Dependência linear e bases

Dependência linear e bases Sadao Massago 2014 Sumário 1 Dependência linear 1 2 ases e coordenadas 3 3 Matriz mudança de base 5 Neste texto, introduziremos o que é uma base do plano ou do espaço 1 Dependência linear Dado uma sequencia de vetores { v 1,, v n }, a soma dos múltiplos α 1 v 1 + + α n v n é denominado de combinação linear O conjunto de vetores gerados pela combinação linear dos elementos de S será denotados por [S] Exemplo 11 O conjunto gerado por {(1, 0), (1, 1)} é todo plano De fato, { queremos que todo x α + β vetor (x, y) é escrito na forma (x, y) α(1, 0) + β(1, 1) Então temos de modo y β que basta escolher β y e α x β x y Denição 12 Dado uma sequência de vetores { v 1,, v n }, é dito linearmente independente (abreviadamente li), se α 1 v 1 + + α n v n 0 implica em α 1 α n 0 Isto é, se a combinação linear for nula, seus coecientes devem ser nulos Como o vetor nulo pode ser obtido como a combinação linear com coecientes nulos, ser li signica que só tem uma forma de escrever o vetor nulo como combinação linear dos vetores dados Esta unicidade da representação como combinação linear pode ser generalizado como segue Proposição 13 Um conjunto { v 1,, v n } é li, se, e somente se, a combinação linear é única, isto é, li se, e somente se, α 1 v 1 + α n v n β 1 v 1 + + β n v n implica α i β i Demonstração ( ) Suponha que é li Então α 1 v 1 + α n v n β 1 v 1 + + β n v n implica que (α 1 β 1 ) v 1 + (α n β n ) v n 0 e consequentemente, α i β i 0 para todo i Logo, α i β i ( ) Seja α 1 v 1 + + α n v n 0 então α 1 v 1 + α n v n 0 v 1 + + 0 v n implica α i 0 Denição 14 O conjunto que não é linearmente independentes é dito linearmente dependentes (abreviadamente, ld) 1

Exemplo 15 {(1, 2, 1), ( 1, 1, 2), (0, 3, 3)} é ld, pois α 1 (1, 2, 1) + α 2 ( 1, 1, 2) + α 3 (0, 3, 3) α 1 α 2 0 1 1 0 (0, 0, 0) implica que 2α 1 + α 3 + 3α 3 0 na qual a matriz do sistema é 2 1 3 cuja α 1 + 2α 2 + 3α 3 0 1 2 3 determinante é nulo Então o sistema tem innitas soluções ou não tem solução Como ele tem pelo menos uma solução que é a solução nula, terá innitas soluções e tem solução não nula Assim, ele será ld (nem todos α i 's são nulas) Observando que no sistema acima, o número de variáveis é igual ao número de vetores dados e o número de equações é igual ao número de coordenadas, podemos concluir que Proposição 16 { v 1,, v n } com n maior que o número de coordenadas do vetor é ld Por exemplo, {(1, 1), ( 1, 2), (3, 1)} é ld Proposição 17 No caso de { v 1,, v n } com n igual ao número de coordenadas, é li se, e somente se, determinante da matriz formado pelos vetores forem não nulas Por exemplo, {(1, 1), ( 1, 2)} é li por ter determinante igual a 3 Teorema 18 O conjunto { v 1,, v n } é ld se, e somente se, algum dos vetores é combinação linear dos restantes Demonstração ( ) Suponha α 1 v 1 + + α n v n 0 de modo que α i 0 para algum i Então temos α i v i α 1 v 1 α i v i α n v n onde α i v i signica que é para omitir α i v i nesta soma Como α i 0, podemos dividir por ele e obter v i α 1 α i v 1 α i α i v i αn α i v n o que conclui que v i é uma combinação linear dos restantes ( ) Se v i β 1 v 1 + + β i v i + +β n v n, podemos escrever β 1 v 1 + +( 1) v i + +β n v n 0 que é uma combinação linear na qual coeciente de v i não é nula Corolário 19 Dois vetores não nulos é ld se, e somente se, um for múltiplo do outro Exercício 110 Mostre que {(1, 2, 1), (2, 1, 3)} é li Exercício 111 Mostre que {(2, 4, 2), (3, 6, 3)} é ld Exercício 112 Mostre que { 0, v 2,, v n } é ld Quando o vetor esta escrito em coordenadas, a forma rápida de descobrir se é li ou ld é através do escalonamento Pelo Teorema 18, um conjunto de vetores é ld se tiver pelo algum vetor escrito como combinação linear dos restantes Se montar uma matriz cuja linhas são vetores dados, isto signica que alguma linha é combinação linear das outras linhas Assim, se efetuar escalonamento nestas matrizes, aparecerá a linha nula Isto ajuda na determinação da dependência linear com vetores de mais de 3 coordenadas (que não será estudado na geometria analítica) ou determinar qual vetores está sobrando no conjunto para ser conjunto li Exercício 113 Através do processo de escalonamento, verique que {(2, 1, 1), (3, 0, 1), (1, 1, 0)} é ld Exemplo 114 Determine um subconjunto li de {(2, 1, 1), (3, 2, 1), (1, 1, 2), ( 1, 0, 2)} com maior número de vetores Como tem mais vetores que número de coordenadas, é ld, mas precisamos saber quais vetores estão sobrando, ou seja, quem vai anular pelo escalonamento Colocando os vetores nas linhas e montando a matriz, temos 2

3 2 1 1 1 2 1 0 2 Escalonando A matriz do sistema é 1a 2a 3a 4a 3 2 1 1 1 2 1 0 2 L 2 2L 2 3L 1 L 3 2L 3 L 1 L 4 2L 4 + L 1 2L 2 : 6 4 2 3L 1 : 6 3 3 ( ) 1a 2a 3a 4a 1a 2a 3a 4a 1a 2a 4a 3a 0 1 3 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2L 3 : 2 2 4 L 1 : ( ) 2L 4 : 2 0 4 L 1 : (+) L 3 L 3 L 2 L 4 L 4 L 2 L 3 L 4 0 1 3 A linha que anulou corresponde ao terceiro vetor Logo, 3o vetor que está sobrando Então o gerador li é {(2, 1, 1), (3, 2, 1), ( 1, 0, 2)} que é o maior subconjunto li 2 ases e coordenadas Um conjunto li de vetores que gera todo plano ou espaço é chamado de base do plano ou do espaço Proposição 21 Dois vetores li gera o plano Demonstração Considere os vetores{ v 1, v 2 } Sejam v 1 (a 1, b 1 ) e v 2 (a 2, b 2 ) Dado (x, y) R 2, queremos que (x, y) { α v 1 + β v 2 α(a 1, b 1 ) + β(a 2, b 2 ) para algum a, b Isto signica que a 1 α + a 2 β x queremos que o sistema tenha pelo menos uma solução Como o conjunto é b 1 α + b 2 β y li, o matriz do sistema tem determinante não nula e consequentemente, tem uma única solução (logo, tem solução) Teorema 22 { v 1,, v n } no R n for li, então é uma base 3

Demonstração Considere o vetor v (x 1,, x n ) R n Queremos que v α 1 v 1 + + α n v n para algum α i Isto signica que o sistema [[v 1 ] [ v n ]] α 1 α n [ v] tenha uma solução Como o conjunto é li, o matriz do sistema que é matriz formado pelos vetores tem o determinante diferente de zero Logo, tem pelo menos uma solução (logo, tem solução) Proposição 23 Um único vetor não gera o plano { x λa Demonstração Seja dado um vetor v (a, b) e (x, y) λ(a, b) Então implica que y λb ay bx Como existem pontos do plano que não satisfaz a equação ay bx que é equação da reta Os pontos que são soluções da equação ay bx + 1 não é gerado pelo vetor v Assim, um único vetor não deve gerar o plano todo Assim, a base do plano é composta exatamente de 2 vetores li coordenadas Isto acontece para n Teorema 24 Se um conjunto S { v 1,, v n } gera R m, então qualquer conjunto com mais de n vetores é ld Demonstração Considere S { w 1,, w p } com p > n e queremos mostrar que S é ld, isto é, se α 1 w 1 + α p w p 0 tendo algum α i diferente de zero Como S gera R m, podemos escrever w 1 w p a 11 v 1 + + a n1 v n a 1p v 1 + + a np v n Assim, α 1 (a 11 v 1 + + a n1 v n ) + + α p (a 1p v 1 + + a np v n ) 0 de onde (α 1 a 11 + + α p a 1p ) v 1 + + (α 1 a n1 + + α p a np ) v n 0 Para isso, basta que α 1 a 11 + + α p a 1p 0 na qual tem pelo menos uma solução (solução nula) Como α 1 a n1 + + α p a np 0 p > n, tem mais equações do que incógnitas e consequentemente tem innitas soluções Consequentemente, tem a solução não nula para α i e portanto S é ld Com isso, temos que Corolário 25 A base de R n tem exatamente n vetores li Em particular, a base de espaço é composta de exatamente três vetores li Em virtude da Proposição 13, os vetores é escrito unicamente como combinação linear dos elementos da base Denição 26 Seja { v 1,, v n }, uma base Se v a 1 v 1 + + a n v n então ( v) (a 1,, a n ) é denominado de coordenada do vetor v na base e escrevemos v (a 1,, a n ) O vetor em coordenadas também pode ser denotado como sendo matriz coluna [ v] a 1 a n 4

a 1 ou v a n Quando a base estiver evidente, podemos abreviar o e escrever simplesmente como sendo v (a 1,, a n ) a 1 a n Exemplo 27 Seja {(1, 1), (1, 1)} Escreva { o vetor (2, 3) em coordenadas da base 2 a + b Queremos que (2, 3) a(1, 1) + b(1, 1) então 3 a b Assim, 5 2a a 5 2 Daí, b 2 a 2 5 1 2 2 Portanto, v ( [ 5, ) 5 ] 1 2 2 e sua forma matricial é v 2 1 2 3 Matriz mudança de base Para calcular as coordenadas de um vetor, costumamos usar a matriz mudança de base Considere a base A {v 1,, v n } e {w 1,, w n }, bases de R n Então podemos escrever os vetores de como sendo combinação linear dos elementos de A w 1 a 11 v 1 + + a n1 v n w n a 1n v 1 + + a nn v n Dado um vetor v (b 1,, b n ), temos que v b 1 w 1 + +b n w n b 1 (a 11 v 1 + +a n1 v n )+ + b n (a 1n v 1 + + a nn v n ) Fatorando em v i 's, temos que v (b 1 a 11 + + b n a 1n )v 1 + + b 1 a 11 + + b n a 1n (b n a n1 + + b n a nn )v n e as coordenadas de v na base A será [ v] A b n a 1n + + b n a nn a 11 a 1n b 1 a 11 a 1n MA [ v] onde MA [[ w 1 ] A [ w n ] A ] é chamado a n1 a nn b n a n1 a nn de matriz mudança de base de base para A, pois a multiplicação deste matriz nas coordenadas escrito na base fornece as coordenadas escrito na base A Note que existem autores que invertem esta nomenclatura, denominando MA de matriz mudança de base de A para, o que requer cuidados No entanto, independente do nome dado, [ v] A MA [ v] Observação ( 31 A matriz mudança de base é inversível (exercício) e como [ v] A MA [ v] implica que MA) 1 [ v]a [ v] de modo que M A ( 1 MA) Também temos que, se A, e C são bases, então MC A M C M A Caso particular da mudança de base quando uma das bases é base canônica tem interesse especial Dado uma base { v 1,, v n }, então M β [[ v 1 ][ v n ]] é a matriz mudança de base de para canônica, tendo a propriedade de [v] M [v] Pela observação anterior, também [v], o que permite obter rapidamente as coordenadas do vetor na base M 1 M A temos que [v] M 1 dada Também podemos obter a mudança de base A para por M A Exemplo 32 Obtenha a matriz mudança de base de A {(1, 1), (1, 1)} para [ ] 1 1 {( 1, 1), (1, 1)} Colocando os vetores da base nas colunas, temos que M A 1 1 [ ] [ ] 1 1 1 1 1 e M Como M 1 1 A M 1 M A, calculemos o M 1 M 1 1 1 5

[ 1 1 det M [ 1 0 0 1 ] 1 ] 1 1 1 2 [ ] 1 1 Logo, M 1 1 A M 1 M A 1 2 [ ] [ ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 [ ] 2 0 0 2 Dado uma base { v 1,, v n },dizemos que ele é uma base ortonormal se v i v j 0 para i j (vetores da base são ortogonais entre si) e v i 1 (todos são versores) Uma base no plano é de orientação positiva se a rotação do primeiro vetor para o segundo for no sentido anti-horário (para esquerda) e no espaço, uma base é positiva quando satisfaz a regra da mão direita Para R n, considera-se que a base canônica tem a orientação positiva e é positiva se det M > 0 Apesar da fórmula da soma e do produto por escalar em coordenadas funcionar em qualquer base, a fórmula de cálculo das normas ( (x 1,, x n ) x 2 1 + + x 2 n ) e do produto escalar ( (x 1,, x n ) (y 1,, y n ) x 1 y 1 + + x n y n ) requer que as coordenadas estejam na base ortonormal e a fórmula do cálculo do produto vetorial como determinante requer que a base seja ortonormal positiva Quando está escrito na base qualquer, podemos obter a coordenada na base canônica através da mudança de base e efetuar cálculos Exemplo 33 Seja {(1, 1), (1, 1)} uma base Obtenha (1, 2) (2, 1) Temos que (1, 2) (1, 1)+2(1, 1) (3, 1) e (2, 1) 2(1, 1)+(1, 1) (3, 1) Logo, (1, 2) (2, 1) (3, 1) (3, 1) 9 1 8 Exercício 34 Considere a base {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} uma base (1, 2, 1) (0, 2, 1) escrito como coordenadas na base Obtenha Referências [1] oldrini, José L et al, "Álgebra Linear", Editora Harbra Ldta, 1986 [2] Santos, Reginaldo J, "Matrizes, Vetores e Geometria Analítica", Imprensa Universitária da UFMG, 2010 [3] oulos, Paulo e Camargo, Ivan de, "Geometria Analítica, um tratamento vetorial", McGraw-Hill, 1987 [4] aldin, Yuriko Y e Furuya, Yolanda, Geometria Analítica para Todos e Atividades com Octave e GeoGebra, EdUFSCar, 2011 6