ª Lista de Exercícios (ALGA) Prof. Helder G. G. de Lima Legenda Cálculos Conceitos Teoria Software Questões. Mostre que as afirmações a seguir não são necessariamente verdadeiras para matrizes quadradas A e B, fornecendo exemplos de matrizes para as quais elas sejam falsas. Compare com o que ocorreria se A e B fossem números reais. (a) Sempre que A = B pode-se concluir que A = B ou A = B. (b) (AB) = A B. (c) Se A = então A =. (d) Caso ocorra A = P BP para alguma matriz P, pode-se afirmar que A = B.. Calcule, se existir, a inversa de cada uma das matrizes a seguir: 3 3 3 (a) D = 3 (b) T = 4 5 (c) U = 3 3 3 3 3 6 3 6 3. Seja M = (m ij ) a matriz de ordem 7 7 cujo termo geral é m ij = {, se i j,, se i > j. Utilize a definição do produto de matrizes para obter uma fórmula (em função de i e j) para as seguintes entradas da matriz C = M : (a) c j, sendo j 7. (b) c 4j, quando j < 4. (c) c 4j, quando 4 j 7. (d) c ij, quando j < i 7. (e) c ij, quando i j 7. 4. Uma matriz A é considerada simétrica se A T = A e antissimétrica se A T = A. Levando em conta as propriedades da transposição de matrizes, justifique as afirmações que forem verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as falsas: (a) Todas as entradas da diagonal de uma matriz antissimétrica devem ser nulas. (b) Não existem matrizes simétricas que também sejam antissimétricas. Este é um material de acesso livre distribuído sob os termos da licença Creative Commons Atribuição- CompartilhaIgual 4. Internacional
(c) Toda matriz simétrica é antissimétrica. (d) Toda matriz antissimétrica é simétrica. (e) Se uma matriz não é simétrica, então ela é antissimétrica. 5. Encontre uma matriz triangular superior equivalente por linhas a cada matriz P indicada a seguir, e utilize-as para calcular o determinante de P. 5 (a) P = 3 7 3 4 3 (c) P = 3 3 6 (b) P = 3 5 5 9 3 4 5 a b 6. Supondo que a matriz M = satisfaz det M = 9, calcule a + c a + b + c + d c d a (a + b). 7. Dê exemplos de matrizes não nulas A e B de tamanho n n (com n ) tais que: (a) det(a + B) = det(a) + det(b) (b) det(a + B) det(a) + det(b) (c) det(ca) = c det(a), para algum c (d) det(ca) c det(a), para algum c 8. Verifique que as matrizes P = e Q = 5 satisfazem: 5 7 (a) det(p Q) = det(p ) det(q) (b) det(qp ) = det(p ) det(q) (c) det(r T ) = det(r), sendo R = P + Q (d) det(p ) = det(p ) 9. Calcule o determinante das seguintes matrizes: (a) Q = 3 3 (b) R = 3 4 3 6 4 6 4 4 6 6 4 4 (c) T = DD T, sendo D = [ ] (d) U = D T D, sendo D como no item anterior / (e) A = LU, sendo L = / 3 e U = 3/ 5/4 9/
5 7 (f) M = P QP, sendo P = 3 e Q = 3 3 7. Mostre que x y z (a) u v w = wvz (b) a b c d e f g h i = jigd j (c) a b c d e f g h i x y z = wvzie u v w. Dê exemplos de matrizes A e B tais que (a) A + B seja inversível, mas A e B não sejam (b) A e B sejam inversíveis, mas A + B não seja (c) A, B e A + B sejam inversíveis. Considere o sistema de equações lineares { x 3y = 4 5x + y = 7 e utilize um software como o GeoGebra para: (a) Plotar o conjunto A formado pelos pontos (x, y) cujas coordenadas satisfazem a primeira equação e o conjunto B dos que verificam a segunda equação. Dica: Não é preciso um comando especial para representar equações polinomiais no GeoGebra. Basta digitá-las diretamente (mesmo se forem como 5xyˆ+yˆ3xˆ=). (b) Alterar algumas vezes os números do segundo membro, e perceber o tipo de mudança que ocorre na representação gráfica de A e B. (c) Verificar se com alguma escolha de valores os conjuntos se intersectam. Parece ser possível que isso não aconteça dependendo dos valores escolhidos? Dica: O comando Interseção[p, q] gera a interseção dos objetos p e q. 3. Repita o exercício anterior para o seguinte sistema, em uma janela de visualização 3D: x y + z = x + y + z = 4 x + y + 5z = 7 4. Considere os seguintes sistemas lineares nas variáveis x, y R: { x + y = 6 x cy = () { x + y = 6 cx + y = 4c () (a) Determinar para quais valores de c os sistemas lineares têm uma, nenhuma ou infinitas soluções. https://www.geogebra.org/download/ 3
(b) Obtenha as mesmas conclusões sobre c experimentalmente, usando o GeoGebra. Dica: defina por exemplo c= e use o botão direito do mouse para tornar o número visível como um controle deslizante e mova-o para ver o efeito deste parâmetro. 5. Determine para que valores de t o sistema linear (A ti)x = possui mais de uma solução, sendo I a matriz identidade, A a matriz definida nos casos a seguir, (A ti) a matriz de coeficientes do sistema, e uma matriz coluna de ordem apropriada. ] (a) A = [ 3 (b) A = (c) A = 3 6. Obtenha a forma escalonada reduzida por linhas da matriz de coeficientes de cada um dos sistemas lineares a seguir, e partir dela determine as soluções dos sistemas: { b + 6c = 6 5s 5πt = 5π (d) (a) a + 6b 5c = 3 s + (π + 3)t = π(π + 6) 3a + b 3c = 4x + 4x = 6 5x y + 5z = 5x 4 = (e) x (b) x + y + 3z = 7 + x + x 3 = x x + 4y + 5z = 3 + 8x 4 = 3/5 v + 5w = (c) u + v + 3w = u + 4v + 5w = (f) 3x x 6x 3 + 9x 5 = x + 4x + x 3 3x 5 = 7 x x x 3 + x 4 3x 5 = 5 7x + 8x + 5x 3 3x 5 = 53 7. Se A é uma matriz p q, B uma matriz q r e C uma matriz r q, qual é o tamanho da matriz M = (B + C T )((AB) T + CA T )? 8. Se X é uma matriz m n, para que valores de m e n as operações a seguir fazem sentido? Quais os tamanhos das matrizes obtidas? Quais delas são simétricas? Justifique. (a) XX T (b) X T X (c) X + X T (d) X T + X (e) X X T 9. Em um software de computação numérica (GNU Octave 3, o Scilab 4, MatLab, etc): (a) Sortear ao acaso matrizes de ordem 7 7 e verificar quantas delas são inversíveis. Dica: o comando rand(m,n) gera aleatoriamente uma matriz de ordem m n, e o comando det(a) calcula o determinante da matriz A. (b) Repetir o experimento anterior com matrizes quadradas de algum outro tamanho. O que ocorre com a maioria das matrizes em cada uma das dimensões consideradas? (c) Escolher matrizes triangulares superiores A, A 3 e A 4 de ordens, 3 3 e 4 4 respectivamente, todas com zeros na diagonal e então: i. Calcular as potências A, A3 3 e A4 4. 3 https://www.gnu.org/software/octave/download.html 4 http://www.scilab.org/download/latest 4
ii. Com base nos resultados obtidos, formule uma conjectura a respeito da n-ésima potência das matrizes triangulares superiores n n, com zeros na diagonal. iii. Prove que o seu palpite é realmente válido para qualquer matriz nas condições acima (pelo menos nos casos e 3 3). 3 a b c. Suponha que M = 4 5 e X = d e f M 3 3 (R) são tais que MX = I 3 3. 7 g h i Determine X, por meio da comparação das entradas de MX e I, e depois calcule XM. 9. Para que valor(es) de t R a matriz T = t 3 é inversível? Qual é a inversa? 9 t + t 4. Existe algum t R para o qual N = 6 t 5 M 3 3 (R) não é inversível? 4 t 3. Justifique as afirmações verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as demais: (a) A matriz nula é uma matriz na forma escalonada reduzida por linhas. (b) A matriz identidade 4 4 está na forma escalonada reduzida por linhas. (c) Se uma matriz triangular superior é simétrica então ela é uma matriz diagonal. (d) Se U e V são matrizes diagonais, então UV = V U. (e) Se A é uma matriz antissimétrica, isto é, se A T = A, então A T é antissimétrica. (f) Se A é uma matriz n n antissimétrica, então sua diagonal é igual a zero. (g) Nenhuma matriz A n n pode ser simétrica e antissimétrica simultaneamente. 4. Quantas matrizes diagonais D de ordem satisfazem D = I, isto é, quantas matrizes diagonais são raizes quadradas da matriz identidade de ordem? E se D for 3 3? 5. Encontre todas as matrizes diagonais D de ordem 3 3 tais que D 7D + I =. 6. Mostre que se S é uma matriz simétrica então S também é simétrica. Decida se vale o mesmo para S n, qualquer que seja n N, e explique sua conclusão. 7. Se M é uma matriz quadrada n n, a soma das entradas da diagonal de M é chamada de traço de M, e denotada por tr(m) = m + m +... + m nn. Explique por que são válidas as seguintes afirmações, para quaisquer matrizes A e B e todo c R: (a) tr(a + B) = tr(a) + tr(b) (b) tr(c A) = c tr(a) (c) tr(a T ) = tr(a) 5
Respostas. Em todos os itens há uma infinidade de matrizes que exemplificam porque as afirmações dadas são falsas. Seguem alguns exemplos: (a) Para A = e B = é verdade que A = I = B, mas A B e A B. 4 4 (b) Se A = e B = então (AB) = mas A B =. k (c) Toda matriz A = satisfaz C =, até mesmo quando k (e então A ). 7 4 (d) Se P = e B = então A = P 3 4 BP = é diferente de B. 3 3 3. (a) D = 9 5 (b) T = /3 /3 /3 (c) U = /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 3. (a) As entradas da primeira linha são dadas por c j = j pois, por definição, c j = m m j + m m j +... + m j m jj j parcelas = + +... j vezes (b) Se j < 4, então c 4j = pois + +... 7 j vezes = j. +... + m 7 m 7j 7 j parcelas c 4j = m 4 m j + m 4 m j + m 43 m 3j + m 44 m 4j +... + m 47 m 7j = m j + m j + m 3j + m 4j +... + m 7j = m 4j +... + m 7j = +... + =. (c) Se 4 j 7, então c 4j = j i +. (d) Se j < i 7, então c ij =. (e) Se i j 7, então c ij = j i +. 4. (a) Verdadeira, pois dada uma matriz antissimétrica A M n n (R), tem-se [A] ij = [A T ] ji = [A] ji. Em particular, se i = j, vale [A] ii = [A] ii, o que implica que [A] ii =, isto é, [A] ii =. Assim, todas as entradas da diagonal de A são nulas. (b) Falsa, pois a matriz nula M n n (R) é simétrica e antissimétrica simultaneamente. 6
(c) Falsa, pois C = é simétrica mas não é antissimétrica. 3 (d) Falsa, pois D = é antissimétrica mas não é simétrica. (e) Falsa, pois E = não é uma matriz simétrica mas não é antissimétrica. 3 4 5 5. (a) det P = 3 7 3 3 = 3 3 7 3 5 = 3 4 5 = 3 4 = 5 5 5 (b) det P = 3 5 9 3 4 = 3 5 = 3 5 = 3 6 (c) det P = 3 = 6 = 6 3 5 9 9 = 6 ( ) ( 3) ( 9) = 34 6. Usando as propriedades dos determinantes relacionadas ao uso de operações elementares sobre as linhas e colunas da matriz S, resulta que: det S = a + c a + b + c + d a (a + b) = a + c a + b + c + d a a + b = a + c b + d a b = c d a b = a b c d = det M = 8. 7. (a) Considere A = I M 3 3 (R) e B = I M 3 3 (R). Então det(a + B) = det() = = + ( ) = det(a) + det(b). (b) Considere A = B = I M (R). Então det(a) = det(b) = e det(a + B) = det(i) = 4, enquanto que det(a) + det(b) = + =. (c) Sabe-se que para A M n n (R), vale det(ca) = c n det(a). Deste modo, det(ca) = c det(a) se, e somente se, c n det(a) = c det(a). Ou seja, pode-se escolher qualquer matriz que não seja inversível, e o resultado será c n det(a) = c n = = c = c det(a). Outra opção é escolher c = e qualquer matriz inversível A. (d) Seguindo o raciocínio do item anterior, basta escolher uma matriz A inversível e qualquer c R tal que c n c, ou seja, c e c. 8. (a) det(p Q) = 3 = ( 8) 4 = det(p ) det(q) (b) det(qp ) = 3 = ( 8) 4 = det(p ) det(q) 7
3 (c) R = P + Q = 6 e det(r)t = 6 = det(r). 3 9 (d) det(p ) = /8 = 8 = det(p ) = det(p ) 9. (a) det(q) = 5 44 (b) det(r) = 3 (c) T = DD T = e det(t ) = 7 9 5 3 (d) U = D T D = 3 5 e det(t ) = (e) A = LU = 5 e det(t ) = det(l) det(u) = ( 3 ) ( ) = 5 4 9 4 67 3 8 4 (f) M = e det(m) = det(p ) det(q) det(p det(p ) det(q) ) = = det(p ) det(q) = x y z. (a) u v w = w u v = wvz, pois o determinante de matrizes triangulares x y z inferiores é o produto das entradas que aparecem na diagonal. a b c d j j (b) e f g h i = e f g h i = h i e f g = jigd j a b c d a b c d a b c d e w w f g h i f g h i u v (c) x y z = x y z = x y z = wvzie u v u v f g h i w a b c d e a b c d e. (a) Se A = e B =, então A + B = = I, que é inversível. Porém, A e B não são inversíveis, já que possuem uma coluna de zeros. (b) Se A = e B =, então A + B = não é inversível, pois AX = tem uma solução não nula X =. Porém, A = A e B = B são inversíveis. (c) Se A = B =, então A+B = e as matrizes A, B e A+B são inversíveis, sendo A = B = I e (A + B) = (I) = I. 8
. (a) Digite x-3y=-4 para que o GeoGebra mostre a reta formada pelos pontos que satisfazem a primeira equação, e 5x+y=7 para representar a segunda reta. (b) Ao trocar o 4 por um número maior, a reta correspondente se desloca para baixo, mantendo-se paralela à reta original. Ao diminuir este valor, a reta se desloca paralelamente para cima. Na segunda equação, a troca de 7 por um número maior resulta em um deslocamento para a direita, e a diminuição deste valor desloca a reta para a esquerda. (c) As retas, que inicialmente se intersectam em (, ), têm sempre um ponto em comum, independentemente dos valores atribuidos ao segundo membro das equações. Isso reflete o fato de que as duas equações correspondem a retas que não são paralelas entre si, e sua direção permanece inalterada mesmo quando o segundo membro é modificado. 3. (a) Digite x-y+z= para que o GeoGebra mostre o plano formado pelos pontos (x, y, z) que satisfazem a primeira equação, e então x+y+z=4 e x+y+5z=7 para representar os planos correspondentes às demais equações. (b) A trocar os valores do segundo membro de cada equação, o plano correspondente desloca-se no espaço mantendo-se paralelo à sua posição original. (c) Como os planos se intersectam inicialmente no ponto (,, ), e sempre permanecem paralelos às suas posições iniciais, continua existindo um único ponto de interseção, quaisquer que sejam os valores do segundo membro do sistema. 4. (a) i. A matriz aumentada associada ao primeiro sistema pode ser levada à sua forma escalonada reduzida por linhas por meio das seguintes operações elementares: 6 L L 6 ] c+4 6 L L c+4 c c 4 c+4 Se c = 4 a segunda operação deixa de ser possível, e o sistema não tem solução. Por outro lado, se c 4, todos os passos podem ser realizados e conclui-se ( que 6c o sistema é possível e determinado, tendo como única solução o ponto, c+4 c+4). ii. A matriz aumentada associada ao segundo sistema pode ser levada à sua forma escalonada reduzida por linhas por meio das seguintes operações elementares: [ 6 ] c 4c L +cl [ 6 + c + c ] +c L [ 6 ] c+4 L L 4 (b) Desta vez, se c = / a segunda linha zera após a primeira operação elementar, e o sistema tem mais de uma solução. De fato, o escalonamento mostra que o sistema original é equivalente a um sistema formado pela primeira equação e por uma equação do tipo =, que não impõe qualquer restrição sobre os valores de x e y. Assim, todo par da forma (6 y, y), com y R, é solução deste sistema possível e indeterminado. Por outro lado, nos casos em que c /, os três passos da eliminação de Gauss-Jordan podem ser realizados, e a conclusão é de que o sistema possui como única solução o ponto (4, ), sendo então possível e determinado. i. Geometricamente, nota-se que conforme o valor de c vai se aproximando de c = 4 a reta que corresponde à segunda equação gira em torno da origem até ficar paralela à reta da primeira equação. Quando isso ocorre, não há um ponto de interseção. Nos demais casos, as retas se intersectam em um único ponto. 9
ii. Geometricamente, ao variar o valor de c, uma das retas gira em torno do ponto (4, ), em que elas se intersectam, e em um caso específico (quando c = /) as duas retas coincidem, fazendo com que todos os seus pontos sejam pontos de interseção. 5. O sistema (A ti)x = possui mais de uma solução se, e somente se, a matriz (A ti) não for inversível, isto é, se det(a ti) =. Em cada um dos casos, esta condição resultará em uma equação polinomial na variável t, cujas soluções são dadas a seguir: (a) t = 3 ou t = (b) t = 5 ou t = ou t = 4 (c) t = 3 ou t = ou t = 6 6 6. (a) A matriz aumentada associada ao sistema dado é [A B] = 6 5 3 e sua 3 3 forma escalonada reduzida é obtida por meio das seguintes operações elementares sobre as linhas: [A B] L L L 3 6 5 3 6 6 3 3 6 5 3 6 6 L 3 3L L 6L 3 L +3L 3 6 5 3 6 5 3 6 6 L 3 L 6 6 6 5 4 6 L 6L 6 Como a última linha corresponde a uma equação da forma =, o sistema é impossível, ou seja, S =. 5 (b) Obtém-se a forma escalonada reduzida da matriz [A B] = 3 7 associada 4 5 3 ao sistema por meio das seguintes operações elementares: [A B] L L L 3 3 7 3 7 3 7 5 L 3 L 5 L 5 4 5 3 3 7 3 7 4 5 L+5L 3 3 L 3L 3 3 L L 3. Disto resulta que o conjunto solução é S = {(, 3, )}. (c) Com as mesmas operações elementares do item anterior, conclui-se que S = {(,, )}. 5 5π 5π (d) A matriz aumentada associada ao sistema dado é A = e sua π + 3 π(π + 6) forma escalonada reduzida é obtida por meio das seguintes operações elementares sobre as linhas: 5 A L π π L +L π π π + 3 π(π + 6) 3 6π 3 L π π L +πl π π π
Esta última matriz está associada às equações { s = π t = π, e, portanto, S = {(π, π)} é o conjunto das soluções do sistema proposto. (e) A redução à forma escalonada reduzida da matriz associada ao sistema é obtida através das seguintes operações elementares: 4 4 6 4 4 5 5 4 L 5 5 L 3 L 5 5 4 8 3/5 8 3/5 8 3/5 4 4 4 5 L 3 /5 L 4 +L 4 3 /5 5 L 4 4 3 /5 4 8 3/5 5 /5 4 3 L +3L 4 L L 4 4 /5 /5 Esta última matriz está associada às equações x = 3 x =, x 3 = 4 x 4 = /5 de modo que S = {(3,, 4, /5)} é o conjunto das soluções do sistema proposto. (f) A redução à forma escalonada reduzida da matriz associada ao sistema é obtida através das seguintes operações elementares: 3 6 9 4 3 7 4 3 7 3 L / 3/ 5/ 4 3 7 / 3/ 5/ 7 8 5 3 53 7 8 5 3 53 4 3 7 4 3 7 L +L L L 4 L 3 L 3 4 3 L 4 +7L 4 4 L +L 4 3 Esta última matriz está associada às equações x 4x x 5 = x 3 x 5 = 4 x 4 3x 5 = =.
Logo, o conjunto das soluções do sistema proposto é S = {(x, x, x 3, x 4, x 5 ) R 5 x = + 4x + x 5, x = 4 + x 5, x 4 = + 3x 5 } = {( + 4x + x 5, 4 + x 5, x 3, + 3x 5, x 5 ) x 3, x 5 R}. 7. A matriz (B + C T )((AB) T + CA T ) tem tamanho q p, pois ˆ B e C T têm tamanho q r, de modo que B + C T também é q r. ˆ AB têm tamanho p r, de modo que (AB) T é r p. ˆ A T têm tamanho q p, de modo que CA T é r p. ˆ O produto de qualquer matriz q r por uma matriz r p tem tamanho q p. 8. (a) Para quaisquer m e n, se X é m n então sua transposta X T é n m. Em particular, o número de colunas de X é sempre igual ao número de linhas de X T, e estas matrizes podem ser multiplicadas (nesta ordem), gerando um produto que é m m. Além disso, XX T é simétrica pois (XX T ) T = (X T ) T X T = XX T. (b) De forma análoga ao item anterior, o número de colunas de X T é sempre igual ao número de linhas de X, e estas matrizes podem ser multiplicadas (nesta ordem), desta vez gerando um produto que é n n. Além disso, X T X também é simétrica: (X T X) T = X T (X T ) T = X T X. (c) Para que seja possível calcular X + X T, é necessário que X e X T tenham o mesmo tamanho. Como uma delas é m n e a outra é n m, a adição só será possível se m = n. Neste caso, a soma será uma matriz simétrica, pois (X + X T ) T = X T + (X T ) T = X T + X = X + X T. (d) Como no item anterior, para que X T + X faça sentido é preciso que X e X T tenham o mesmo tamanho, isto é, que m = n. Neste caso, a soma também será uma matriz simétrica, já que (X T + X) T = (X T ) T + X T = X + X T = X T + X. (e) Novamente, é preciso que m = n para que a operação X X T entanto, neste caso seja possível. No (X X T ) T = X T (X T ) T = X T X = (X X T ). No entanto, D = X X T só será igual a (X X T ) se d ij = d ij, para cada i, j, e isso só é possível se todos os d ij forem nulos. Em outras palavras, X X T só é uma matriz simétrica se X X T =. 9. (a) Ao sortear matrizes 7 7 aleatoriamente, é bem provavel que todas as matrizes obtidas sejam inversíveis (execute o comando mais de vezes se não estiver convencido).
(b) Repetindo o experimento com matrizes quadradas de qualquer outro tamanho, há grandes chances de não encontrar uma única matriz que não seja inversível. De fato, ao sortear aleatoriamente uma matriz quadrada, há probabilidade zero (não é só pequena, é zero!) de ser escolhida uma matriz não inversível. Elas são raras, mas pode se deparar com elas se estiver com sorte (ou se o sorteio não for realmente aleatório). (c) Sejam A = i. 5, A 3 = 3 5 e A4 = 5. Então: 7 5 5 A = =, A 3 3 = 5 5 5 = 5 =, 3 3 9 A 4 4 = 5 7 5 7 = 7 =. ii. Com base nos exemplos anteriores, é natural suspeitar que a n-ésima potência de uma matriz triangular superior n n qualquer, com zeros na diagonal, é sempre a matriz nula n n. iii. As matrizes triangulares superiores de tamanho, com zeros na diagonal, c têm a forma A =, em que c pode ser qualquer escalar. Então: c c A = = a b Já no caso 3 3, tem-se A 3 = c e então: a b A 3 3 = c a b ac a b c = c =. Mais geralmente, se A = (a ij ) for uma matriz triangular superior de tamanho n n com diagonal nula, então as primeiras i entradas da linha i são todas nulas. Ao elevar A ao quadrado, a matriz obtida terá as primeiras i+ entradas da linha i iguais a zero. Analogamente, ao calcular A 3, a matriz resultante terá i + entradas da linha i igual a zero. Como a matriz tem n colunas, procedendo desta maneira até obter A n o resultado final será uma matriz com zeros em todas 3
as n colunas de cada linha. A a a 3... a n a 3... a n... a 3... a n... a n.................................... an,n............... O padrão acima também pode ser percebido ao calcular explicitamente as entradas dos produtos. Como a matriz A é triangular superior e tem zeros na diagonal, tem-se a ij = sempre que i j. Consequentemente, se i j a entrada ij de A é dada por [A ] ij = [A A] ij = (a i a j +... + a ii a ij ) + (a i,i+ a i+,j +... + a in a nj ) Do mesmo modo, [A 3 ] ij = para i j : A = (a j +... + a ij ) + (a i,i+ +... + a in ) =. [A 3 ] ij = [A A] ij = ([A ] i a j +... + [A ] i,i+ a i+,j ) + ([A ] i,i+ a i+,j +... + [A ] in a nj ) = (a j +... + a i+,j ) + ([A ] i+,j+ +... + [A ] in ) =. Procedendo da mesma maneira até a n-ésima potência de A, consegue-se todas as entradas iguais a zero.. Como 3 a b c a + d + 3g b + e + 3h c + f + 3i MX = 4 5 d e f = a 4d + 5g b 4e + 5h c 4f + 5i 7 g h i a + d + 7g b + e + 7h c + f + 7i e por hipótese MX = I, uma comparação das entradas de MX com as de I mostra que as incógnitas que formam as colunas de X devem ser soluções dos sistemas lineares a + d + 3g = a + d + 3g = a + d + 3g = a 4d + 5g =, a 4d + 5g = e a 4d + 5g =. a + d + 7g = a + d + 7g = a + d + 7g = Como todos os sistemas têm a mesma matriz de coeficientes, os três podem ser escalonados simultaneamente como segue: A n 4
3 3 4 5 L 4 5 7 7 3 3 L 3+L 7 4 3 3 4 L 4 3 3 L 3 4 L +4L 3 9/ 4/ / / / / 5/ 3/ 3 9/ 4/ L +L 9/ 4/ / / / / L L L L 3 L +3L 3 3 Assim, X = 9/ 4/. Multiplicando esta matriz à esquerda de M, obtém-se: / / 3 3 XM = 9/ 4/ 4 5 =. / / 7 Isto quer dizer que a matrix X que atua como inversa à direita de A também é uma inversa à esquerda de A, pois ambos os produtos (AX e XA) resultam na matriz identidade. 9. Para que a matriz T = t 3 seja inversível, sua forma escalonada reduzida 9 t + por linhas deve ser a matriz identidade. Procedendo com a eliminação de Gauss-Jordan, seriam realizadas as seguintes operações elementares sobre as linhas: 9 9 9 9 t 3 L t 3 L +L t 9 L 3+L t 9 9 t + 9 t + 9 t + t Neste ponto, para conseguir um pivô igual a na segunda coluna da segunda linha, seria necessária uma divisão da segunda linha por t 9, e isso significa que se t = 9 a matriz não será inversível. Além disso, no passo seguinte, será necessário dividir a terceira linha por t, de modo que para t = a matriz também não será inversível. Supondo que t e t 9, basta realizar mais algumas operações elementares e obtém-se a identidade: 9 t 9 t t 9 L L +L 3 9 t 9 t 9 t L 3 L +9L 9 t 9. L t 9 L 3 9 5
Portanto, T é inversível se, e somente se, t {, 9}. Aplicando a mesma sequência de operações elementares à matriz identidade, o resultado é a inversa de T : I L L +L L 3 +L t L +L 3 L t 9 L 3 L +9L (t 9)t t 9 (t 9)t t t t t + 7 (t 9)t t (t 9)t t 9 t 9 t 9 t 9 L t L t 9 t 9 3 t t t t t t (t 9)t t 9 (t 9)t t t t 7 (t 9)t = T. (t 9)t t. As operações elementares a seguir mostram que N é equivalente por linhas à identidade, desde que seja possível dividir por t e depois por t(t + ). Isto significa que para t {,, } a matriz N não é inversível, pois apareceria uma linha nula em um dos passos da eliminação de Gauss-Jordan. t 4 4 t t N = 6 t 5 L L 3 6 t 5 L 6 t 5 4 t t 4 t 4 t 4 t 4 t L 6L t 3(t ) L 3 ( t)l t 3(t ) t L 3 t 4 t(t+) t(t+) 4 t 4 t t(t+) L 3 L +3L 3 L 4+t L 3. 3. (a) A matriz nula é uma matriz na forma escalonada reduzida por linhas, pois ˆ Não há nenhuma linha não nula em que o primeiro elemento não nulo seja diferente de (nem sequer existem linhas não nulas); ˆ Todas as linhas nulas estão na parte inferior ˆ Não há pivôs mais a esquerda dos pivôs de linhas anteriores (já que não há pivôs) ˆ Não há elementos não nulos acima ou abaixo de nenhum pivô (b) A matriz identidade I 4 4 está na forma escalonada reduzida por linhas pois ˆ Em todas as linhas o o primeiro elemento não nulo é ; ˆ Não há linhas nulas ˆ Todos os pivôs estão na diagonal ˆ Exceto pelos pivôs que estão na diagonal, as colunas só contém zeros (c) Em uma matriz triangular superior S M n n (K), todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, ou seja, s ij = sempre que i > j. Se S é simétrica, então s ij = s ji, sendo i, j n. Em particular, se i < j então s ij = s ji =, pois j > i. Logo, T é uma matriz diagonal, já que s ij = sempre que que i > j ou i < j, isto é, para i j. 6
(d) Se U, V M m m (K) são matrizes diagonais, então UV = V U. De fato, se i j então u ij = v ij = e além disso [UV ] ij = m u ik v kj = u i v j + u i v j +... + u im v mj. k= Nesta soma, tem-se u ik =, exceto possivelmente quando k = i. Mesmo assim, a parcela u ii v ij será nula, pois k = i j v kj = v ij =. Assim, todos os termos da soma são nulos, e as entradas [UV ] ij são nulas sempre que i j. De forma análoga, tem-se [V U] ij = para i j, ou seja, UV e V U coincidem fora da diagonal principal. Por outro lado, na diagonal principal tem-se i = j e então [UV ] ij = u ii v ii = v ii u ii = [V U] ij. (e) Seja A antissimétrica. Então A T = A e resulta que ( A T ) T = A = A T, ou seja, A T também é antissimétrica. (f) Dada uma matriz antissimétrica A M n n (R), tem-se [A] ij = [A T ] ji = [A] ji. Em particular, se i = j, vale [A] ii = [A] ii, o que implica que [A] ii =, isto é, [A] ii =. Assim, todas as entradas da diagonal de A são nulas. (g) A matriz nula M n n (R) é simétrica e antissimétrica simultaneamente. x 4. Seja D M (R) uma matriz diagonal. Então D =, com x x, x R e tem-se D x x = = x x =. Assim, os escalares x e x satisfazem x i =, ou seja, x i = ou x i =. Logo, D pode ser uma destas 4 matrizes:,, e No caso de matrizes 3 3, cada uma das três entradas da diagonal pode ser igual a ou a, e consequentemente I = I 3 tem 8 raízes quadradas distintas. x 5. Seja D M 3 3 (R) uma matriz diagonal. Então D = x, com x, x, x 3 R e x 3 tem-se x x D 7D + I = x 7 x + x 3 x 3 x 7x + = x 7x + =. x 3 7x 3 + Assim, se D 7D + I = os escalares x, x e x 3 são soluções de x i 7x i + =, ou seja, de (x i )(x i 5) =. Portanto, cada x i pode assumir os valores ou 5, e há as seguintes possibilidades para D: 5 5 5 5,, 5, 5,,, 5 e 5. 5 5 5 5 7
6. Seja S uma matriz simétrica n n, isto é, S T = S. As entradas de S e de (S ) T, são dadas por n [S ] ij = s ik s kj = s i s j + s i s j +... + s in s nj (3) e k= [(S ) T ] ij = [S ] ji = n s jk s ki = s j s i + s j s i +... + s jn s ni k= respectivamente. Mas as entradas de S satisfazem a igualdade s ij = s ji, então resulta desta última equação, permutando os índices de cada termo, que [(S ) T ] ij = s j s i + s j s i +... + s jn s ni = s j s i + s j s i +... + s nj s in = s i s j + s i s j +... + s in s nj, onde a última igualdade deve-se à propriedade comutativa dos escalares s ij. Comparando com (3), conclui-se que [(S ) T ] ij = [S ] ij, ou seja, que (S ) T = S, o que significa que S é simétrica. Observação: Para uma verificação mais direta, sem comparar entradas individuais das matrizes, poderia ser usada o fato de que (AB) T = B T A T : (S ) T = (SS) T = S T S T = SS = S. Por este raciocínio fica fácil ver que as potências de uma matriz simétrica são simétricas: (S n ) T = (S... S) T = S T... S T = S... S = S n. 7. (a) Usando a definição de traço e as propriedades da adição, resulta que: tr(a + B) = [A + B] + [A + B] +... + [A + B] nn = ([A] + [A] ) + ([A] + [B] ) +... + ([A] nn + [B] nn ) = ([A] + + [A] nn ) + ([B] +... + [B] nn ) = tr(a) + tr(b). (b) Segue da definição de traço e das propriedades da multiplicação por escalar que: tr(cb) = [ca] + [ca] +... + [ca] nn = c[a] + c[a] +... + c[a] nn = c([a] + + [A] nn ) = c tr(a). (c) Como a diagonal principal não é alterada pela transposição de matrizes, e o traço só depende destas entradas, tem-se: tr(a T ) = [A T ] + [A T ] +... + [A T ] nn = [A] + [A] +... + [A] nn = tr(a). 8