Módulo 3. Arbitragem e Valorização de Contratos de Futuros.

Módulo 3 Arbitragem e Valorização de Contratos de Futuros.

Arbitragem - Definição V(0)=0 e V(t,ω)>0, para todos ω Investimento Inicial = 0 e Ganho > 0 Certo!

Preço a Futuro - Definição Preço a Futuro de um contrato num determinado momento, é o preço de entrega do activo que faria esse contrato valer exactamente zero nesse momento Os preços a futuro podem ser diferentes para contratos de diferentes maturidades

Ausência de Arbitragem e Preços a Futuro Podem-se utilizar argumentos de ausência de oportunidades de arbitragem para determinar o preço a futuro de um activo de investimento a partir do seu preço spot e de variáveis de mercado observáveis (taxas de juro...) Não é possível fazer isto para preços a futuro de activos de consumo. Argumentos de ausência de oportunidades de arbitragem, neste caso, definem apenas um intervalo de preços a futuro possíveis. Mas o que são activos de investimento e de consumo?

Activos de Investimento e de Consumo. Activos de Investimento são activos detidos apenas com a finalidade de investimento por um número significativo de investidores: Acções, Obrigações,... Ouro, Prata,... Activos de Consumo são activos detidos principalmente para consumo e não para investimento: Petróleo, Cobre, Cacau,... Activos de investimento podem também ser utilizados para consumo (utilização industrial do ouro, por exemplo)

Arbitragem Exemplo: Investimento em ouro (1) Suponhamos que: O preço à vista do ouro é de USD 300 a onça O preço a futuro do ouro a um prazo de 1 ano, é de USD 340 A taxa de juro do USD a um ano é de 5% p.a. Existirá alguma oportunidade de arbitragem? (ignorar custos de armazenagem e taxa de leasing do ouro)

Arbitragem Sim! Empréstimo USD 300 a 5% p.a. Compra de uma onça de ouro Posição curta num contrato futuros para venda do ouro a USD 340 daqui a um ano. Capital inicial = 0 Ganho certo = 340 (300 + 15) = 25

Arbitragem Exemplo: Investimento em ouro (2) Suponhamos que: O preço à vista do ouro é de USD 300 a onça O preço a futuro do ouro a um prazo de 1 ano, é de USD 300 A taxa de juro do USD a um ano é de 5% p.a. Existirá alguma oportunidade de arbitragem? (ignorar custos de armazenagem e taxa de leasing do ouro)

Arbitragem Sim!! Consideremos a situação de capital inicial zero, ou seja onde o arbitragista não detem qualquer ouro Short-sell (venda antecipada) ouro por USD 300 a onça Com o resultado da venda antecipada investir a 5% ano Posição longa num contrato de futuros para compra do ouro a USD 300 a onça daqui a um ano Capital inicial = 0 Ganho certo = (300 + 15) - 300 = 15

O que é Short Selling? (vendas antecipadas) Short Selling implica a venda de títulos que não possuímos O corretor/instituição financeira pede emprestado os títulos de outro cliente e vende-os no mercado da maneira habitual Em determinada altura, necessitamos de comprar os títulos de volta de modo a que estes possam ser recolocados na carteira do cliente Temos de pagar dividendos e outros benefícios que o dono do título recebe

Determinação Preço a Futuro Exemplo: Investimento em ouro (3) Suponhamos que: O preço à vista do ouro S t = USD 300 a onça O preço a futuro do ouro a um prazo de 1 ano é de F t =? A taxa de juro do USD a um ano é de 5% p.a. Não existe oportunidade de arbitragem! F t = S t (1+r) T-t, neste caso T=t+1 F t = 300 (1 + 0,05) 1 = 315 (ignorar custos de armazenagem e taxa de leasing do ouro)

Determinação Preço a Futuro Exemplo: Investimento em ouro (3') Suponhamos que: O preço à vista do ouro é de USD 300 a onça O preço a futuro do ouro a um prazo de 1 ano é de F t =? A taxa de juro do USD a um ano é de 4,879% (com composição contínua, equivalente a 5% p.a.) Não existe oportunidade de arbitragem! F t = S t exp(r (T-t)), neste caso T=t+1 F t = 300 exp(0,04879) = 315 (ignorar custos de armazenagem e taxa de leasing do ouro)

Notação S 0 = Preço Spot no início do contrato (momento 0) F 0 = Preço a Futuro no início do contrato S t = Preço Spot momento t F t = Preço a Futuro momento t S T = Preço Spot no final do contrato (momento T) T-t = Tempo que falta até à data de entrega (delivery date) K = Preço de entrega do activo (delivery price) 0 T t Vida do Contrato

Preço de Entrega e Preço a Futuro K = F 0

Determinação Preço a Futuro Activos de Investimento (1) 1) Activo não origina rendimento, e sem custos de armazenagem F t = S t exp(r (T-t)) Em particular, K = F 0 = S 0 exp(r T)

Determinação Preço a Futuro Activos de Investimento (1) Exercício 3.1. Considere um contrato a futuro a 4 meses para comprar uma obrigação de cupão zero com maturidade de 1 ano. O preço actual da obrigação é de 930 Euros e a taxa de juro sem risco (composta contínuamente) é de 6%. Qual é o preço a futuro do contrato no momento presente? Se o contrato tivesse sido acordado hoje, qual teria sido o preço de entrega K (delivery price)?

Determinação Preço a Futuro Activos de Investimento (1) Resolução do Exercício 3.1. Como se trate de uma obrigação de zero cupão o activo subjacente ao contrato não proporciona rendimentos (juros). Sabemos ainda que T-t = 4/12, r = 0.06 e S t = 930 Podemos determinar o preço a futuro do contrato no momento presente F t, usando a equação F t = S t exp(r (T-t)) F t = 930 exp(0.06 x 4/12) = 948.79 Euros Se o contrato tivesse sido acordado hoje, K = 948.79 Euros

Determinação Preço a Futuro Activos de Investimento (2) 2) Activo origina um rendimento conhecido em valor, e sem custos de armazenagem F t = (S t - I t ) exp(r(t-t)) onde I t é o valor actualizado ao momento t do rendimento Em particular, K = F 0 = (S 0 - I 0 ) exp(r T)

Determinação Preço a Futuro Activos de Investimento (2) Estará a equação correcta? Caso F t > (S t - I t ) exp(r (T-t)) compra-se o activo e toma-se uma posição curta no contrato de futuro para venda posterior do activo Caso F t < (S t - I t ) exp(r (T-t)) faz-se short selling do activo e toma-se uma posição longa no contrato de futuro para compra posterior do activo

Determinação Preço a Futuro Activos de Investimento (2) Estará a equação correcta?... e se short selling não é possível!? Caso F t < (S t - I t ) exp(r(t-t)), mas sem short selling: Existe um número significativo de investidores que detêm o activo puramente para investimento Esses investidores podem vender o activo por S t Investem o resultado da venda do activo à taxa de juro r durante o período T-t Tomam uma posição longa num contrato de futuro para compra do activo no momento T. Os investidores obtêm um lucro face à situação onde o activo foi sempre mantido Com activos de consumo, o segundo passo não será viável! É pois possível que se verifique F t < (S t - I t ) exp(r(t-t))

Determinação Preço a Futuro Activos de Investimento (3) 3) Activo proporciona uma taxa de rendibilidade conhecida, e sem custos de armazenagem F t = S t exp((r-i)(t-t)) onde i a taxa de rendibilidade média (composta contínuamente) durante a vida do contrato Em particular, K = F 0 = S 0 exp((r-i)t)

Determinação Preço a Futuro Activos de Investimento (4) 4) Caso geral: activo proporciona uma rendibilidade conhecida, e tem custos de armazenagem O cost of carry, denotado por c, é igual aos custos de armazenagem mais o custo dos juros menos o rendimento recebido F t = S t exp(c(t-t)) Em particular, K = F 0 = S 0 exp(c T)

Determinação Preço a Futuro Activos de Consumo Caso geral: activo proporciona uma rendibilidade conhecida, e tem custos de armazenagem F t S t exp(c(t-t)) Em particular, K = F 0 S 0 exp(c T) onde c denota o cost of carry. É definido uma taxa, convenience yield denotada por y, sobre o activo de consumo, de modo tal que se verifique y: F t = S t exp((c-y)(t-t)) Em particular, K = F 0 = S 0 exp((c-y)t)

Valorização de um Contrato de Futuros Suponhamos que K é o preço de entrega num contrato de futuros F t é o preço a futuro que se aplicaria ao contrato hoje O valor hoje de uma posição longa neste contrato de futuros, que denotamos por V t, é V t = (F t - K) exp(-r (T-t)) O valor hoje de uma posição curta neste contrato de futuros é similarmente (K - F t ) exp(-r (T-t))

Futuros sobre um Índice de Acções Um índice de acções pode ser visto como um activo de investimento que paga um dividend yield A relação entre o preço a futuro e o preço spot é, portanto, F t = S t exp((r-d)(t-t)) onde d é o dividend yield da carteira representada no índice Para que a fórmula seja verdadeira é importante que o índice represente um activo de investimento (alterações do índice devem corresponder a alterações no valor de uma carteira transaccionável). Por exemplo, o índice Nikkei visto como um valor expresso em USD não é um activo de investimento

Arbitragem sobre um Índice Acções Quando F t > S t exp((r-d)(t-t)) um arbitragista compra as acções representadas na carteira do índice e vende futuros sobre esse índice Quando F t < S t exp((r-d)(t-t)) um arbitragista compra futuros sobre o índice e faz short-selling das acções (ou venda as acções no caso de as já possuir) representadas na carteira do índice A arbitragem sobre índices involve a transacção em futuros e em muitas acções em simultâneo, muito frequentemente de um modo automático por intermédio de computadores

Futuros sobre Divisas Uma divisa estrangeira é análoga a um activo que proporciona um dividend yield O dividend yield, nesta interpretação, passará a ser a taxa de juro sem risco no país estrangeiro Assim sendo, se r F denotar a taxa de juro sem risco do país estrangeiro F t = S t exp((r-r F )(T-t))

Exercício 10 O valor de um índice de acções é de actualmente 350. A taxa de juro sem risco é de 8% por ano (com composição contínua) e o dividend yield do índice é de 4% por ano. Qual deve ser o preço a futuro para o contrato de 4 meses?

Exercício 11 Um investidor toma uma posição longa num contrato de futuros acabado de criar sobre acções de uma empresa que não paga dividendos. Nesse momento, a cotação das acções é de 40 euros e a taxa de juro sem risco de 10% por ano (com composição contínua). (b) Qual é o preço a futuro e o valor inicial do contrato de futuros? (c) Seis meses mais tarde, a cotação das acções é de 45 Euros e a taxa de juro sem risco continua a ser de 10%. Qual é então o preço a futuro e o valor da posição longa no contrato de futuros?

Exercício 12 Suponha que a taxa de juro sem risco é de 10% p.a. com composição contínua e que o dividend yield de um índice de acções é de 4% p.a. O valor do índice é de 400 e o preço a futuro para um contrato com data de entrega daqui a 4 meses é de 405. Que oprtunidades de arbitragem existem?

Exercício 13 As taxas de juro a dois meses na Suiça e nos EUA são de 3% e 8% p.a., respectivamente, com composição contínua. A taxa de câmbio spot do franco suiço é de $0.6500. O preço a futuro de um contrato com data de entrega a dois meses é de $0.6600. Que oportunidades de arbitragem existem?

Exercício 14 O preço actual da prata é de $9 a onça. Os custos de armazenagem são de $0.24 por onça por ano pagáveis trimestralmente e avançadamente. Assumindo que as taxas de juro são de 10% p.a (com composição contínua) para todas as maturidades, calcular o preço a futuro da prata para um contrato de futuro com data de entrega para daqui a nove meses

Exercício 15 Espera-se que as acções de uma empresa paguem um dividendo por acção de 1 euro, daqui a dois e cinco meses. A cotação actual das acções é de 50 euros e a taxa de juro sem risco é de 8% p.a. (com composição contínua) para todas as maturidades. Um investidor tomou uma posição curta num contrato de futuros a seis meses acabado de criar (b) Qual é o preço a futuro e o valor inicial do contrato de futuros? (c) Três meses mais tarde, a cotação das acções é de 48 euros e a taxa de juro sem risco continua a ser de 8%. Qual é então o preço a futuro e o valor da posição curta no contrato de futuros?