INSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 4 - CÁLCULO II-A Última atualização: --4 ) Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas: A) Interior à circunferência r = cos(θ) e exterior à cardióide r = - cos(θ). B) Exterior à circunferência r = cos(θ) e interior à cardióide r = - cos(θ). C) Interior à rosácea r = cos(θ) e exterior à circunferência r =. D) Interior à lemniscata r = a cos(θ). E) Intersecção do círculo r = com o interior da lemniscata r = sen(θ). ) Nos problemas a seguir determine uma expressão em integrais que represente a área das regiões indicadas A) Intersecção do círculo r = cos(θ) com o interior da cardióide r = - cos(θ). B) Interior à rosácea r = sen(θ). C) Entre a a e 4 a voltas da espiral r = aθ, a > e θ. ) Considere os pares de curvas dadas a seguir. Calcule a área hachurada conforme figura de cada item. A) r = 4sen(θ) e r = 4(cos(θ) + sen(θ)) B) r = 4cos(θ) e r = (cos(θ) + sen(θ)). 4) Se A e A são respectivamente as áreas do interior de cada uma das curvas a seguir, calcule A / A A) r = 4sen(θ) e r = 4senθ B) r = 4sen(θ) e r = 4senθ /7
5) Considere as curvas dadas a seguir. Determine uma expressão em integrais que represente a área hachurada conforme figura de cada item. 5θ A) r = + cos B) r = sen(θ) 6) Determine a área limitada pelo eixo OX, x =, x = e e a curva de equações paramétricas t x= e = + t 7) Determine a área da região limitada pelas curvas de equações x= t + x = e = t + t /7
8) Calcule a área limitada pelos laços de curvas dadas a seguir: x= t t A) = t B) x = t t y = t 9) Determine a área da região limitada pelas curvas de equações x = e x = = sect -π tgt < t < π ) Encontre o comprimento de arco da curva y = ln( cos x) entre os pontos adjacentes da intersecção com o eixo OX. ) Achar o comprimento de arco da curva ay = x da origem até o ponto P(4a,8a). ) Determine o comprimento de arco da curva y = 6x / + entre os pontos A(,) e B(8,5). /7
x= 4t+ ) As equaçòes = t dão a posição (x,y) de uma partícula no instante t. Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo t 5. 4) Determine o comprimento de arco da curva definida por x= / t = ln t, quando t t x= e cost 5) Determine o comprimento de arco da curva definida por t = e sent t π / x= acos θ 6) Determine o comprimento de arco da astróide = asen θ, θ [, π]. 7) Determine o comprimento de arco do laço da curva do exercício 8B). 8) Determine o comprimento da espiral logarítmica r = e de θ = a θ = 9) Calcule o comprimento de arco da curva r = cos ( θ / ) ) Determine a expressão da integral que permite calcular o comprimento dos arcos que limitam as regiões dos exercícios : A) C) B) D) ) Se a base de um sólido é um círculo de base r e se todas as secções planas perpendiculares a um diâmetro fixo da base são quadrados, encontre o volume do sólido. ) A base de um sólido é uma região plana limitada por uma elipse com semi-eixo maior de 4 unidades e semi-eixo menor igual a unidades. Cada secção do corte perpendicular ao eixo maior da elipse é um semi-círculo. Calcule o volume do sólido. ) Calcule, pelo método das secções planas paralelas, o volume de um cone circular reto de altura igual a cm e raio da base igual a cm. 4) Determine o volume do sólido limitado pelos dois cilindros x + y = R e y + z = R θ / 5) Calcule o volume do sólido limitado pelo parabolóide elíptico x a c, c >. y + = z e o plano z = b 6) Uma cunha é cortada de um sólido na forma de um cone circular reto, tendo raio da base de 5cm e uma altura de cm, por dois semi-planos pelo eixo do cone. O ângulo entre os dois semi-planos tem uma medida de. Encontre o volume da cunha cortada. 4/7
7) A base de um sólido é uma região plana limitada pela hipérbole 6x 9y = 44 e a reta x = 6.Cada secção de corte do sólido, perpendicular ao eixo OX é um triângulo equilátero. Calcule o volume do sólido. 8) Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno de OX da região limitada por y = e a parábola y = ax x, a >. 9) Usando integraçào, determine o volume do cone circular reto de altura h e raio da base r. ) Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada pela parábola y = 4ax, a > e a reta x = a gira em torno dessa reta. ) Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada pelas parábolas y = x e y = x gira em torno de: A) x = B) y = ) A região limitada pelas curvas x y = a e x= a, a >, gira em torno da reta x =. Determine o volumen do sólido gerado. ) Ache o volume do toro gerado pela rotação do círculo x + y = 4 em torno da reta x =. 4) Determine o volume do sólido de revolução obtido quando a região limitada por y = e x x y = e e x = gira em torno de x =. 5) Dê a expressão da integral que permite calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por x = y e x = y em torno da reta x = 5. 6) Dê a expressão da integral que permite calcular o volume do sólido de revolução obtido x= t sent quando a região limitada pelo arco de ciclóide = cost, t π e o eixo OX gira em torno de: A) y = ; B) x = π; C) y = 5/7
7) Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem: A) 4 x / B) x D) x xe E) e x cos x G) x e x / ( ) J) x x b / H) x, a < < b I) a C) xx ( + ) F) cos( bx) e x.ln x.ln(ln x) K) x x.5 L) ( x ) M) 5 N) O) e / x.(ln x) / x(ln x) 5 / x ln x P) x Q) R) x x x x 8) Verifique se é possível encontrar um número real medida de área da região entre os gráficos de: A) y = / x, y= e x =, à direita da reta x=. B) y =, eixos OX e OY e x = 4, à esquerda da reta x = 4. x a C) y = a + x, a > (Curva de Agnesi) e y =. D) y e x = e y =, situada à esquerda do eixo OY. 9) Ache o volume do sólido obtido pela rotação da área compreendida entre as curvas y e x =, x =, y = e situada à esquerda de OY, quando esta gira em torno do eixo OX e do eixo OY. 4) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo OX, da região situada à direita da reta x = e compreendida entre a curva y = e o eixo OX. x x 4) Determine os valores de K para os quais a integral I a seguir é convergente e o seu valor para cada K encontrado. K A) I = x ln x; B) I = K K x ; C) I = x ( x + ), K e K 6/7
RESPOSTAS ) A) 4 π π+ ; B) ; C) π+ 6 D) a ; E) 6 +π ; π / π / ) A) ( cos( θ)) dθ + cos ( θ)dθ; B) 6 sen (θ)dθ ; C) π / π / 4 8π 6π a θ dθ 6π 4π a θ dθ ; ) A) 8π ; B) + π; 4) A) / B) π / 5 π / 5 π / 6 π / 5) A) + θ θ + θ θ 5 ( cos(5 / )) d ( cos(5 / )) d B) θ θ θ θ ( sen( )) d ( sen( )) d π π / π / 6 6) 9 e ; 7) 5 4 5 ; 8) A) 8 5 ; B) 8 5 ( ) 8a 9) + ln ; ).ln( + ) ; ) ; ) 4 5 64 + 7 ) 6 +.ln( 5+ 6); 4) 7) 4 ; 8) 5( ) 5 + 5 / + ln ; 5) ( e π ); 6) 6a; + π / 9 e ; 9) 4; ) A) S = 6 ( cos + 9sen + ) θ θ d θ ) 6 r ; ) 4π; ) π cm ; 4) 6 R π.abc ; 5) ; 6) 5 ; 7) 64 9π 8) πa5 πr h ; 9) ; ) πa 49π π ; ) A) ; B) ; ) 4 πa ; ) 4π ; 5 4) 4π e ; 5) V = π ( 4 4 + ) π B) V = π ( π ) y y dy; 6) A) V = π π (( cos t) )( cost) dt; ( t sen t) sentdt; C) V = π π ( cos t) dt 7) As integrais B, C, F, I, L, N, P divergem. As demais convergem a: A) /; D) /; E) /; b a ; J) π; K) /(ln5); M) ; O) ; Q) π/; R) π; G) ; H) ( ) 8) A) Não; B) Sim, 4; C) Sim, π.a ; D) Sim, ; 9) π/ e π; 4) π/; 4) A) K > ; I = ( K + ) ; B) K >, I = ; C) K <, I = K K + 7/7