Luiz Carlos Terra Você poderá, através de cálculos matemáticos, verificar a forma como a variação de um dado observado pode estar associada às alterações de outra variável. (Luiz Carlos Terra) 1
Objetivo Você poderá, através de cálculos matemáticos, verificar a forma como a variação de um dado observado pode estar associada às alterações de outra variável. Tópicos 1 Correlação linear. 2 Exercício de aplicação. 3 Saiba mais. 4 Bibliografia. 1 Correção linear. Quando você estuda as medidas de posição ou de dispersão, a base é um conjunto de observações de apenas uma variável. Por exemplo, quando se calcula a média de consumo de um determinado produto e o seu desvio padrão, isto é de grande utilidade para o conhecimento do mercado e a variabilidade do padrão de consumo. No entanto, o conhecimento de outras variáveis que podem estar associadas ao consumo desse produto só é possível através de uma associação entre essas variáveis que podem ser: o nível de preços, o nível de renda do mercado consumidor e até os investimentos em propaganda. A teoria da correlação fornece os elementos necessários para a verificação da influência de uma variável sobre a outra. Se o estudo envolver apenas a influência de uma variável sobre a outra, trata-se de uma correlação simples. Caso haja mais de uma variável que possa afetar o comportamento da variável em estudo, fala-se em correlação múltipla. É também necessário esclarecer que nem todas as variáveis relacionam-se de forma linear, ou seja, com base em uma reta. Além disso, há casos de correlação exponencial e logarítmica. Para evitar cálculos mais complexos, abordaremos apenas a correlação linear, suficiente para o entendimento da teoria da correlação. A primeira idéia da existência de correlação é dada por meio de um gráfico chamado diagrama de dispersão, que será explicado mais claramente na próxima aula, quando trataremos da análise de regressão. Nesse tópico, vamos supor que essa correlação já foi constatada pelo gráfico e indicou uma tendência linear entre as variáveis observadas. Vamos analisar, então, como se mede o grau da correlação. Para avaliar o grau de correlação linear entre duas variáveis, ou seja, medir o grau de ajustamento dos valores em torno de uma reta, usaremos o coeficiente de correlação de Pearson, que é dado por: 2
Onde n é o número dos pares de observações, x é a variável independente (aquela que seria a base do estudo) e y é a variável dependente, aquela que se supõe influenciada pela variável x. Essa fórmula aparenta ser bastante trabalhosa para cálculo, mas sua apresentação neste curso tem o objetivo de mostrar a importância do conhecimento desse coeficiente, pois nele estão consideradas todas as associações entre as variáveis, medidas por seus respectivos desvios padrão e médias dos valores. O valor desse coeficiente está entre 1 e +1 e o valor encontrado pode, também, ser multiplicado por 100, dando o resultado em porcentagem. Se não há correlação entre as variáveis, o coeficiente é zero. Quanto mais próximo de +1 ou 1 é o seu valor, maior será a correlação, positiva ou negativa. Podemos aceitar que quanto mais próximo de 1 for o coeficiente, mais forte é a correlação positiva entre as variáveis e, quanto mais próximo de 1, mais forte é a correlação negativa. O positivo ou o negativo indica, apenas, a direção como as variáveis se associam. Se a variação acontecer na mesma direção, tanto crescente como decrescente, há uma correlação positiva e se for em direção contrária, há uma correlação negativa. 2 Exercício de aplicação. Vamos desenvolver um exemplo numérico para compreendermos melhor o instrumento de análise de correlação pelo cálculo do coeficiente. Dez vendedores foram submetidos a um teste de Estatística e de Matemática, obtendo as seguintes notas: Vendedor A B C D E F G H I J Mat. 7 6 9 10 3 4 8 7 6 2 Est. 6 5 10 9 2 3 9 5 6 3 Determinar o coeficiente de correlação entre as notas. Solução: É interessante colocar os dados em um gráfico (diagrama de dispersão) em que você coloca, no eixo x, os dados da variável independente (no caso, as notas de Matemática) e no eixo y, as notas de Estatística. 3
Para auxiliar nos cálculos, você deve construir a seguinte tabela: X Y Xy X2 Y2 7 6 42 49 36 6 5 30 36 25 9 10 90 81 100 10 9 90 100 81 3 2 6 9 4 4 3 12 16 6 8 9 72 64 81 7 5 35 49 25 6 6 36 36 36 2 3 6 4 9 62 58 419 444 403 Podemos concluir, pela magnitude do coeficiente, que existe uma forte correlação entre as notas obtidas em Matemática e as notas obtidas em Estatística, ou seja, o conhecimento em Matemática tem uma grande influência no entendimento da Estatística. Esse mesmo procedimento pode ser aplicado quando estudamos variáveis mercadológicas como preços de produtos e quantidades vendidas, investimentos em propaganda e resultado de vendas, anos de experiência de um vendedor e resultados obtidos etc.. A variável x é sempre independente ou explicativa e a variável y é dependente ou variável em estudo. Em uma análise de preço e quantidade de um produto, para verificar a existência de correlação, o preço seria a variável independente x e a quantidade vendida, a variável dependente. Em ATIVIDADES, vocês vão resolver um exercício calculando o coeficiente de correlação, apenas para reforçar o entendimento. Na prática, o cálculo é feito com facilidade por meio da calculadora HP-12C ou, mesmo, no Excel. No tópico SAIBA MAIS, damos a seqüência de digitação na HP para cálculo do r. 4
Como calcular o coeficiente de correlação, conhecido como r- pela calculadora HP-12C. saiba mais - Valores da variável Y introduzir na HP pela tecla ENTER. - Em seguida, introduzir a variável X pela tecla +. - Deve aparecer no visor o número 1, indicando que o primeiro par de dados já está na memória da máquina (os dados são digitados par por par, ou seja, um Y e um X). - Após o registro de todos os pares, digite a tecla g (função azul) e, em seguida, selecione a tecla 2 (sob ela está a função r). - Como a função r é a 2 ª função sob a tecla, digite a tecla x<>y, que muda a memória da máquina e indique o valor procurado, que é o coeficiente de correlação. 5
Anotações: bibliografia Básica Spiegel, Murray R. Estatística Ed. McGraw-Hill. Stevenson, William J. Estatística Aplicada à Administração Editora Harbra. Complementar Silver, Mick Estatística para Administração Editora Atlas. 6