Variáveis Aleatórias Definição: Uma variável aleatória v.a. é uma função que associa elementos do espaço amostral a valores numéricos, ou seja, X : I, em que I. Esquematicamente: As variáveis aleatórias são classificadas em dois tipos: VA discreta: é aquela para a qual o conjunto I é um conjunto finito ou infinito enumerável Es.: I = {,, 3, 4, 5, 6}, I = N = {,,, 3, 4,... }, etc. VA contínua: é aquela para a qual o conjunto I é um conjunto infinito não enumerável, ou seja, é uma v.a. que assume valores em intervalos de números reais Es.: I = = (, ), I = [,], etc. Notas: Para v.a. s contínuas, a função que normalmente associa pontos de ao conjunto I, é a função identidade; Para v.a. s discretas, a função que normalmente associa pontos de ao conjunto I, é uma contagem ou soma.
Eemplo: Três jogadores A, B e C cobram um penalti cada um (independentemente) e marcam o gol com probabilidades 9%, 88% e 85%, respectivamente. a) Quais os resultados possíveis? b) Como definir uma v.a.? c) Como associar probabilidade a essa uma v.a.? Sejam os eventos A = o jogador A marca o penalti, B = o jogador B marca o penalti e C = o jogador C marca o penalti. a) = ABC, A c BC, AB c C, ABC c, A c B c C, A c BC c, AB c C c, A c B c C c é o espaço amostral. b) Temos pelo menos duas formas para definir uma variável aleatória para esse caso: (i) X = número de gols marcados nas três cobranças ou (ii) X = número de gols perdidos nas três cobranças. Vamos considerar X = número de gols marcados nas três cobranças X(ABC) = 3 X(A c BC) = X(AB c C) = X(ABC c ) = X(A c B c C) = X(A c BC c ) = X(AB c C c ) = X(A c B c C c ) = Vamos simplificar a notação para os possíveis valores da v.a.: X(ABC) X = 3 X(A c BC) = X(AB c C) = X(ABC c ) X = X(A c B c C) = X(A c BC c ) = X(AB c C c ) X = X(A c B c C c ) X = Assim pode-se escrever: P(X = 3) = P(ABC) =.9.88.85 =.673 P(X = ) = P(A c BC AB c C ABC c ) =.854 P(X = ) = P(A c B c C A c BC c AB c C c ) =.396 P(X = ) = P(A c B c C c ) =.8
Normalmente reperentam-se os valores numa tabela com a distribuição das probabilidades, chamada de função de probabilidade: Tabela: Função de probabilidade da v.a. X = gols marcados nas 3 cobranças. Valores da v.a. X Probabilidades.673.854.396 3.8
Função de probabilidade de uma v.a. discreta A função que associa probabilidades aos possíveis valores de uma v.a. discreta X, é chamada de função de probabilidade (fp) ou função massa de probabilidade (fmp), sendo representada por: p() = P(X = ), I, I = conjunto dos possíveis valores de X. Propriedades: a) p() ; b) p ( ). I Eemplos: a) No eemplo dos 3 jogadores, temos I = {,,, 3 } e: p() função que associa.8 probabilidades à v.a..396 número de gols.854 narcados nas 3 3.673 cobranças de penaltis. b) Uma indústria que produz placas para componentes eletrônicos, usadas na fabricação de celulares, afirma que no processo de produção dessas placas, % sai com defeito nas furações. Considerando que na inspeção dessas placas, unidades são selecionadas aleatoriamente e avaliadas, i) Defina uma variável aleatória para esse caso. Qual é a probabilidade de que a inspeção encontre: ii) eatamente uma placa com defeito? iii) pelo menos uma placa com defeito? iv) no máimo três placas com defeito?
Escrevendo as probabilidades em termos da v.a.: a) Seja a v.a. X = número de itens com defeito encontrados na inspeção de n = placas. Então, temos que I = {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }, ou seja p() = P(X = ), em que {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. b) Probabilidade de que a inspeção encontre eatamente uma placa defeituosa: P(X = ). Se o índice de placas com defeitos na produção é de %, então, uma placa tem probabilidades. de ser defeituosa e.99 de ser boa. Sendo D = placa com defeito e b = placa boa, temos que b/d D b b b b b b b b b prob...99.99.99.99.99.99.99.99.99 item 3 4 5 6 7 8 9 Assim, a probabilidade de que a inspeção encontre eatamente uma placa defeituosa, senda esta a primeira é igual a: (.)(.99) 9 Como a placa com defeito pode ser a primeira placa ou a segunda ou a terceira... ou a décima, então temos dez vezes essa probabilidade, i.e.: P(X = ) = (.)(.99) 9 = (.) (.99) 9 =.935 c) Se a inspeção encontrar pelo menos uma placa com defeito, então, pode ser uma placa com defeito ou duas ou três... ou as dez. Portanto, a probabilidade da inspeção encontrar pelo menos uma placa com defeito é dada por: P(X ) = P( X ) P(X = ) + P(X = ) +...+ P(X = ).
Mas, utilizando o evento complementar, podemos escrever essa probabilidade como sendo um menos a probabilidade de que todas as placas sejam boas, ou seja: P(X ) = P(X = ) = (.99) =.956 d) A probabilidade da inspeção encontrar no máimo três placas com defeito é escrita como: P(X 3) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3). Em que: P(X = ) = (.) (.99) =.9438 P(X = ) = (.) (.99) 9 =.935 P(X = ) = (.) (.99) 8 =.45 P(X = 3) = (.) 3 (.99) 7 =. 3 Logo, P(X 3) =.99999 O modelo binomial No eemplo acima podemos escrever uma fórmula geral para as probabilidades: P(X = ) = (.) (.99) Generalizando um pouco mais, podemos pensar num processo de fabricação com índice de defeitos diferente de %.
Como esse índice de defeitos pode ser epresso como uma proporção entre e, podemos definir uma quantidade p, p, como sendo a probabilidade de que uma placa seja defeituosa. Considerando que a inspeção pode ser aplicada a um número n qualquer de placas, se X é a v.a. que conta o número de defeitos nas n placas inspecionadas, então podemos generalizar a probabilidade P(X = ) por: n P(X = ) = p ( p) n, =,,,..., n. Esse modelo é conhecido como modelo binomial. O modelo binomial está associado à ensaios ou eventos independentes com apenas dois resultados possíveis: sim/não; ocorre/não ocorre; ou. Os ensaios com essas características são chamados de ensaios de Bernoulli. Nos ensaios de Bernoulli estamos interessados na ocorrência de apenas um dos resultados ao qual chamaremos de sucesso sendo que, a não ocorrência do evento de interesse vamos chamar de fracasso. Desta forma, para o modelo binomial temos que: p = P(sucesso) e ( p) = P(fracasso) No eemplo acima, ocorre sucesso quando a inspeção detecta uma placa com defeito e fracasso quando a placa não apresenta defeito. O modelo binomial é, então, caracterizado pela realização de n ensaios independentes com apenas dois resultados possíveis (sucesso e fracasso), nos quais a probabilidade de sucesso p é constante.
A v.a. binomial é definida como sendo: Uma v.a. que conta o número de sucessos num número fio de ensaios de Bernoulli. Notação: X binomial(n; p). No eemplo das placas eletrônicas, temos p =. e n =, logo X binomial(;.). Outro eemplo: Considere a fabricação de pinos metálicos para montagens de motores em que o índice de produtos com defeito é de.5%. Se um inspetor seleciona um lote com 8 pinos para inspeção, qual a probabilidade de que: a) apenas um seja defeituoso? b) nenhum seja defeituo? c) no máimo dois sejam defeituosos? d) Qual é o número esperado de pinos defeituosos no lote? Vamos definir a v.a. X = número de pinos defeituosos dentre os 8. Como estamos interessados nos defeitos (sucesso defeito), então: p = P(defeito) =.5 e X binomial(8;.5) 8 a) P(X = ) = (.5) (.975) 79 =.76 8 b) P(X = ) = (.5) (.975) 8 =.39 c) P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) =.6767. d) Espera-se: 8.5 = peças defeituosas no lote, ou seja, espera-se np peças com defeito.
Resultado: O número esperado de sucessos em n ensaios de Bernoulli, tal que, P(sucesso) = p é dado por np. No eemplo das placas eletrônicas, espera-se. =. placas com defeito na inspeção. Mais um eemplo: Segundo pesquisa Lance!/IBOPE (ago/) 9.% dos Paulistas são torcedores do Santos. Se pessoas do estado de São Paulo são escolhidas ao acaso, a) qual é a probabilidade de que pelo menos uma seja Santista? b) qual é a probabilidade de que no máimo duas sejam Santistas? c) qual o número esperado de Santistas entre as pessoas? Seja a v.a. X = número de torcedores do Santos na amostra. X binomial(;.9) a) P(X ) = P(X = ) = (.98) =.868 b) P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) =.696 c) E =.9 =.93 torcedores
Função de probabilidade de uma v.a. contínua Para modelarmos as probabilidades associadas a uma v.a. contínua, temos de considerar que estas assumem valores em intervalos dos reias. Desta forma, o conjunto de possíveis valores que uma v.a. contínua X pode assumir é dado por I = { R k k }, k < k. Como eistem infinitos pontos no intervalo [k, k ], não faz sentido pensarmos na probabilidade de X assumir um valor I, uma vez que essa probabilidade será igual a zero. Desta forma, para uma v.a. contínua, P(X = ) =. No entanto, podemos determinar a probabilidade de X assumir um valor entre dois pontos quaisquer pertencentes a I: P(a X b) ; P(X b); P(X a); etc Definição : Seja um função f() não negativa tal que a) f(), I; b) f ( ) d ; I c) lim f ( ) lim f ( ) ; b Então: P(a X b) = a f ( ) d A função f() é chamada de função densidade de probabilidade (fdp) da v.a. X, ou simplesmente função densidade de X e serve para descrever a distribuição de probabilidade de uma v.a. contínua.
A função de probabilidade f() pode ser aproimada pelo histograma da v.a. X., conforme podemos observar pela figura. Definição : Seja um função F() tal que F ( ) P( X ) f ( u) du. F() é chamada função de distribuição acumulada (fda) da v.a. X, ou simplesmente função de distribuição.
Nota: Da definição de fdp segue-se que: b P(a X b) = a f ( ) d = F(b) F(a) Eemplo: Seja uma v.a. X com fdp f() dada por k f ( ) e, { R }. a) Para que valor de k, f() define uma fdp? k De f ( ) d e d, fazendo w = k, segue-se que dw = kd. k w dw w Portanto, e d e e e e k k k, de onde se obtém: k k. b) Encontrar a fda u / / e e u / F( ) e du. Portanto, / F( ) P( X ) e. Desta forma, podemos encontrar P( X ) = F() F(), ou seja P( X ) = / / / e e e e =.387.
Valor Esperado e Variância de uma v.a. A-) O valor esperado, esperança ou média de uma variável aleatória é definido por: i) Se X é uma variável discreta: ( X ) E p( ) ii) Se X é uma variável contínua: E ( X ) f ( ) d Propriedades de Esperança: a) E g( X ) g( ) p( ) ou g( X ) b) E( ax by) ae( X ) be( Y) E g( ) f ( ) d e E( ax b) ae( X ) b c) E( k) k, k constante. B-) A variância de uma variável aleatória é definida por: X E( X ) E( X ) E( ) Var( X ) E X, em que: E ( X ) p( ) ou E ( X ) f ( ) d Propriedades de Variância: a) Var( ax b) a Var( X ) b) Var ( k), k constante.
Eemplos: ) Seja uma v.a. discreta com função de probabilidade dada por: ( ) k p, k > e {,,,, 4 }: 3 a) Achar o valor de k para que p() seja uma função de probabilidade; b) Calcular o valor esperado de X ; c) Calcular a variância de X; d) Encontre P( X < 4 ); e) Quais os valores de a e b para os quais (ax + b) tenha média zero e variância um? a) Achar o valor de k: 4 p ( ) k 3 k 3 k 3 k 3 k 3 k 3 k 4 k 4 k 4 k Desta forma: ( ) 3 p ou p ( ). 4 p().3....3
b) Valor esperado de X: E ( X ) p( ) ( ).3 ( ). (). (). (4).3 E (X ).6 c) Variância de X: E ( X ) p( ) ( ).3 ( ). ()...4 3. 6.6 Var ( X ) E( X ). () E( ) 6.6 (.6) 6.4. (4).3 DP (X ) 6. 4.498 d) P( X < 4 ) =. +. +. =.4 e) E ( ax b) ae( X ) b.6a b Var ( ax b) a Var( X ) 6.4a a.4 6.4.6 Assim, temos que: b.4 6.4 Resultado: Seja uma v.a. Y ax b, tal que X E( X ) Y DP( X ) uma v.a. padronizada, tendo média e variância., então Y é
) Seja uma v.a. contínua com fdp dada por: k f ( ), k > e { R < }: a) Achar o valor de k para que f() seja uma densidade de probabilidade; b) Calcular o valor esperado de X ; c) Calcular a variância de X; d) Encontre a função distribuição acumulada de X; e) Encontre P(X /) e P(/4 < X < 9/6); f) Quais os valores de k e k tal que P(X k ) =.5 e P(X k ) =.5? a) Achar o valor de k: f ( ) d k d / k / k ( ) k k Logo: f ( ), <, é uma fdp.
b) Valor esperado de X : ) ( d d X E 3 3/ 3/ 3 ) ( X E c) Variância de X: 3/ ) ( d d X E 5 5/ 5/ 45 4 3 5 ) ( X Var 98. 45 4 ) ( X DP d) fda de X: u du u F / / ) ( Logo:,,, ) ( F.
Figura: fdp e fda, respectivamente. e) P(X /) e P(/4 X < 9/6): i) P ( X / ) F(/ ) / ii) 3 P ( / 4 X 9/ 6) F(9/6) F(/ 4) 4 4 f) k e k tal que P(X k ) =.5 e P(X k ) =.5: i) P X k ) k. 5 k. 5 ( ii) P X k ) P( X k ) k. 5 ( k. 95 k. 95
3) Seja X uma v.a. discreta com função de probabilidade binomial(n, p). Calcular E(X) e Var(X). 4) Seja X uma v.a. contínua com fdp dada por: / f ( ) e, > e { R }. Calcular E(X) e Var(X). O modelo acima é o modelo eponencial: X eponencial() E(X) = Var(X) = Obs: = / é a taa de ocorrência: O modelo eponencial também aparece na forma: f ( ) e, > e { R }.
Mais Eemplos: ) Para o modelo binomial mostra-se facilmente que E(X) = np e que Var(X) = np( p). Dessa forma, no eemplo das placas, como n = e p =., E(X) = (.) =. placas e Var(X) = (.)(.99) =.99 ) No eemplo da fabricação de pinos metálicos para motores, como n = 8 e p =.5, E(X) = 8(.5) = def./lote e Var(X) = 8(.5)(.975) =.95. / 3) Para o eemplo da v.a. contínua, em que f ( ) e, temos que: / / E( X ) e d e d, integrando por partes, E ( X ). / / E( X ) e d e d, integrando p. partes E ( X ) 8, logo, Var ( X ) 4.
A distribuição de probabilidade Normal. Uma v.a. X tem distribuição normal ou Gaussiana, com parâmetros e se a sua fdp for: e f,, e. Notação: X normal( ; ) ou X N( ; ). As principais características da distribuição normal são: a) X tem média E(X) = e variância Var(X) = ; b) f() é uma função simétrica em torno de : f( k) = f( + k); c) f() tem pontos de infleão em ( ) e ( + ); d) f() tem o conhecido formato de sino com 95% de probabilidade entre ( ) e ( + ) (ver figura).
A função de distribuição acumulada (fda) do modelo normal não pode ser determinada uma vez que a integral F w e dw, não tem solução algébrica, o que dificulta as coisas, pois temos de recorrer à programação numérica. No entanto, o resultado a seguir vem facilitar as coisas: Considere a va normal padronizada, dada pela transformação linear X Z. Essa transformação padroniza a va X em relação ao seu desvio padrão, além de centralizá-la na origem. Desta forma, tem-se que E(Z) = e Var(Z) =.
Resultado: Seja X uma va com distribuição normal com média e variância, então a variável Z tem distribuição normal padrão, com média e variância, ou seja: Z N(; ), z z. e a sua fdp é dada por: ( z) e, Nota: Com este resultado, basta construir uma única tabela de probabilidades para a distribuição normal padronizada que teremos as probabilidades para uma va normal qualquer. Eemplo: ) Seja uma va X com distribuição normal com média e variância 6, ou seja, X N(; 6). Calcular as probabilidades abaio: a) P(X 5) X 5 P =.8943 4 4 P(X 5) = PZ.5
b) P( X 8) X 8 P( X 8) = P 4 4 4 P.5 Z. Z. PZ. P 5.9773.6 =.97 c) Qual o valor de k tal que P(X k) =.? P(X k) = X k P =., 4 4 k Da tabela temos que. 33 4 k =.38 d) Quais os valores k e k simétricos em torno de, tal que P(k X k ) =.95? P(k X k ) = k k P Z =.95, 4 4 k Da tabela temos que k P Z PZ =.5, e, 4 4 k 4.96 k =.6 Como k e k simétricos em torno da média, então k 4.96 k = 7.84
Eemplo: ) Suponha que o nível de dureza de uma peça de espuma N 4; 36. Qual a probabilidade de que: tenha distribuição a) Um item produzido tenha dureza inferior a 8.7? b) Um item produzido tenha dureza superior a 5.5? c) A especificação para esse produto é que pelo menos 95% dos itens produzidos tenham dureza entre 8 e 5. A especificação é atendida? a) P(X < 8.7) 8.7 4 P =.3 6 P(X < 8.7) = Z PZ.88 b) P(X > 5.5) 5.5 4 P =.4 6 P(X > 5.5) = Z PZ.75 c) P(8 < X < 5) P(8 < X < 5) = P. Z. PZ. PZ. =.9773.8 =.9545 Eemplo: 3) O tempo até a falha dos televisores da marca X-View tem distribuição normal com média 35 mil horas ( 4 anos) e desvio padrão de.675 mil horas ( 3.7 meses). A empresa deseja fiar a garantia do produto de forma que, no máimo 5% dos televisores apresentem problemas abaio desse limite. a) Encontre o limite de garantia? P(X < L) =.5 35 L L 35 P Z.5. 645.675.675 L = 3.6 mil horas ( 3.5 anos)
b) Os diretores da companhia traçam um plano de ação para reduzir a variabilidade do processo de produção. De quanto deve ser reduzido o desvio padrão do processo para que, mantido o limite obtido em (a), o percentual de itens abaio do limite garantia caia pela metade? P(X < 3.6) =.5 3.6 35 4.4 P Z.5. 96 * * * =.45 mil horas ( 3. meses) Notação: Seja Z o quantil % da distribuição N(, ), então, Z é tal que P(Z Z ) =
Principais quantis da distribuição Normal Quantil Z =.5.5% Z.5 =.575 =. % Z. =.33 =.5.5% Z.5 =.96 =.5 5% Z.5 =.645 =. % Z. =.8 =.5 5% ou ~ Z.5 = =.9 9% Z.9 =.8 =.95 95% Z.95 =.645 =.975 97.5% Z.975 =.96 =.99 99% Z.99 =.33 =.995 99.5% Z.995 =.575 Obs: ) Note que Z = Z ( ), por eemplo Z.5 = Z.975 ; ) No programa R os quantis da normal são obtidos pelo comando: qnorm(),. Eemplo: 4) O diâmetro D (cm) de esferas usadas na fabricação de um rolamento tem distribuição N (.64, 6.5 ). Uma esfera é classificada como boa se.6 D. 68; recuperável se.68 D. 6 ou.68 D. 6 e como descarte se D. 68 ou D. 6. Quais as probabilidades de uma esfera ser boa, recuperável e descarte? -6
P( boa ) = P(.6 D.68) = P = P(Z.6) P(Z.6).4.5 Z.4.5 =.945.548 =.894 P( rec ) = P(.68 D <.6) + P(.68 < D.6) = [P(Z.6) P(Z.4)] + [P(Z.4) P(Z.6)] = [.548.8] + [.998.945] =.466 +.466 =.93 P( des ) = P(D <.68) + P(D >.6) = P(Z.4) + [ P(Z.4)] =.8 + [.998] =.64 Classificação boa recuperável descarte probabilidade.894.93.64 O fabricante deseja fiar limites de especificação (inferior e superior) para o produto bom de tal forma que apenas.5% dos rolamentos fiquem de fora. Quais devem ser esses limites? P(k D k ) =.5 k.64 k.64 = P Z =.995.5.5
k.64.5 Z.5.8 k =.67 Como k e k são simétricos em torno da média, então k.64.5 Z.9975.8 k =.6 Logo, P(.67 D.6 ) =.995 Considere que cada esfera é produzida a um custo de R$.5 e vendida a R$.5 por unidade, calcule o lucro esperado na venda de 5 mil unidades do produto se cada peça recuperável tem um custo adicional de R$.5 de retrabalho. Seja L o lucro na venda de uma esfera, então Classificação boa recuperável descarte probabilidade.894.93.64 Custo C.5.5 +.5.5 Venda V.5.5 Lucro L..5.5 E(L) =.894(.) +.93(.5) +.64(.5) = R$.94/esfera Em 5 mil esferas, temos: 5 E(L) = 5 (.94) = R$ 4.56,
Obs: Pode-se, ainda, encontrar o lucro esperado fazendo: L = V C E(L) = E(V) E(C), em que V é o valor da venda de uma esfera. Como E(V) = R$.459/un., e E(C) = R$.5466/un., então E(L) = R$.459 R$.5466 = R$.94/un. Eemplo: 5) Um produto é vendido em pacotes de um quilograma, sendo que a distribuição do peso dos pacotes é normal com média 5g e desvio padrão g. a) Qual a probabilidade de que um pacote saia com peso 5g abaio da média? b) Num fardo com pacotes, qual é a probabilidade de no máimo estejam abaio de 99g? c) Um fiscal informou o produtor de que são aceitos apenas 5% dos pacotes com peso abaio de 995g. De quanto deve diminuir a variabilidade para que esse limite seja atendido? d) Como o processo não permite o ajuste na variabilidade, a opção seria aumentar a média para atender a especificação. De quanto deve ser a nova média? e) Com a nova média obtida no item anterior, de quanto se espera aumentar a perda do empacotador em uma tonelada do produto.