Figura 14.0(inicio do capítulo)

NOTA DE AULA 05 UNIVESIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPATAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA Disciplina: FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II (MAF 0) Coodenação: Pof. D. Elias Calixto Caijo CAPÍTULO 14 GAVITAÇÃO 1. O MUNDO E A FOÇA GAVITACIONAL. Na figua a segui se vê a galáxia conhecida como Via Láctea. O planeta Tea está póximo à boda do disco, a ceca de 6000 anos-luz (,5x10 0 m) do seu cento, que na figua está localizado no agupamento de estelas conhecido como Sagitáio. Figua 14.0(inicio do capítulo) A Via Láctea é um membo do gupo Local de galáxias, que inclui a galáxia de Andômeda a uma distância de,3x10 6 anos-luz e váia galáxias anãs mais póximas, como a Gande Nuvem de Magalhães. A foça que mantém eunidas estas estutuas pogessivamente maioes, da estela à galáxia e ao supeagupamento, é a foça gavitacional. Esta foça não apenas nos mantém sobe a Tea, mas também exece influência em todo Espaço integalático.

FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II NOTA DE AULA V 0. LEI DE NEWTON DA GAVITAÇÃO. Em 1655, Isaac Newton mostou que a foça que mantém a Lua em sua óbita é a mesma que faz com uma maçã caia em dieção à Tea. I. Newton concluiu que todo copo no Univeso atai todos os outos copos; esta tendência dos copos de se moveem cada um em dieção ao outo é chamada de gavitação. Newton popôs uma lei de foças conhecida hoje como lei da gavitação de Newton, dada po: m1m F = G, onde m 1 e m são as massas dos copos, é a distância ente os mesmos e G é a constante gavitacional com valo dado po: G = 6,67 x 10-11 N. m / Kg = 6,67 x 10-11 m 3 / Kg. s Como mosta a figua a segui, uma patícula m atai uma patícula m 1 com uma foça gavitacional F diigida paa a patícula m e a patícula m 1 atai a patícula m com uma foça gavitacional - F diigida paa a patícula m 1. As foças F e - F fomam um pa de foças ação e eação. Estas foças não se alteam pela pesença de outos copos, mesmo que estes copos e situem ente as duas patículas. Fig 14.

FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II NOTA DE AULA V 03 A intensidade da foças gavitacional depende do fato G. Se, po algum fenômeno estanho, G fosse multiplicado po um fato 10, seíamos esmagados conta o piso da Tea. Ao contáio, se G fosse dividido po 10, podeíamos salta um pédio. A lei de gavitação pode se aplicada a copos desde que as dimensões dos mesmos sejam pequenas compaadas com as distâncias ente eles. No caso de pequenos copos póximos à supefície de um planeta, pode-se usa o Teoema da Casca: Uma casca esféica unifome de matéia atai uma patícula que está foa da casca como se toda a massa da esfea estivesse concentada em seu cento. A Tea pode se imaginada como um conjunto de tais cascas, uma dento da outa. 3. GAVITAÇÃO E O PINCÍPIO DA SUPEPOSIÇÃO Em um gupo de patículas, a foça gavitacional esultante em uma delas, execida pelas outas patículas, pode se calculada usando o pincípio da supeposição, em que o efeito esultante é obtido pela soma dos efeitos individuais. Paa n patículas inteagindo, o pincípio da supeposição pode se escito como segue: F 1, es F 1 + F 13 + F 14 +... + F 1n =, onde F 1, es é a foça esultante sobe a patícula 1 e F 13 é a foça execida sobe a patícula 1 pela patícula 3. Em um modo mais compacto tem-se: F 1, es = n i= F 1i A foça gavitacional sobe um objeto qualque, em que as dimensões do outo copo não sejam despezíveis pode se calculada po: = d F F 1

FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II NOTA DE AULA V 04 A integal é tomada sobe todo objeto de dimensões finitas. 4. GAVITAÇÃO PÓXIMA À SUPEFÍCIE TEESTE. Supondo-se que a Tea seja uma esfea unifome de Massa M, a intensidade da foça gavitacional da Tea sobe uma patícula de massa m, localizada a uma distância do cento da tea ( > aio da Tea) é dada po: F = G M m Se a pat6ícula fo solta ela caiá em dieção a cento da Tea com uma aceleação gavitacional a g. Da segunda lei de Newton elacionamos F e a g po: F = m a g Das duas últimas elações obtemos: GM a g = A tabela 14.1 mosta valoes de a g calculados paa váias altitudes acima da supefície da Tea. TABELA 14.1 Vaiação de a g com a Altitude Altitude (km) A g (m/s ) Exemplo de Altitude 0 9,83 Supefície média da Tea 8,8 9,80 Monte Eveest 36,6 9,71 Balão tipulado mais alto 400 8,70 Óbita do Ônibus espacial 35 700 0,5 Satélites de Comunicações Despezando a otação da Tea e supondo que a mesma seja um efeencial inecial, a aceleação de queda live g pode se dada po a g. Entetanto esses valoes difeem po tes motivos: (1) a Tea não é unifome, () ela não é uma esfea pefeita e (3) ela está giando.

FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II NOTA DE AULA V 05 Neste caso, o peso medido da patícula mg difee da foça gavitacional dada po /. Examinando as tês azões: 1 A Tea não é unifome. A massa específica da Tea vaia adialmente e na costa vaia de egião paa egião. Então g vaia de egião paa egião na supefície. A Tea não é uma esfea. Pode-se considea a Tea um elipsóide, achatado nos pólos e saliente no equado. Como um ponto do pólo está mais póximo do núcleo da Tea, a aceleação g aumenta à medida que apoximamos dos pólos. 3 A Tea está giando. O eixo de otação passa pelos pólos Note e Sul. Essa otação gea uma foça esultante centípeta Paa entendemos como a otação da Tea povoca difeença ente g e a g, considee uma situação de um caixote de massa m sobe uma balança situados na linha do equado, confome mosta a figua a segui. Figua 14.7

FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II NOTA DE AULA V 06 Na pate b da figua, um diagama de live mosta as duas foças sobe o caixote, ambas tem a dieção adial. A foça nomal da balança sobe o caixote está diigida paa foa, na dieção positiva do eixo. A foça gavitacional m a g, está diigida paa dento. Como o caixote se move em um cículo em tono do cento da Tea, à medida que a Tea gia, ele possui uma aceleação centípeta a diigida paa dento. Esta aceleação centípeta é dada po ω, onde ω é a velocidade angula da Tea e o seu aio. Então, da segunda lei de Newton vem: ou seja: N - m a g = m ( -ω ), peso intensidade da = medido foça gavitacional ( massa x aceleação centípeta) O módulo da foça noma é igual ao peso mg obtido da balança. Então: mg = ma g m(ω ), Então o peso medido é de fato meno que a intensidade da foça gavitacional. Da elação anteio também obtemos: ou: g = a g - ω aceleação de aceleação aceleação = queda live gavitacional centípeta Então, a aceleação de queda live medida é meno do que a aceleação gavitacional po causa da otação da Tea. 5. ENEGIA POTENCIAL GAVITACIONAL Seja uma bola de beisebol lançada na vetical se afastando da tea, ao longo da tajetóia mostada na figua a segui:

FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II NOTA DE AULA V 07 F d φ P M Deseja-se enconta uma expessão paa a enegia potencial gavitacional U da bola no ponto P da tajetóia. Paa tanto, calcula-se o tabalho ealizado pela foça gavitacional sobe a bola quando ela se desloca do ponto P até uma distância infinita da tea. O tabalho é dado po: onde W = F ( ). d F( ). d = F( ) d cosφ Substituindo os espectivos valoes obtém-se: então F( ). d = d 1 W = d = W = 0 =

FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II NOTA DE AULA V 08 Como: então Na expessão anteio W é o tabalho paa move a bola do ponto P até o infinito. U = W, U U = W Como a enegia potencial no infinito é nula, obtém-se: U = W = INDEPENDÊNCIA DA TAJETÓIA Na figua a segui mosta-se o movimento da bola de beisebol do ponto A ao ponto G, composto de tês segmentos adiais e tês ciculaes. O tabalho total ealizado pela foça gavitacional é dado pela soma das pacelas individuais nos espectivos segmentos nos segmentos ciculaes o tabalho é nulo, pois a foça é pependicula à tajetóia. O tabalho estante é dado pelo tabalho ealizado nos segmentos adiais, que já foi calculado no item anteio. Isso significa que, sendo a foça gavitacional uma foça consevativa, o tabalho independe da tajetóia, o que nos leva à elação: U = U U = W f i Como o tabalho independe da tajetóia, a vaiação da enegia potencial também independe da tajetóia. Fig.14.11

FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II NOTA DE AULA V 09 ENEGIA POTENCIAL E FOÇA Pode-se faze o caminho inveso, isto é calcula a foça gavitacional a pati da enegia potencial. du d F = = d d F = Lei da Gavitação do Newton a foça aponta adialmente paa dento, em dieção a M. Velocidade De Escape Velocidade de escape é a velocidade mínima a pati da qual um pojétil lançado na supefície da Tea escape do campo gavitacional da mesma. Seja um pojétil de massa m com velocidade v deixando a supefície da Tea. Ele possui enegia cinética K dada po m v / e enegia potencial dada po: U = Na elação anteio M é a massa do planeta e seu aio. Quando o pojétil atinge o infinito ele páa e po isso não possui mais enegia cinética, nem enegia potencial ( U 0), ou seja a enegia mecânica total no infinito é nula. Do pincípio da consevação da enegia total tem-se: 1 K + U = mv + ( ) = 0 Explicitando a velocidade vem: v = GM

FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II NOTA DE AULA V 010 Velocidade de Escape Lua Tea Sol Supenova (Est.de N.),38 km/s 11, km/s 618 km/s x10 5 km/s 6. PLANETAS E SATÉLITES: LEIS DE KEPLE. O movimento dos planetas sempe despetou inteesse nos sees humanos. Após te dedicado toda sua vida a esses fenômenos, Johannes Keple (1571-1630), estabeleceu leis empíicas que govenam estes movimentos, que foam compiladas mais tade po Tycho Bae (1546-1601). Posteiomente, Newton (164-177) mostou que a lei da gavitação leva às leis de Keple. Neste seção discutiemos cada lei de Keple. 1. Lei das Óbitas: Todos os planetas se movem em óbitas elípticas, com o sol em um dos focos. A figua a segui mosta um planeta de massa m se movendo em uma óbita deste tipo em tono do Sol, com massa M. Sendo M m, pode-se considea o cento de massa do sistema no Sol. Fig. 14.13 Nesta óbita nota-se o semi-eixo maio a e a excenticidade e. Pode-se calcula a excenticidade fazendo e.a = F. Um cículo coesponde a uma excenticidade nula. As excenticidades das óbitas planetáias são pequenas, paecendo cículos.. Lei das Áeas: Uma linha que liga um planeta ao Sol vae áeas iguais em no plano da óbita do planeta em tempos iguais ou seja, a taxa da/dt com que a linha vae Áeas A é constante.

FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II NOTA DE AULA V 011 Isso significa que o planeta se moveá mais lentamente quando estive afastado do Sol e mais apidamente quando estive mais póximo do Sol. Essa segunda lei é equivalente à consevação do momento angula, que mostado em seguida. Na figua a segui, a áea da cunha sombeada é póxima da áea vaida no intevalo de tempo t po uma linha que liga o Sol ao planeta, sepaados po uma distância. Figua 14.14 A áea deste seto é apoximadamente igual à áea do tiângulo com base θ e altua. Então, a áea deste tiângulo seá A = θ/. A taxa instantânea que a áea está sendo vaida seá: da dt = 1 θ 1 d = ω dt A linha que liga o Sol ao planeta tem velocidade angula ω. A quantidade de movimento linea do planeta e suas componentes adial e pependicula, também são mostados na figua anteio. Como L = p tem-se: L = p = (m v ) = (mω ) L = m ω Eliminando ω chega-se em: da dt = L m

FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II NOTA DE AULA V 01 Se da/dt é constante, então L também é constante, ou seja se conseva. 3. Lei dos Peíodos. O quadado do peíodo de qualque planeta é popocional ao cubo do semieixo maio da sua óbita. Seja a óbita cicula da figua a segui. Aplicando a lei de gavitação e a segunda lei de Newton ao planeta ( F = ma) tem-se: = m ( ω ) Nesta elação ω é a aceleação centípeta. Fazendo ω = π/t obtém-se: T π GM = 4 3 Fig. 14.15 7. SATÉLITES: ÓBITAS E ENEGIA Quando um satélite óbita a tea em uma tajetóia elíptica, tanto a velocidade quanto sua distância ao cento da tea flutuam, afetando a sua enegia cinética e enegia potencial gavitacional. Entetanto a enegia mecânica E pemanece constante. A enegia potencial do sistema e-: U =

FÍSICA GEAL E EXPEIMENTAL II NOTA DE AULA V 013 Paa detemina a enegia cinética de um satélite em óbita cicula, esceve-se a segunda Lei de Newton Como: mv =, onde v / é a aceleação centípeta do satélite. Então a enegia cinética seá: K 1 = mv = ou seja, paa um satélite em óbita cicula tem-se: U K = A enegia total do satélite é E = K + U = E = Potanto, a enegia mecânica é igual a K. E = K Paa um satélite com óbita elíptica substituímos po a e obtemos: E = a