Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

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Aula 31: O Nascimento do Cálculo 26/06/2015 2

Estudo de curvas no século XVII Movimento descrevem representado por Equações Curvas representadas por 26/06/2015 3

Definições para Tangente Antes do século XVII Reta que toca a curva em apenas um ponto. Após o século XVII Reta que aproxima localmente a curva. Motivação para o Cálculo encontrar a tangente a determinada curva descrita algebricamente. 26/06/2015 4

Diferencial Cálculo Infinitesimal (elementos infinitesimais) Desenvolvido paralelamente por: Fluxão (velocidade e taxa de variação) Gottfried Wilhelm Leibniz Alemanha (1646-1716) Isaac Newton Inglaterra ( 1642-1727) 26/06/2015 5

Leibniz Defendia suas práticas como arte da invenção, não importando as demonstrações mas sim o que as ferramentas permitiam obter, libertando-se dos padrões gregos. Após ler A Geometria de Descartes, considerou o método de tangentes restritivo e complicado. Leibniz estabeleceu as regras de derivação e integração e apresentou um método para encontrar máximos e mínimos em curvas.

Leibniz Defendia suas práticas como arte da invenção, não importando as demonstrações mas sim o que as ferramentas permitiam obter, libertando-se dos padrões gregos. Após ler A Geometria de Descartes, considerou o método de tangentes restritivo e complicado. Leibniz estabeleceu as regras de derivação e integração e apresentou um método para encontrar máximos e mínimos em curvas. 26/06/2015 7

O Cálculo de Leibniz Inspirado pelo Tratado dos senos do quarto círculo de Blaise Pascal. Triângulo Característico Pascal demonstrou que Δ DIA ~ Δ EKE 1 independentemente da distância EE 1. Mas não reconheceu a relevância deste resultado. 26/06/2015 8

Implicações do Triângulo Característico Há uma relação que se conserva na passagem do finito ao infinitesimal, que é a semelhança dos triângulos. A relação de grandezas do triângulo característico se transforma em uma relação infinitesimal. y x dx dy 26/06/2015 9

O Cálculo de Leibniz Leibniz fornece um método mais geral para encontrar máximos e mínimos utilizando o cálculo de tangentes por meio do triângulo característico. dy dx = y subtangente Neste contexto Leibniz introduz a palavra função, se referindo o papel que uma reta desempenha em uma curva, como a de ser tangente, normal ou subtangente. 26/06/2015 10

Exemplo Leibniz utilizava os diferenciais como auxiliares para encontrar a derivada. y = x 2 dy = (x + dx) 2 x 2 = 2xdx dy dx = 2x 26/06/2015 11

Diferencial no cálculo de Tangentes Assim, analisando o conceito de diferencial, dv, criado por Leibniz, chegamos à seguinte interpretação: Dado um segmento dx qualquer, dv será o segmento satisfazendo a relação: dv dx = VB BD 26/06/2015 12

dv dx Diferencial no cálculo de Tangentes = tg(θ) é o coeficiente angular da reta tangente, que corresponde ao conceito de derivada. dv dx = VB BD dv = VB BD dx θ Como dx é variável, dv pode ser vista como uma transformação linear, assim dv é uma estimativa cada vez mais apurada, conforme dx assume valores cada vez menores, do quanto a curva C varia na direção 26/06/2015 13 da perpendicular.

O Cálculo de Leibniz O método obteve sucesso nos cálculos e nas aplicações. Entretanto, recebeu muitas críticas nos fundamentos quanto à natureza destas quantidades infinitesimais. Leibniz respondeu muitas destas críticas e na realidade estava à frente de seu tempo. 26/06/2015 14

O Cálculo de Leibniz Uma das respostas mais convincentes de Leibniz: Quando escrevemos o quociente de duas diferenciais, designamos uma razão que não é o mesmo que a divisão infundada de duas quantidades infinitamente pequenas. Logo, esta razão não pode ser entendida como um quociente, que equivaleria à divisão de 0 por 0. Trata-se de uma relação cuja natureza é independente dos termos que a compõem. 26/06/2015 15

Leibniz e o Cálculo Infinitesimal Leibniz se inspirou nas proposições de Euclides, na subdivisão dos diagramas e na construção das retas tangentes para o estabelecimento dos cálculos infinitesimais. Deu o passo decisivo que levou a invenção do cálculo infinitesimal em outubro de 1675, num texto sem título, através do uso exaustivo da geometria euclidiana. Ele percebeu que os problemas que envolviam o inverso da tangente poderiam se reduzir aos de quadraturas, pois estes problemas pediam a solução da equação de uma curva quando se conhecesse a lei que definia sua tangente. 26/06/2015 16

O Cálculo de Newton Considere uma curva. Considerando uma a curva particular z = 2 3 x3 2 Pode-se concluir que z + ov 2 = 4 (x + o)3 3 Desenvolvendo e dividindo tudo por o 2zv + ov 2 = 4 9 (3x2 + 3xo + o 2 ) 26/06/2015 17

O Cálculo de Newton Newton dá um passo crucial ao considerar Bβ infinitamente pequeno, os termos multiplicados por o desaparecem e temos v = y Assim 2zy = 4 3 x2 Substituindo o valor de z, obtemos a equação y = x 1 2 Que determina o ponto da curva para o qual a área é igual z, que é a derivada da função z em relação a x. 26/06/2015 18

O Cálculo de Newton Mais tarde, ele reformula seus método em outra linguagem. Fluentes Quantidades que fluem São variáveis com o tempo. Por exemplo x, y, v, z. Fluxão Taxa de variação Taxa de variação de uma quantidade em relação ao tempo. Por exemplo x, y, v, z. Problema Dada a relação entre os fluentes encontrar a relação entre seus fluxões. Vice-versa. 26/06/2015 19

O Cálculo de Newton A razão entre os fluxões y x determina a inclinação da reta tangente à curva descrita nas variáveis x e y. Exemplo: 26/06/2015 20

Newton A concepção de quantidades que variam com o tempo estabelece a relação de continuidade com o movimento, em contraposição ao Cálculo de Leibniz de natureza metafísica. Admite implicitamente uma noção de limite. Newton também tem problemas com o quociente de quantidades infinitamente pequenas. 26/06/2015 21

Princípios matemáticos da filosofia natural Nesta obra, Newton justifica seu método dizendo que o princípio da continuidade é temporal utilizando o método das primeiras e últimas razões: As quantidades e as razões de quantidades que tendem continuamente a se tornar iguais durante um tempo finito e que, antes do fim deste tempo, se aproximam tanto da igualdade que sua diferença pode ser considerada menor que qualquer diferença dada, terminam por se iguais. 26/06/2015 22

Cálculo Inifinitesimal: Newton X Leibniz Os métodos são distintos, embora com justificativas similares. Newton não se preocupa com o desenvolvimento analítico, utilizando geometria sintética. Leibniz preocupa-se em definir um Cálculo Universal, por meio de métodos sistematizados e algoritmos com notação mais adequada. Os métodos diferencias de Leibniz tiveram melhor recepção na comunidade científica que os métodos de fluxão de Newton. 26/06/2015 23

Cálculo Infinitesimal A maior novidade introduzida na matemática por Newton e Leibniz reside no grau de generalidade e unidade que os métodos infinitesimais adquiriram com seus trabalhos. Já existia enorme conhecimento sobre como resolver problemas específicos do cálculo infinitesimal, mas não se dedicaram a mostrar a generalidade e a potencialidade das técnicas empregadas. Além disso, esses problemas eram tratados de forma independente e as semelhanças entre os métodos não eram ressaltadas. 26/06/2015 24

O Cálculo Infinitesimal Não houve descoberta que tivesse produzido, nas ciências matemáticas, uma revolução tão feliz e tão rápida quanto a da análise infinitesimal; nenhuma forneceu meios mais simples, nem mais eficazes, para penetrar no conhecimento das leis da natureza. 26/06/2015 25

Referências ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012. 26/06/2015 26