Nome da Escola no letivo 20-20 Matemática 11.º ano Nome do luno Turma N.º Data Professor - - 20 GRUP I s cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item. Não apresente cálculos nem justificações. Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 1. Num certo problema de programação linear, pretende-se maimizar a função objetivo, definida por L. região admissível está representada na figura 1. Relativamente a este problema, podemos afirmar que: 3 1 () Não tem solução. 1 3 () Tem apenas uma solução. Figura 1 Tem apenas duas soluções. (D) Tem mais do que duas soluções. 2. Considere, num referencial o. n. z, o plano α definido pela equação 2z 1. Qual das condições seguintes define uma reta paralela ao plano α? () 2 2 4z 3 () 2 z 0 z (D) 2 4 4 2z 0 1 Página 1
3. Sejam e dois pontos distintos num referencial o. n.. Nesse referencial, o lugar geométrico dos pontos P que satisfazem a condição P 0 é: () () (D) a mediatriz do segmento de reta []; a circunferência de raio []; a circunferência de diâmetro []; a reta que passa pelo ponto e é perpendicular a. 4. Considere a função f, de domínio \ 2, definida por Seja g a função definida por g f 3 4. 4 f( ) 3. 2 Em qual das opções seguintes as retas definidas pelas suas equações são as assíntotas do gráfico da função g? () 2 e 3 () 1 e 1 3 e 4 (D) 1 e 1 5. Num referencial o. n. z, sejam α, e os planos definidos pelas equações: : z 0 : z 0 : z 0 interseção dos planos α, e é: () () (D) uma reta; um ponto; um plano; o conjunto vazio. Página 2
GRUP II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. tenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato. 1. Na figura 2, está representada, num referencial o. n. z, a pirâmide quadrangular regular [CDV]. z C E D Sabe-se que: a equação 2 2z 6 0 define o plano C; o ponto pertence ao eio z; o ponto V tem coordenadas 7, 8, 4. V Figura 2 1.1. Determine as coordenadas do ponto. 1.2. Sabe-se que o ponto E é o centro da base da pirâmide. 1.2.1. Defina a reta VE por uma equação vetorial. 1.2.2. Determine as coordenadas do ponto E. 1.3. Escreva uma condição cartesiana que defina a superfície esférica de centro no ponto V e que passa na origem do referencial. 2. Na figura 3, está representado um prisma triangular regular [CDEF] de altura igual a 3 e aresta da base igual a 2. C F E Determine o valor eato de E F. Figura 3 D Página 3
3. Na figura 4, está representado, num referencial o. n., o círculo trigonométrico. r P Q Figura 4 s pontos e são os pontos de interseção da circunferência com os semieios positivos e, respetivamente. Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco, nunca coincidindo com o ponto nem com o ponto. Para cada posição do ponto P, sabe-se que: a reta r é tangente à circunferência no ponto P; o ponto Q é o ponto de interseção da reta r com o eio ; α é a amplitude, em radianos, do ângulo P 0, 2. Considere a função f, de domínio 0, 2, definida por 1 f tg 2 3.1. Mostre que a área do triângulo [QP] é dada por f. 3.2. Determine o valor de α para o qual se tem 3 f. 2. 3.3. Para um certo valor de pertencente ao intervalo 0, 2 sabe-se que: Determine 12 sin 2cos 2 13 f. 3.4. Determine a equação reduzida da reta r quando a abcissa de P é igual a 3 5. Página 4
4. Considere a função f, de domínio \ 1, definida por domínio, definida por 3 2 g 3 3. 4 f( ) 2 1 e a função g, de 4.1. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação f( ) 4. presente a resposta utilizando a notação de intervalos de números reais. 4.2. Na figura 5 estão representados, em referencial o. n. : parte do gráfico da função f; as retas r e s, assíntotas do gráfico de f ; o quadrilátero [CD]. s f Sabe-se que: é o ponto de interseção da reta r r com o eio ; D é o ponto de interseção da reta s C D com o eio ; e C são os pontos de interseção do gráfico de f com os eios coordenados. Figura 5 Determine a área do quadrilátero [CD]. 4.3. Sabendo que a função f g não tem zeros, determine os zeros da função f g. FIM Página 5
CTÇÕES GRUP I (5 10 pontos) 50 pontos GRUP II 1. 45 pontos 1.1. 10 pontos 1.2. 25 pontos 1.2.1. 10 pontos 1.2.2. 15 pontos 1.3. 10 pontos 2. 15 pontos 3. 40 pontos 3.1. 10 pontos 3.2. 5 pontos 3.3. 15 pontos 3.4. 10 pontos 4. 50 pontos 4.1. 20 pontos 4.2. 15 pontos 4.3. 15 pontos Total 200 pontos Página 6