RELATIVIDADE ESPECIAL AULA N O 1 Introdução Vamos ver com atenção a matemática da Relatividade Especial, desenvolvendo em detalhes a descrição do espaço-tempo, energia, momento, transformação de Lorentz, sincronicidade, etc. Veremos a seguir a cinemática, ou seja, como as coisas se movem no espaço-tempo e por que elas se movem. Isto nos levará ao conceito de força e dinâmica, que envolvem os conceitos de energia e momento, abrangendo as equações de Newton. Tudo isto nos levará, mais a frente, ao estudo da Relatividade Geral e de alguns assuntos relacionados a ela, como Buracos Negros, Gravitação, Expansão do Universo, etc. Comecemos por definir o que significa relatividade. Relatividade significa que as Leis Físicas são independentes do sistema de referência no qual elas são estudadas. Para o nosso propósito, Sistema de Referência significa o estado de movimento de um conjunto de coordenadas. Pode-se pensar então que um sistema de referência seja uma malha tridimensional x, y, z que define a localização de cada ponto do espaço e que possui um relógio em cada um destes pontos. Newton considerava que o tempo fosse algo completamente universal, como um tempo divino, igual para todo mundo. Assim todos os relógios, independente de sua posição ou do seu movimento (tanto do observador como do próprio relógio), marcariam um tempo universal e consensual, igual para todos. Esta ideia começou a mudar quando Einstein desenvolveu a Teoria da Relatividade. Esta ideia, porém, já existia antes de Einstein, remontando à época de Galileu. Recordemos qual era o conceito da relatividade de Galileu, mostrando onde, como e por que ela falha. Um modo de se imaginar a relatividade intuitivamente é nos imaginarmos movendo-nos em um trem que se locomove em trilhos perfeitamente lisos e retos, de tal forma que a sua velocidade é exatamente constante. Uma experiência interessante para representar as leis da Física neste trem seria uma pessoa fazendo malabarismos com alguns objetos, habilidade esta que requer muito bom senso de gravidade, movimento, sincronicidade, força, etc., conceitos que são inconscientemente utilizados pelo malabarista. É um fato da natureza que, neste trem, movendo-se com velocidade constante em relação a outro trem, que consideraremos parado, as leis que regem o malabarismo são as mesmas. Este conceito, antes de Galileu, não era entendido, pois as pessoas ainda não tinham trens para poder pensar nisso! Porém, se imaginassem algo semelhante a esta experiência, provavelmente o cientista médio daquela época pensaria que o malabarista precisaria modificar o movimento normal do seu braço, para poder apanhar novamente a bola jogada para cima, a fim de compensar o movimento do trem! É claro que isso está errado, pois as leis do malabarismo são as mesmas no trem em movimento uniforme ou num trem parado. Esta propriedade foi descoberta por Galileu, sendo expressa mais tarde, detalhadamente, por Newton, através de suas leis do movimento. Vamos começar pela relatividade de Galileu. Como todas as outras teorias de relatividade, a de Galileu é uma teoria de transformação de coordenadas e de fenômenos de um sistema de referência para outro. Vamos imaginar duas malhas (sistemas de referência) movendo-se uma em relação à outra, cada uma contendo o seu conjunto de relógios sincronizados em todos os seus pontos. Devemos saber então como transformar as informações de um sistema para o outro. Há muitos tipos de informação, como por exemplo qual a temperatura de um objeto, a sua energia, etc. A informação mais simples é a localização de um ponto no espaço e no tempo, parâmetros estes medidos pelas réguas e relógios de cada sistema. Vamos primeiramente desenhar os sistemas de referência:
3 Diagrama Espaço Tempo Primeiramente, estaremos interessados apenas no movimento ao longo de um determinado eixo, que escolhemos ser o eixo x. Os eixos y e z, por enquanto, não irão influenciar nos resultados. Se nós quisermos, por exemplo, representar uma régua parada no sistema, teremos: Malha Espaço x Tempo 6s 5s 4s 3s s 1s Régua 1m m 3m 4m 5m 6m 7m 8m Imaginemos agora dois trens, A e B, sendo que o trem A está parado (logicamente apenas como referência) e o trem B está em movimento, com velocidade V : Neste caso, o gráfico do trem B estará inclinado em relação ao do trem A, pois seus vagões estão-se movendo em relação aos de A (ainda estamos na relatividade de Galileu). Segundo Newton e Galileu, se um ponto tem coordenadas x, t no trem A, estas coordenadas se t' t tempo universal transformarão, para o trem B, em novas coordenadas x ', t', dadas por: x' x -V t Estas equações podem ser reescritas na forma inversa, indicando como as informações do trem em movimento, B, se transformam t t' nas do trem que está parado, A : x x ' V t Esta é a matemática básica da relatividade de Galileu. Verifiquemos agora que tipo de informação é INVARIANTE segundo este tipo de transformação. O conceito de INVARIANTE define algo sobre o que todos concordam a respeito. Vejamos alguns exemplos mais evidentes deste conceito.
4 Num determinado instante de tempo, a distância entre dois eventos será um invariante. t x e x 1 d x x 1 (dois eventos) x ' 1 x1 Vt x ' x ' 1 x x1 d x ' x Vt Assim, a distância entre dois pontos, no mesmo instante de tempo, é um invariante segundo Galileu. Suponhamos uma partícula descrevendo uma trajetória invariante, pois a sua equação em B será: ' dx 't dxt x t x t Vt. xt em A. Esta trajetória não é um Para a velocidade, teremos: V.Portanto a velocidade também não é um invariante. dt dt d x ' t d xt Para a aceleração, teremos: dt dt Vemos, assim, que a aceleração é um invariante. Segundo a transformação de Galileu, a aceleração de um objeto em movimento é a mesma para observadores movendo-se com velocidade relativa constante. De acordo com este resultado, podemos imaginar que, se as leis da Física devem ser invariantes nos sistemas de referência em movimento relativo uniforme, então elas devem estar fundamentadas em ACELERAÇÕES. E é exatamente isto o que acontece, segundo Newton, com a lei F m a. Vejamos esta questão com mais detalhes. Imaginemos dois objetos exercendo uma força mútua entre si, estando situados ao longo do eixo x. Normalmente a força entre os dois objetos depende da distância entre eles. As coordenadas dos dois objetos não são invariantes. Mas a distância entre eles é um invariante, de modo que, se a força entre eles depende apenas da distância, então a força é invariante. Para que as equações de Newton permaneçam coerentes, é necessário que a massa também seja invariante. Assim, se todos os termos da equação de Newton, F m a, são invariantes, então a equação em si também é um invariante. Segundo Newton, portanto, todos os sistemas concordam no valor medido para a massa. Assim as leis de Newton F m a, são invariantes segundo a transformação de Galileu. A ideia de relatividade implica que todas as leis da Física, sejam elas quais forem, são invariantes segundo a transformação apropriada, analogamente à transformação de Galileu. O problema é que este princípio sofre um desastre na questão do eletromagnetismo, segundo a transformação de Galileu! Como sabemos, a luz é uma onda eletromagnética que se propaga a uma determinada velocidade c (300.000 km/s), conforme é previsto pelas Equações de Maxwell. As Equações de Maxwell expressam leis da Física, a respeito das quais todos os sistemas também devem concordar, de modo que a velocidade da luz deve ser a mesma em todos os sistemas de referência. Foi exatamente isto, e nada além disso, que Einstein utilizou na sua Teoria da Relatividade. Ele intuiu que as Equações de Maxwell deviam ser as mesmas em todos os sistemas de referência. Esta hipótese implicava um grande problema, porque, se as Equações de Maxwell são as mesmas em todos os sistemas de referência, então a velocidade da luz também deve ser a mesma em todos os sistemas de referência! Mas como a luz pode ter a mesma velocidade em sistemas que se movem um em relação ao outro? Vejamos como a relatividade de Galileu atua neste problema. Se um raio de luz se move na direção x, sua equação do movimento será dada por x c t. Mas, segundo a transformação de Galileu, o observador em movimento no trem B descreveria o movimento da luz pela equação: x' c V t, de modo que a velocidade da luz não é um invariante! Este tipo de composição de velocidade pode ser utilizado com eficiência em ondas sonoras ou aquáticas, nas quais a
velocidade depende da velocidade do observador, sendo vista mais rápida ou mais lenta conforme o observador se mova na direção contrária ou na mesma direção da onda. Com base nestas considerações, a maioria dos físicos do início do Século XX acabou concluindo que haveria um sistema referencial privilegiado, unicamente em relação ao qual a velocidade da luz teria o valor constante c. Eles pensavam então num referencial divino, unicamente no qual as equações de Maxwell seriam válidas, não valendo em nenhum outro referencial. Como todos sabemos, os cientistas passaram a estudar o movimento da luz em sistemas com diferentes velocidades entre si, utilizando dispositivos engenhosos em delicadas experiências, bastante precisas, nas quais ficou completamente comprovada a invariância da velocidade da luz! Não restou então para os físicos outra opção, senão rever os conceitos básicos da relatividade. A opção fundamental de Einstein foi justamente considerar a velocidade da luz, ou seja, as Equações de Maxwell, como invariantes em relação aos sistemas em movimento relativo entre si. Foi necessário rever os princípios fundamentais que relacionam os sistemas em movimento relativo, tendo em mente, porém, duas condições ou postulados: 1) As leis da Física devem ser a mesma em todos os sistemas de referência. ) A velocidade da luz é sempre a mesma em todos os sistemas de referência Assim, partindo destes postulados, Einstein procurou o que poderia derivar deles. A primeira coisa derivada por ele foi a não validade de algo que está implícito em nosso diagrama espaço-tempo segundo Galileu, mas que não pode ser verdade segundo os dois postulados. Isto se refere à suposição clássica de que, se dois eventos são simultâneos em um sistema de referência, eles serão simultâneos em todos os sistemas de referência. Voltando ao fundamento do conceito de sincronismo, imaginemos o trem A com um relógio em cada um de seus vagões. Para sincronizar todos estes relógios entre si, a fim de que todos indiquem a mesma hora, Einstein empregou a luz como instrumento de aferição, uma vez que a sua velocidade era a base de um dos postulados. Assim, com um relógio situado no meio do trem, quando este relógio marcasse 1:00hs, seria emitido um flash de luz, a partir deste ponto, para os dois lados do trem, de modo que cada vagão, ao receber o flash provindo do centro do trem, anotaria a hora de recebimento e subtrairia desta hora o tempo gasto pelo flash para percorrer a distância do centro do trem até a posição daquele vagão. Com este processo, todos os relógios ficariam sincronizados entre si. Surge agora, porém, o problema de como o trem B, passando por A, iria ler estes relógios situados em A, comparados com os de B. Para o trem B, o trem A está se movendo, de modo que, para ele, uma extremidade de A se aproxima do flash e a extremidade oposta se afasta do flash. É óbvio, então, que o observador no trem B irá ver o flash atingir as extremidades do trem A em tempos diferentes! Einstein concluiu, então, que a simultaneidade de um evento num sistema não significa simultaneidade nos demais sistemas! Vamos ver em detalhes como o conceito de simultaneidade falha, quando usamos o postulado de velocidade constante para a luz, observando como dois pontos situados no mesmo instante no diagrama espaço-tempo de A se transformam em outros dois pontos no diagrama espaço-tempo de B. Veremos que esta análise nos levará à transformação de Lorentz, segundo a qual o conceito de simultaneidade torna-se relativo. Comecemos pela análise do diagrama espaço-tempo de A. Tendo como referência o sistema A e considerando o trem A com apenas dois vagões e com os seus relógios situados nas duas extremidades do trem, sincronizados através da luz, se ambos emitirem um flash de luz no tempo t 0 em direção ao centro M do trem, ambos sinais irão atingir o ponto M ao mesmo tempo, conforme podemos ver no diagrama.. Para que o diagrama seja coerente com a magnitude da velocidade da luz, vamos considerar, de agora em diante, a velocidade da luz como sendo UNITÁRIA c 1, de modo que sua representação no diagrama é dada por uma reta com inclinação de 45. Para recuperarmos novamente a velocidade nas equações, bastará fazermos uma análise dimensional. 5
6 Temos então que um raio de luz movendo-se para a direita, a partir da origem, satisfaz a equação: x t (c = 1). Caso o raio não saia da origem, a equação será dada por x t K ( K constante ). Para um raio de luz deslocando-se para a esquerda teremos de maneira geral, x t K. Temos, assim, que a velocidade máxima no diagrama é a velocidade da luz, correspondendo a uma reta inclinada de 45, sendo que todas as outras retas (velocidades constantes) são menos inclinadas (mais próximas da vertical). Vamos adicionar ao diagrama espaço-tempo de A a descrição do movimento destes flashes conforme descritos pelo sistema B, cuja velocidade em relação a A é V : Vamos acrescentar também as linhas do movimento do trem B correspondentes às suas extremidades e a o seu centro, que foram consideradas coincidentes com as do trem A no instante t 0. Considerando como referência agora o sistema B, podemos notar pelo diagrama que os raios emitidos das extremidades de A atingem o centro do trem B em tempos 1 distintos, que estão indicados pelos pontos 1 e. Portanto os raios de luz não podem estar sincronizados segundo o ponto de vista do observador situado no centro do trem B. Podemos ver isto também de outra forma, revertendo o raciocínio, perguntando de onde (de que ponto no diagrama espaço tempo) deveria ter partido o raio emitido do lado direito de B, de modo a chegar no ponto no mesmo instante que o raio emitido pela extremidade esquerda de A? Graficamente, teremos: O O 1 3 Assim, para o sistema de referência no ponto central do trem B, movendo-se com velocidade V em relação a A, os raios provindos da origem O (extremidade esquerda de A e de B, coincidentes no tempo t 0 ) e do ponto 3 o atingirão simultaneamente B no ponto do espaço-tempo e, portanto, estes pontos ( O e 3 ) estarão sincronizados para o observador no centro do trem B. Por outro lado, o observador em A irá considerar que os pontos correspondentes às extremidades do trem A no instante t 0 estão sincronizados. Torna-se óbvio, desde o princípio, que a ideia de simultaneidade não pode ser a mesma em ambos os sistemas de referência. Podemos verificar, quantitativamente, onde está situado no diagrama espaço-tempo o ponto 3. Isto requer apenas um pouco de álgebra e geometria: O ponto é a interseção entre as retas x t e x V t L, ou seja: L t V t L t 1V 1 3
7 Portanto as coordenadas do ponto no sistema em repouso, A, são: L L Ponto "", 1V 1V Com este ponto, podemos determinar a equação da reta entre os pontos e 3, cuja equação geral tem a forma: x t K. Portanto: L x t K K 1V Assim a equação da reta que passa pelos pontos e 3 é dada por: L x t 1V O ponto 3 é dado pela interseção entre a reta " " "3" e a reta x t L. Portanto: x V t L Ponto "3" L x -t 1- V L 1 0 V t t L t 1V L 1 1V 1V Subtraindo, temos: V t L 1 V x L L V L x L 1V 1V 1V 1V Portanto Ponto 3 L LV, 1V 1V Com o ponto 3, podemos determinar a reta entre O e 3, que define a direção do eixo de eventos simultâneos para o observador em movimento no trem B, pois tanto o ponto O no tempo t 0, como o LV ponto 3, no tempo t, representam pontos sincronizados para o observador em movimento, 1V B, pois ambos representam pontos sincronizados para o observador B. Assim, aquilo que o observador em movimento chama de linha de sincronismo, o observador em repouso chama de t V x, enquanto que o eixo do tempo para o observador em B é visto pelo observador em repouso A como x V t. Portanto o eixo do tempo para o observador em movimento é dado por x V t, quando visto pelo observador em repouso A, enquanto o eixo o eixo da posição é visto como t V x. Assim todos os pontos na reta t V x estão sincronizados para o observador em movimento, ou seja, situam-se no mesmo instante de tempo. É interessante reparar na simetria das equações que descrevem os eixos de tempo e espaço para o observador em movimento, onde temos: x V t e t V x. OBS: Pode-se verificar a simetria diretamente, através da geometria do problema, utilizando-se o prolongamento da linha que liga os pontos e 3 até à interseção da reta no ponto P, conforme ilustrado na figura a seguir. Uma vez que as retas, e são paralelas, então. Portanto os triângulos e são iguais. Como é um reta de 45 o, resulta que, e isto implica que a reta é dada pela equação.
8 P 3 O β M Q Vamos recuperar agora, através de uma análise dimensional, a constante c da velocidade da luz nas equações obtidas: L t V x T L ( T dimensão tempo; L dimensão espaço) T Para tornar coerente esta expressão, é necessário dividir por direita, pois assim: L T T L T T L L e multiplicar por Portanto teremos que multiplicar o termo da direita na equação original por T L T o termo da, o que significa V x dividir pela velocidade da luz ao quadrado. Teremos então: t. c Com a reinserção da velocidade da luz nesta equação, podemos ver que, para velocidades pequenas em V x comparação com a da luz, a equação da reta t tem inclinação muito pequena, quase coincidente c com o eixo t 0, de modo que, para efeitos práticos, a simultaneidade pode ser considerada a mesma em todos os sistemas de referência. Porém, com velocidades relativas comparáveis à da luz, temos de levar em consideração a inclinação desta reta, levando em conta a diferença de simultaneidade nos sistemas em movimento relativo. Notemos que, ao utilizar c 1, o diagrama espaço-tempo assume uma forma completamente simétrica : t t x x
Os ângulos, relativos ao observador em movimento, pelos quais os eixos do tempo e espaço ficam inclinados no sistema em repouso são iguais. Com este tipo de construção gráfica, podemos deduzir as Transformações de Lorentz. Nós já temos baste informação sobre as relações entre os dois sistemas A e B, x, t x', t', mas ainda não sabemos tudo. Conforme já vimos, segundo Galileu, x' x V t. Isto significa que, quando x V t, então x ' 0. Mas esta condição deve continuar valendo para qualquer novo tipo de transformação, pois a origem de B x ' 0 se desloca em relação a A com velocidade constante V ao longo de x V t. Como um todo, a equação x' x V t pode estar errada, porém qualquer alteração que ela venha a sofrer não deve alterar a relação de que x ' 0 para x V t. Para isso, só há uma forma de alterarmos a equação, isto é, multiplicando o termo x V t por um fator que pode depender da velocidade relativa de B em relação a A : f V x' f V x' Vt Ao longo da linha t V x temos, pois esta é a linha de sincronicidade para B. Portanto, seja qual for a forma da equação para, ela deverá manter esta propriedade, ou seja, de que, pata,. Assim, analogamente ao que já vimos para, devemos ter, para a nova transformação: Estas equações estão ligadas à inclinação do eixos e. Mas elas não são suficientes para determinarmos as funções e. A condição que nos permite determiná-las está no fato de que qualquer equação utilizada pelo sistema A para converter informações sobre o sistema B deve ser exatamente igual àquela utilizada pelo sistema B para converter informações sobre o sistema A, exceto pelo sinal da velocidade relativa. Vamos então resolver as equações agora em função de e de, aplicando esta propriedade de antissimetria em relação a. Isto decorre do fato de que, se o sistema A vê o sistema B deslocando-se com velocidade, então o sistema B vê o sistema A deslocando-se com velocidade. Vamos provar primeiro que a função tem de ser igual a Esta igualdade decorre do fato de todos concordarem a respeito da velocidade da luz. Isto significa que, se um observador vê a luz como (velocidade da luz ) então o outro observador deve vê-la como ( ). x' f V x Vt t t ' g V t Vx t 9 45 o x t x' f V t 1 V para t ' g V t t V Porém, para, temos. Portanto:, logo. Vamos explicitar agora em função de, aplicando também a propriedade de antissimetria em relação a : x ' x Vt fv ( ) t ' t ' x ' t Vx x V Vx t ' f V f V f V t Vx f V
10 x ' Vt ' x ' Vt x V x x 1V f V f V f V x 1 x ' Vt 1V f V x ' x ' t ' t ' Vx ' x Vt t V Vt t V t f V f V f V f V f V t Vx t Vx 1 f V f V ' ' 1 ' ' t V t 1V x ' f v x Vt Pela propriedade de antissimetria em relação a t ' g v t Vx, as equações de e de, assim como as equações de e de,devem ser iguais, exceto pelo sinal de : x ' f V x Vt 1 1 1 1 x ' Vt ' f V f V x 1 V f V 1 V 1 V f V f V 1 1V O mesmo resultado é obtido em relação ao tempo: t ' f V t Vx 1 1 1 t ' Vx f V f V t 1V f V 1 V 1 V f V O valor de surge da reciprocidade entre as equações de transformação de informações entre os sistemas A e B, exceto pelo sinal de. Como resultado disto, a transformação que satisfaz os postulados de Einstein é dada pelas seguintes relações: x Vt x ' Vt ' x' x 1V 1V e t Vx t ' Vx ' t' t 1V 1V A coisa nova e bizarra que aparece nesta transformação está no fato de que o tempo, em vez de permanecer o mesmo e universal tempo, transforma-se também, dependendo da posição e da velocidade relativa entre os sistemas, de modo que, assim, muda o conceito de sincronicidade. Devemos agora colocar de volta a constante (velocidade da luz) nas equações de transformação, através de uma análise dimensional: x Vt x ' Vt ' x' x 1V c 1V c e t V x c t ' V x ' c t' t 1 V c 1V c
11 OBS: Para que o termo 1V tenha dimensão nula, devemos dividir o segundo termo por. Vx Podemos ver, desse modo, que, quando é uma velocidade normal, o termo c é completamente V desprezível, dando-se o mesmo com o termo, de modo que o tempo é praticamente o mesmo para os c dois sistemas. As diferenças entres os respectivos tempos somente aparece quando a magnitude da velocidade relativa entre os dois sistemas,, é comparável à velocidade da luz. Esta mesma condição vale para as diferenças em relação aos comprimentos de cada sistema ( e ). Vamos verificar que estas equações são coerentes com o fato de todos concordarem em relação ao mesmo valor para a velocidade da luz. Neste caso, teremos:. cv x ' 1 V c x ' c t 1 V c t ' t ' 1V c