. Chegamos ao seguinte sistema de equações: F + F =32 3F + 10F =2 90 (40) A solução do sistema é F 3 = 20 e F 10 = 12, logo, o poliedro tem vinte triângulos eqüiláteros e doze decágonos regulares. Este poliedro é o dodecaedro truncado.

27 Figura 15. Dodecaedro truncado poliedro de padrão 3.10.10 2.1.2 Poliedros semirregulares egulares de padrão 5.l.m. Conforme orme demonstrado anteriormente, temos l = m,, sendo l e m ambos pares. Para determinarmos qual polígono que poderá ser colocado em torno de cada vértice do pentágono, a fim de formarmos um poliedro semirregular, podemos pensar da maneiraa análoga: β 5 + β m + β m < 360º 108º + 2β m < 360º 2β m < 252º (41) β m < 126º Assim, de acordoo com a tabela 1, temos que m = 3; m = 4; m = 5 ou m = 6. Entretanto ntretanto, como temos que ter um polígono com um número par de lados, temos necessariamente que m = 4 ou m = 6, ou seja, o polígono regular de m lados é o quadrado ou o hexágono. 1 O poliedro de padrão k.l.m = 5.4.4 Seja V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro. Seja agora, F 5 o número de faces pentagonais e seja F 4 o número de faces quadradas deste poliedro. Temos que o número total de faces é dado por:

28 F = F 4 + F 5 (42) Ao percorrer todas as faces do poliedro, ao contar o número de arestas em cada uma destas faces e ao somar todos os valores encontrados, obtemos 4F 4 + 5F 5. Entretanto, ao procedermos desta maneira, contamos duas vezes cada aresta do poliedro, já que cada aresta é comum a duas faces. Então, temos que 4F 4 + 5F 5 = 2A (43) Sabemos que em cada vértice do poliedro temos três extremidades de arestas adjacentes ao vértice. Logo, o número total de extremidades de arestas é igual a 3V. Por outro lado, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, então o número total de extremidades de arestas é 2A. Logo, 3V = 2A Como temos um pentágono regular e dois quadrados adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 108 +2 90 =288. Portanto, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 288. Sabemos que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro é S=(V 2) 360, então: (V 2) 360 =V 288 V 72 =720 V=10 (44) Assim, o poliedro tem dez vértices. Como 3V = 2A, deduzimos que A = 15, ou seja, o poliedro tem quinze arestas. Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos: V A + F = 2 10 15 + F = 2 F = 7 (45) Desta maneira, vemos que o poliedro possui sete faces. Assim, chegamos ao seguinte sistema de equações: F + F =7 4F + 5F =2 15 (46) A solução do sistema é F 4 = 5 e F 5 = 2, então, o poliedro tem cinco quadrados e dois pentágonos.

29 Este poliedro é um prisma regular de base pentagonal. Figura 16. Prisma pentagonal poliedroo de padrão 5.4.4 2 O poliedro de padrão k.l.m = 5.6.66 Seja F 5 o número de faces pentagonais e seja F 6 o número de faces hexagonais deste poliedro. Temos então que o número total de faces é: F = F 5 + F 6 (47) Utilizando um raciocínio análogo temos: 5F 5 + 6F 6 = 2A (48) Lembremos que 3V = 2A Como temos um pentágono regular e dois hexágonos regulares adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 108 + 2 120 348. Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 348. Assim, V 2 360 V 348 V 12 720 V 60 (49) Portanto, o poliedro tem sessenta vértices. Como 3V = 2A, deduzimos que A = 90, então, o poliedroo possui noventa arestas.

30 Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V A + F = 2 obtemos F = 32, logo, o poliedro tem trinta e duas faces. Chegamos ao seguinte sistema de equações: F + F 32 5F + 6F 2 90 (50) A solução do sistema é F 5 = 12 e F 6 = 20, ou seja, o poliedro tem doze pentágonos regulares e vinte hexágonos regulares. Este poliedro é o icosaedroo truncado. Figura 17. Icosaedro truncado poliedro o de padrão 5.6.6 2.1.3 Poliedros semirregulares de padrão 7.l.m Para determinarmos mos qual polígono que poderá ser encaixado em torno de cada vértice do heptágono, o, a fim de formarmos o poliedro semirregular, podemos pensar da maneiraa análoga: Β 7 + β m + β m < 360º 128,5º + 2β m < 360º (51) 2β m < 231,5º β m < 115,75º Então, pela tabela 1, temos que m = 4, logo, o único polígono regular de m lados é o quadrado. Para k = 7 e l = m = 4, devemos ter k.l.m = 7.4.4

31 Seja V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro. Seja F 7 o número de faces heptagonais e seja F 4 o número de faces quadradas deste poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: F = F 4 + F 7 (52) Percorrendo todas as faces do poliedro, contando o número de arestas em cada uma destas faces e somando todos os valores encontrados, obtemos 4F 4 + 7F 7. Entretanto, ao procedermos desta maneira, contamos duas vezes cada aresta do poliedro, uma vez que cada aresta é comum a duas faces. Assim, 4F 4 + 7F 7 = 2A (53) Como em cada vértice do poliedro temos três extremidades de arestas adjacentes ao vértice, então, o número total de extremidades de arestas é igual a 3V. No entanto, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, logo o número total de extremidades de arestas é 2A. Assim, 3V = 2A Como temos um heptágono regular e dois quadrados adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 128,5 +2 90 =308,5. Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 308,5. Temos, pelo teorema do capítulo I, que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro é S=(V 2) 360, portanto, (V 2) 360 =V 308,5 V 51,5 =720 V=14 (54) Então, o poliedro tem catorze vértices. Como 3V = 2A, podemos deduzir que A = 21, ou seja, o poliedro tem vinte e uma arestas. Substituindo estes valores na fórmula de Euler: V A + F = 2 14 21 + F = 2 F = 9 (55) Assim, vemos que o poliedro possui nove faces. Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações:

32 F + F 9 (56) 4F + 7F 2 21 A solução do sistema é F 4 = 7 e F 7 = 2, portanto, o poliedro tem sete quadrados e dois heptágonos. Este poliedro é um prisma regular de base heptagonal. Figura 18. Prisma heptagonal poliedro semirregular de padrão 7.4.4 2.1.4 Poliedros semirregulares de padrão 9.l.m Para determinarmos qual polígono que poderá ser colocado em torno de cada vértice do eneágono, a fim de formarmos mos um poliedro semirregular, podemos pensar da maneiraa análoga: Β 9 + β m + β m < 360º 140º + 2β m + 140º < 360º (57) 2β m < 220º β m < 110º Assim, de acordo com o a tabela 1, temos que polígono regular de m lados é o quadrado. m = 4, portanto o Para k = 9 e l = m = 4, temos k.l.m = 9.4.44 Seja V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro. Seja F 9 o número de faces eneagonais e seja F 4 o número de faces quadradas deste poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: F = F 4 + F 9 (58)

33 Ao percorrer todas as faces do poliedro, ao contar o número de arestas em cada uma destas faces e ao somar todos os valores encontrados, obtemos 4F 4 + 9F 9. Entretanto, procedendo desta maneira, contamos duas vezes cada aresta do poliedro, pois cada aresta é comum a duas faces. Assim temos que 4F 4 + 9F 9 = 2A (59) Como em cada vértice do poliedro temos três extremidades de arestas adjacentes ao vértice, temos que o número total de extremidades de arestas é igual a 3V. Por outro lado, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, logo o número total de extremidades de arestas é 2A. Portanto, 3V = 2A Como temos um eneágono regular e dois quadrados adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 140 +2 90 =320. Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 320. Pelo teorema do capítulo I, temos que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro é S=(V 2) 360, então, (V 2) 360 =V 320 V 40 =720 V=18 (60) Portanto, o poliedro tem dezoito vértices. Como 3V = 2A, deduzimos que A = 27, ou seja, o poliedro tem vinte e sete arestas. Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos: V A + F = 2 18 27 + F = 2 F = 11 (61) Assim, vemos que o poliedro possui onze faces. Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações: F + F =11 4F + 9F =2 27 (62) A solução do sistema é F 4 = 9 e F 9 = 2, logo, o poliedro possui nove quadrados e dois eneágonos. Este poliedro é um prisma regular de base eneagonal.

34 Figura 19. Prisma eneagonal poliedro de padrão 9.4.4 Observemos ainda que, por convenção, as configurações k.m.l, l.k.m e l.m.k são tipos de configurações equivalentes à configuração k.l..m, pois dependem apenas do sentido e do polígono no qual iniciaremos o percurso cíclico ao redor de cada vértice. Figura 20. Vértice típico do tipo k.l.m. Em torno dele dispõem-se um k-ágono, um l-ágono e um m-ágono. Analisaremos agora poliedros de padrão k.l.m, quando k, l e m são todos pares. Os poliedros de padrão k.l.m, que fazem uso de polígonos com número ímpar de lados, já foram analisados anteriormente.

35 Figura 21. Disposição de polígonos em torno de um quadrado, em um poliedro de padrão 4.l.m. Pela figura 21 acima vemos que neste poliedro podemos ter m n. Agora, k 2p l 2q m 2r p 2 q 2 r 2 Temos: β +β +β 360 1 k + 1 l + 1 m 1 2 63 1 2p + 1 2q + 1 2r 1 2 1 p + 1 q + 1 r 1 Se p = 2 k = 4 1 q + 1 r 1 1 2 1 2 1 q 1 2 1 r 2 r 2 r 64 q 2 r r 2 q 2 r 2 + 4 4 2 + r 2 r 2 r 3 q 2 + 4 r 2 4 q 6 também 6. Logo, por simetria das incógnitas na inequação + temos Para k = 4, temos então a seguinte tabela de possíveis soluções:

36 Tabela 2. p q r 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 4 3 2 5 3 Logo, os poliedros de padrão 4.l.m, quando l e m forem todos pares são: (a) 4.6.6, (b) 4.6.8, (c) 4.6.10, (d) 4.8.6 e (e) 4.10.6 Observemos que 4.6.8 é equivalente a 4.8.6 e que 4.6.10 é equivalente a 4.10.6 Para k = 4 e l = m = 6, devemos ter k.l.m = 4.6.6 Seja V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro. Seja F 4 o número de faces quadradas e seja F 6 o número de faces hexagonais deste poliedro. Temos então que o número total de faces é: F = F 4 + F 6 (65) Percorrendo todas as faces do poliedro, contando o número de arestas em cada uma destas faces e somando todos os valores encontrados, obtemos 4F 4 + 6F 6. Porém, ao procedermos desta maneira, contamos duas vezes cada aresta do poliedro, já que cada aresta é comum a duas faces. Então, 4F 4 + 6F 6 = 2A (66) Sabemos que em cada vértice do poliedro temos três extremidades de arestas adjacentes ao vértice. Logo, o número total de extremidades de arestas é igual a 3V.

37 No entanto, cadaa aresta do poliedro tem duas extremidades, logo o número total de extremidades de arestas é 2A. Assim, 3V = 2A Como temos um quadrado e dois hexágonos regulares adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 90 + 2 120 330. Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 330. Sabemos, pelo teorema do capítulo I, que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro é S V 2 360, portanto, V 2 360 V 330 V 30 720 V 24 67 Assim, o poliedro tem vinte e quatro vértices. Como 3V = 2A, podemos deduzir que A = 36, então, o poliedro possui trinta e seis arestas. Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos: V A + F = 2 24 36 + F = 2 F = 14 (68) Logo, vemos que o poliedroo possui quatorze faces. Chegamos, então ao seguinte sistema de equações: F + F 14 (69) 4F + 6F 2 36 A solução do sistema é F4 = 6 e F 6 = 8, ou seja, o poliedro tem seis quadrados e oitoo hexágonos. Este poliedro é um octaedroo truncado. Figura 22. Octaedro truncado poliedroo de padrão 4.6.6

38 Para k = 4, l = 6 e m = 8, devemos ter k..l.m = 4.6.8 Seja então V o número de número de faces do poliedro. vértices, A o número de arestas e F o Seja agora F 4 o número de faces quadradas, F 6 o número de faces hexagonais e F 8 o número de faces octogonais. Temos então que o número total de faces é: F = F 4 + F 6 + F 8 Sabemos que em torno de cada vértice temos: hexágonoo regular e um octógono regular. (70) um quadrado, um nossa figura. Vamos escolher, por exemplo, o quadrado pra ficar no centro da Figura 23. Faces em torno de um quadrado, em um poliedro de padrão 4.6.8. Agora, pensemos da seguinte maneira: em torno do quadrado temos um cinturão de hexágonos e octógonos regulares. Assim temos três polígonos adjacentes a cada vértice do quadrado o próprio quadrado e mais dois polígonos logo, há doze ângulos planos adjacentes, ou interiores, aos vértices de cada quadrado. Cada ângulo plano do poliedro é adjacente ou interior a exatamente um quadrado. Então, em torno de cada vértice temos a seguinte soma de ângulos planos: 90º + 120º + 135º = 345º. Sabemos, então, que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro é S V 2 360, portanto,

39 V 2 360 V 345 V 15 720 V 48 71 Assim, o poliedro tem quarenta e oito vértices. Podemos calcular quantas faces de cada tipo o poliedro possui da seguinte maneira: F 4 345 V 2 360 72 F 1380 48 2 360 F 12 Portanto, o poliedro tem doze faces quadradas. Podemos utilizar um raciocínio semelhante elhante para encontrarmos o número de faces hexagonais e octogonais. Assim: F 6 345 V 2 360 73 F 2070 48 2 360 F 8 Logo, o poliedroo possui oitoo faces hexagonais. F 8 345 V 2 360 74 F 2760 48 2 360 F 6 Então, o poliedroo possui seis faces octogonais. Este poliedro é o grande rombicuboctaedro. Figura 24. Grande rombicuboctaedro poliedro de padrão 4.6.8.

40 Para k = 4, l = 6 e m = 10, temos k.l.m = 4.6.10 Seja então V o número de número de faces do poliedro. vértices, A o número de arestas e F o Seja agora F 4 o número de faces quadradas, F 6 o número de faces hexagonais e F 10 o número de faces decagonais. Sabemos que em torno de cada vértice temos: hexágonoo regular e um decágono regular. um quadrado, um nossa figura. Vamos escolher, novamente, o quadrado pra ficar no centro da Figura 25. Faces em torno de um quadrado, em um poliedro de padrão 4.6.10. Agora, pensemos: em tornoo do quadrado temos um cinturão de hexágonos e decágonos regulares. Assim temos três polígonos adjacentes a cada vértice do quadrado o próprio quadrado e mais dois polígonos logo, há doze ângulos planos adjacentes, ou interiores, aos vértices de cada quadrado. Cada ângulo plano do poliedro é adjacente ou interior a exatamente um quadrado. Então, em torno de cada vértice temos a seguinte soma de ângulos planos: 90º + 120º + 144º = 354º. Sabemos, então, que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro é S V 2 360, portanto, V 2 360 V 354 V 6 720 V 120 75

41 Assim, o poliedro possui cento e vinte vértices. Podemos calcular ar quantas faces de cada tipo o poliedro possui da seguinte maneira: F 4 354 V 2 360 76 F 1416 120 2 360 F 30 Portanto, o poliedro possui trinta faces quadradas. Utilizando um raciocínio análogo, também conseguimos encontrar o número de faces hexagonais e decagonais. Assim: F 6 354 V 2 360 77 F 2124 120 2 360 F 20 Logo, o poliedroo tem vinte oito faces hexagonais. F 10 354 V 2 360 78 F 3540 120 2 360 F 12 Então, o poliedroo tem doze faces octogonais. Este poliedro é o grande rombicosidodecaedro. Figura 26. Grande rombicosidodecaedro, poliedro semirregular de padrão 4.6.10.

42 Finalmente, observamos que o estudo feito anteriormente encerra todos os poliedros de padrão k.l.m, quando k, l e m são todos pares pois, se nenhuma das faces é um quadrado, cada uma delas deverá ser um polígono de número par de lados, com 6 lados ou mais, e neste caso a condição β +β +β <360 será violada. 2.2 Poliedros de padrão k.l.m.p. Os poliedros de padrão k.l.m.p são aqueles para os quais temos quatro polígonos regulares ao redor de cada vértice, dispostos ciclicamente nesta ordem: um k-ágono, um l-ágono, um m-ágono e um p-ágono. Lembremos que a soma dos ângulos internos que estão dispostos ao redor de um vértice é menor que 360º, então, a menor configuração possível de polígonos ao redor de um vértice é aquela na qual ao menos um dos polígonos é um triângulo, pois caso contrário: 1. Se k = m = n = p = 4 teremos: β +β +β +β =90 +90 +90 +90 =360 (79) que é um ladrilhamento regular, de padrão 4.4.4.4 e que também já foi estudado no trabalho anterior. 2. Se um dos valores k, m, n, p é maior que 4 temos: β +β +β +β >90 +90 +90 +90 =360 (80) Portanto, um poliedro semirregular de padrão k.l.m.p deve conter triângulos e podemos então assumir que ele tem um padrão 3.l.m.p. Observemos a figura abaixo:

43 Figura 27. Faces ao redor de um triângulo, em um poliedro de padrão 3.l..m.p No vértice C, temos a configuraç ão de vértice 3.l.m.p. Um triângulo, um polígono regular de l lados, outroo de m lados e um quarto polígono de p lados, respectivamente, encontram-se no vértice C. No vértice B também temos a configuração de vértice 3.l.m.p, ou seja, em ordem cíclica, um triângulo, um polígono de l lados, outro de m lados e um quarto polígono de p lados compartilhamm o vértice B. No vértice A temos, ciclicamente, um triângulo, um polígono de l lados, outroo de? lados e um quarto polígono de l lados. Logo, o vértice A tem a configuração 3.l.?.l, todos os vértices devem ser do mesmo tipo, temos l = p. e portanto, como Então, temos que um poliedro semirregular de padrão 3.l.m.p deve ter necessariamente um padrão 3.l.m.l., ou seja, Em um poliedro semirregular não de vértice da forma 3.l.m.p, exceto quando l = p. podemos ter a configuração Observando os ângulos adjacentes a cada vértice, temos β + 2 β +β 360 81 2 ββ +β 360 60 300 Analisemos agora qual é o menor valor possível para l. o Se l = 3, temos 3.l.m.l = 3.3.m..3, e então:

44 2 β +β 300 β 300 180 180 82 três. Portanto, m pode ser qualquer inteiro positivo maior ou igual a 3.3.3.m Então, teremos poliedros de padrão 3.3.m.3, que é equivalente a Verifiquemos as possibilidades: Se m = 3, temos um poliedro de padrão 3.3.3.3, que é um poliedro regular e que já foi estudado no capitulo anterior; Se m = 4, 5, 6, etc. temos antiprismas m-agonais. Figura 28. Antiprisma regularr de base padrão 3.3.3.4. quadrada poliedro semirregular de Temos uma lista infinita de possíveis antiprismas. Estes antiprismas são poliedros semirregulares, mas não são chamados de poliedros arquimedianos. o Se l = 4 temos 3.l.m.l = 3.4.m.4, e então: 2 β +β 300 β 300 180 120 83 m = 3, m = 4 ou m = 5. (c) 3.4.5.4 Então, os poliedros são de um dos tipos: (a) 3.4.3.4, (b) 3.4.4.4 e

45 1. O poliedro de padrão 3.l.m.l = 3.4.3.4 Seja V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro. Seja F 3 o número de faces triangulares e seja F 4 o número de faces quadradas deste poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: F = F 3 + F 4 Percorrendo todas as faces do poliedro, contando o número de arestas em cada uma destas faces e somando todos os valores encontrados, obtemos 3F 3 + 4F 4. Porém, ao procedermos desta maneira, contamos duas vezes cada aresta do poliedro, pois cada aresta é comum a duas faces. Assim temos que 3F 3 + 4F 4 = 2A Sabemos que em cada vértice do poliedro temos quatro extremidades de arestas adjacentes ao vértice. Então, o número total de extremidades de arestas é igual a 4V. Por outro lado, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, logo o número total de extremidades de arestas é 2A. Portanto, 4V = 2A 2V = A (84) Como temos dois triângulos e dois quadrados adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 2 60 +2 90 =300. Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 300. Pelo teorema do capítulo I, sabemos que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro é S=(V 2) 360, portanto, (V 2) 360 =V 300 V 60 =720 V=12 (85) Assim, o poliedro tem doze vértices. Como 2V = A, deduzimos que A = 24, ou seja, o poliedro tem vinte e quatro arestas. Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos: V A + F = 2 12 24 + F = 2 F = 14 (86) Então, vemos que o poliedro possui quatorze faces.

46 Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações: F + F 14 (87) 3F + 4F 2 24 A solução do sistema é F3 = 8 e F 4 = 6, ou seja, o poliedro tem oito triângulos eqüiláteros e seis quadrados. Este poliedro é o cuboctaedro. Figura 29. Cuboctaedro poliedro semirregular de padrão 3.4.3.4 2. O poliedro de padrão 3.l.m.l = 3.4.4.4 Seja F 3 o número de faces triangulares e seja F 4 o número de faces quadradas do poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: F = F 3 + F 4 Utilizando um raciocínio semelhante ao anterior, temos 3F 3 + 4F 4 = 2A Lembremos que 4V = 2A 2V = A Como temos um triângulo equilátero e três quadrados adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 60 + 3 90 330. Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 330. Então,

47 V 2 360 V 330 V 30 720 V 24 88 Assim, o poliedro tem vinte e quatro vértices. Como 2V = A, deduzimos que A = 48, ou seja, o poliedro tem quarenta e oito arestas. Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V A + F = 2 24 48 + F = 2, obtemos F = 26, portanto, o poliedro tem vinte e seis faces. Chegamos ao seguinte sistema de equações: F + F 26 3F + 4F 2 48 (89) A solução do sistema é F 3 = 8 e F 4 = 18, portanto, o poliedro tem oito triângulos eqüiláteros e dezoito quadrados. Este poliedro é o pequeno rombicuboctaedro. Figura 30. Pequeno rombicuboctaedro poliedro de padrão 3.4.4.4 3. O poliedro de padrão 3.l.m.l = 3.4.5.4. Seja então V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro.

48 Seja agora F 3 o número de triangulares, F 4 o número de faces quadradas e F 5 o número de faces pentagonais. Temos então que o número total de faces é dado por: F = F 3 + F 4 + F 5 (90) Assim, sabemoss que em torno de cada vértice temos: um quadrado, um hexágono regular e um octógono regular. Vamos escolher, então, uma das figuras que aparece apenas uma só vez em torno de cada vértice. Desta maneira, consideremos a figura abaixo. Figura 31. Poliedro de padrão 3.4.5.4 Agora, pensemos da seguinte maneira: em torno do triângulo temos um cinturão de quadrados e pentágonos. Desta maneira temos quatro polígonos adjacentes a cada vértice do triângulo o próprio triângulo, dois quadrados e um pentágono. Cada ângulo plano do poliedro é adjacente ou interior a exatamente um triângulo. Então, em torno de cada vértice temos a seguinte soma de ângulos planos: 60 + 2 90 + 108 348. Sabemos, que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro é S V 2 360, portanto, V 2 360 V 348 V 12 720 V 60 91 Assim, o poliedro tem sessenta vértices.

49 seguinte maneira: Podemos calcular quantas faces triangulares o poliedro possui da F 3 348 =(V 2) 360 (92) F 1044 =(60 2) 360 F =20 Portanto, o poliedro possui vinte faces triangulares. Agora, percorrendo todas as faces do poliedro, contando o número de arestas em cada uma destas faces e somando todos os valores encontrados, obtemos 3F 3 + 4F 4 + 5F 5. No entanto, ao procedermos desta maneira, contamos duas vezes cada aresta do poliedro, pois cada aresta é comum a duas faces. Assim temos que 3F 3 + 4F 4 + 5F 5 = 2A (93) Sabemos que em cada vértice do poliedro temos quatro extremidades de arestas adjacentes ao vértice. Então, o número total de extremidades de arestas é igual a 4V. Por outro lado, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, logo o número total de extremidades de arestas é 2A. cento e vinte arestas. Portanto, 4V = 2A 2V = A Como 2V = A, deduzimos que A = 120, ou seja, o poliedro tem Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos: V A + F = 2 60 120 + F = 2 F = 62 (94) Então, vemos que o poliedro possui sessenta e duas faces. Assim, chegamos ao seguinte sistema de equações: F + F + F =62 4F + 5F =2 120 (95) A solução do sistema é F 3 = 20, F 4 = 30 e F 5 = 12, ou seja, o poliedro tem vinte triângulos eqüiláteros, trinta quadrados e doze pentágonos regulares. Este poliedro é o pequeno rombicosidodecaedro.

50 Figura 32. Pequeno rombicosidodecaedroo poliedro de padrão 3.5.3.5. o Poliedros de padrão 3.l.m.l,, com l 5: Neste caso, temos β 108 β 108 96 2 β +β 300 β 300 2 β 97 300 216 84 β 84 β 60 Logo, m = 3 Então, k.l.m.l = 3.l.3.l. Logo, temos que: 2 β 3 +2 β l 360 2 ββ l 360 120 240 98 β l 120 Logo, l = 5. Então, o poliedroo é do tipo 3.5.3.5. Seja F 3 o número de faces triangulares e seja F 5 o número de faces pentagonais ais poliedro. o. Temos então que o número total de faces é dado por:

51 F = F 3 + F 5 Utilizando um raciocínio semelhante ao anterior, temos 3F 3 + 5F 5 = 2A Lembremos que 4V = 2A 2V = A Como temos dois triângulos equiláteros e dois pentágonos regulares adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 2 60 +2 108 =336. Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 336. Então, (V 2) 360 =V 336 V 24 =720 V=30 (99) Assim, o poliedro tem trinta vértices. Como 2V = 2, deduzimos que A = 60, ou seja, o poliedro tem sessenta arestas. Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V A + F = 2 30 60 + F = 2, obtemos F = 32, portanto, o poliedro tem trinta e duas faces. Chegamos ao seguinte sistema de equações: F 3 + F 5 = 32 3F 3 + 5F 5 = 2 60 (100) A solução do sistema é F 3 = 20 e F 5 = 12, portanto, o poliedro tem vinte triângulos eqüiláteros e doze pentágonos regulares. Este poliedro é o icosidodecaedro.

52 Figura 33. Icosidodecaedroo poliedro de padrão 3.5.3.5 2.3 Poliedros de padrão k.n.m.p.q Os poliedros de padrão k.l.m.p.q são aqueles nos quais temos cinco polígonos regulares dispostos ao redor de cada vértice: um k-ágono, um l- ágono, um m-ágono,, um p-ágono e um q-ágono. Para este tipo de padrão, triângulo, pois se não o tivermos, k.l.m.p.q, devemos ter pelo menos um β k +ββ l +β m +ββ p +β q 5 90 450 101 Podemos assim assumir k = 3. Figura 34. Faces em torno de um triângulol, em um poliedro de padrão 3.l.m.p.q

53 Observando a figura, vemos que no vértice B temos a configuração 3.l.m.p.q. Um triângulo, um polígono de l lados, outro de m lados, um quarto de p lados e um quinto polígono de q lados; no vértice B também temos a configuração de vértice 3.l.m.p.q, ou seja, um triângulo, um polígono de l lados, outro de m lados, um quarto de p lados e um quinto polígono de q lados se encontrando, e no vértice A temos um triângulo, um polígono de l lados, outro de? lados, um quarto de # lados e um quinto polígono de l lados. Logo, temos que l = q. Portanto, temos que poliedro de padrão 3.l.m.p.q ocorre somente se l = q, ou seja, o poliedro tem um padrão 3.l.m.p.l. Mas precisamos de outro triângulo, pois caso contrário, teremos um mínimo de outros quatro ângulos retos em torno de um vértice. Então podemos assumir que l (ou m) = 3, assim: 3 β 3 +β m +β p < 360 β m +β p <360 180 (102) β +β <180 β = 60 e β p = 90 ou β m = 60 e β p = 108 Portanto, 3.l.m.p.l = 3.3.3.4.3 ou 3.l.m.p.l = 3.3.3.5.3 1. Para k = l = m = 3 e p = 4, devemos ter k.l.m.p.l = 3.3.3.4.3 Seja V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro. Seja F 3 o número de faces triangulares e seja F 4 o número de faces quadradas deste poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: F = F 3 + F 4 Percorrendo todas as faces do poliedro, contando o número de arestas em cada uma destas faces e somando todos os valores encontrados, obtemos 3F 3 + 4F 4.

54 Porém, ao procedermos desta maneira, contamos duas vezes cada aresta do poliedro, pois cada aresta é comum a duas faces. Assim temos que 3F 3 + 4F 4 = 2A Sabemos que em cada vértice do poliedro temos cinco extremidades de arestas adjacentes ao vértice. Então, o número total de extremidades de arestas é igual a 5V. No entanto, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, logo o número total de extremidades de arestas é 2A. Portanto, 5V = 2A (103) Como temos quatro triângulos e um quadrado adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 4 60 +90 =330. Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 330. Sabemos, pelo teorema do capítulo I, que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro é S=(V 2) 360, portanto, (V 2) 360 =V 330 V 30 =720 V=24 (104) Assim, o poliedro tem vinte e quatro vértices. Como 5V = 2A, podemos deduzir que A = 60, logo, o poliedro tem sessenta e quatro arestas. Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos: V A + F = 2 24 60 + F = 2 F = 38 (105) Então, o poliedro possui trinta e oito faces. Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações: F 3 + F 4 = 38 3F 3 + 4F 4 = 2 60 (106) A solução do sistema é F 3 = 32 e F 4 = 6, portanto, o poliedro tem trinta e dois triângulos eqüiláteros e seis quadrados. Este poliedro é o cubo achatado.

55 Figura 35. Cubo achatado poliedro de padrão 3.3.3.4.3 2. Para k = l = m = 3 e p = 5, devemos ter k.l.m.p.l = 3.3.3.5.3 Seja F 3 o número de faces triangulares e seja F 5 o número de faces pentagonais ais do poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: F = F 3 + F 5 Utilizando um raciocínio análogo ao anterior 3F 3 + 5F 5 = 2A Lembremos também que 5V = 2A Como temos quatro triângulos equiláteros e um pentágono regular adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 4 60 +108 348. Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V 348. Então, V 2 360 V 348 V 12 720 V 60 107 Portanto, o poliedro tem sessenta vértices.

56 Como 5V = 2A deduzimos que A = 150, logo, o poliedro tem cento e cinquenta arestas. Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V A + F = 2 60 150 + F = 2, obtemos F = 92, então, o poliedro tem noventa e duas faces. Chegamos ao seguinte sistema de equações: F 3 + F 5 922 3F 3 + 5F 5 2 150 (108) A solução do sistema é F 3 = 80 e F 5 = 12, então, o poliedro tem oitenta triângulos eqüiláteros e doze pentágonos regulares. Este poliedro é o dodecaedro achatado. Figura 36. Dodecaedroo achatado poliedro de padrão 3.3.3.5.3

57 Conclusão Os estudos feitos neste trabalho mostram que existem somente cinco tipos possíveis de poliedros regulares, chamados de poliedros platônicos, e dentre os poliedros semirregulares, conhecidos como poliedros arquimedianos, além de uma infinidade de prismas a antiprismas, que são poliedros semirregulares. Vimos que os cinco poliedros regulares possíveis são: (a) tetraedro - de padrão 3.3.3; (b) cubo - de padrão 4.4.4; (c) dodecaedro - cujo padrão é 5.5.5; (d) octaedro - 3.3.3.3, e (e) icosaedro - de padrão 3.3.3.3.3 Já nos ladrilhamentos semirregulares, vimos que: 1. Se o poliedro for do tipo k.l.m, com k ímpar, temos que l e m ambos pares, e ainda l = m. Então, os quatro poliedros possíveis são os de padrões: (a) 3.6.6 - tetraedro truncado; (b) 3.8.8 - cubo truncado; (c) 3.10.10 - dodecaedro truncado; (d) 5.6.6 - icosaedro truncado. 2. Se o poliedro for do tipo k.l.m, com k par, podemos ter três tipos de poliedros possíveis: (a) 4.6.6 - octaedro truncado; (b) 4.6.8 - grande rombicuboctaedro e (c) 4.6.10 - grande rombicosidodecaedro. 3. Se o poliedro for do tipo k.l.m.p, temos que ter a presença de triângulos. Podemos assumir então k = 3, e então teremos l = p. Com isto, os poliedros possíveis são os de padrões: (a) 3.4.3.4 - cuboctaedro; (b) 3.5.3.5 - icosidodecaedro; (c) 3.4.4.4 - pequeno rombicuboctaedro e (d) 3.4.5.4 - pequeno rombicosidodecaedro. 4. Se o poliedro for do tipo k.l.m.p.q, também precisamos da presença de triângulos, assim, assumimos k = 3. Temos que ter l = q e ainda, k = l = m. Então, o poliedro precisa ter, necessariamente, um dos padrões: (a) 3.3.3.4.3 - cubo achatado e (b) 3.3.3.5.3 - dodecaedro achatado.

58 Apêndice Teorema de Euler Definição 1: Grande círculo é qualquer círculo sobre uma esfera que tem o mesmo raio que a esfera, ou seja, qualquer círculo sobre a esfera que possui o maior raio possível. Definição 2: Triângulo esférico (ou triângulo geodésico) é um triângulo sobre uma esfera delimitado por três grandes círculos, e cada lado deste triângulo é menor que a metade de circunferên ncia da esfera. Definição 3: Fuso simples (ou luna) é a região delimitada por dois grandes círculos. Teorema: Em todo poliedroo convexo vale a seguinte relação V A + F = 2, onde V é o número de vértices, A o número de arestas número de faces do poliedro. e F é o Demonstração: Seja um triângulo esférico ABC, cujos ângulos internos medem a, b e c radianos. Figura 1. Triângulo formado por três grandes círculos

59 Lembremos que em uma esfera, a soma dos ângulos internos é sempre maior que π,, assim, temos que a + b + c > π. Como a área de um triângulo esférico é igual à soma dos seus ângulos internos subtraído π, temos: Área = a + b + c π = soma dos ângulos π. Agora, seja um fuso simples. Como um par de grandes círculos sempre se encontra em dois pontos que ficam em lados opostos da esfera, se em uma extremidade eles encontram-se com ângulo a, então eles também terão este mesmo ângulo a na outra extremidade. Figura 2. Um fuso simples em uma esfera. Temos que a área do fuso é dada pela relação: á π π áre ea do fuso = 2aR 2 Agora, vamos prolongar os lados do triângulo ABC, até que eles interceptem a borda da esfera, como na figura abaixo. Figura 3. Grandes círculos em uma esfera.

60 Pela simetria da esfera, temos que a soma das regiões ADE e AGH é a mesma de um fuso com ângulo de medida a. Então: área ADE + área AGH = área do fuso = 2aR 2 Da mesma maneira, os triângulos BFG e BDI possuem mesma área que um fuso com ângulo de medida b, e os triângulos CHI e FCE tem mesma área que um fuso com ângulo de medida b. Assim, área BFG + área BDI = 2bR 2 e área CHI + área FCE = 2cR 2 Portanto, a soma das áreas dos três fusos é: 2aR 2 + 2bR 2 + 2cR 2 Observemos que ao procedermos desta maneira, estamos somando a área de cada fuso uma única vez e a área do triângulo ABC três vezes. Portanto precisamos subtrair duas vezes a área deste triângulo. área é: Agora, olhando para a metade visível da esfera, temos que sua 2πR 2 = 2aR 2 + 2bR 2 + 2cR 2 2 área ABC 2 área ABC = 2aR 2 + 2bR 2 + 2cR 2 2πR 2 área ABC = (a + b + c π) R 2 Desta maneira, podemos encontrar a área de um polígono esférico de n lados. Seja a 1, a 2,..., a n os ângulos internos deste polígono. Dividindo este polígono em triângulos esféricos, obtemos um total de n 2 triângulos, e com isto temos que a soma das áreas destes triângulos é igual a área deste polígono de n lados, e a soma dos ângulos dos triângulos é igual a soma dos ângulos do polígono.

61 Consideremos a figura abaixo. Figura 4. Polígono esférico de n lados, cuja área é a soma das quantidades presentes no diagrama (quando R = 1). Portanto, a área do polígonoo é: área = a 1 R 2 + a 2 2R 2 +...+ anr 2 n (n 2) π R 2 a 1 R 2 + a 2 R 2 +....+ a n R 2 nπ R 2 + 2ππ R 2 (a 1 + a 2 +...+ a n nπ + 2π) R 2 Agora, seja um poliedro convexo com V vértices, A aresta e F faces. Seja x um ponto qualquer no seu interior, de tal maneira que ele consiga enxergar todos os pontos do poliedro, e seja uma S uma esfera, centrada em x que contem completamente este poliedro. Ao projetarmos obtemos um poliedroo esférico. as arestass deste poliedro, a partir do ponto x, Figura 5. Projeção do poliedro sobre a esfera. Enumeremos como 1, 2,...,F as faces deste poliedro, e sejam

62 ângulos internos da face 1 ângulos internos da face 2 ângulos internos da face F Agora, temos: n 1 = número de lados da face 1 n 2 = número de lados da face 2 n F = número de lados da face F A soma das áreas de todos os polígonos esféricos (após a projeção do poliedro convexo) é igual a 4πR 2. Então, 4πR 2 = ( n 1 1π + 2π) R 2 +...+ ( n F π + 2π) R 2 = + +... R 2 (nn 1 + n 2 +...+ + n F ) ) π R 2 + 2 π F R Como cada aresta contribuii com 2π, pois temos π de um lado e π do outro lado da aresta (conforme a figura abaixo mostra); a soma dos ângulos internos de cada face representa a soma dos ângulos presentes nos vértices, e como o número de lados de cada face é igual ao número de arestas, podemos dizer que R 2 Figura 6. Projeçãoo com rótulos

63 4πR 2 = 2 π V R 2 2 π A R 2 + 2 π F R 2 V A + F = 2

64 Referências Bibliográficas Kinsey, L. Christine. Symmetry, Shape and Space. An Introduction to Mathematics Through Geometry. Key College Publishing/Springer, N. Y., 2001 Cromwell, Peter. Polyhedra. Cambridge University Press, Cambridge, 1997 Richeson, David S. Euler s Gem. The polyhedron formula and the birth of topology. Princeton University Press, Princeton, 2009