Programação Linear (PL)

Programação Linear (PL) Prof. Paulo Cesar F. De Oliveira, BSc, PhD 07/08/15 P C F de Oliveira 2014 1

Características Técnicas mais utilizadas na abordagem de problemas em PO Técnica de solução programável em computador facilitam sua aplicação. Trata com alocação de recursos a atividades em competição, da melhor maneira possível (i.e., ótima). Requer que todas as funções neste modelo sejam lineares. Esta característica de linearidade é interessante no que se refere à simplificação da estrutura matemática envolvida. 07/08/15 P C F de Oliveira 2014 2

Resolvendo Problemas Quando se quer (maimizar ou minimizar) um determinado objetivo. É epressa em função das variáveis do problema Função Objetivo Variáveis de Decisão Restrições Aquilo que se pode controlar e que deseja saber eatamente quanto vale Limitam as combinações das variáveis a determinados limites 07/08/15 P C F de Oliveira 2014 3

Eemplo 1: Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O Lucro unitário do produto P1 é de 1.000 unidades monetárias e o lucro unitário do produto P2 é de 1.800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maimize seu lucro anual nesses itens? Solução: I Construção do modelo de programação linear: a) Quais as variáveis de decisão: aqui o trabalho consiste em eplicitar as decisões que devem ser tomadas e representar as possíveis decisões. Neste caso, o que deve ser decidido é o plano de produção, i. é, quais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2. Portanto, as variáveis de decisão serão 1 e 2 1 = quantidade anual a produzir de P1 2 = quantidade anual a produzir de P2 07/08/15 P C F de Oliveira 2014 4

b) Qual o objetivo: aqui deve-se identificar o objetivo da tomada de decisão. Eles geralmente aparecem na forma de maimização de lucros ou receitas ou minimização de custos, perdas, etc. É a epressão (função) que calcula o valor do objetivo em função das variáveis de decisão. Neste problema o objetivo é maimizar o lucro, que pode ser calculado: Lucro devido a P1: 1000.1 (lucro por unidade de P1 a quantidade produzida de P1) Lucro devido a P2: 1800.2 (lucro por unidade de P2 a quantidade produzida de P2) Lucro total: L = 1000.1 + 1800.2 Logo, o objetivo é: Maimizar L= 1000.1 + 1800.2 c) Quais as restrições: Cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser epressa como uma relação linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variáveis de decisão. No eemplo 1 as restrições impostas pelo sistema são: - Disponibilidade (anual) de horas para a produção: 1200 h. horas necessárias para P1: 20.1 (necessidade unitária quantidade produzida) horas necessárias para P2: 30.2 (necessidade unitária quantidade produzida) Total de horas necessárias para produção: 20.1 + 30.2 Restrição de disponibilidade de horas: 20.1 + 30.2 1200 07/08/15 P C F de Oliveira 2014 5

- Demanda (anual) de mercado para os produtos P1 e P2 Demanda por P1: 40 unidades Quantidade a produzir de P1: 1unidades Restrição de demanda por P1: 1 40 Demanda por P2: 30 unidades Quantidade a produzir de P2: 2unidades Restrição de demanda por P2: 2 30 Observação: 1 e 2 não podem assumir valores negativos, pois não há nenhum sentido nisto. Por esta razão colocam-se mais duas restrições denominadas restrições de não negatividade. 1 0 e 2 0 Maimizar: L= 1000.1 + 1800.2 20.1 + 30.2 1200 d) Resumo do modelo: Sujeito a: P1: 1 40 P2: 2 30 1 0 e 2 0 07/08/15 P C F de Oliveira 2014 6

II Método gráfico para modelos de PL com duas variáveis de decisão: Esta técnica consiste em representar num sistema de eios ortogonais o conjunto das possíveis soluções do problema, i. é, o conjunto de pares (1,2) que obedecem ao grupo de restrições impostas pelo sistema em estudo. O desempenho do modelo é avaliado através da representação gráfica da função objetivo. A representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis é uma reta. Já a representação gráfica de uma inequação linear com duas variáveis é um dos semiplanos definidos pela reta correspondente à equação e o sinal da desigualdade. Representação gráfica das restrições: 20.1 + 30.2 1200 O conjunto de pontos do plano que satisfazem a esta restrição é o conjunto dos pontos da reta 20.1 + 30.2 = 1200 unido com o conjunto de pontos da correspondente desigualdade, que corresponde a um dos 2 semiplanos abertos divididos pela reta. Para traçar a reta precisaremos de dois pontos (ver figura 1): fazendo-se 1 = 0 teremos: 30.2 = 1200 2 = 40 fazendo-se 2 = 0 teremos: 20.1 = 1200 1 = 60 07/08/15 7

1 40 O conjunto de pontos do plano que satisfazem a esta restrição é o conjunto dos pontos da reta 1 = 40 unido com o conjunto de pontos da correspondente desigualdade,, que corresponde a um dos 2 semiplanos abertos divididos pela reta. Esta reta é perpendicular ao eio 1 passando por 40 (ver figura 1). 2 30 O conjunto de pontos do plano que satisfazem a esta restrição é o conjunto dos pontos da reta 2 = 30 unido com o conjunto de pontos da correspondente desigualdade, que corresponde a um dos 2 semiplanos abertos divididos pela reta. Esta reta é perpendicular ao eio 2 passando por 30 (ver figura 1). 1 0 e 2 0 O conjunto de pontos do plano que satisfazem a estas restrições é o conjunto de todos os pontos que formam o primeiro quadrante do plano cartesiano 1 X 2. 07/08/15 P C F de Oliveira 2015 8

Como deve ser considerado o sistema de restrições simultâneas, o conjunto das soluções compatíveis ao problema de PL, resulta da intersecção destes semiplanos fechados, o que constitui um polígono conveo fechado. Qualquer ponto deste polígono corresponde a uma solução compatível, i. é, atende a todas restrições. Há infinitos pontos nesse conjunto. Porém, o valor da função objetivo muda de acordo com o ponto. Procura-se, então, aquele ponto ( ou aqueles pontos, se mais de um) que maimiza(m) o valor da função objetivo. 2 20.1 + 30.2 1200 40 30 25 Ponto Ótimo 2 30 45 1 40 Conjunto de soluções compatíveis ao problema 40 45000 = 1000.1+1800.2 60 1 Figura 1 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 9

Para determinar o ponto ótimo considere a função objetivo L= 1000.1 + 1800.2 ela também é uma função linear, ou seja, sua representação gráfica é uma reta. O coeficiente angular da reta determina sua inclinação. Por esta razão, atribuindo-se valores ao lucro pode-se determinar uma família de retas paralelas, uma reta para cada valor de L. 2 L = 1800 1000 1800 Deve-se, assim, tomar desta família de retas paralelas aquela com maior valor de L, porém esta reta deverá possuir ao menos um ponto do conjunto de soluções compatíveis. Esta determinação pode ser feita graficamente através do uso de uma régua e um esquadro. Ao deslocar-se o esquadro sobre a régua, consegue-se abranger todas as retas da família. O movimento do esquadro deverá ser feito no sentido de crescimento da função, uma vez que o objetivo deste problema é maimizar o lucro. Para encontrar o valor eato do par ordenado (1,2) solução do problema, basta resolver o sistema de equações formado pelas retas que definem o vértice do polígono onde se encontra o ponto ótimo. 1 2 = 30 20.1 + 30.2 = 1200 X1 =15 X2 = 30 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 10

Eemplo 2: Uma empresa química opera uma pequena usina. Operar a usina eige a utilização de duas matérias-primas, A e B. O fornecimento máimo disponível por semana é de 2.700 litros de A e 2.000 litros de B. A usina pode operar usando um dos dois processos, que possuem diferentes eigências de matéria-prima, conforme tabela abaio. Processo Matérias-primas consumidas (litros/hora) A B 1 20 10 2 30 25 A Usina pode funcionar por um total de 120 horas por semana mas, por motivo de segurança, o Processo 1 não pode ser operado por mais de 100 horas por semana. Sabese ainda que a contribuição dos Processos 1 e 2 para o lucro são respectivamente R$ 50,00 e R$ 60,00 por hora. Determine através de um programa linear, quantas horas cada processo da usina deve funcionar para que se tenha lucro máimo. I - Resolver pelo processo gráfico: II - Resolver pela utilização de software (Solver/Ecel): 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 11

a) Quais as variáveis de decisão: 1 = no. de horas que o Processo 1 deve funcionar 2 = no. de horas que o Processo 1 deve funcionar b) Função Objetivo: Maimizar L = 50. 1 + 60. 2 c) Restrições: 20.X1 + 30.X2 = 2700 10.X1 + 25.X2 = 2000 X1 + X2 = 120 X1 = 100 X1= 0 e X2 = 0 I Resolução pelo método gráfico: 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 12

O Problema do Pintor Um Pintor faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece todo dia à noite. Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e os vende por R$5,00 e R$3,00, respectivamente. Ele só consegue vender 3 quadros grandes e 4 quadros pequenos por noite. O quadro grande é feito em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em 1 hora e 48 minutos (detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira. Quantos quadros de cada tipo ele deve pintar para maimizar a sua receita? 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 13

A Decisão do Pintor O Problema do Pintor O que o desenhista precisa decidir? O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua receita? A decisão dele é como usar as 8 horas diárias. Quantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer. 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 14

O Problema do Pintor Precisamos traduzir a decisão do Pintor em um modelo de programação linear para resolvê-lo; Chamemos de 1 e 2 as quantidades de quadros grandes e pequenos que ele faz por dia, respectivamente. O Objetivo do Pintor é aumentar sua receita ao máimo. 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 15

Modelo para decisão do pintor Função-objetivo Maimizar a receita Restrição de vendas de quadros grandes Restrição de vendas de quadros pequenos Restrição de tempo Não negatividade Ma Z = 5 + 3 1 3 4 2 1 2 + 1,8 8 1 2 1 0, 2 0 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 16

07/08/15 P C F de Oliveira 2007 17 Modelo para decisão do pintor 9 70 1 3 5 2 2 1 3 70 1 3 5 2 2 1 3 5 3 5 0 + = + = = = + = = z z c c (3 ; 50/18) Eemplos

Caso Aluminâminas A Indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda etra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica deslocamento da função objetivo). 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 18

Variáveis de Decisão Caso Aluminâminas 1 Quantos dias de funcionamento da Fábrica de SP 2 Quantos dias de funcionamento da Fábrica do RJ Função-Objetivo Minimizar Custo de Produção (mil R$) = 100 1 + 200 2 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 19

Caso Aluminâminas Restrições de Demanda Placas Finas 8 1 +2 2 16 Placas Médias 1 + 2 6 Placas Grossas 2 1 +7 2 28 Restrições de Não Negatividade 1, 2 0 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 20

Solução Gráfica Caso Aluminâminas Z = 920 1 = 14/5 e 2 = 16/5 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 21

Caso Esportes Radicais A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asadelta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vendida é R$ 40,00, encontre a programação de produção que maimize o lucro da Esportes Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica deslocamento da função objetivo). 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 22

Variáveis de Decisão Caso Esportes Radicais 1 Quantidade de Pára-Quedas a serem produzidos 2 Quantidade de Asa Deltas a serem produzidas Função-Objetiva Ma 60 1 + 40 2 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 23

Caso Esportes Radicais Restrição de Produção Linha 1 10 + 102 1 100 Linha 2 3 + 72 1 42 Restrição de Não Negatividade 1, 2 0 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 24

O Modelo Caso Esportes Radicais Ma 60 1 + 40 2 10 1 + 10 2 100 3 1 + 7 2 42 1, 2 0 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 25

Solução Gráfica Caso Esportes Radicais Z = 600 1 = 10, 2 = 0 07/08/15 P C F de Oliveira 2007 26