O Triângulo de Pascal

O Triângulo de Pascal Márcio Nascimento da Silva 6 de fevereiro de 009 Resumo O Triângulo de Pascal ou Triângulo Artimético ou na Itália, Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito definido a partir do número e através de somas sucessivas Indícios desse triângulo aparecem 000 anos antes do nascimento de Pascal, no entanto, o triângulo leva seu nome pela sua maior contribuição ao estudo de suas propriedades Este pequeno artigo se destina a estudantes do ensino fundamental 5 o ao 9 o ano), mas falaremos sobre os números binomias, definindo, antes, o fatorial de um número inteiro não negativo Blaise Pascal Blaise Pascal foi um Filósofo e Matemático francês, nascido em Clermont em 63 e falecido em 66 na cidade de Paris Era filho de Etienne Pascal, também Matemático Em 63, toda a família foi viver em Paris O pai de Pascal, que tinha uma concepção educacional pouco ortodoxa, decidiu que seria ele próprio a ensinar os filhos e que Pascal não estudaria Matemática antes dos 5 anos, pelo que mandou remover de casa todos os livros e textos matemáticos Contudo, movido pela curiosidade, Pascal começou a trabalhar em Geometria a partir dos anos, chegando mesmo a descobrir, por si, que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos Então o seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma cópia do livro de Euclides Pascal estudou e demonstrou no trabalho do Triângulo aritmético, publicado em 654, diversas propriedades do triângulo e aplicou-as no estudo das probabilidades Antes de Pascal, já Tartaglia usara o triângulo nos seus trabalhos e, muito antes, os matemáticos árabes e chineses já o utilizavam Este famoso triângulo que se pode continuar indefinidamente aumentando o número de linhas, é conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia Trata-se de um arranjo triangular de números em que cada número é igual à soma do par de números acima de si O triângulo de Pascal apresenta inúmeras propriedades e relações, por exemplo, as somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci Construção do Triângulo de Pascal O triângulo de Pascal é a disposição em linhas de números inteiros através do seguinte algoritmo:

Na linha 0, escreva ; Na próxima linha, linha, escreva o número duas vezes; 3 Na linha seguinte, linha, escreva o número, um espaço em branco, e novamente o número um No espaço em branco, some os dois elementos imediamente acima; 4 Na linha 3, comece escrevendo o número, depois dois espaços em branco, e por fim o número novamente Em cada espaço em branco, escreva a soma dos dois elementos imediatamente acima; 5 Continue o processo aumentando o número de espaços em branco a cada linha O resultado desse algoritmo é: Preenchendo os espaços em branco, teremos: + ) + ) + ) + 3) 3 + 3) 3 + ) ou seja 3 3 4 6 4 5 0 0 5

3 Propriedades 3 Soma dos elementos de uma linha No Triângulo de Pascal, a soma dos elementos da linha n é igual a n 0 4 3 3 8 3 4 6 4 6 4 5 0 0 5 3 5 3 Potência de base No Triângulo de Pascal, os algarismos em cada linha formam uma potência de base : 0 0 0 0 ) + 0 0 ) 0 ) + 0 ) + 0 0 ) 3 3 0 3 ) + 30 ) + 30 ) + 0 0 ) 3 4 6 4 0 4 ) + 40 3 ) + 60 ) + 40 ) + 0 0 ) 4 na próxima linha, temos: Portanto, repetindo o processo, temos: 5 0 0 5 0 5 ) + 50 4 ) + 00 3 ) + 00 ) + 50 ) + 0 0 ) 605 5 33 Teorema das Diagonais ou Stick de Hóquei A soma dos primeiros n elementos em diagonal é igual ao elemento abaixo, na próxima diagonal: 3

[] [] 3 [3] 4 [6] 4 5 0 0 5 [] [] [3] 3 [4] 6 4 5 [0] 0 5 Veja que a figura formada pelos números entre colchetes lembra um taco de Hóquei 34 Números Triangulares São números naturais que podem ser representados num triângulo equilátero, como mostra a Figura Esses números foram desenvolvidos por Gauss, quando ele tinha apenas 0 anos 3 6 0 Figura : Números triangulares Os números triangulares aparecem na terceira diagonal do Triângulo de Pascal: [] 3 [3] 4 [6] 4 4

5 [0] 0 5 Nessa mesma época, Gauss encontrou uma maneira de somar os n primeiros números naturais: nn + ) S n Observando o Teorema das Diagonais, vemos que cada número triangular é a soma dos elementos da diagonal acima: [] [] 3 [3] 4 6 4 5 0 0 5 [] [] [3] 3 4 [6] 4 5 0 0 5 [] [] [3] 3 [4] 6 4 5 [0] 0 5 Portanto, a expressão geral para um número triangular é t n nn + ) 5

Por exemplo, o 5 0 número triangular é t 5 55 + ) 56 58 0 Podemos observar ainda que a soma de dois números triangulares consecutivos é sempre um quadrado perfeito: [] 3 [3] 4 6 4 5 0 0 5 3 3 4 [6] 4 5 [0] 0 5 6 5 0 5 6 Provemos que isso é sempre verdade Considere dois números triangulares consecutivos, digamos: nn + ) n + )n + ) t n, t n+ Somando, temos t n + t n+ nn + ) n + )n + ) + nn + ) + n + )n + ) n + )[n + n + )] n + )[n + ] n + ) n + n + )n + ) n + ) Desta forma, além de provar que a soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito, ainda podemos dizer quanto vale Por exemplo, se somarmos o 4 o e o 5 o números triangulares, o resultado será 5 5 6

4 Aplicações do Triângulo de Pascal 4 Binômio de Newton Dados a, b R e n N, a expressão a + b) n é chamada binômio de Newton A sua expansão pode ser algo bem trabalhoso Exemplo 4 Vamos expandir o binômio x + ) 5 Então: x + ) 5 x + ) x + ) x + ) x + x + )x + x + )x + ) x 4 + x 3 + x + x 3 + 4x + x + x + x + )x + ) x 4 + 4x 3 + 6x + 4x + )x + ) x 5 + 4x 4 + 6x 3 + 4x + x + x 4 + 4x 3 + 6x + 4x + x 5 + 5x 4 + 0x 3 + 0x 4 + 5x + Ou seja x + ) 5 x 5 + 5x 4 + 0x 3 + 0x 4 + 5x + Agora observe a linha 5 do Triângulo de Pascal: Linha 0 Linha Linha 3 3 Linha 3 4 6 4 Linha 4 5 0 0 5 Linha 5 6 5 0 5 6 Linha 6 7 35 35 7 Linha 7 Veja que os números da linha 5 são exatamente os coeficientes do desenvolvimento de x + ) 5 De um modo geral, cada linha do Triângulo de Pascal fornece os coeficientes do desenvolvimento a + b) n Por exemplo, se quisermos saber o desenvolvimento de x + y) 4 Então, olhando para a Linha 4, temos: x + y) 4 x 4 y 0 + 4x 4 y + 6x 4 y + 4x 4 3 y 3 + x 4 4 y 4 x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4 7

4 Fatorial Dado um número inteiro não negativo n, definimos o seu fatorial por Assim, temos os seguintes fatoriais: Por convenção, 0! 43 Número Binomial n! 3 n )n! 3! 3 6 5! 345 0 8! 345678 4030 Sejam n, k dois números inteiros e não negativos com k n Chamamos de número binomial de numerador n e classe k a seguinte razão: Que será denotada por n! k!n k)! ) n k Exemplo 4 Alguns números binomiais: ) 5 5! 3 3!5 3)! 345 3)) 45 0 ) 8 8! 5 5!8 5)! 345678 345)3) 678 3 56 7 0 ) 7! 0!7 0)! 34567 )34567) O interessante é que cada número do Triângulo de Pascal é um número binomial: 0 0) ) 0 ) ) ) 0 ) 3 3 3 ) 3 ) 3 ) 3 0 3) 4 6 4 4 ) 4 ) 4 ) 4 ) 4 0 3 4) 5 0 0 5 5 5 5 5 5 5 ) 0) ) ) 3) 4) 5 8

Referências [] ARAÚJO, Edgar da Silva O Triângulo de Pascal: História, propriedades e aplicações Monografias do Curso de Matemática, 008 [] FILHO, Edgard de Alencar Teoria Elementar dos Números 3 a ed São Paulo: Livraria Nobel SA, 99 9