Lista de Exercícios de álculo 3 Nona Semana Parte 1. alcule as integrais de linha de primeira espécie. xds sobre o arco da parábola y = x 2 de (0, 0) a (1, 1). x2 + y 2 ds sobre a curva r(t) = 4 cos ti + 4 sin tj + 3tk, 2π t 2π. (c) integral de linha de f(x, y, z) = 3/(x 2 + y 2 + z 2 ) sobre a curva r(t) = t(i + j + k), t [1, ). (d) (xy + y + z)ds sobre a curva r(t) = 2ti + tj + (2 2t)k, 0 t 1. (e) yz cos xds sobre a curva r(t) = ti + 3 cos tj + 3 sin tk, 0 t π. 2. alcule as integrais de linha de segunda espécie. xydx + (x + y)dy sobre a curva y = x 2 de ( 1, 1) a (2, 4). F dr para o campo vetorial F = yi xj no sentido anti-horário sobre o círculo unitário x 2 + y 2 = 1 de (1, 0) a (0, 1). (c) Encontre o fluxo dos campos de velocidade (i) F 1 = 2xi 3yj e (ii) F 2 = 2xi + (x y)j sobre o círculo r(t) = (a cos t)i + (a sin t)j, 0 t 2π. (d) F dr, em que F(x, y, z) = ez i + xzj + (x + y)k e é a curva dada por r(t) = t 2 i + t 3 j tk, 0 t 1. (e) Determine o trabalho que a força F(x, y, z) = zi + xj + yk realiza para mover uma partícula do ponto (3, 0, 0) ao ponto (0, π/2, 3) sobre (i) uma linha reta e (ii) a hélice h(t) = 3 cos ti + tj + 3 sin tk. 3. Mostre que os campos vetoriais F são conservativos e determine uma função f tal que F = f. F(x, y) = (1 + xy)e xy i + (e y + x 2 e xy )j F(x, y, z) = sin yi + x cos yj sin zk ( ) ( ) y (c) F(x, y, z) = 1 + x 2 y 2 i + x 1 + x 2 y 2 + z y j + 1 y2 z 2 1 y2 z + 1 k 2 z 4. Mostre que as formas diferenciais na integral são exatas. Então calcule-as. (c) (d) (3,5,0) (1,1,2) (3,3,1) (0,0,0) (0,1,1) (1,0,0) (4,0,3) (0,2,0) yzdx + xzdy + xydz 2xdx y 2 dy 4 1 + z 2 dz sin y cos xdx + cos y sin xdy + dz e y dx + (xe y + e z )dy + ye z dz 1
Parte B 1. Uma corda está sobre o círculo x 2 + y 2 = 4 de (2, 0) a (0, 2) no primeiro quadrante. densidade da corda é ρ(x, y) = xy. Particione a corda em um número finito de subarcos para mostrar que o trabalho realizado pela gravidade para mover a corda para baixo até o eixo x é dado por onde g é a constante gravitacional. Trabalho = lim n k=1 n gx k yk s 2 k = gxy 2 ds, Encontre o trabalho total realizado calculando a integral de linha da parte. (c) Mostre que o trabalho total realizado é igual ao trabalho necessário para mover o centro de massa da corda (x, y) para baixo até o eixo x. 2. Dentre todas as regiões retangulares 0 x a, 0 y b, encontre aquela na qual o fluxo exterior de F = (x 2 + 4xy)i 6yj através dos quadro lados é mínimo. Qual é esse mínimo valor? 3. Quais devem ser as constantes a, b e c para que a forma diferencial seja exata. df = (ay 2 + 2czx)dx + y(bx + cz)dy + (ay 2 + cx 2 )dz 4. Se é uma curva plana simples fechada e suave por partes, e f e g são funções diferenciáveis, mostre que f(x)dx + g(y)dy = 0. 5. Se f é uma função harmônica, isto é, f = f xx + f yy = 0, mostre que a integral de linha f y dx f x dy é independente do caminho para qualquer região simples D. Parte 1. O teorema de Kutta-Joukowski afirma que a força de sustentação gerada pelo escoamento de ar sobre um cilindro de raio R, girando com uma velocidade angular ω, pode ser calculada pela expressão F = ρu Γ, em que F é o módulo da força de sustentação, ρ a densidade do ar, u a velocidade do ar quando (x, y) e Γ a circulação calculada em cima do cilindro. onsiderando que a velocidade do ar é dada por [ ] [ ] 2u y u(x, y) = y x 2 + y 2 + 2πR 2u y i x x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 2πR j x 2 + y 2 e que a densidade ρ é constante, calcule a força de sustentação gerada por esse escoamento. Neste caso do cilindro rotativo esse fenômeno é chamado de Efeito Magnus. Esse efeito pode ser observado neste vídeo e mais explicações sobre ele podem ser encontradas no wikipédia. 2
Resumo do onteúdo 1. Integral de linha de primeira espécie: considere a função f(x, y, z) contínua sobre a curva, então a integral de linha de primeira espécie de f sobre é dada por f(x, y, z)ds = b a f(x(t), y(t), z(t)) r (t) dt, em que r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, com a t b, é uma parametrização da curva. 2. ampo Vetorial: um campo de vetores definido em um domínio no espaço (ou no plano) é uma função que atribui um vetor F(x, y, z) para cada ponto (x, y, z) no domínio. Um campo vetorial tridimensional é normalmente escrito como F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P (x, y, z)k. ampos vetoriais são bastante utilizados na física para representar, por exemplo, forças e velocidade. 3. Integral de linha de segunda espécie: considere o campo vetorial F contínuo e definido sobre a curva suave, então a integral de linha de segunda espécie de F sobre é dada por F dr = = b a F(r(t)) r (t)dt F Tds, em que r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, com a t b, é uma parametrização da curva. 4. ampo potencial/função potencial: um campo vetorial F é dito um campo potencial se existir uma função escalar f tal que F = f. função f será chamada de função potencial. 5. Independência do caminho: dados dois pontos e B no domínio do campo vetorial F, se B F dr não muda o valor para qualquer caminho que liga os pontos e B dizemos que a integral F dr é independente do caminho e dizemos que o campo vetorial F é conservativo. Para os campos vetoriais conservativos valem os seguintes resultados: F = f em D F é conservativo em D F dr = 0 para qualquer curva fechada em D, em que D é o domínio do campo vetorial. lém disso, se F é conservativo, então B F dr = B f dr = f(b) f(). 6. Teste para campos conservativos: para verificar se um campo vetorial F(x, y, z) = M(x, y, z)i+n(x, y, z)j+ P (x, y, z)k é conservativo, basta verificar que F = i j k / x / y / z M N P = 0. 3
Gabarito Parte 1. Respostas 1 12 (5 5 1) 80π (c) 1 (d) 13 2 (e) 6 10 2. Respostas 69 4 π 2 (c) (i) 0 e (ii) πa 2 (d) 11 12 4 e (e) (i) 3 2 (π 3) e (ii) 3π 4 3. Respostas f(x, y) = e y + xe xy f(x, y, z) = x sin y + cos z (c) f(x, y, z) = arctan(xy) + arcsin(yz) + ln z 4. Respostas Parte B 2 π (c) 1 (d) 2 1. Respostas Trabalho = força deslocamento = massa aceleração deslocamento = ρds g y = gxy 2 ds. 16g 3 (c) coordenada y do centro de massa é dada por ȳ = Mx M = 1 M para mover o centro de massa para o eixo xé T = Mgȳ = Mg 1 M 2. a = 2 e b = 1 3. (a, b, c) = (t, 2t, 3t), t R yρds. O trabalho que a gravidade realiza yρds = gxy2 ds. 4. Seja F (x) uma primitiva de f(x). Suponha, sem perda de generalidade, que a curva suave por partes seja dividida em duas curvas r 1 (t) = x 1 (t)i + y 1 (t)j, t 0 t t 1, e r 2 (t) = x 2 (t)i + y 2 (t)j, t 1 t t 2 de tal forma que os pontos de encontro da curva fechada sejam: r 1 (t 1 ) = r 2 (t 1 ) e r 1 (t 0 ) = r 2 (t 2 ). ssim, a integral c f(x)dx é na verdade f(x)dx = t1 t 0 f(x 1 (t)) dx 1 dt dt + t2 t 1 f(x 2 (t)) dx 2 dt dt = [F (x 1 (t))] t1 t 0 + [F (x 2 (t))] t2 t 1 = F (x 1 (t 1 )) F (x 1 (t 0 )) + F (x 2 (t 2 )) F (x 2 (t 1 )), 4
como x 1 (t 1 ) = x 2 (t 1 ) e x 1 (t 0 ) = x 2 (t 2 ), então f(x)dx = F (x 1 (t 1 )) F (x 1 (t 0 )) + F (x 2 (t 2 )) F (x 2 (t 1 )) = 0. O procedimento para g(y)dy = 0 é idêntico. 5. Para verificarmos que o campo F = (f y, f x ) é conservativo, basta calcularmos o F. Neste caso, temos i j k F = / x / y / z f y f x 0 Parte = k( f xx f yy ). omo f = 0, então F = 0. Portanto, o campo F = (f y, f x ) é conservativo. 1. Basta calcular a integral de linha com r(t) = R(cos ti + sin tj), t [0, 2π]. circulação = círculo u dr, 5