Circuitos Elétricos Circuitos de Segunda Ordem Parte 1 Alessandro L. Koerich Engenharia de Computação Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)
Introdução Circuitos que contem dois elementos armazenadores de energia. São chamados de circuitos de segunda ordem, pois, suas respostas são descritas por equações diferencias que contem derivadas de 2 o grau.
Condição Inicial e Final Encontrar os valores iniciais e finais para: v, i, dv/dt, di/dt v(0), i(0), dv/dt, di/dt, v( ), i( ) Lembrete Usar sempre a convenção de sinais dos elementos passivos para v no capacitor e i no indutor. A tensão do capacitor não muda abruptamente A corrente no indutor não muda abruptamente
Exemplos: Condição Inicial e Final
Analise de um circuito RLC-Série sem fonte resposta natural 0 = 1 = (0) = Aplicando a LTK: + + 1 =0
Diferenciando em relação a t: + + =0 Nosso objetivo é resolver a equação diferencial de segunda ordem acima. Para isso precisamos de duas condições iniciais: () ou () Com as duas condições iniciais podemos resolver a equação diferencial de segunda ordem.
Sabemos que dos circuitos de primeira ordem que a solução é da forma exponencial, então, fazendo: onde A e s são constantes a serem determinadas. Substituindo, temos: ou
como é a solução que assumimos, somente a expressão entre parenteses pode ser zero. Esta equação é chamada de equação característica, pois suas raízes controlam a característica de i. As duas raízes são:
Uma representação mais compacta das raízes: onde: 2 2 As raízes s 1 e s 2 são chamadas de frequencias naturais, medidas em Nepers/s (Np/s). ω 0 é chamada de frequencia de ressonancia, expressa em rad/s. α é o fator de amortecimento
Podemos expressar a equação da solução em termos de α e ω 0 como: 2 Os dois valores de s indicam que existem duas soluções possiveis para i, ambas da forma: 1 1 2 2 Uma solução completa necessita de uma combinação linear de i 1 e i 2. Assim, a resposta natural de um circuito RLC-Série é: 1 2 onde as constantes A 1 e A 2 são determinadas a partir dos valores iniciais de i(0) e di(0)/dt.
Pode-se observar que existem quatro casos possíveis de combinações para α e ω 0 : 1. Se α>ω 0 temos o caso superamortecido. As raízes da equação característica do circuito são diferentes e reais. 2. Se α = ω 0 temos o caso criticamente amortecido As raízes da equação característica do circuito são iguais e reais. 3. Se α <ω 0 temos o caso subamortecido As raízes são complexas conjugas. 4. Se α = 0 e ω d = ω 0 temos o caso sem amortecimento ou oscilatório puro. As raízes são puramente complexas
Caso superamortecido (α >ω 0 ). α>ω 0 implica >4. Quando isso acontece, tanto s 1 quanto s 2 são negativas e reais. A resposta é: = 1 + 2 que cai e tende a zero a medida que t aumenta.
Caso criticamente amortecido (α = ω 0 ). quando α = ω 0 implica =4 e: 1 = 2 = = 2 A resposta é: = ( 2 + 1 )
Caso subamortecido (α < ω 0 ). Para α < ω 0 temos <4 e as raízes são: 2 2 onde = 1 e = 2 que é chamada de frequencia de amortecimento. Tanto ω 0 quanto ω d são frequencias naturais. Enquanto ω 0 é chamada de frequencia natural sem amortecimento, ω d é chamada frequencia natural amortecida.
A resposta natural é: = 1 ( ) + 2 ( ) = ( 1 + 2 ) usando as identidades de Euler: temos: = + = = [ 1 ( + ) + 2 ( )] = [( 1 + 2 ) + ( 1 2 ) ] substituindo as constantes (A 1 +A 2 )ej(a 1 +A 2 ) por constantes B 1 e B 2 temos:
substituindo as constantes (A 1 +A 2 )ej(a 1 +A 2 ) por constantes B 1 e B 2 temos: = ( 1 + 2 ) Com a presença das funções seno e cosseno na resposta, a resposta natural para este caso será exponencialmente amortecida e oscilatória. A resposta tem uma constante de tempo 1 e um período =2.
Uma vez determinada a corrente i(t), outros valores podem ser encontrados. Por exemplo: Tensão no resistor: = Tensão no indutor: =/
Particularidades de um circuito RLC: 1. O comportamento é caracterizado por amortecimento, onde a energia inicial armazenada é gradualmente dissipada devido a presença de R. O fator de amortecimento α determina a taxa na qual a resposta é amortecida. Se R =0,entãoα = 0 e temos um circuito LC com 1 como frequencia natural sem amortecimento. 2. Resposta oscilatória é possivel devido a presença de L e C que permite que a energia seja trocada entre ambos. 3. É dificil diferenciar as formas de onda das respostas superamortecidas e criticamente amortecida.
Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte Analise de um circuito RLC-Paralelo sem fonte resposta natural 0 = 0 = 1 () (0) = Aplicando a LCK no nó superior: + 1 + =0
Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte Diferenciando em relação a t e dividindo por C, temos: + 1 + 1 =0 Obtemos a equação característica substituindo a primeira derivada por s e a segunda por s 2 :
Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte Esta equação é chamada de equação característica, pois suas raízes controlam a característica de i. As duas raízes são: ou 2 2
Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte onde: ω 0 é chamada de frequencia de ressonancia, expressa em rad/s. α é o fator de amortecimento Novamente, temos quatro soluções possíveis, dependendo da relação entre ω 0 e α.
Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte Caso superamortecido (α >ω 0 ). α>ω 0 implica >4 2. Quando isso acontece, tanto s 1 quanto s 2 são negativas e reais. A resposta é: = 1 + 2 Caso criticamente amortecido (α = ω 0 ). α = ω 0 implica =4 2. As raízes são reais e iguais: = ( 1 + 2 )
Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte Caso subamortecido (α < ω 0 ). Para α < ω 0 temos <4 2 e as raízes são complexas: 2 2 onde = 1 e = 2 que é chamada de frequencia de amortecimento. A resposta é: = ( 1 + 2 )
Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte As constantes A 1 e A 2 podem ser determinados a partir das condições iniciais. Necessitamos v(0) e dv(0)/dt. O primeiro obtemos de: (0) = Obtemos o segundo termo de: ou 0 + 0 + (0) (0) =0 = ( 0 + 0 )
Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte As formas de onda são similares as do circuito RLC- Série. Uma vez determinada a tensão v(t), outros valores podem ser encontrados. Por exemplo: Corrente no resistor: = Tensão no capacitor: =/