Aula 1 p.1/25 Curso de Matemática Aplicada. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE
Sistema de números reais e complexos Aula 1 p.2/25
Aula 1 p.3/25 Conjuntos Conjunto, classe e coleção de objetos possuindo uma característica específica é fundamental em matemática Exemplo um conjunto de estações climatológicas, todas as letras do alfabeto membros ou elementos objetos individuais subconjunto qualquer parte de um conjunto conjunto vazio conjunto sem elementos
Aula 1 p.4/25 Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros
Aula 1 p.4/25 Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números Naturais ou inteiros positivos Usados para contar membros de um conjunto Inteiros Negativos e zero Permitem soluções de equações tais como em que e são quaisquer números naturais.
Aula 1 p.4/25 Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números racionais ou frações Permitem soluções como a operação de divisão numerador denominador Os números inteiros são um caso particular dos números racionais, quando
Aula 1 p.4/25 Conjunto de Números Reais Números racionais Números irracionais Tais como e são números que não são racionais, i.e., números que não podem ser expressos como
Aula 1 p.4/25 Conjunto de Números Reais Números racionais Números irracionais O conjunto de números racionais e irracionais é chamado de conjunto de números reais.
Aula 1 p.5/25 Representação decimal Qualquer número real pode ser expresso na sua representação decimal, e.g.,
Aula 1 p.5/25 Representação decimal No caso dos números racionais a expansão decimal pode terminar ou se ela não terminar um número ou um grupo de números passa a se repetir No caso dos números irracionais tais repetições não podem ocorrer, e.g.,
Aula 1 p.5/25 Representação decimal Para indicar os decimais que serão repetidos algumas vezes coloca-se pontos sobre os dígitos que estão sendo repetidos, e.g.,
Aula 1 p.5/25 Representação decimal É sempre possível considerar uma expansão de diversas formas, e.g., 1.375 1.375000000... 1.374999999...
Aula 1 p.5/25 Representação decimal O sistema decimal utiliza dez dígitos O sistema binário utiliza dois dígitos O sistema octal utiliza oito dígitos e O sistema hexadecimal utiliza os dígitos e letras Obs: O número na base decimal é expresso por na base binária.
Aula 1 p.6/25 Representação Geométrica A representação de números reais como pontos em uma reta é chamado de eixo real. Para cada número real existe uma correspondência com cada ponto dessa reta.
Aula 1 p.6/25 Representação Geométrica Conj. Denso Entre quaisquer dois números racionais (e irracionais) na reta existe infinitos números racionais (e irracionais). Obs.: No sistema de representação numérico das máquinas computacionais (ponto flutuante) não é possivel representar um conjunto denso de pontos.
Aula 1 p.7/25 Axiomas *Se, então: Lei de fechamento e Lei comutativa da adição Lei associativa da adição Lei comutativa da multiplicação Lei associativa da multiplicação Lei distributiva é chamado identidade com respeito a adição é chamado identidade com respeito a multiplicação
Aula 1 p.7/25 Axiomas Para qualquer existe. Esse número é chamado de inverso com respeito a adição e é denotado por. Para cada existe. Esse número é chamado de inverso com respeito a multiplicação e é denotado por, ou.
Aula 1 p.7/25 Axiomas Com esse axiomas é possível operar de acordo com as regras usuais da álgebra. Em geral, qualquer conjunto, como os reais, que os membros satisfazem esses axiomas é chamado de campo. Observação: Na aritmética de ponto flutuante a Lei Associativa não é válida em todos os casos, i.e., no caso geral.
Desigualdades Se. é um número não negativo, então Se não existe a possibilidade. ser, então ou ou, que significa que é um número real que pode ou qualquer número menor que. Se e são quaisquer números reais, então: ou ou ou Lei transitiva se e, então se, então Se, e, então Se, e, então Aula 1 p.8/25
Valores absolutos, é, denotado por O valor absoluto de um número real definido por ; se se. se ou Por exemplo, Propriedades ou ou Aula 1 p.9/25
Aula 1 p.10/25 Expoentes e raízes O produto de mesmo expoente e vezes é denotado por é chamado de base. de um número real em que por ele é chamado
Expoentes e raízes O produto de de um número real por ele mesmo vezes é denotado por em que é chamado expoente e é chamado de base. Propriedades Aula 1 p.10/25
Aula 1 p.10/25 Expoentes e raízes Se, em que pertence aos inteiros positivos, é chamado de p ésima raiz de, e é escrita com Pode haver mais de um número que seja a p ésima raiz de. Por exemplo, desde que e existe duas raizes reais de. É costume se denotar a raiz positiva por e a negativa por. Se e são inteiros positivos, define se.
Logaritmos Se, é chamado de logaritmo de na base escreve se como, Se e são positivos e número real para. Propriedades, então existe um único Na prática duas bases são as mais utilizadas a base e base natural, conhecida como base do sistema Neperiana. Aula 1 p.11/25
Conjunto de pontos e intervalos Um conjunto de pontos (números reais) na reta real é chamado de conjunto de pontos unidimensionais. O símbolo representa qualquer número de um conjunto e é chamado variável. Os números e são chamados constantes. é chamado de intervalo fechado e é denotado por. é chamado de intervalo aberto e é denotado por. Os conjuntos de pontos chamados de intervalos semi abertos ou semi fechados denotados por e são. Aula 1 p.12/25
Aula 1 p.12/25 Conjunto de pontos e intervalos Exemplo O conjunto de todas os que representam, i.e., é representado pelo intervalo aberto. O conjunto de também pode ser representado por. Tal conjunto é chamado intervalo infinito ou ilimitado. Similarmente, representa todos os valores de na reta real.
Aula 1 p.13/25 Enumerabilidade Conjunto enumerável seus elementos podem ser colocados em uma correspondência 1 1 com os números naturais. Por exemplo, o conjunto de números pares um conjunto contável pois eles possuem uma correspondência 1 1 com os números naturais números pares é números naturais
Aula 1 p.13/25 Enumerabilidade Um conjunto é infinito se ele tem uma correspondência 1 1 com um sub conjunto dele mesmo. Um conjunto infinito é contavelmente infinito. Por exemplo, o conjunto de números racionais é contavelmente infinito enquanto os racionais não.
Aula 1 p.13/25 Enumerabilidade O número de elementos em um conjunto é chamado de número cardinal. Um conjunto contavelmente infinito é denotado ter cardinalidade (letra aleph null do alfabeto Hebreu) O conjunto de números reais (ou qualquer outro conjunto que possa ter correspondência 1 1 com este conjunto) é dado o número de cardinalidade, chamada cardinalidade do continuum.
Aula 1 p.14/25 Vizinhança Um conjunto de todos os pontos de tais que, em que, é chamado de vizinhança de um ponto. O conjunto de todos os pontos de tais que, em que é excluído, é chamado de vizinhança de um ponto sem a fronteira.
Aula 1 p.15/25 Pontos limites Os pontos limites, pontos de acumulação ou agrupamento de um conjunto de números é um número tal que toda a vizinhança sem fronteira de contenha membros do conjunto. Em outras palavras, para todo, por menor que seja, é possível achar um membro do conjunto o qual não é igual a mas é tal que. Considerando valores menores e menores de é possível verificar-se que deve existir infinitos valores de.
Aula 1 p.15/25 Pontos limites Um conjunto finito não pode ter pontos limites. Um conjunto infinito pode ou não ter pontos limites. Um conjunto que contém seus pontos limites é chamado de conjunto fechado. Exemplo O conjunto dos racionais não é fechado. por exemplo não pertence ao conjunto de números racionais. O conjunto é fechado.
Aula 1 p.16/25 Limitadores limite superior número tal que superiormente limite inferior se inferiormente. conjunto limitado se, de um conjunto existe um, o conjunto é dito limitado, o conjunto é limitado o.
Aula 1 p.16/25 Limitadores Mínimo limite superior Se é um número tal que nenhum dos membros do conjunto é maior que, mas existe ao menos um membro que ultrapassa para todo. Máximo limite inferior Se nenhum membro do conjunto é menor que, mas pelo menos um membro é menor que para todo. O Teorema de Weistrass Bolzano estabelece que todo o conjunto infinito limitado possui pelo menos um ponto limite.
Aula 1 p.17/25 N algébricos e transcendentais número algébrico Um número uma equação polinomial que é solução de em que positivo, chamado grau da equação. são inteiros e é um inteiro Um número que não pode ser expresso dessa forma é chamado número transcendental.
Aula 1 p.17/25 N algébricos e transcendentais Exemplo Números algébricos Números transcendentais Casos ainda não definidos
Aula 1 p.18/25 Conjunto dos n complexos Como não existe um número real que satisfaça a equação polinomial ou equações similares, os números complexos foram introduzidos. Um número complexo tem a seguinte forma em que e imaginária e Dois números complexos e somente se e são números reais chamados parte real e é chamada unidade imaginaria.. e são iguais se
Aula 1 p.18/25 Conjunto dos n complexos É possível se considerar os números reais como um subconjunto dos números complexos, com. O número O valor absoluto ou módulo de. O complexo conjugado de. corresponde ao número real. O complexo conjugado de um número. é definido como é definido como é denotado de
Aula 1 p.18/25 Conjunto dos n complexos No desenvolvimento de operações algébricas os números complexos podem ser operados como se fossem números reais substituindo. Do ponto de vista da fundação axiomática dos números complexos, é desejável tratar um número complexo como um par ordenado de números reais sujeitos a certas regras de operação:
Aula 1 p.18/25 Conjunto dos n complexos Tem se que em que é o símbolo para. associado Desigualdades não são definidas para números complexos. O conjunto dos números complexos obedecem os axiomas apresentados, então esse conjunto de números constitui um campo.
Aula 1 p.19/25 Forma polar Se escalas reais são escolhidas em dois eixos mutuamente perpendiculares e (os eixos e ) é possível localizar qualquer ponto no plano determinado por essas linhas pelo par ordenado chamado de coordenadas retangulares do ponto. pode ser expresso como um par ordenado é possível presentear tal número em um plano conhecido como plano complexo ou diagrama de Argand.
Aula 1 p.19/25 Forma polar,, em que o módulo é chamado de amplitude ou argumento, é o ângulo que a linha faz com o eixo positivo de.
Forma polar conhecida como a forma polar de um número complexo, em que e são as coordenadas polares. Propriedades Para e, em que é um número real. Aula 1 p.19/25
Aula 1 p.19/25 Forma polar O Teorema de Moivre é utilizada para determinar raizes de números complexos. Se é um inteiro positivo ( ( Disto tem se que haverá diferentes valores para.
Obrigada a todos! margarete@lac.inpe.br Aula 1 p.20/25