ELETROMAGNETSMO 3 3 TEORA ELETRÔNCA DA MAGNETZAÇÃO Vios anteioente que a passage de ua coente elética po u conduto, dá oige a u capo agnético e tono deste. Sabeos tabé que existe capos agnéticos povenientes de cetos ateiais, couente chaados de iãs peanentes. Estes ateiais são capazes de ante ceto agnetiso esidual, quando postos na pesença de u capo agnético exteno. Entetanto, que seja este capo povocado po ua coente elética ou devido a u iã peanente deveos sabe que a oige de abos é a esa. Resuindo podeos dize que todo capo agnético é povocado pela ciculação de ua coente elética. 3. EFETO DO FERRO EM CAMPOS MAGNÉTCOS ESTÁTCOS O feo auenta o efeito agnético povocado po ua coente elética e tono dele. Po exeplo, o capo agnético no cento de u solenóide quando enolado e tono de ua pequena baa de feo é uito aio do que aquele co o eso solenóide envolto e u núcleo de a. Podeos defini o feo coo u bo conduto de fluxo agnético", e analogia ao cobe coo bo conduto de coente elética. Esta popiedade que o feo e outos ateiais agnéticos possue é utilizada paa cia intensos capos agnéticos, anipulá-los e guiá-los po onde desejaos. 3.. Magnetiso natual Utilizaeos o odelo atôico paa epesenta a estutua dos ateiais, cujo eleento básico é o átoo, co u núcleo, positivaente caegado e obitado po cagas negativas (elétons) e tono dele. Podeos obseva se aioes dificuldades que u eléton giando e gande velocidade e tono do núcleo, foa u laço de coente, confoe sugeido pelo odelo descito na figua 3.. Este laço de coente te u oento agnético (dipolo), pependicula ao plano deste laço ou espia, cuja intensidade é igual ao poduto da coente equivalente de u eléton pela áea A liitada pela espia. A dieção é dada pela ega da ão dieita, oientada pelo pecuso da coente (cagas positivas), ou seja, o pecuso oposto ao do eléton e óbita. Quando essa espia de coente é colocada na pesença de u capo agnético exteno, u toque é poduzido e tende a alinha o oento do laço de coente co o capo exteno, dado po: T (3.) O ódulo do toque esultante é: T senθ (3.) θ Áea A Figua 3. Eléton giando e tono de u núcleo. UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO 4 Assi que o alinhaento é obtido o toque tona-se nulo (θ ). Considee a situação na figua 3.a, co ua infinidade de laços atôicos de coente, oientados aleatoiaente no inteio de u eio ateial. Quando u capo agnético exteno é aplicado os oentos agnéticos atôicos tende a se alinha na dieção deste capo, segundo o ilustado na figua 3.b.. Este conjunto foado po ilhaes de laços atôicos alinhados na esa dieção pode se consideado coo ua única espia deliitada pelo contono do ateial e ua secção tansvesal, ostado na figua 3.c. Estendendo esta análise, toando ilhaes dessas espias epilhadas, coo na figua 3.d, obteos ua capa de coente cilíndica, seelhante a u solenóide. (a) (b) (c) Moento Magnético Resultante (d) N espias Figua 3. (a) - Moentos atôicos aleatoiaente diecionados, (b) - alinhados co u capo exteno, (c) - vista fontal ostando gande laço exteno, (d) - laços de coente epilhados, coo e u solenóide. UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO 5 Paa esta análise o átoo foi consideado coo tendo u único eléton obitando o seu núcleo e foa despezados os ovientos de otação do eléton (spin) e do núcleo e tono de seus pópios eixos, be coo os efeitos da agitação téica das oléculas, que pode vi a intefei no pocesso de alinhaento. A gande aioia dos fenôenos que estudaeos seá e escala acoscópica, não equeendo ua visão igoosa dos fenôenos icoscópicos envolvidos. Esta discussão, ainda que siplista, seve paa que se tenha ua idéia do fenôeno da agnetização possível de ocoe nos eios ateiais. 3. O VETOR MAGNETZAÇÃO M nicialente vaos considea N espias enoladas e ua geoetia tooidal de aio édio R e secção tansvesal de áea A, envolvendo u núcleo de a ou de outo ateial de natueza não agnética, confoe ostado na figua 3.3a. Se este solenóide fo pecoido po ua coente, a densidade de fluxo agnético no inteio do toóide seá dada po: Sabeos que ( R) N (3.3) πr N π pode se consideado coo ua densidade de coente laina K. Então: K (3.4) Seção de Áea A R R N espias N +N espias (a) (b) Fig. 3.3 (a) Toóide co N espias poduzindo u capo e (b) Toóide co N espias poduzindo u. Se o eso enolaento envolve u anel de feo co a esa áea de secção tansvesal A e aio édio R, o fluxo confinado no feo seá aio e conseqüenteente o valo de auentaá. Paa que esta esa densidade de fluxo, estabelecida no anel de feo, cicule pelo toóide de a, u núeo adicional N de espias deve se enolado e tono deste toóide não agnético. Desta foa, o capo poduzido seá equivalente àquele obtido co N espias e tono do toóide de feo, segundo pode se ostado pela figua 3.3b. Esta vaiação podeá se dada po: onde ( R) N o K' M (3.5) πr N π K' é a densidade laina de coente fictícia, esponsável pelo auento (vaiação) do capo quando o núcleo é o de feo. Nestas condições o capo agnético total seá dado po: UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO 6 + + (K K' ) (3.6) ou ainda: ( + M) (3.7) onde: veto indução agnética (T) veto intensidade de capo agnético (A/) M veto agnetização (A/) Eboa esta análise tenha sido desenvolvida paa o caso de u toóide, esta é ua elação vetoial de aplicação geal. Podeos considea que o núcleo de feo possui a capacidade de confina u fluxo agnético aio e elação ao núcleo de a. O auento da densidade de fluxo é atibuído ao eio ateial, justificado ateaticaente po ua peeabilidade agnética aio do que aquela do a. Assi, (3.8) E ua analogia à eletostática, onde o veto polaização P está elacionado ao veto intensidade de capo elético E, na agnetostática o veto agnetização M está elacionado ao veto intensidade de capo agnético. E eios isotópicos, M e estão na esa dieção, de odo que o quociente ente eles pode se obtido de foa escala. gualando as equações (3.7) e (3.8) podeos dividi algebicaente os dois lados po obtendo então: M + (3.9) Paa os ateiais feoagnéticos, de aio inteesse, esta elação e geal não é linea, ou seja, o quociente ente M e não pode se obtido atavés de ua elação ateática exata. Entetanto vaos, paa o oento, esceve essa elação coo sendo ua constante dada po: M χ (3.) onde χ é a susceptibilidade agnética do eio ateial e questão. Podeos agoa esceve ou: (+ ) (3.) χ (3.) e que + χ é definida coo sendo a peeabilidade elativa do eio ateial e elação ao vácuo (espaço live). UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO 7 3.3 - FERROMAGNETSMO, PARAMAGNETSMO E DAMAGNETSMO Todos os eios ateiais apesenta algu efeito sob o ponto de vista agnético. E alguns esses efeitos são tão facos, que tais ateiais são classificados coo não-agnéticos. Na ealidade, o único eio não agnético é aquele despovido de atéia, ou seja, o vácuo ou espaço live (toado co peeabilidade elativa igual a ). De ua foa geal, os ateiais são classificados de acodo co o seu copotaento agnético e diaagnéticos, paaagnéticos e feoagnéticos, coo veeos a segui. 3.3.. MATERAS DAMAGNÉTCOS Os ateiais classificados coo diaagnéticos possue ua peeabilidade elativa ligeiaente infeio a (po exeplo o cobe, co.99999) e apesenta a caacteística de, na pesença de u capo agnético, se opo a ele (figua 3.4). E outas palavas, quando u ateial diaagnético é colocado na pesença de u capo agnético, suas linhas de capo são epelidas po ele. 3.3. MATERAS PARAMAGNÉTCOS Figua 3.4 Copotaento de u ateial diaagnético. Po outo lado, os ateiais ditos paaagnéticos possue ua peeabilidade elativa ligeiaente supeio a (po exeplo o aluínio, co.36) de odo que seus oentos agnéticos fique alinhados co as linhas de u capo agnético exteno. O fluxo agnético deste capo atavessa este tipo de ateial, de odo tal que as suas linhas de indução peanece paticaente inalteadas, coo osta a figua 3.5. Quando u ateial paaagnético é colocado na pesença de u capo agnético ele sofe atação po ele. Quando o capo agnético exteno é etiado, os dipolos agnéticos do ateial paaagnético volta à sua configuação oiginal, desalinhados de odo a tona nulo o oento dipola esultante. Figua 3.5 Copotaento de u ateial paaagnético. 3.3.3 MATERAS FERROMAGNÉTCOS Finalente, outos ateiais são agneticaente classificados coo feoagnéticos, coo po exeplo, o feo, o níquel, o cobalto, dente outos. Apesenta a popiedade de faze co que seus oentos agnéticos se alinhe foteente na dieção de u capo agnético aplicado, ofeecendo u cainho pefeencial paa as linhas de indução, coo pode se ilustado na figua 3.6. Coo exeplo, ua liga de feo co 3 % de silício possui ua peeabilidade elativa áxia de 55. Salienteos que a peeabilidade desses ateiais não é constante, sendo, pois função da intensidade do capo agnético aplicado, e do estado agnético anteio apesentado pelo ateial. UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO 8 Figua 3.6 Copotaento dos ateiais feoagnéticos. 3.4 - A TEORA DOS DOMÍNOS MAGNÉTCOS Paa copeendeos elho o fenôeno da agnetização e ateiais feoagnéticos vaos explica apidaente a teoia de doínios dos ateiais agnéticos. U doínio é definido coo ua egião de ateial dento da qual todos os átoos tê o eso alinhaento agnético, copotando-se coo u pequeno iã peanente. Deveá have u núeo uito gande destes dento de ua aosta de ateial. O núeo de doínios nu ateial agnético é deteinado po u coplexo balanço de enegia dento do volue de ateial, cujos detalhes estão foa do escopo deste cuso. Obteeos os esclaecientos necessáios consideando o caso siplificado e ilustado a segui. Na figua 3.7(a) teos ua aosta de ateial feoagnético co os seus doínios aleatoiaente diecionados, de foa que o agnetiso esultante é nulo. Neste caso, o ateial não apesenta quaisque caacteísticas agnéticas acoscópicas. Quando o capo agnético exteno é aplicado gadativaente sobe o ateial, seus oentos agnéticos coeça a se alinha co ele, segundo as figuas 3.7(b) e (c). No início, esse alinhaento é obtido de aneia elativaente fácil, isto é, uitos doínios se alinha apidaente paa u capo agnético ainda co pequena intensidade. Obsevaos no início que u eso inceento no capo agnético iá esulta na esposta de u inceento na densidade de fluxo de foa linea. Poé, à edida que o capo agnético vai sendo auentado, notaos ua aio dificuldade e se obte novos alinhaentos, dando oige a u pocesso de satuação agnética, visto pela figua 3.7(d). (a) (b) (c) (d) Figua 3.7 - (a) - Doínios agnéticos desalinhados, (b), (c) e (d) - se alinhando co o capo exteno A densidade de fluxo conseguida pode se descita e função da intensidade do capo agnético aplicado. Teeos assi ua cuva de agnetização bastante failia, ostada na figua 3.8. À edida que o capo agnético vai sendo auentado, podeos nota, e sua pate final, que u gande auento na sua intensidade iá poduzi u pequeno auento na densidade de fluxo, coo seia de se espea. UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO 9 Nesta cuva de agnetização ostada na figua 3.8, deveos destaca alguns pontos ipotantes: Região L - é constante e a elação ente e pode se aditida coo linea. Ponto J - "joelho" da cuva ou o aio valo de anteio à satuação, bastante utilizado e pojetos de áquinas eléticas. Região S - egião de satuação onde u gande auento de paticaente não causa vaiação e. (Wb/ ) J L S (A/) Figua 3.8 Cuva de agnetização de u ateial agnético. Se depois que o capo fo aplicado ao ateial feoagnético, eduzios a sua intensidade até zeo, haveá ainda u agnetiso esidual na aosta, contaiando o espeado que a densidade de fluxo agnético tabé voltasse ao seu valo oiginal, zeo. Quando o capo agnético exteno é etiado, pate dos oentos agnéticos dos doínios volta a se desalinha, poé outa pate deles ante o alinhaento obtido quando da aplicação do capo agnético exteno. Na vedade, quando o capo exteno foi aplicado, ua enegia foi intoduzida no ateial, e o eso sofeu ua eestutuação. Paa uda isto necessitaos de ais enegia. Ua pate dessa enegia foi estituída pelo pópio ateial quando alguns de seus doínios voltaa á sua posição oiginal. Potanto, paa volta à situação de agnetiso esultante zeo, u capo agnético eveso deveá se aplicado sobe o ateial. Se a intensidade de capo agnético auenta gadativaente do zeo até u valo positivo, decescendo e seguida até u valo negativo siético, passando po zeo, e deste valo volta a zeo novaente, obteeos u ciclo de histeese, ostado na figua 3.9. O fenôeno da histeese agnética é definido coo o ataso causado na vaiação de devido a ua vaiação e. Analisando o ciclo de histeese de u ateial agnético ostado na figua a segui, dois pontos e ua egião desta cuva eece destaque: Densidade de fluxo esidual (eanente) -- É a densidade de fluxo que peanece, eso após o capo te sido etiado. Tabé é chaada de etentividade. Foça Coecitiva - c - Repesenta a intensidade de capo agnético eveso necessáia paa que se obtenha ua densidade de fluxo nula, eliinando o capo eanente. Tabé é chaada de coecitividade. Cuva de desagnetização - é o segundo quadante do ciclo de histeese, devido à aplicação do capo eveso. É ua caacteística ipotante no ateial, utilizada paa a obtenção dos paâetos de iãs peanentes. UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO Cuva de desagnetização c Figua 3.9 - Ciclo de isteese. Obsevando a áea no ciclo de histeese, podeos nota que esta pode indica se o ateial possui facilidade ou opõe dificuldade a se agnetizado. Quando o ciclo possui ua áea apla, entendeos que tanto a etentividade coo a coecitividade são gandes, isto é, pecisaos de u capo eveso aio paa que a densidade de fluxo eanente no ateial se anule. Po outo lado, quando o ciclo de histeese é ais esteito, o ateial ofeece ua oposição eno à sua agnetização. Sob o ponto de vista de agnetização, os ateiais feoagnéticos pode se ainda classificados confoe o ilustado na figua 3. e descitos coo: Macios - apesenta u ciclo de histeese esteito (fácil agnetização) Duos - apesenta ciclos de histeese lagos (difícil agnetização). Paa finaliza esta seção, a elação ente e deveia se ua linha eta, e não u laço se a elação χ ente M e fosse linea. A cuva de agnetização de u deteinado ateial é obtida toandose os valoes áxios positivos de e dento de váios ciclos de histeese de odo que o pieio ciclo vá até u valo de, o segundo até u valo u pouco aio, sepe iniciando do zeo e auentando gadativaente o valo do capo agnético e assi po diante. Copletando, salientaos que a peeabilidade é definida coo a elação ente e e cada ponto nessa cuva de agnetização. Assunto este que voltaeos ais tade. Macio Duo Figua 3. Mateiais agneticaente duos e acios. UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO 3.5 - RELAÇÕES DE FRONTERA NO CAMPO MANÉTCO Na fonteia ente dois eios, o capo agnético pode sofe vaiações, tanto e dieção coo e intensidade, da esa foa já estudada, que ocoe co o capo elético. Analogaente, vaos analisa o copotaento do capo agnético na fonteia ente dois eios de peeabilidades difeentes, segundo duas coponentes: ua noal e outa tangencial à fonteia ente estes eios. Consideeos u volue inceental ieso e u capo agnético na inteface ente dois eios distintos coo ostado na figua 3. abaixo: n n Figua 3. Eleento inceental de volue na fonteia ente dois eios. Aplicando a ele a lei de Gauss paa o agnetiso, posto que não existe cagas agnéticas teeos: ds (3.3) O desebaento desta integal fechada osta que o poduto escala acia é zeo na supefície lateal do cilindo, não se anulando nas supefícies paalelas à fonteia ente os eios oientados pelo veto ds sepe noal e exteno e cada ponto da supefície fechada. Desta foa n n ds ds (3.4) onde v v n (3.5) n Obsevaos então que existe ua continuidade na coponente noal do veto indução agnética (ou densidade de fluxo) na inteface ente dois eios. Ou seja: As coponentes noais do veto indução agnética na fonteia ente os dois eios são iguais. Lebando que: teeos que (3.6) v (3.7) n n ou ainda e teos de suas agnitudes: UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO n (3.8) n Ou seja, as coponentes noais do veto intensidade de capo agnético se elaciona pelo inveso ente as peeabilidades dos eios. Consideeos agoa o cainho fechado abcda ieso e u capo agnético, na inteface ente os dois eios, coo ostado na figua 3. abaixo. a t d Δy b t Δx c Figua 3. Cainho fechado abcda ente dois eios. Pela aplicação da lei de Apèe ao cainho fechado abcda, teeos a seguinte integal de linha: dl (3.9) Fazendo Δy tende a zeo (inteface ente os eios), a integação é feita apenas e Δx. Potanto: Ou ainda: Δ ( ) (3.) x t t t (3.) Δx t O teo epesenta ua densidade de coente na supefície da fonteia (densidade laina de Δ x coente), epesentada e nossos estudos pela leta k. Noalente pode-se considea que as coentes estão confinadas nos enolaentos, de foa que, na gande aioia dos casos, k. Assi: v t (3.) Obsevaos então, neste caso, a continuidade da coponente tangencial do veto capo agnético. E teos de suas agnitudes podeos esceve tabé que: Ou seja: t t (3.3) t As coponentes tangenciais do veto intensidade de capo agnético são iguais, e as coponentes tangenciais do veto indução agnética se elaciona pela azão dieta ente as peeabilidades agnéticas dos eios. UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO 3 Exeplo 3. Considee ua fonteia plana e despovida de coentes, ente dois eios e, confoe a figua. 3.3 abaixo. Enconta a elação ente os ângulos α e α que os capos agnéticos faze co a noal à inteface ente os eios. Os eios são isotópicos, isto é, co e na esa dieção. α,, α Figua 3.3 Fonteia plana ente dois eios. Solução: Pela continuidade das coponentes noais t senα n Pela continuidade das coponentes tangenciais Logo E Daí: Da esa foa n n t n t cosα cosα cos α cos α onde senα sen Pela elação ente as igualdades ve que: senα cosα α senα cosα Da elação v v Teeos então tgα tgα ou ainda: e t t senα senα tgα tgα UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO 4 Exeplo 3. Considee ua inteface ente u eio, de feo doce co 7 e u eio, o a ( )., abos isotópicos, ostada na figua 3.4 a segui. a) se a indução no feo doce te incidência noal à fonteia, enconte o ângulo α ; b) se a indução no feo doce é quase tangente à supefície, co u ângulo α de 85 gaus, enconte o coespondente α. () () α () () α (a) (b) Figua 3.4 Capo Magnético na fonteia Feo-A. (a) incidência noal, (b) incidência quase tangente (asante). Solução: (a) Paa ua incidência noal, não há desvio, ne odificação do valo de, pois: n n Logo α α. (b) Consideando a incidência oblíqua, quase tangente tgα tgα tg85 tgα o 7 tgα o tg85 7 tgα o α, 9 tg85,43 7 7 o,63 Confoe pode se obsevado, o capo agnético que sai paa o a é paticaente noal à inteface ente o feo e o a, qualque que seja o ângulo de incidência do capo no feo. UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO 5 Exeplo 3.3 A egião, co 5 está no lado da inteface plana 6x + 4y + 3z que inclui a oige. Na egião 3. Dado que (3â x +,5â y ) (A/), enconte os ângulos θ e θ que os capos foa co a noal à inteface ente os eios.. Solução: Coo possui coponentes positivas e e, escolheos a solução positiva. Logo: â y Daí: n â n 6â x + 4â y 6 + 3â x y z ( ) 5â +,5â x y 6 z 6â + 4â + 3â â x Figua 3.5 - Plano 6x + 4y + 6z Aditindo eios isotópicos 5 5â x +,5â y 3â x +,5â (Wb / ) y n 6 Então de n â n.. cosθ 6 5 +,5..cosθ A intensidade da coponente noal do veto indução agnética no eio pode se obtida pelo seguinte poduto escala: â.. cosθ n n onde â n é o veto unitáio (veso) que dá a dieção noal ao plano. Da geoetia analítica, sabe-se que o veso noal ao plano dado na figua 4.5, definido pela equação do tipo Ax + y + Cz D, pode se escito da foa: â n θ 3, 65 Das elações de fonteia, pela continuidade de n : n n n n â n o (não é poduto escala) 6â x + 4â y + 3â 6 6 6â x + 4â y + 3â z n 6 Aâ x + â y + Câ z ± Pela continuidade das coponentes tangenciais A + + C teos paa o capo agnético: z Potanto, neste caso: â n 6â ± x + 4â y 6 + 3â z Logo: t t t t t t UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
ELETROMAGNETSMO 6 Coo t n 6â + 4â + 3â x y z ( ) 5â +,5â x y 6 Então, teos 789â cosθ x v + 5,5â 6 y 789 + â z + 5,5 (Wb / n 6 + 4 + 3 + ),93 Coo t 3 5 t 89â x 48,5â 6 n + t y 8â z onde θ, 3 o EXERCÍCOS ) - A inteface ente eios difeentes é noal a u dos 3 eixos catesianos. Se (. ˆ. ˆ 43 5a x + 4 a z ) e (. ˆ. ˆ a x + 4 az ) qual é a elação tgθ? tg θ ) - A egião, co peeabilidade elativa 6 está no lado do plano x + 4y + 4 z 6 que inclui a oige. Po outo lado, na egião, adjacente 3. Dado que ( ˆ ˆ 4ax + a y ) ( A / ), enconte,, θ e θ. 3) - U eio feoagnético de gande extensão possui u capo agnético unifoe de T. Se a peeabilidade elativa do eio é, enconte o valo de dento de (a) - Ua cavidade e foa de u disco uito fino, co os seus lados planos paalelos a. (b) - de, co os seus lados planos pependiculaes a. UNESP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino