Termodinâmica II - FMT 259 Diurno e Noturno, primeiro semestre de 2009 Lista 2 (Entregar até dia 19 de março) Leia o capítulos 1.2 e 1.3 do livro-texto e resolva os exercícios abaixo: 1. Que hipóteses são feitas a respeito da constituição de um gás, na teoria cinética? Ler seção 11.2 (página 241) do livro Curso de Física Básica vol. 2 Moysés Nussenzveig 2. Uma molécula de N 2, cuja massa molecular é 28 g/mol, colide elasticamente com a parede do recipiente em que está contida com uma velocidade de 470 m/s, fazendo um ângulo de 55 o com a direção normal. Qual é o impulso transmitido à parede? Da denição de impulso temos que I = p. (1) Chamaremos a direção paralela à parede de direção x. Como a única força que atua na molécula durante a colisão é a força normal, que está na direção x, então, só a componente x do momento é alterada e portanto o impulso é transmitido apenas na direção x (I y = I z = 0). I x = 2 m v cos θ, (2) onde θ é o angulo entre o vetor velocidade e a normal ao plano da parede, ou seja o eixo x. Substituindo os valores do enunciado na equação acima teremos I x = 2, 5 10 23 N s. (3) 3. Uma caixa cúbica de 1,0 cm de aresta contém ar à pressão atmosférica, temperatura de 295 K e cuja densidade é 1,29 kg/m 3. Estime o número de colisões moleculares por segundo nas paredes da caixa. Seja S um elemento de superfície da parede perpendicular ao eixo da colisão. Em um intervalo de tempo, as moléculas com velocidade v i que estão próximas o suciente da parede ( mais especicamente, apenas as moléculas que estão contidas num volume v i S ) colidirão com a superfície. Entretanto há moléculas se aproximando e se afastando da parede. Se assumirmos igual probabilidade, metade das partículas se aproximam e metade se afastam em relação a superfície. De maneira que o número de colisões nas paredes devido as moléculas com velocidade v i é tipo i = 1 2 n i v i S, (4) sabendo que S = 6L 2, o número de colisões totais nas paredes por unidade de tempo é = 1 2 6L2 i n i v i, (5) onde L é o tamanho da aresta da caixa. O valor médio de v, que indicaremos por v, é por denição a média ponderada i v = n i v i i n, (6) i 1
sabendo que i n i = n, teremos devido a isotropia da distribuição de velocidades temos = 1 2 6L2 n v, (7) v = 1 3 v, (8) lembrando que n = N/V = N/L 3, teremos = N L v. (9) Agora nos resta calcular v. Vamos estimar o valor da velocidade média pelo valor da velocidade quadrática média V qm = v 2 que vale v V qm = ρ, (10) Portanto N L ρ = α N a L ρ, (11) onde α é o número de mols do gás e N a é o número de avogadro. Assumindo que o ar é um gás ideal, então um mol de gás ideal ocupa um volume de 22, 415 l = 22, 415 10 3 m 3, portanto no volume L 3 = 1, 0 10 6 m 3 estão contidos α = 4, 461 10 5 mols de ar. E o número de colisões nas paredes é 1, 29 10 24 colisões/s. (12) 4. Um feixe molecular de oxigênio contendo 10 10 moléculas/cm 3, com velocidade média de 500 m/s, incide sobre uma placa segundo um ângulo de 30 o com a normal da placa. Calcule a pressão exercida pelo feixe sobre a placa, supondo as colisões perfeitamente elásticas. A pressão de um gás se deve as colisões entre as partículas constituintes do gás e as paredes. Sendo essa colisão elástica, o momento transferido à parede é p = 2 m v, onde o simbolo signica a componente perpendicular a superfície. A força total exercida na parede é o momento transferido pela colisão de uma única particula vezes número de colisões nas paredes por segundo. O cálculo para obter o número de colisões por segundo nas paredes é analogo ao item anterior. Seja S um elemento de superfície da parede perpendicular ao eixo da colisão. Em um intervalo de tempo, as moléculas com velocidade v i que estão próximas o suciente da parede ( mais especicamente, apenas as moléculas que estão contidas num volume v i S ) colidirão com a superfície. Como trata-se de um feixe de moléculas, todas elas se aproximam da parede. Portanto o número de colisões nas paredes devido as moléculas com velocidade v i é O momento total transferido pelas colisões com S durate é = n i S v i. (13) p i total = () p i = 2 n i m v 2 i S. (14) Assim a força devido as moléculas com velocidade v i é a taxa de variação do momento F i = p i total / tal que F i = 2 n i m v 2 i S, (15) portanto a pressão devido as moléculas com velocidade v i nas paredes é dada por P i = 2 n i m v 2 i, (16) 2
tomando a média, teremos a pressão exercida pelo feixe sobre a placa P = 2 n m v, 2 (17) como v = v cos 30 o e a massa molar do O 2 é 32 g/mol então, P 2, 0 10 4 P a. (18) 5. Calcule a velocidade quadrática média (V qm ): (a) de moléculas do gás de Bi, cuja massa é 3,47 10 22 g, à temperatura de 2,7 10 7 K (em uma experiência de condensação de Bose-Einstein, um gás de Bi é resfriado em uma armadilha magneto-óptica à essa temperatura) 1 ; (b) de partículas de poeira com massa de 1,0 10 13 g, suspensas no ar à temperatura de 295 K; (c) de um vírus, com massa de 2,0 10 17 g, imerso no sangue à temperatura de 310 K. Pelo teorema da equipartição da energia temos que onde k B é a constante de Boltzmann 1 2 m v2 = 3 2 k BT, (19) V qm = v 2 3k B T = (20) m (a) A velocidade quadrática média (V qm ) das moléculas do gás de Bi, cuja massa é 3,47 10 22 g, à temperatura de 2,7 10 7 K é V qm = 5, 67 10 3 m/s. (21) (b) Assumindo que as partículas de poeira estão em equilíbrio térmico com as partículas que compõem o ar, temos que a velocidade quadrática média (V qm ) de partículas de poeira com massa de 1,0 10 13 g, suspensas no ar à temperatura de 295 K é V qm = 1, 1 10 2 m/s. (22) (c) Assumindo que o víru está em equilíbrio térmico com as partículas que compõem o sangue, temos que a velocidade quadrática média (V qm ) de um vírus, com massa de 2,0 10 17 g, imerso no sangue à temperatura de 310 K é V qm = 0, 8 m/s. (23) Desao aos que tiverem mais tempo Pressão da radiação Pressão de radiação é a pressão exercida sobre uma superfície devido à incidência de uma onda eletromagnética. Uma onda eletromagnética possui momento, embora não tenha massa e se mova sempre a velocidade da 1 Um condensado de Bose-Einstein é um novo estado da matéria observado a temperaturas muito baixas, próximas do zero absoluto. Nestas temperaturas os átomos colapsam (ou condensam) no estado mínimo de energia possível, e adquirem um comportamento coletivo, suas identidades se fundem. A possibilidade da existência deste estado da matéria foi prevista por Albert Einstein em 1925, em um trabalho onde adapta cálculos estatísticos feitos pelo um físico indiano Satyendra Nath Bose para partículas com massa. O Condensado de Bose-Einsten permaneceu apenas como uma possibilidade teórica por cerca de 70 anos até que, em 1995 físicos da Universidade do Colorado conseguiram observar pela primeira vez sua formação, usando um gás de átomos de rubídio resfriados à 170 nanokelvins (nk). Os Condensados de Bose-Einstein apresentam diversos comportamentos estranhos, como uir para fora do seu recipiente, muitos deles ainda não completamente compreendidos. Estudar suas propriedades, do ponto de vista teórico e experimental vem mobilizando muitos cientistas nos dias de hoje; Condensados de Bose-Einstein já foram produzidos na USP de São Carlos e são estudados do ponto de vista teórico por vários pesquisadores do IFUSP. 3
luz, c. Além de se comportar como uma onda, em muitas situações a luz também se comporta como uma partícula, conhecida hoje como fóton. Os fótons estão sempre à velocidade c, e carregam um momento p = E/c 2. A energia E do fóton está associada à frequência da luz, de modo que, embora sempre se movam com a mesma velocidade, fótons associados a luzes de diferentes cores tem momentos diferentes 3. Suponha que tenhamos um grande número de fótons presos em um recipiente (uma estrela muito quente, por exemplo). (a) Repita o cálculo que zemos para calcular a pressão de um gás, agora calculando a pressão da radiação: não substitua o momento p x de uma partícula de luz por mv x, mas por E/c, e mostre que, para um gás de fótons, P V = U/3, onde U é a energia dos fótons. A pressão de um gás se deve as colisões entre as partículas constituintes do gás e as paredes. Sendo essa colisão elástica, o momento transferido à parede é p = 2 m v = 2 p, onde o simbolo signica a componente perpendicular a superfície. Agora precisamos do número de colisões por segundo. Seja ds um elemento de superfície da parede perpendicular ao eixo da colisão. Em um intervalo de tempo dt, as moléculas com velocidade v i que estão próximas o suciente da parede ( mais especicamente, apenas as moléculas que estão contidas num volume v i dt ds ) colidirão com a superfície.entretanto há moléculas se aproximando e se afastando da parede. Se assumirmos igual probabilidade, metade das partículas se aproximam e metade se afastam em relação a superfície. De maneira que o número de colisões nas paredes devido as moléculas com velocidade v i é O momento total transferido pelas colisões com ds durate dt é = 1 2 n i ds v i dt (24) dp i = 2p i (25) A força devido as moléculas com velocidade v i é a taxa de variação do momento F i = dp i /dt sendo assim portanto a pressão nas paredes é dada por tomando a média, e levando em consideração a isotropia do espaço F i = n i p i v i ds, (26) P i = n i p i v i (27) P = 1 n pv. (28) 3 A velocidade dos fotons é a velocidade da luz. Então o termo pv na expressão acima representa a energia E = pc de um único fotons. Além disso, sabemos que n = N/V. Portanto P = 1 N 3 V E. (29) P V = 1 3 U (30) onde U = NE é a energia interna total do gás. (b) Qual seria o equivalente da expressão P V γ = C, válida em transformações adiabáticas em um gás ideal, neste caso 4? 2 Para entender essa expressão para o momento de um fóton, veja um texto básico de relatividade (Moysés, Halliday, etc.). 3 Uma experiência simples sobre pressão de radiação pode ser feita em classe no ensino médio. Veja por exemplo o sítio "The Radiation Pressure of Light", from The Wolfram Demonstrations Project, http://demonstrations.wolfram.com/theradiationpressureoflight, acessado em 05/03/2010. 4 Veja, por exemplo, o capítulo 39-3 (Compressibility of Radiation), do livro The Feynman Lectures on Physics, vol 1. Talvez você precise recordar como se mostrou que P V γ = Constante no curso de termodinâmica I para fazer esse item! 4
Suponha a seguinte relação P V = 1 3 U. (31) A primeira lei da termodinâmica em transformações adiabáticas ( Q = 0) temos que substituindo a equação (31) na (32) teremos du = P dv, (32) du U = 1 3 dv V, (33) ln U = 1 3 ln V + C, (34) que vale a igualdade U = C V 1 3, (35) substituindo esse resultado na equação (31) teremos P V = C V 1 3, (36) P V 4 3 = C. (37) Essa é uma outra aplicação da teoria cinética dos gases, muito usada em astronomia e astrofísica: permite calcular qual a contribuição da pressão de radiação em uma estrela, e como ela muda quando a estrela se expande (ou é comprimida). Uma estrela "em equilíbrio", como o Sol, está sob a ação de forças que tendem à contrai-la e de forças que tendem à expandi-la. O equilíbrio se dá quando essas tendências opostas se equilibram por um longo tempo - alguns bilhões de anos - até que eventualmente uma delas vence a disputa (e o sistema sai do equilíbrio). A única força atrativa que pode fazer a estrela se contrair é a gravidade. Já a tendência à expansão é devida a mais de um fator, e os mais importantes são a pressão térmica, a pressão de radiação e a pressão quântica. A pressão térmica é a pressão usual, devida ao movimento das partículas (com massa) que compõe a estrela. Em muitos casos, como o do Sol, é a mais importante. Em estrela mais quentes que o Sol, porém, o efeito da pressão de radiação (que pode ser calculada como você acabou de fazer) é preponderante; a chamada pressão quântica, importante para entender o equilíbrio, por exemplo, de estrelas conhecidas como Anãs Brancas, é uma força repulsiva devido a um princípio quântico conhecido como princípio de exclusão de Pauli, que diz que se os elétrons se aproximarem muito um dos outros, devem ter velocidades muito diferentes, o que causa uma expansão. Essa pressão, que tem origem na degenerescência do elétron, não depende da temperatura, mas da densidade. 5