MTEMÁTI PRÉ-VESTIBULR LIVRO DO PROFESSOR
6-9 IESDE Brasil S.. É pribida a reprduçã, mesm parcial, pr qualquer prcess, sem autrizaçã pr escrit ds autres e d detentr ds direits autrais. I9 IESDE Brasil S.. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.. uritiba : IESDE Brasil S.., 9. [Livr d Prfessr] 66 p. ISBN: 978-8-87-7-. Pré-vestibular.. Educaçã.. Estud e Ensin. I. Títul. DD 7.7 Disciplinas Língua Prtuguesa Literatura Matemática Física Química Bilgia História Gegrafia Prduçã utres Francis Madeira da S. Sales Márci F. Santiag alit Rita de Fátima Bezerra Fábi D Ávila Dantn Pedr ds Sants Feres Fares Harld sta Silva Filh Jame ndrade Net Renat aldas Madeira Rdrig Piracicaba sta leber Ribeir Marc ntni Nrnha Vitr M. Saquette Edsn sta P. da ruz Fernanda Barbsa Fernand Pimentel Héli pstl Rgéri Fernandes Jeffersn ds Sants da Silva Marcel Piccinini Rafael F. de Menezes Rgéri de Susa Gnçalves Vanessa Silva Duarte. R. Vieira Enilsn F. Venânci Felipe Silveira de Suza Fernand Musquer Prjet e Desenvlviment Pedagógic
Funções trignmétricas, equações e inequações trignmétricas reduçã a. quadrante facilita alun à refleã e a estud sbre s âguls aguds, partind smente da variaçã ns sinais. Reduçã d. a. quadrante P + P = P = P P = É imediat que: sen = sen( ) cs = cs( ) tg = sen cs = sen ( ) = tg ( ) cs ( ) ctg = ctg( ) sec = sec( ) cssec = cssec( ) Eempls: sen = sen ( ) = sen = cs = cs ( ) = cs = sen º = sen(8º º) = sen º = cs º = cs(8º º) = cs º = EM_V_MT_ Seja um arc P =, cm < <, bserve que: P = P P + P =
Reduçã d.º a.º quadrante sec = sec ( ) cssec = cssec ( ) Fórmulas de adiçã e diferença nhecidas as funções trignmétricas de dis arcs de medidas a e b, vams bter fórmulas para calcular as funções trignmétricas da sma (a + e da diferença (a. ssen da sma Seja um arc P =, tal que < < e P pnt d cicl, simétric de P em relaçã a centr. Tems: P P = É imediat que: sen = sen( ) cs = cs( ) tg = sen = sen ( ) = tg ( ) cs cs ( ) ctg = ctg( ) sec = sec( ) cssec = cssec( ) Reduçã d.º a.º quadrante N cicl, cnstruíms dis arcs e BD que pssuem a mesma medida, prtant, as crdas e BD sã iguais. s crdenadas ds pnts, B, e D em relaçã a sistema cartesian mon sã: (; ), B(cs a; sen, (cs(a + ; sen(a + e D[cs( ; sen( ] = D(cs b; sen. plicand a fórmula da distância entre dis pnts da gemetria analítica, tems: d = ( ) +( ) = = [cs(a + ] + [sen(a + ] = cs (a + cs(a + + sen (a + = = cs(a + Seja arc P =, tal que < < e P pnt d cicl, simétric de P em relaçã a ei ds cssens. Tems: P + P = + P = P = P = P É imediat que: sen = sen ( ) cs = cs ( ) tg = tg ( ) ctg = ctg ( ) d = ( D B ) +( D B ) = BD = (cs b cs + ( sen b sen = = cs cs a. cs b + cs a + sen b + + sen a. sen b + sen a = cs a. cs b + + sen a. sen b d = d BD cs(a+ = cs a. cs b + sen a. sen b EM_V_MT_
entã, vem a fórmula: cs (a + = cs a. cs b sen a. sen b ssen da diferença cs(a = cs[a + ( ] = = cs a. cs( sen a. sen( entã: cs (a = cs a. cs b + sen a. sen b Sen da sma sen(a + = cs[ (a + ] = cs[( ] = cs (. cs b + + sen (. sen b entã: sen (a + = sen a. cs b + sen b. cs a Sen da diferença nalgamente, tems: sen (a = sen a. cs b sen b. cs a Tangente da diferença nalgamente, tems: tg(a = tg a tg b + tg a. tgb cm a, b e (a diferente de + k rc dupl s a cs a = cs(a + = cs a, cs a sen a. sen a entã: cs a = cs a sen a Sen a sen a = sen (a + = sen a. cs a + sen a. cs a Tg a entã: sen a = sen a. cs a tg a = tg(a+ = entã: tg a = tg a tg a tg a + tg a tg a. tg a EM_V_MT_ Tangente da sma tg(a+ = sen(a+ cs(a+ Desenvlvend, encntrams: tg(a+ = tg a+tg b tg a. tgb a, b e (a+ devem ser diferentes de + k Transfrmaçã em prdut O bjetiv é transfrmar uma sma algébrica de funções trignmétricas de arcs em um prdut de funções trignmétricas ds mesms arcs. Vims que: cs (a + = cs a. cs b sen a. sen b (I) cs (a = cs a. cs b + sen a. sen b (II) sen (a + = sen a. cs b + sen b. cs a (III) sen (a = sen a. cs b sen b. cs a (IV) Smand u subtraind, tems: (I) + (II) cs (a + + cs (a = cs a. cs b (I) (II) cs (a + cs (a = sen a. sen b
(III) + (IV) sen (a + + sen (a = sen a. cs b (III) (IV) sen (a + sen (a = Fazend-se: a+b=p a b=q sen b. cs a a = p+q b = p q Funçã sen Definiçã Substituind, btems: cs p + cs q = cs p + q. cs p q cs p cs q = sen p + q. sen p q sen p + sen q = sen p + q. cs p q nsiderems um arc P = e seja N a prjeçã rtgnal de P sbre ei (n) ds sens. Pr definiçã, chama-se sen d arc P a medida algébrica d segment ON. sen p sen q = sen p q. cs p + q sen = ON OP ON sen =ON Quadrantes nsiderems um cicl trignmétric de rigem e s eis m e n que dividem a circunferência em quatr arcs: B, B, B e B. Dad um arc P u ângul central ÔP (P = ÔP = ), tems: Observe que a um arc P qualquer de determinaçã crrespnde a um únic segment ON, cuja medida algébrica representarems pr. Prtant, pdems definir uma funçã de R em R, tal que a cada asscia um = sen = ON. Variaçã da funçã sen está n.º quadrante P B está n.º quadrante P B está n.º quadrante P B está n.º quadrante P B sen = º sen = º < < 9º sen > = 9º sen = 9º < < 8º sen > = 8º sen = 8º < < 7º sen < EM_V_MT_
= 7º sen = 7º < < 6º sen < = 6º sen = Funçã cssen Definiçã Observe que pnt P, numa vlta cmpleta n cicl trignmétric, faz valr d sen (ON) variar entre e +. cada vlta esse cmprtament se repete. funçã sen é uma funçã periódica e seu períd é. Gráfic nsiderems um arc P = e seja M a prjeçã rtgnal de P sbre ei (m) ds cssens. Pr definiçã, chama-se cssen d arc P a medida algébrica de OM. Variaçã da funçã cssen Prpriedades funçã sen ( sen ) é periódica e seu períd é. funçã = sen é ímpar [sen( ) = sen ]. funçã = sen é crescente n.º e.º quadrantes e decrescentes n.º e.º quadrantes. Sinais sen = º cs = º < < 9º cs > = 9º cs = 9º < < 8º cs < = 8º cs = 8º < < 7º cs < = 7º cs = 7º < < 6º cs > = 6º cs = D(f) = R Observe que pnt P, numa vlta cmpleta n cicl trignmétric, faz valr d sen (OM) variar entre e +. cada vlta esse cmprtament se repete. funçã cssen é uma funçã periódica e seu períd é. EM_V_MT_
Variaçã da funçã tangente Prpriedades funçã cssen ( = cs ) é periódica e seu períd é. funçã = cs é par [cs( ) = cs ]. É crescente n.º e.º quadrantes e decrescentes n.º e.º quadrantes. Sinais 8º < < 7º D(f) = R Funçã tangente Gráfic Definiçã Dad um arc P =, cm real e = 9º + k. 8º (k Z). nsiderems a reta OP e seja T a interseçã cm das tangentes (t). Denminams tangente de P a medida algébrica d segment T. 6 O = R = T tg = O De frma análga, tg = T tg = T terems: = tg (funçã tangent Prpriedades funçã tangente é periódica e seu períd é. De fat, a cada meia vlta verificams que s valres da funçã = tg se repetem. funçã = tg é ímpar [tg( ) = tg ]. funçã = tg é crescente quand percrre qualquer um ds quatr quadrantes. EM_V_MT_
Sinais Eempls: cs = cs º = º + 6º. k u = º + 6º. k; k Z cs = cs = k u = + k ; k Z D(f) = { R/ + k, k Z} Equações trignmétricas cs = cs = cs 8º = 8º + 6º. k, k Z Na resluçã de uma equaçã (u inequaçã) trignmétrica é imprtante saber: sen sen = + k u, k Z = ( ) + k tg = tg { = + k, k Z Eempls: sen = sen 6º = 6º + 6º. k u = º + 6. k; k Z sen = sen = +k u = + k ; k Z Eempls: tg = tg º = º + 8º. k, k Z tg = tg = tg º = º + 8. k; k Z tg = tg sen = sen = sen º = º + 6º. k u = º + 6º. k; k Z m tg nã eiste, nã eiste. Inequações trignmétricas EM_V_MT_ cs = cs = + k u, k Z = ( ) + k Nas inequações trignmétricas, devems achar interval satisfatóri. Eempls: che as sluções das inequações para [, ]. sen sen sen sen S = [º, º] 7
cs < cs cs < cs S = ]º, º[. Sluçã: D sen ( + ) sen (88 ) = sen ( + ) sen ( ) = sen ( sen ) = sen + sen = Para = E =, determine valr da epressã: cs sec ( + ) ctg +. sec + Sluçã: E = sen (p + ). tg + p cs + p E = sen tg tg tg tg S =,, E = sen + p sen + p sen cs = sen. E = = O sen de um ds ânguls de um lsang é igual a prtant a tangente d mair ângul intern é:, 8. Se sen =, entã valr de sen ( + ) sen (88 ) é: EM_V_MT_
Sluçã: 6. alcular = sen º sen 6º, dad sen 8º =. Sluçã: sen º sen 6º = (sen º+sen 6º)(sen º sen 6º) =.sen. cs 8.sen 8. cs = EM_V_MT_.. Se sen = e + = 8º = 8º (θ > ) sen = sen (8º ) sen = sen = sen sen + cs = + cs = cs =, cm > tg = Simplifique a epressã: sen(a+ sen(a cs(a+ cs(a Sluçã: sen a cs b + sen b cs a (sen a cs b sen b cs cs a cs b sen a sen b (cs a cs b + sen a sen sen a cs b + sen b cs a - sen a cs b+sen b cs a cs a cs b sen a sen b cs a cs b sen a sen b. sen b. cs a = cs a = ct g a. sen a. sen b sen a alcule cs º. Sluçã: cs = cs sen cs = cs cs = + cs cs = ± + cs cs, = + + cs, =. sen º. cs 9º.. sen 9º. cs º =. sen º. cs º.. sen 9º. cs 9º = sen º. sen 8º =. = 8 7. O valr máim assumid pr = cs + é igual a: 6 Sluçã: m cs tems =. + = 8. Obter dmíni da funçã: f() = + tg sen. Sluçã: 9. Dm tg. sen tg + k, k Z sen k, k Z k, k Z Dm. = { R/ k, k Z} Um prfessr de eletricidade mstru para seus aluns um dispsitiv eletrônic que transfrma as crrentes alternadas em um únic pl e seu gráfic fica parecid cm da funçã sen f ( )= + Esbce gráfic desta funçã. 9
Sluçã: Sluçã: sen f'( ) = + f( ) = + sen rda rtacina º u º.. O númer de raízes da equaçã sen + cs =, n interval [, ], é: Sluçã: sen + cs = sen = cs sen cs = tg =. S =, 7 O númer de sluções serã duas.. Determine cnjunt sluçã da inequaçã sen. cs >, para [, ]. Sluçã: Serã s quadrantes nde sen e cs pssuam mesm sinal. S =,,. (PU-SP) O valr de sen é igual a:.. cs 6 sen 6 cs sen cs (escea-sp) O valr da epressã cs + sen tg cs 9 é: + + (Uberlândi Simplificand-se a epressã: cs 86 tg, btém-se:. Pedr fi a parque e bservu que a rda gigante tinha m de rai e pnt mais bai fica a m d sl. nsiderand a rda gigante cm um círcul trignmétric e pnt mais bai cm iníci, quants graus a rda gigante rtacina para uma pessa atingir a altura eata de m? EM_V_MT_
EM_V_MT_ +. (UFF) cs( + ) + sen + tg + ct g ( ), em que < <, é equivalente a: sen cs. 6. 7. tg ctg (Unificad) Se é um ângul agud, tg(9 + ) é igual a: tg ctg tg ctg + tg Send dad que: ( ) ( ). Tem-se neces- sen 8 cs 9 = tg( 6 ) cs( 8 + ) sariamente: cs = = 6 9 < < 8 tg = O = Para td real, pdems afirmar que: ( ) ( ) ( ) cs = cs + cs =+ cs cs = sen cs = cs( ) ( ) cs = sen + 8. (Fuvest) Send sen α= 9, cm < α <, tem-se: senα < sen < senα sen < senα < sen α senα < senα < sen senα < sen < senα senα < sen α < sen 9. (PU) Se sen =, um pssível valr de sen é: 6. (UERJ) Lembrand que cs (a + = cs a. cs b sen a. sen b sen (a + = sen a. cs b + sen b cs a demnstre as identidades: ( ) = ( ) = ) cs θ cs θ ) cs θ cs θ cs θ. Sabend-se que = 6, assinale a alternativa que crrespnde a valr da epressã ( cs + cs ) + ( sen + sen ). (Unificad) nsiderand-se sen =. sen, valr de cs será: 6 7 8 8
8 - - / /. (PU) Os ânguls aguds a e b sã tais que tg a = e tg b =. O ângul a + b é igual a: arctg 6 9. (UFRJ) Seja tal que sen + cs =. Determine tds s valres pssíveis para sen + cs.. O dmíni máim da funçã dada pr f() = sec é cnjunt: R + k, nde k Ζ { } R + k, nde k Ζ { } R = + k, nde k Ζ { } R = + k, nde k Ζ { 6 } R + k, nde k Ζ { 6 } 6. (Unificad) ssinale gráfic que representa a funçã real definida pr = sen. / / 7. - - - - Y / / / / / / (Rural) nalise gráfic abai: f() - funçã f: [, ] R que pde ter cm gráfic desenh acima é f ( ) igual a: sen( ) sen( ) sen( ) sen sen EM_V_MT_
EM_V_MT_ 8. nstrua gráfic da funçã f:, R, definida pr f() = cs se, <, se 9. (PU) Seja f( ) =.cs ( ) funçã definida em R. Entã, f() f( ) vale: 6 8. funçã que melhr se adapta a gráfic é: = + sen = cs = + sen = sen + cs = + sen. (Unificad) Se cs =, entã tg 8 8 8 é igual a:. (Uniri) O cnjunt-sluçã da equaçã sen = cs, send <, é: {} {} { }, { }, { }. (UFRJ) Reslva a equaçã para [,p]: sen. tg.sec = cs.ct g.cssec.. (Uniri) O cnjunt-sluçã da equaçã cs =, nde é um arc da.ª vlta psitiva, é dad pr: { 6, } {, } {, } {,,, } {, 6, 9, }. (UFF) Determine valr d númer real m na equaçã m = sen cs + cs ( ) 6. (UB) Se θ ;, s valres reais de m, para s m quais cs θ=, sã tais que: m > m < < m < < m < m > um<
. (Uniri) O valr numéric da epressã sen + cs tg 7 9 sec cs sec + ct g 6 ( + ) 6 ( + ) 6 ( ) 6 ( ) 6 tg - tg. Dads: tg = a e m= m é: tg + tg + a - a a + a a + a, valr de ( ) ( ). (esgranri) O valr de cs 9 + tg 6 é:. + 6 + a - a + + Simplificand a epressã:. 6. cs( 9 + ) sen( + ) cs( 7 ) sen 8 sec 9 + + cssec cs Simplificand a epressã: sen( + ) sen( + ) = cs + cs ( ) ( ) = tg = ctg = sen = cs = (Unificad) Send 7cs( ) cs( + ) = 8 sen cm + k, k Z, entã: ( + ) ( ) = - = + = + = = 7. (UEPG) O quadrante em que a tangente, a c-tangente, a secante e cssen sã negativs é : º º º º n.d.a. 8. Send = cs + cs + cs8 + K + cs68. alcular valr de +. 9. (Fuvest) N quadriláter BD nde s ânguls B e D sã rets e s lads têm as medidas indicadas, valr de sen  é: EM_V_MT_
EM_V_MT_. (esgranri) N retângul BD da figura B =, B = e M = MN = NB. Determine tg MÂN. D. (UFF) Send k Z, n N* e R, a epressã n ( sen + cs ) sen( ) é equivalente a: n [ sen( k) ] n cs k + [ ( )] cs( nk) n sen k + sen( nk). (UFF) Se M ˆ, NeP ˆ ˆ sã ânguls interns de um triângul nã-retângul, pde-se afirmar que tgmˆ + tgnˆ + tgpˆ é: tgmˆ + tgnˆ + tgpˆ tgmˆ. tgnˆ. tgpˆ tgmˆ. tgnˆ + tgpˆ B D M N B. (PU) sma das sluções de sen = cs cntidas [ ] é: n interval fechad, 7. O valr de sen, + cs, + + ( ) é:. Simplificand-se = cs8 + cs cs, btém-se: sen - 6. (UFRRJ) Em um triângul B, cujs ânguls sã designads pr, B e supõe-se que: tg = tgb + tg e< <. relaçã que vale neste triângul é: tg B. tg= cs cs ( ) ( ) = B + = cs B sec tg B. tg= tg tg B. tg= tg
( ) 7. (Fuvest) O valr de tg + ctg sen é: 8. (UERJ) nsidere a funçã real, de variável real, ( ) [ ] definida pr f = sen + cs,,. Utilizand esses dads, respnda as itens e B. alcule f (). Esbce gráfic cartesian e f. 9. (Uniri) ssinale gráfic que melhr representa a funçã real definida pr = cs., -, - -,,6,,8,,,7,,9, 6,., -, -, -,6 -,8 - -,,,,,6,,6,,8,,,7,,9, 6,,8,,,7,,9, 6, (Fuvest) figura abai mstra parte d gráfic da funçã sen sen -, - -, - -,,6,,8,,,7,,9, 6, sen sen sen. (UFF) figura abai representa parte d gráfic das funções = sene=cs.,,8,6,,,,6,,8,,,7,,9, 6, P Q Sbre s pnts P, Q e R sã feitas as afirmações: I) O pnt P(, ) é tal, que é um arc d.º quadrante. II) O pnt Q(, ) é tal, que é um arc d.º quadrante. R III) O pnt R(, ) pertende à reta =. 6 Destas afirmações, é(sã) verdadeira(s) apenas a(s) de númer(s): I II EM_V_MT_
EM_V_MT_ III I e II II e III. (UERJ) O alun que estudar álcul pderá prvar cm facilidade que a área da superfície plana limitada pels gráfics de f() = sen e f() =, n interval, cm ilustra gráfic abai, é igual a. Área = partir dessa infrmaçã, pde-se cncluir que a área limitada pels gráfics de f() = cs e f() =, n interval, é: 6. (Uniri) nsiderand que mviment de um determinad pêndul é definid pela equaçã = cs t +, em que é a psiçã da massa d pêndul (em m) n instante t (em s) em relaçã à 6 psiçã de equilíbri ( = ) e cnvencinand deslcament à direita cm psitiv, e negativ à esquerda, cm mstra a figura, determine: < = > gráfic d deslcament em funçã d temp, equivalente a um períd cmplet da funçã. a distância máima d crp à psiçã de equilí- bri. períd d pêndul. a psiçã d crp em t = s.. (Uniri) O menr valr real e psitiv de tal que sen = é: 6. (PU) Reslva a equaçã sen cs =. 6. (esgranri) Se < <, a equaçã sen = : tem uma infinidade de sluções. 7. nã tem sluçã. tem smente uma sluçã. tem eatamente quatr sluções. tem um númer finit, mair d que quatr, de s- luções. (Unicamp) che tds s valres de, n interval + [, ], para s quais sen + cs =. Determine s valres de, tais que cs = sec 8. [ ] 9. Reslvend a equaçã cs( sen θ)=, btém-se: θ= θ = θ = k, k Ζ θ = k, k Ζ ( ) θ = k +, k Ζ. (esgranri) Das equações abai, aquela que tem mair númer de raízes n interval 6 é: sen = sen = sen = sen = sen =. (Uniri) Obtenha cnjunt sluçã da inequaçã sen =,, send <. 7
. (UFF) Determine (s) valr(es) de IR que satisfaz(em) a desigualdade: cs sen + ( ). N interval < <, a equaçã trignmétrica: 9 8 7 sen + sen + sen +... + sen + = :. Nã tem sluçã Tem uma sluçã Tem duas sluções Tem três sluções Tem infinitas sluções (Unicamp) Encntre tdas as sluções sistema: sen ( + ) = que satisfazem sen ( ) = e. 8 EM_V_MT_
6. E 7. D. 8..... D - - 6. 9. E 7.. 8. D. 9. D. E EM_V_MT_...... Demnstraçã. D - e E S = 7.,,,. D. 6. 9
. B.. 6. E = k ± k z 6,.... 6. 7. 8. 9.... D E B B 7 D D 7. 8. 9...... 7 6,, 6, S =, 6 6 sluçã da equaçã é, 7,, k + k Z,, B (, ),(, ),(, ),(, ),,. D.. 6. 7. 8. Zer 9..... D B 9 8 - EM_V_MT_