CONTROLE NEBULOSO ROBUSTO BASEADO NAS ESPECIFICAÇÕES DAS MARGENS DE GANHO E FASE

X SBAI Simósio Brasieiro de Automação Inteigente 8 a de setembro de CONTROLE NEBULOSO ROBUSTO BASEADO NAS ESPECIFICAÇÕES DAS MARGENS DE GANHO E FASE Joabe Amara da Siva, Ginaber Luís de Oiveira Serra Universidade Federa do Maranhão - UFMA Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Eetricidade - PPGE/UFMA Av dos Portugueses, s/n Camus Universitário do Bacanga, São Luís, MA, Brasi Instituto Federa de Educação, Ciência e Tecnoogia - IFMA Laboratório de Inteigência Comutaciona Aicada a Tecnoogia Av Getúio Vargas, No 4, Monte Casteo - São Luís, MA, Brasi Emais: oabeamara@gmaicom, ginaber@ifmaedubr Abstract The roosed methodoogy is a robust fuzzy contro mode based design In this aer, the robust fuzzy contro design based on gain and hase margins secifications for noninear systems, in the continuous time domain, is roosed A mathematica formuation based on Takagi-Sugeno fuzzy mode structure as we as the PDC strategy is resented Anaytica formuas are deduced for the sub-controers arameters, in the robust fuzzy controer rues base, according to the fuzzy mode arameters of the fuzzy mode ant to be controed Resuts for the necessary and sufficient conditions for the fuzzy controer design, from the roosed robust methodoogy, with one axiom and two theorems are resented Simuation resuts, based on robust methodoogy, for a singe ink robotic maniuator are resented Keywords Robust Contro, Fuzzy Contro, Fuzzy Systems and PDC Strategy Resumo A metodoogia roosta consiste no roeto de controe nebuoso robusto baseado em modeo É roosto um método de controe nebuoso robusto baseado nas esecificações das margens de ganho e fase ara sistemas não-ineares, no domínio do temo contínuo Uma formuação matemática baseada na estrutura do modeo nebuoso Takagi-Sugeno bem como na estratégia PDC, também é aresentada Fórmuas anaíticas são deduzidas ara o cácuo dos arâmetros dos sub-controadores, na base de regras do controador nebuoso robusto, de acordo com os arâmetros do modeo nebuoso da anta a ser controada Resutados ara as condições necessárias e suficientes ara o roeto do controador nebuoso, a artir da metodoogia robusta roosta, com um axioma e dois teoremas são aresentados Resutados de simuações ara um maniuador robótico são aresentados Paavras-chave Controe Robusto, Controe Nebuoso, Sistemas Nebuosos e Estratégia PDC Introdução No roeto de sistemas de controe cássico, a rimeira etaa é estabeecer um modeo matemático adequado ara descrever as características da anta controada Takagi and Sugeno, 985 Entretanto, em situações ráticas, ta requisito não está acessíve em virtude dos sistemas dinâmicos reais serem, em sua maioria, sistemas não-ineares, ou incertos O que torna o roeto dos sistemas de controe muito mais comexo ara tais sistemas Cetin and Demir, 8; Dong et a, 9; Peadra et a, 9 Este fato tem motivado o uso dos sistemas nebuosos no desenvovimento de sistemas de controe baseado em modeo Neste contexto, o controe nebuoso tem se mostrado uma aternativa viáve ao controe convenciona de rocessos industriais com arâmetros variantes no temo, não-ineares e/ou com informações imrecisaschengeta,9;wen-xueta,9 Os controadores nebuosos são aroriados quando rocessos estruturamente desconhecidos ou ouco conhecidos devem ser controados Para estes sistemas a aicação de um controador nebuoso oferece um desemenho semehante ou suerior aos controadores convencionais, ressatando a simicidade de imementação e interretabiidade característica dos sistemas nebuosos A metodoogia roosta consiste no roeto de controe nebuoso robusto baseado em modeo Para tanto, é roosto um método de controe nebuoso robusto baseado nas esecificações das margens de ganho e fase ara sistemas não-ineares, no domínio do temo contínuo Resutados ara as condições necessárias e suficientes ara o roeto do controador nebuoso, a artir da metodoogia robusta roosta, com um axioma e dois teoremas são aresentados Resutados de simuações ara um maniuador robótico são aresentados Metodoogia de Controe Nebuoso Robusto Baseado em Modeo O método de controe baseado em modeo utiizado neste artigo, está iustrado na figura O rocedimento adotado consiste iniciamente na obtenção de um modeo dinâmico nebuoso com uma estrutura Takagi-Sugeno TS, utiizando os dados exerimentais da anta a ser controada e de uma metodoogia de agruamento nebuosa Gustafson-Kesse Uma vez vaidado o modeo obtido, este será utiizado ara o roeto do controador PID nebuoso, a artir das esecifi- ISSN: 75-895 - Vo X 594

X SBAI Simósio Brasieiro de Automação Inteigente 8 a de setembro de cações das margens de ganho e fase, via estratégia de comensação araea e distribuída PDC A estratégia PDC oferece um rocedimento ara roetar um controador nebuoso baseado em modeo, onde a anta a ser controada é reresentada or um modeo nebuoso TS, ta que cada subcontroador, na base de regras do controador nebuoso, é roetado, corresondentemente, a artir de um sub-modeo na base de regras do modeo nebuoso TS da anta a ser controada O controador nebuoso robusto roetado e o modeo nebuoso TS da anta a ser controada, comartiham os mesmos conuntos nebuosos, no antecedente Wang et a, 995 Nas subseções a seguir aresenta-se os detahes da metodoogia adotada ara a modeagem nebuosa Proeto do Exerimento Dados Exerimentais Estrutura do Modeo Cácuo do Modeo Agruamento Nebuoso Estimação de Parâmetros Conhecimento Prévio [,], comµ i F k τt µ i F τt,µ i F τt,µ i F 3 τt,,µ i F τt τ t, onde τt é número de artições do universo de discurso associado à variáve ingüística τ t A variáve τ t [t,,,n] ertence ao conunto nebuoso G i com um vaor µ i k τ G definido or t k τ t uma função de ertinência µ i τ : R [,], t comµ i G µ i G,µ i G,µ i G,,µ i G, k τ t τ t τ t 3 τ t τ τ t t onde τ t é número de artições do universo de discurso associado à variáve ingüística τ t A variáve Kt [t,,,n] ertence ao conunto nebuoso H i k K com um vaor µ i t H definido or k Kt uma função de ertinência µ Kt : R [,], com µ H µ i H,µ i k Kt Kt H,µ i Kt H,,µ i 3 Kt H, Kt K t onde Kt é número de artições do universo de discurso associado à variáve ingüística K t O sistema de inferência nebuoso TS roosto ara o controador, G c s, considerando-se a definição da estratégia PDC, na qua o controador e a anta a ser controado comartiham as mesmas remissas no antecedente da base de trgras nebuosas, aresenta na [,,,] -ésima regra, sem erda de generaidade, a seguinte estrutura: Controador Nebuoso Vaidação do Modeo Estratégia PDC INADEQUADO: Revise ADEQUADO: Use este! Esecificações das Margens de Ganho e Fase Figura : Diagrama do sistema de controe Controe Nebuoso Robusto Baseado nas Esecificações das Margens de Ganho e Fase O sistema de inferência nebuoso TS ara o modeo da anta a ser controada, G s, aresenta na i [,,,] -ésima regra, sem erda de generaidade a seguinte estrutura: R i : SE τ É Fi k τ E τ É G i k τ E K É H i k K ENTÃO G i K i s +s +sτ i e sl Onde L é o temo morto da anta A constante de temo τ e τ, onde τ τ, e o ganho K, reresentando as variáveis ingüísticas dos antecedentes do modeo nebuoso Seus universos de discurso são, resectivamente U τ, U τ e U K, articionados or conuntos nebuosos reresentando os termos ingüísticos A variáve τ t [t,,,n] ertence ao conunto nebuoso F i k τ t com um vaor µ i F k τt definido or uma função de ertinência µ ĩ τ t : R R : SE τ É F k τ E τ É G k τ E G cs K c K É H k K ENTÃO +st I +st D st I O grau de ativação h ara a regra, é dado or: h τ, τ, K µ F k τ µ G k τ µ H k K 3 O grau de ativação normaizado ara a regra, é definido or: τ, τ, K h τ, τ, K λ h λ τ, τ, K 4 e, esta normaização imica em: τ, τ, K 5 Portanto, o modeo nebuoso TS ara o controador, G c s, é uma soma onderada dos subcontroadores ineares ocais: G c τ, τ, K,s K c +st I τ, τ, K +st D st I 6 ISSN: 75-895 - Vo X 595

X SBAI Simósio Brasieiro de Automação Inteigente 8 a de setembro de O modeo nebuoso no ramo direto da maha fechada, considerando a anta a ser controada, e o controador, é: G c τ, τ, K,sG τ, τ, K,s τ, τ, K τ, τ, K KcK i +st I +st D st I +sτi +sτ i e sl 7 ω TI + ω + τ, K τ, K KcK i ω g T I 3 Estabiidade Robusta Baseada nas Esecificações das Margens de Ganho e Fase Aós a definição de G e G c, definem-se, agora, as margens de ganho e fase or A m and φ m, resectivamente Das definições básicas de margens de ganho e fase, são obtidas as seguintes equações: [ arg G c τ, K,ω G τ, K ],ω π 8 A m G c τ, K,ω G τ, K,ω 9 G c τ, K,ω g G τ, K,ω g [ φ m arg G c τ, K,ω g G τ, K ],ω g +π onde a margem de ganho é dada eas equações 8 e 9 e a margem de fase eas equações e, resectivamente A freqüência ω, na qua a curvadenyquisttemumafasede π, éafreqüência de utraassagem de fase e a freqüência ω g, na qua,acurvadenyquisttemumaamitudedeé a freqüência de utraassagem de ganho Considerando a estratégia PDC, nos ontos de oeração, assume-se que o arâmetro T D, do controador nebuoso TS é igua à menor constante de temo τ i do seu resectivo sub-modeo nebuoso da anta a ser controada Assim, substituindo-se a equação 7 em 8 a, tem-se que: arctan ω TI i arctan ω π ω g L] π A m τ, K τ, K K ck i ω T I ω g TI + ω g + 4 φ m [ arctan ωg TI i arctan ωg π ] ω gl +π 5 Para um determinado sub-modeo inear, G i s, K, i,l, e esecificações de margem de ganho fase A m,φ m, as equações -5 odem ser utiizadas ara determinar os arâmetros dos sub-controadores, G cs,kc,t I,T D, na frequência de utraassagem ω,ω g numericamente, mas não anaiticamente, or causa da resença da função arctan Todavia, uma soução anaítica aroximada ode ser obtida se fizermos a seguinte a aroximação ara a função arctan: arctanx πx x, 4 π π 4x x > 6 A soução numérica das equações -5 mostra que ara > 3L, x, em que x ode ser ω T I, ω, ω g T I ou ω g Portanto, usando a aroximação dada or 6 ara a função arctan ara o caso x >, as equações 3 e 4 são dadas or: τ, K τ, K A m ω τ, K τ, K K c K i K c K i ω g 7 8 resectivamente Usando a mesma aroximação, as equações e 5 são dadas or: ISSN: 75-895 - Vo X 596

X SBAI Simósio Brasieiro de Automação Inteigente 8 a de setembro de [ φ m π 4ω π ω T i I [ π ω L ] π 9 π 4ω π π ] g ω gti i ωgl +π resectivamente Portanto, a soução anaítica ara o auste dos arâmetros dos sub-controadores, G i cs [,,,], de acordo com as equações 7-, é dada or: T D τ i τ, K K i γ i τ, K K i τ, K K i γ i τ, K K i τ, K K i γ τ, K τ, K K i K c ω K c A m γ τ, K ω g Kc e T π π π I ω ω ω T π π π I ω g ω g ω g TI { } π ω π L +π 4ω { } 3 π ω π gl φ 4ω g m +π onde ω é dado or: ω A mφ m + πamam A m L 3 Anáise de Estabiidade Robusta 4 Para o roeto do controador nebuoso robusto, a artir das equações -3, resectivamente, e de acordo com as esecificações de margens de ganho e fase, os seguintes axioma e teoremas são roostos: Axioma : Os sub-modeos na base de regras do modeo nebuoso TS da anta a ser controada devem ser necessariamente estáveis; Teorema : Cada sub-controador G cs [,,,] da base de regras do controador nebuoso robusto, garante as esecificações de margem de ganho e fase ara o resectivo sub-modeo G i s [,,,], com i, na base de regras do modeo nebuoso TS da anta a ser controada; Prova: O grau de ativação normaizado, em um dado onto de oeração, ara a base de regras do controador nebuoso robusto é,: τ, τ K 5 O grau de ativação normaizado, ara uma simes regra ativada, onde, é dado or: ++γ τ, τ, K +++ 6 γ τ, τ, K 7 Baseado na estratégia de comensação araea e distribuída, temos: γ τ, τ, K K τ γ τ, τ, K K τ γ τ, τ, K K γ τ τ, τ, K K τ γ τ, τ, K Kc ω A m 8 ω g Resovendo a equação 8 ara K c, temos: γ τ, τ, K K τ e γ τ, τ, K K c ω A m 9 γ τ, τ, K K γ τ τ, τ, K Kc ω g 3 Isoando Kc, na equação 9, tem-se que: Kc τ ω K A m γ τ, τ, K 3 Para obter o arâmetro T I, em um dado momento, como definido anteriormente, tem-se que: π ω π ω g π ω π ω g T I π 4ω ωl π +π τ π 4ω ωgl π +π φ gτ m 3 ISSN: 75-895 - Vo X 597

X SBAI Simósio Brasieiro de Automação Inteigente 8 a de setembro de O qua resuta em e π ω T I π ω g T I π 4ω ωl π +π 33 τ π 4ω ωgl π +π φ gτ m 34 Isoando φ m, na equação 34, temos que: π φ m 4ω π gτ ω g T ω π gl +π 35 I e, γ τ, τ, K γ τ, τ, K K A m τ ω τ ω KA m γ τ, τ, K γ τ, τ, K 36 Portanto, A m A m 37 Assumindo, em um dado momento, a ativação tota de uma simes regra, como definido reviamente, na equação 3, temos, π φ m 4ω π gτ ω gt π +π I ωgl 38 Comarando a equação 38 com 35, tem-se: φ m φ m 39 Teorema : Cada sub-controador, G cs [,,,], nebuoso robusto na base de regras do controador nebuoso robusto, garante a estabiidade ara todos os sub-modeos, G i s [,,,], da anta na base de regras do modeo nebuoso da anta ser a controada Prova: A função de transferência ara a maha fechada é a seguinte: G MF s, τ, τ, K τ, τ, K τ, τ, K +st I e sl KcK i [ st I +s +KcK i ] 4 +st I Para que o sistema, com o controador nebuoso robusto, sea estáve, a equação característica da função de transferência a maha-fechada, na equação anterior, deve ossui raízes óos no semi-ano esquerdo do ano-s arte rea negativa Portanto, temos que: τ, τ, K τ, τ, K [ T I s + ] + T I +Ki KcT I s+ KK i c 4 Pea aicação do Critério da Estabiidade de Routh Frankin et a, 986 em 4, tem-se, s T I KK i c s T I +Ki KcT I 4 s KK i c E, é necessário que todos os termos da rimeira couna seam ositivos: T I > 43 T I +Ki K ct I > 44 K i K c > 45 Uma vez que os arâmetros dos sub-modeos estáveis na base de regras do modeo nebuoso da anta a ser controada, τ i e K i de acordo com o axioma, são vaores ositivos, e as esecificações de margem de ganho e fase A m e φ m são, também, vaores ositivos, resuta que, baseado nas equações -, os vaores dos arâmetros do controador PID nebuoso robusto Kc, T D e T I são ositivos Embora não sea tão comum, o sistema é estáve se todos os termos da rimeira couna, do arrano tabuar de Routh, forem negativos Caracterizando que não ocorre nenhuma ateração no sina dos eementos da rimeira couna Portanto, a artir das equações43-45, ode-se concuir que cada controador na base de regras do controador nebuoso robusto, garante a estabiidade ara todos os sub-modeos da anta na base de regras do modeo nebuoso da anta a ser controada, como deseado 3 Resutados Comutacionais Esta seção descreve os resutados exerimentais do método de controe nebuoso robusto roosto neste artigo 3 Descrição do Sistema Dinâmico Para vaidação o método de controe nebuoso robusto roosto neste artigo, utiizou-se o um modeo nebuoso, baseado em agruamento nebuoso Gustafsson- Kesse obtido ara um maniuador robótico, cuo comortamento é descrito ea seguinte equação diferencia: m θ +B θ +mgsinθ u 46 onde m kg é a massa, m é comrimento do braço do maniuador, g 98m/s é a aceeração da gravidade, B é é o fator de amortecimento, cua variação aramétrica vai de a kgm /s e u é a variáve de entrada, ou sea, o torque aicado no maniuador O ânguo θ é a variáve de saída, ou sea, a osição anguar do maniuador ISSN: 75-895 - Vo X 598

X SBAI Simósio Brasieiro de Automação Inteigente 8 a de setembro de Baseado na estratégia PDC, cada regra de controe na base de regras do controador nebuoso robusto é roetada a artir da regra corresondente do modeo nebuoso TS da anta a ser controada O controador nebuoso roetado comartiha os mesmos conuntos nebuosos como o modeo nebuoso no antecedente das regras nebuosas Para o roeto do controador nebuoso robusto, diferentes margens de ganho e fase foram esecificadas O temo de atraso ara o rocesso foi de s e aroximação de Padé foi de a ordem A tabea mostra as margens de ganho e fase resutantes dos controadores roetados a artir das margens de ganho e fase esecificadas Esecificado Resutante A m φ m A m φ m 6 45 6 4886 954 45 9 3 398 45 38 3658 954 6 37 68 398 6 4 663 Tabea: Margensdeganhoefaseobtidosaartir das esecificações Observa-se na tabea, que ocorrre uma diferença entre as margens de ganho esecificadas e as resutantes nas inhas, e 4 Assim como as margens de fase nas inhas e 3 Isto se deve ao fato das sucessivas aroximações efetuadas ao ongo do rocesso de modeagem e controe, ara o maniuador robótico O que nos remete ao de uso de Agoritmos Genéticos ara otimização da metodoogia de controe roosta A figura mostra o desemenho do controador nebuoso robusto baseado nas esecificações das margens de ganho e fase Amitude [kgm /s] Posição anguar [Rad] 8 6 4 8 6 4 4 6 8 Coeficiente de Atrito B Variação ao ongo do temo 4 6 8 4 t[s] 8 6 4 Resosta do Sistema de Controe Referência Am: 4 e Om: 45º Am: 4 e Om: 6º Am: 3 e Om: 6º 5 5 5 3 35 4 45 5 Temo [s] Figura : Variação aramétrica de B e Resosta do sistema de controe - osição anguar 4 Concusão A metodoogia roosta consiste no roeto de controe nebuoso robusto baseado em modeo Neste artigo foi roosto um método de controe nebuoso robusto baseado em modeo or meio de uma estrutura nebuosa Takagi-Sugeno, baseado nas esecificações das margens de ganho e fase A metodoogia roosta se caracteriza ea imementação do conhecimento do eseciaista, tanto na fase de obtenção do modeo da anta a ser controada, como no roeto e anáise do controador nebuoso Diante dos resutados encontrados, observou-se que o controador nebuoso robusto, baseado nos axiomas e teoremas roostos, garante a estabiidade robusta, uma vez que a formuação e a anáise foi feita no domínio da frequência, baseado nas esecificações das margens de ganho e fase Agradecimentos Os autores agradecem ao Conseho Naciona de Desenvovimento Científico e Tecnoógico CNPq eo suorte financeiro à esquisa Referências Cetin, S and Demir, O 8 Fuzzy id controer with coued rues for a noninear quarter car mode, Proceedings of Word Academy of Science, Engineering and Technoogy, Vo 3, 38 4 Cheng, X, Lei, Z and Junqiu, Y 9 Fuzzy id controer for wind turbines, Second Internationa Conference on Inteigent Networks and Inteigent Systems, 74 77 Dong, J, Wang, Y and Yang, G-H 9 Contro synthesis of continuous-time t-s fuzzy systems with oca noninear modes, Systems, Man, and Cybernetics, Part B: Cybernetics, IEEE Transactions on 395: 45 58 Frankin, G, Powe, J D and Baeini, A 986 Feedback contro of dynamic systems, Addison- Wesey Peadra, P, Akarian, P and Tuan, H9 Missie autoiot design via a muti-channe ft/v contro method, Internationa Journa Robust and Noninear Contro : Takagi, T and Sugeno, M985 Fuzzy identification of systems and its aications to modeing and contro, Proceedings of the IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, Vo 5, 6 3 Wang, H, Tanaka, K and Griffin, M 995 Parae distributed comensation of noninear systems by takagi-sugeno fuzzy mode, Proceedings of 995 IEEE Internationa Conference on Fuzzy Systems, Vo, 53 538 Wen-Xu, Y, Zhi-Cheng, J and Jin, H 9 Shunt active ower fiter ine current contro based on t- s fuzzy mode, 4th IEEE Conference on Industria Eectronics and Aications, 9, 4 46 ISSN: 75-895 - Vo X 599