O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA EM CÁLCULO

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1 O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA EM CÁLCULO ANÁLISE GRÁFICA DE DERIVADA E INTEGRAL Eduardo Álvaro Dias da Trindade Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Pará - IFPA [email protected] Emanuel Tiago Dias Wanghon Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Pará - IFPA [email protected] RESUMO O objetivo do trabalho constitui no apoio da utilização de softwares no ensino da disciplina Cálculo Difrencial e Integral para analisar o compotamento gráfico das funções e compreender conceitos de Derivada e Integral. A construção de gráficos no papel é possivel até certo ponto para os alunos, depois essas construções ficam difíceis ser repassadas para o papel, sobretudo, a Derivada e Integral que muita das vezes os conceitos não são compreendidos. Para auxiliar na construção gráfica utilizaremos os computadores nas aulas de matemática para desenvolver atividades por meio do software chamado Geogebra. O Geogebra é um software gratuito de matemática dinâmica utilizado em ambiente de sala de aula e foi desenvolvido em 21 pelo professor Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg na Áustria. Recebeu muitos prêmios internacionais incluindo o prêmio software educacional Alemão e Europeu. O software foi criado a partir de suas funções que oferece construções envolvendo Geometria, Álgebra, Cálculo e outros. Logo, o uso dessa ferramenta pedagógica no desenvolvimento de conteúdos matemáticos nos dias atuais, possibilita o ensino de Cáculo e a prática de atuação docente de forma diferenciada. A partir da utilização desse software pode-se trabalhar Cálculo para construir e analisar as propriedades gráficas existentes compreendendo as definições de Derivada e Integral por meio do seu dinamismo. Palavras chave: Cálculo Diferencial e Integral. Geogebra. Matemática Dinâmica. Computadores

2 1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS O uso de softwares na educação é uma das tendências para melhorar o ensino por meio das TIC s (Tecnologias da Informação e Comunicação), trata-se de recursos tecnológicos que proporcionam a autonomia e a comunicação de vários tipos de processos existentes nas atividades profissionais, no ensino, na pesquisa científica entre outros. Com utilização das TIC s, por meio dos computadores nas aulas de matemática, é possível desenvolver atividades utilizando softwares, no entanto, é fundamental que os professores tenham conhecimento necessário para aplicá-los. Este trabalho tem como objetivo apresentar uma alternativa de ensino de Cálculo Diferencial e Integral para compreender o comportamento gráfico quando utilizamos derivada e integral por meio do software Geogebra. O uso dos computadores no ensino da matemática possibilita o uso de softwares educacionais como o GeoGebra que atendem às expectativas dos alunos e a realidade do sistema de ensino globalizado. Assim, o professor deve encontrar estratégias de ensino por meio dessa ferramenta para tornar sua aula mais dinâmica e interessante para os alunos. Atualmente, o software matemático em questão é utilizado em ambientes educacionais de ensino superior auxiliando no processo de aprendizagem do aluno e na construção de materiais didáticos com qualidade tipográfica em apostilas, artigos e pôsteres. Esse tipo de recurso auxilia no ensino aprendizagem procurando relacionar materiais manipuláveis com o intuito de desenvolver no aluno capacidades de visualização, análise e raciocínio, essenciais para a atividade matemática. O Geogebra é um software gratuito de matemática dinâmica para ser utilizado em ambiente de sala de aula e foi desenvolvido em 21 pelo professor Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg na Áustria. Recebeu muitos prêmios internacionais incluindo o prêmio software educacional Alemão e Europeu e hoje tem dado continuidade ao seu trabalho na Universidade da Flórida nos Estados Unidos

3 O software foi criado a partir de suas funções que oferece construções envolvendo Geometria, Álgebra, Cálculo e Estatística, dentre outros conteúdos pertinentes a Matemática. 2. REFERENCIAL TEÓRICO Trabalhando com a matemática elementar podemos lidar com inúmeras de nossas necessidades mais corriqueiras do dia a dia. A partir de agora, teremos a oportunidade de dispor de recursos mais sofisticados. O Cálculo, em conjunto com outras disciplinas, fazem parte do aprendizado da matemática de nível superior, ele é uma ferramenta de análise, muito utilizada em ciências exatas, esta ferramenta recebeu o nome cálculo, como forma abreviada da expressão "cálculo infinitesimal". O cálculo infinitesimal hoje em dia é conhecido como Cálculo Diferencial e Integral que constituem no estudo da variação das funções, por variações infinitamente pequenas das grandezas variáveis. Durante o século XVII o cálculo diferencial e integral já se via como disciplina independente da geometria e da álgebra. Sua criação surgiu devido os problemas científicos da época que necessitavam de modelos matemáticos mais rápido e eficientes. Os problemas enfrentados eram: encontrar a velocidade e aceleração de um móvel; determinação de tangentes a curvas; cálculo de máximos e mínimos; encontrar comprimentos, áreas e volumes. Vários matemáticos na Idade Moderna enfrentaram esses problemas e alguns deram contribuições significativas para solucioná-los. No entanto, dois se sobressaíram Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz que deram base no cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais. 3. DERIVADA As funções são criadas para refletir o comportamento de certos fenômenos entre físicos ou estados de valores, porém existe outro meio para analisar o comportamento dos números, que não conhecemos; a derivação é um processo que - 3 -

4 se destina a analisar as variações no comportamento de um conjunto de números, ela é largamente utilizada hoje em dia. O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada ou deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado "diferenciação". A derivada é um operador linear, o qual forma uma nova função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é o deslocamento da função original. Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e x um elemento de I. Chama se derivada de f no ponto x o limite lim x x f ( x ) x x f ( x ) df Notação para derivada: f (x ); dx x x A diferença x x x é denominado acréscimo ou incremento da variável x relativamente ao ponto x. A diferença y f x) f ( x ) é chamada acréscimo ou ( incremento da função f relativamente ao ponto x. A razão y x f ( x ) f ( x x x ) recebe o nome de razão incremental de f relativo ao ponto x. A derivada de f no ponto x. Pode ser indicada das seguintes formas: i) f ' f ( x) f ( x ) ( x ) lim x x x x ii) f ' ( x ) lim x y x iii) f ' f ( x x) f ( x ) ( x ) lim x x - 4 -

5 4. INTEGRAL VIII E P A E M Uma vez que podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma questão que nos leva a mais um método do cálculo, a integração é uma forma de reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a partir da sua derivada. O cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado integração. A integral indefinida é a antiderivada, o processo inverso da derivada. F é uma integral indefinida de f quando f é uma derivada de F. O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de f(x)), se para todo x I, temos F'(x) = f(x). Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por f ( x) dx F ( x) c Notação para integral: (sinal de integração). A integral definida insere uma função e extrai um valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, abordagens tomadas para solucionar o problema do cálculo de áreas curvas encontrando o mesmo resultado denominado Somam de Riemann

6 VIII E P A E M Seja f uma função definida [a, b] e seja P uma partição qualquer de [a, b]. A integral de f de a até b, denotada por b f ( x ) dx, a É dada por b n f ( x ) dx a lim máx xi f (ci ) xi i 1 5. APLICAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA EM CÁLCULO Agora utilizaremos o software Geogebra para construir os gráficos das funções e depois analisar o seu comportamento quando usamos derivada e integral. Para isso mostraremos os comandos necessários para aplicar os conceitos de cálculo. Conhecendo a face do Geogebra, temos: barras de menus, barras de ferramentas, zona algébrica, zona gráfica e entrada de comandos. (Fig.1: tela de apresentação do Geogebra) -6

7 2 Usando como exemplo 1 o polinômio x 3x 3, digitamos essa função no campo de Entrada de comandos no Geogebra. Os comandos devem seguir as nomenclaturas abaixo: i) f(x)=x^2 3*x+3 ii) derivada[f] iii) integral[f] (Fig.2: gráfico da derivada e integral) O software Geogebra proporciona a construção gráfica da derivada e integral, desse modo, é possível visualizar os novos gráficos partido do conceito do cálculo. Ao construir um polinômio (i) caracterizado pela cor preta na figura 2, o comando para determinar qualquer derivada de uma função no Geogebra é (ii) caracterizado pelo cor verde, enquanto, a o comando para a integral de uma função no Geogebra é (iii) caracterizado pela cor vermelha. Assim, encontrando a derivada de um polinômio de grau dois obtemos outro polinômio de grau menor que dois, ou seja, uma função afim de grau igual a um de - 7 -

8 acordo com a definição da mesma. Partindo desse analise para integral de um polinômio de grau dois obtemos outro polinômio de grau maior que dois, ou seja, um polinômio de grau igual a três. O exemplo utilizado é possível construir os gráficos algebricamente no papel, porém, existem funções que necessita do auxilio do software para visualizar os gráficos da derivada e integral. A integral que trabalhos no exemplo 1 foi a integral indefinida, pois não utilizou os intervalos de integração. Agora no exemplo 2 a função f ( x) sen ( x) usaremos o Geogebra para determinar a integral definida com os intervalos de integração, nesse caso, os intervalos serão, < x < π. Digitamos essa função no campo de Entrada de comandos no Geogebra. Os comandos devem seguir as nomenclaturas abaixo: i) f(x)=sin(x) ii) integral[f,,π] (Fig.3: integral definida) - 8 -

9 O software Geogebra trabalha com a integral definida como mostra o exemplo 2, dessa forma, podemos determinar a área de curvas de acordo com os intervalos de integração. A área da função seno no intervalo < x < π é igual a dois. Se mudamos a imagem e o intervalo de integração da função consequentemente altera sua área. Também, podemos usar o limite da soma das áreas dos retângulos, denominado Somam de Riemann para se trabalhar integral. No exemplo 3 usaremos a mesma função f ( x) sen ( x) usaremos o Geogebra para determinar a integral definida com Soma de Riemann com os intervalos de integração de < x < π. Digitamos essa função no campo de Entrada de comandos no Geogebra. Os comandos devem seguir as nomenclaturas abaixo: i) f(x)=sin(x) ii) n=2 (vá na janela algébrica com o botão direito do mause e escolha propriedades: seletor em mínimo =, Maximo = 2 e incremento = 1) iii) somainferior[f,,π,n] (Fig.4: Soma de Riemann) - 9 -

10 A integral definida usando Soma de Riemann com o software Geogebra podemos criar o número de retângulos desejados para determinar a área de uma curva, quanto maior o número de retângulos em uma curva mais próximo da área chegaremos. Assim, as definições de cálculo conhecido nos livros podem ser compreendidas por meio desse software conhecendo os gráficos de funções que apresentam construções algébricas o tanto trabalhosas. 6. CONCLUSÃO O uso do software GeoGebra, pode auxiliar no ensino como na aprendizagem no Cálculo Diferencial e Integral e a prática de atuação docente de forma diferenciada. A partir da utilização dessa ferramenta pode se trabalhar conteúdos para construir e analisar os gráficos de funções aplicando as definições de derivada e integral por meio do dinamismo do software, assim os alunos podem compreender a importância desse recurso no ensino da matemática com o avanço das tecnologias

11 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] ALMEIDA, Maria Elizabeth B.; MORAN, José Manuel. Integração das Tecnologias na Educação salto para o futuro/ Secretaria de Educação a Distância. Brasília: Ministério da Educação, Seed, p.; il. [2] ARAÚJO, Luís Lopes de; NÓBRIGA, Jorge Cássio Costa. Aprendendo Matemática com o Geogebra. São Paulo. Ed. Exato, 21. [3] GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo, vol.1 5ª Edição. LTC, 21. [4] HOWARD, Anton et al. Cálculo, vol 1 8ª Edição. Bookman, 27 [5] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar: limites, derivadas e noções de integrais, vol. 8 6ª Edição.STEWART, James. Cálculo, vol 1 6ª Edição. Ed. Atual,