MEDIDAS: ERROS E INCERTEZAS

FACULDADES OSWALDO CRUZ FÍSICA I - ESQ MEDIDAS: ERROS E INCERTEZAS 1. INTRODUÇÃO - A medida de uma grandeza qualquer é função do instrumental empregado e da habilidade e discernimento do operador. Definiremos algumas regras para cercar da maior segurança possível as leituras feitas no laboratório, bem como estabelecermos uma linguagem técnica de comunicação das leituras. 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS - Definiremos algarismos significativos ( A.S.) como todos os algarismos que o instrumento de medida permite ler mais o primeiro algarismo avaliado pelo observador. Assim com uma régua graduada em milímetros um comprimento qualquer pode ser expresso como 24, 6 mm sendo os algarismos 2 e 4 lidos na régua e o 6 avaliado. Neste caso a medida terá 3 algarismos significativos. Os zeros à esquerda de um número para fixar a posição da virgula não são significativos. Exemplo: 0,053 m tem apenas 2 A.S.. Os zeros à direita ou entre outros algarismos são significativos. Exemplo: 3,06 tem 3 A.S.. Os algarismos significativos não dependem do número de casas decimais. Exemplo : 8,54 m ou 0,00854 x 10 3 m ou 854 x 10-2 m tem todos 3 A.S.. 2.1 - OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS - ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO - O resultado será expresso com o mesmo número de casas decimais que a parcela mais pobre em casas decimais. Assim, por exemplo, ao calcularmos 648 + 6,25 a resposta será 654 e não 654,25, pois uma das parcelas ( 648 ) não tem casas decimais. - MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO e RADICIAÇÃO - O resultado dessas operações será expresso com um número de A. S. igual ao número de A.S. do fator mais pobre em algarismos significativos das parcelas. Assim o produto de 12,4 m por 5,6 m será igual a 69 m² e não 69,44 m², pois uma das parcelas (a mais pobre ) tem 2 A.S.. MEDIDAS E ERROS - FL. 02

3. ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS Existem diferentes regras de arredondamento dos números de um resultado. Adotaremos, para tal, as seguintes convenções : O algarismo a ser desprezado é menor do que 5 : despreza - se o algarismo e todos que estiverem à sua direita. Exemplo : se o número 3,141592653 só puder ser escrito com 3 A.S. será escrito 3,14 desprezando os números em negrito. O algarismo a ser desprezado é maior ou igual a 5 : despreza -se o algarismo e todos que estiverem à sua direita, acrescentado uma unidade na casa anterior. Exemplo : 3,141592653 com 4 A.S. seria escrito como 3, 142. 4. NOTAÇÃO CIENTÍFICA Qualquer número pode ser escrito como o produto de um número entre 1 e 10 e uma potência de 10 apropriada. Assim o número 18 000 se escreve 1,8 x 10 6 e o número 0,00000001 se escreve 1 x 10 8. 5. ERROS - 5.1 - CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS - De uma maneira geral os erros cometidos em uma série de medições podem ser classificados em : - ERROS GROSSEIROS - resultam da falta de cuidado do operador na leitura ou no manuseio do equipamento ou mesmo equipamento com defeito. - ERROS SISTEMÁTICOS são os erros que provocam um desvio sistemático sobre as medidas para um mesmo lado do valor verdadeiro.são ocasionados por problemas no instrumento,erro no processo de medida ou mesmo por erros cometidos pelo operador. - ERROS ACIDENTAIS - resultam de causas temporárias e imprevisíveis. Como são erros incontroláveis acabam por provocar desvio nas medidas tanto para valores maiores como para valores menores do valor verdadeiro. São os erros que procuraremos contornar, criando meios para cerca - los. 5.2 INCERTEZAS NAS MEDIDAS - 5.2-1 - MEDIÇÃO ÚNICA - Quando a medida de uma grandeza é obtida através de uma única leitura em um instrumento, associa se à ela uma INCERTEZA que é o valor que determina o intervalo de confiança dentro do qual estaria o seu valor verdadeiro. Em instrumentos analógicos a incerteza é representada pela metade da menor leitura permitida pelo instrumento de medida. MEDIDAS E ERROS - FL. 03

5.2. - 2 VÁRIAS MEDIÇÕES - Em um conjunto de várias medições de uma mesma grandeza apenas um valor deverá representar a grandeza. O valor que melhor representa um conjunto de medidas é a MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES destes valores a que denominaremos de VALOR PROVÁVEL (simbolizado por M). Ao valor provável obtido de um conjunto de medidas, associamos uma incerteza devida ao processo de medição. Esta incerteza pode ser calculada, numa primeira aproximação, pelo DESVIO MÉDIO (d M ) do conjunto de medidas representado pela média aritmética dos valores absolutos dos desvios das medidas. O desvio da medida (d i ) corresponde à distância que uma medida tem da média, podendo ser positivo ou negativo. O valor do desvio médio representa a distância média que cada uma das medidas estaria da média. Quanto maior o valor do desvio médio maior a dispersão dos dados em torno da média e portanto menor será a precisão do conjunto de medidas. 5.2. - 3 ERRO PORCENTUAL Em uma medida ou uma série delas o erro porcentual é expresso pela razão entre o módulo da diferença entre o valor teórico e o valor experimental e o valor teórico. É expresso em porcentagem. Analiticamente: VALOR TEÓRICO VALOR EXPERIMENTAL E = --------------------------------------------------------------- VALOR TEÓRICO 5-3 APLICAÇÃO : Determinar o valor que melhor representa as medidas abaixo da massa m de um corpo feitas com um mesmo instrumento e através de um mesmo método de medidas: 2,36 kg ; 2,38 kg ; 2,32 kg ; 2,31 kg ; 2,33 kg. O VALOR PROVÁVEL da massa m será expresso por : Σ X i 2,36 + 2,38 + 2,32 + 2,31 + 2,33 11,70 M = ----------------- = --------------------------------------------------------- = ---------- = 2,34 kg n 5 5 MEDIDAS E ERROS - FL. 04

O desvio de cada medida com relação à média será : d 1 = 2,36-2,34 = + 0,02 kg d 2 = 2,38-2,34 = + 0,04 kg d 3 = 2,32-2,34 = - 0,02 kg d 4 = 2,31-2,34 = - 0,03 kg d 5 = 2,33-2,34 = - 0,01 kg A média aritmética simples entre os valores absolutos dos desvios será o DESVIO MÉDIO ( d M ). Assim teremos : Σ d i ( 0,02 + 0,04 + 0,02 + 0,03 + 0,01 ) 0,12 d M = -------------- = ----------------------------------------------------- = ---------------- = 0,024 kg n 5 5 O VALOR MAIS PROVÁVEL de uma grandeza obtido através de uma série de medidas será expressa por: VMP = MÉDIA ± DESVIO MÉDIO Assim o valor mais provável da massa do corpo será : m = ( M ± d M ) = ( 2,34 ± 0,02 ) kg O valor mais provável da massa do corpo estará entre 2,32 kg e 2,36 kg. Note-se que na expressão final do valor mais provável desprezamos o algarismos 4 resultante da operação aritmética de obtenção do desvio médio, pois adota-se deixar o desvio médio com apenas um algarismo significativo. 5.4 - DESVIO RELATIVO O desvio relativo ( d R ) é definido como a razão entre o desvio médio e a média. Normalmente expresso em porcentagem, o desvio relativo permite comparar a precisão de duas séries de medidas de uma mesma grandeza. O conjunto de menor desvio relativo será mais preciso. Analiticamente podemos escrever :

MEDIDAS E ÊRROS - FL. 05 d R = d M / M Para a série de medidas vista acima teremos um desvio relativo : d R = 0,02 / 2,34 = 0,0085 d R = 0, 85 % 6. - OPERAÇÕES COM DESVIOS - PROPAGAÇÃO DOS ÊRROS. - Como qualquer operação com números afetados de erros conduz a resultados também afetados de erros, procuremos determinar como os erros e incertezas das parcelas se refletem nos resultados das operações. Consideremos, para tal, as medidas : X = ( x ± dx ) e Y = ( y ± dy ) e efetuemos as operações básicas : ( a ) ADIÇÃO - O desvio médio de uma soma é a soma dos desvios médios das parcelas componentes da adição. Analiticamente : A = ( x + y ) ± ( d x + d y ) ( b ) SUBTRAÇÃO - O desvio médio de uma diferença é igual à soma dos desvios médios das parcelas. Analiticamente: S = ( x - y ) ± ( d x + d y ) ( c ) PRODUTO - O desvio relativo de um produto é igual à soma dos desvios relativos de cada uma das parcelas. Seja P = X. Y então P = ( x. y ) ± dp ; chamando de ( dx / x ) e ( dy / y ) os desvios relativos de X e Y respectivamente, teremos : dp / P = [ ( dx / x ) + ( dy / y ) ] dp = P [ ( dx / x ) + ( dy / y ) ] dp = ( x. y ). [ ( dx / x ) + ( dy / y ) ] P = ( x. y ) ± ( x. y ) [ ( dx / x ) + ( dy / y ) ]

MEDIDAS E ERROS - FL. 06 ( d ) QUOCIENTE - O desvio relativo de um quociente é igual à soma dos desvios relativos de cada uma das parcelas. Seja Q = X / Y então analogamente ao produto teremos : Q = ( x / y ) ± dq e assim: Q = ( x / y ) ± ( x / y ) [ ( dx / x ) + ( dy / y ) ] ( e ) OUTRAS OPERAÇÕES e CASOS PARTICULARES - POTENCIAÇÃO - Se x = A N então ( d x / x ) = N ( da / A ) e portanto : X = ( A N ) ± [ N ( da / A ) ] RADICIAÇÃO - Se y = ( A ) 1 / N então ( dy / y ) = ( 1 / N ) ( da / A ) portanto: Y = ( A 1/ N ) ± [ ( 1 / N ) ( da / A ) ] CONSTANTE - O desvio de um número tido como constante é nulo. ( f ) RESUMO Para resumir a propagação de erros nas operações podemos escrever: para soma e subtração somam-se os desvios das parcelas. para as demais operações podemos escrever uma fórmula geral: R K M N R = K M α N β ----------- = [ ---------- + α ----------- + β --------- ] R K M N onde K é uma constante e os valores dos expoentes são tomados em módulo.

MEDIDAS E ERROS - FL. 07 7 - APLICAÇÕES - ( a ) Sejam as medidas M = ( 7,64 ± 0,01 ) m e N = ( 3,22 ± 0,03 ) m determinar o valor mais provável de A = ( M + N ) e S = ( M - N ) ( b ) Sejam as medidas X = ( 8,2 ± 0,3 ) kg e Y = ( 4,1 ± 0,2 ) kg determinar o valor mais provável de : P = ( X. Y ) Q = ( X / Y ) e K = ( X / 5 ) ===#=== ELABORADO POR : ANTONIO DEL PRIORE FILHO