APLICAÇÕES NA DINÂMICA5

APLICAÇÕES NA DINÂMICA5 Gil da Costa Marques 5.1 Introdução 5. O Moimento uniforme 5.3 O moimento uniformemente ariado 5.4 O problema eral 5.5 Equações básicas do moimento 5.6 Trajetória do projétil 5.7 Altura máxima (h) 5.8 Tempo de queda ou de oo 5.9 Alcance do Projétil 5.1 Casos particulares 5.1.1 Lançamento na ertical 5.1.1.1 Lançamento para cima ( y = ) 5.1.1. Lançamento para baixo ( y = ) 5.1.1.3 Queda lire ( y = ) 5.1. Lançamento na horizontal 5.1.3 Lançamento a partir do solo Licenciatura em Ciências USP/ Uniesp

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 97 5.1 Introdução As aplicações mais simples e interessantes das funções polinomiais dizem respeito ao estudo dos moimentos quando estes se dão de forma que a força sobre um determinado corpo seja constante, tanto ao lono de uma cura no plano quanto no espaço. 5. O Moimento uniforme Num moimento ao lono de uma cura predeterminada, quando a soma das forças que aem sobre o corpo for não nula, mas de tal forma que a componente da força ao lono da direção tanencial à cura seja nula, classificamos esse moimento como uniforme. Fiura 5.1: Gráficos do espaço e da elocidade escalar no moimento uniforme. Galileu definiu o moimento uniforme tal qual o fazemos ainda hoje: é aquele para o qual a distância percorrida pelo móel é proporcional ao tempo despendido para percorrê-la. Assim, num moimento uniforme, os espaços e a elocidade (constante) ariam com o tempo de acordo com as expressões: st () = t+ s t () = 5.1 onde e s são, respectiamente, elocidade e espaço inicial. Nesse caso, o coeficiente do termo de primeiro rau, isto é, o coeficiente anular do polinômio do primeiro rau é a elocidade do moimento.

98 Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 Exemplos Exemplo 1 Consideremos o caso em que dois automóeis estejam inicialmente a uma distância de 4 quilômetros um do outro na mesma estrada. Suponhamos que a elocidade de cada um, em alor absoluto, seja constante, 6 km/h e 1 km/h, respectiamente. Temos dois casos a considerar, conforme o sentido dos dois moimentos seja o mesmo ou não, a fim de determinar o tempo para que os dois eículos se encontrem. No caso em que os automóeis se moimentam no mesmo sentido, especificado pelo mesmo sinal da elocidade, podemos escreer para cada um dos eículos: s () t = 6t+ 4 + s 1 s () t = 1t+ s 5. Fiura 5.: Condições iniciais do moimento de dois eículos em moimento uniforme. Na situação considerada, as unidades de tempo e de espaço serão a hora e o quilômetro, respectiamente. Ademais, nas expressões acima, partimos do pressuposto de que o eículo mais lento está na frente do mais rápido e de que as distâncias são medidas a partir de um ponto de referência comum a ambos, no qual t =, e que dista s do ponto onde se encontra o automóel mais rápido. O ponto de encontro é caracterizado pelo tempo de encontro t E, instante em que os espaços percorridos são iuais. Temos, portanto, s ( t ) = s ( t ) 1 E A iualdade acima ocorre quando as duas retas, que são os ráficos associados aos dois moimentos, se cruzam. O tempo de encontro é dado, portanto, por: 6t + 4 + s = 1t + s t = 1 E E E ou seja, após 1 hora, os dois eículos se encontram. O primeiro terá rodado 6 quilômetros durante esse interalo de tempo enquanto o seundo terá rodado 1 quilômetros. E 5.3 5.4 Fiura 5.3: Gráficos do espaço tempo e o instante do encontro entre os dois eículos. 5 Aplicações na Dinâmica

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 99 No caso em que os dois automóeis se moimentam em sentidos opostos, as equações horárias são: s () t = 6t+ 4 + s 1 s () t = 1t+ s 5.5 E, portanto, 1 6tE + 4 + s = 1tE + s te = 4 5.6 ou seja, após 1/4 hora, isto é, 15 minutos, os dois eículos se encontram. 5.3 O moimento uniformemente ariado Existem duas definições para o que denominamos moimentos uniformemente ariados. Na primeira delas, dizemos que tais moimentos ocorrem quando a força (ou a soma das forças) é constante. A seunda definição diz que são moimentos ao lono de uma cura em que a componente da força na direção tanencial à cura é constante. Essa seunda definição se aplica apenas ao caso específico do moimento que se dá ao lono de uma cura predefinida. Como se ê, essas definições não são equialentes. De acordo com a definição de aceleração, podemos escreer, no seundo caso de moimento uniformemente ariado: F m = a, 5.7 onde F é a componente tanencial da força (admitida constante). A elocidade escalar da partícula depende do tempo de acordo com uma função afim ou polinomial do primeiro rau, cujos parâmetros são a aceleração (o coeficiente anular da reta) e a elocidade inicial (o alor da ordenada quando a reta cruza esse eixo). Explicitamente, escreemos: a t = + 5.8

1 Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 A dependência do espaço em relação ao tempo é dada por uma função polinomial do seundo rau: s t a t + t s, ()= + 5.9 onde aora s e representam, respectiamente, o espaço inicial e a elocidade escalar inicial. Nesse tipo de moimento, podemos erificar que, se a aceleração for positia (ou neatia), a concaidade da parábola - ráfico da função estabelecida em 5.9 - será positia (ou neatia). Em alum instante de tempo, aqui denominado t, o corpo cujo moimento estamos analisando estará na oriem dos espaços. Esse tempo é dado por: a t + t + s =. 5.1 Assim, nesse caso, as raízes estão associadas aos tempos que correspondem à passaem da partícula pela oriem. Como sabemos, pode ocorrer o caso de haer dois instantes de tempo (quando a partícula ai e olta); nesse caso, > a s, ou seja, o discriminante da equação do seundo rau é positio. Pode acontecer também o caso de haer apenas um instante de tempo, o que ocorre quando = a s, ou seja, o discriminante da equação do seundo rau é nulo. Esse é o caso de uma raiz apenas do polinômio de seundo rau. Finalmente, pode haer o caso em que nenhum instante de tempo satisfaça a condição 5.1. Este último caso ocorre quando < a s, isto é, o discriminante da equação do seundo rau é neatio e, nesse caso, o polinômio não terá raízes. Os pontos de máximo ou mínimo têm um sinificado físico especial, uma ez que o instante t em que isso ocorre é aquele para o qual a elocidade se anula, isto é, para o instante em que o espaço é máximo ou mínimo, temos: t a m = 5.11 o que implica que, nesse instante de tempo, a elocidade se anula: ( t )= at + = m m 5.1 5 Aplicações na Dinâmica

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 11 Isso sinifica que, no instante de tempo associado ao máximo ou mínimo, temos uma inersão do moimento, o qual se refletirá na inersão do sinal da elocidade. Assim, nesse instante, a partícula inerte o sentido do moimento. Exemplo Os espaços ocupados por uma partícula que se moimenta ao lono do eixo Ox são dados pela função x(t) = t ² 4t 5, onde a coordenada x é expressa em metros e o tempo t, t, em seundos. a. Em que instante(s) a partícula passa pela oriem dos espaços? b. Esboce o ráfico cartesiano que ilustre a ariação do espaço percorrido em função do tempo. c. Determine o instante em que ocorre a inersão do moimento da partícula. Resolução: a. A função x(t) = t ² 4t 5 é uma função polinomial do seundo rau (cuja forma eral é y = ax² + bx + c). Na oriem, o espaço é x = ; loo, para saber os instantes em que a partícula passa pela oriem, determinam-se as raízes de x(t) = t² 4t 5 =. Para tanto, podemos utilizar a fórmula de Baskara: b b ac b x = ± 4 = ± a a No presente caso, Loo, Δ = ( 4)² 4(1)( 5) = 16 + = 36 e 36 = 6. t = ( 4)± 6 4 = ± 6 1. () Temos então duas raízes possíeis: 4 6 t 1 = + 4 6 = 5 e t = = 1, que fornecem os instantes de tempo medidos em seundos. A raiz t = 1 dee ser descartada, pois t (o tempo será assumido sempre positio). Portanto, a partícula passa pela oriem no instante t = 5 seundos.

1 Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 b. O ráfico cartesiano da função polinomial de seundo rau é uma parábola. Para desenhá-la podemos, por exemplo, construir uma tabela de alores (os mais sinificatios), a partir de x(t) = t² 4t 5: Tabela 5.1: Coordenadas para diersos alores do tempo. t(s) 1 3 4 5 6 7 8 x(m) 5 8 9 8 5 +7 16 7 Obsere que, matematicamente, a parábola tem existência no semieixo neatio, isto é, para alores neatios da ariáel independente. Mas, no caso, como o domínio da função é constituído pelos alores do tempo t tais que t, considera-se o trecho da parábola que se encontra no semieixo positio, isto é, para alores positios da ariáel independente. O eixo de simetria é a reta paralela ao eixo das ordenadas, que passa por t = e define o ponto de máximo ou de mínimo; dobrando-se a fiura por essa reta, um ramo da parábola se sobrepõe ao outro. c. O instante em que ocorre a inersão de moimento é o ponto de mínimo ou de máximo da função quadrática. No presente caso, isso ocorre no instante de tempo t = e x() = x min = 9. No interalo t, a partícula se afasta da oriem cada ez mais lentamente; para t >, a partícula se aproxima e passa pela oriem (t = 5), afastando-se, em seuida, cada ez mais rapidamente. Exemplo 3 Os espaços ocupados por dois pontos materiais A e B (os quais denominaremos corpos), que se moem ao lono de uma cura, têm coordenadas espaços que são expressas, em função do tempo, da seuinte maneira: s A = + 5t e s B = 3t 5 t ², Fiura 5.4: Gráfico da função x(t) = t ² 4t 5, no qual é possíel isualizar a posição da partícula em função do tempo. onde S é dado em metros (m) e o tempo t (t ) em seundos, sendo os espaços determinados a partir de uma oriem comum. a. Qual a posição (ou espaço s ) ocupada pelos pontos materiais no instante t =? b. Qual a distância entre eles? E qual se encontra à frente? c. Em que instante os objetos estarão lado a lado? d. Esboçar, num mesmo diarama, os ráficos cartesianos que representam as funções que caracterizam os moimentos. Resolução: a. No instante t =, o corpo A ocupa a posição s A = + 5 () = e o corpo B, a posição s B = 3() 5 ()² = (ele se encontra na oriem dos espaços). 5 Aplicações na Dinâmica

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 13 b. Δs = s B s A = () = ou, inertendo, Δs = s A s B = = (o corpo A encontra-se metros à frente de B). c. Quando estierem lado a lado, as suas posições serão iuais, ou seja, s A = s B. Então, iualando-se as duas equações, temos: donde: + 5t = 3t 5t² t ² 5t + 4 =, cujas raízes são: t 1 = 1 s e t = 4 (ambas pertencentes ao domínio constituído pelos alores de t tais que t ). Isso sinifica que os corpos estarão lado a lado nesses dois instantes. Em quais posições? Para saber, basta substituir esses alores, em s = + 5t e em s B = 3t 5 t ², obtendo, respectiamente, s A = 5 e s B = 4, que representam as posições dos corpos para os espaços expressos em metros. d. A Fiura 5.5 mostra os pontos onde os corpos estão lado a lado. Vale obserar que, para alores de t tais que t < 1, o corpo A encontra-se à frente de B. Para 1 < t < 4, o corpo B está à frente de A; para a posição do corpo B, cuja equação é polinomial de seundo rau, o ponto de máximo ocorre em t = 3 s B = 45; nesse ponto, ocorre uma inersão de moimento: o corpo B começa a retroceder (olta para a oriem) e é ultrapassado pelo corpo A no instante t = 4 (como sempre, em todo o exercício, t é dado em seundos (s) e s é dado em metros (m)). Fiura 5.5: Os pontos onde os ráficos se cruzam indicam as coordenadas espaços onde os corpos A e B estão lado a lado. 5.4 O problema eral Ao tratar do moimento de projéteis, consideraremos a superfície da Terra como se fosse plana. Para os fenômenos corriqueiros aqui estudados, essa aproximação é muito boa. Consideraremos um sistema cartesiano de tal forma que o eixo x seja paralelo ao solo e o eixo y seja ortoonal a ele. A situação física que ostaríamos de estudar neste momento é a seuinte: um projétil (uma bola de beisebol, por exemplo) é lançado de um ponto num certo instante de tempo. Seja o instante de tempo dado por t = t, e sejam (x, y ) as coordenadas cartesianas do ponto de lançamento do projétil.

14 Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 Admitamos que ele seja lançado com uma elocidade inicial tal que suas componentes sejam dadas por: x e y 5.13 Fiura 5.6: Para pequenas altitudes a força da raidade se mantém constante. Suponhamos ainda que ele seja lançado a partir de uma altura h. Essa é a altura do lançamento. Assim, o ponto de lançamento do projétil tem coordenadas cartesianas dadas por: ( )= ( ) x, y x, h. 5.14 Muitas ezes especificamos as condições iniciais do moimento a partir do módulo da elocidade inicial e do ânulo θ, definido como o ânulo formado pelo etor elocidade com a horizontal (eixo x). Esse ânulo é conhecido como ânulo de tiro. Assim, outra forma de especificar as condições iniciais, em relação à elocidade inicial, é por meio das randezas (,θ ). As componentes do etor elocidade inicial são relacionadas a estas últimas por meio das relações: Fiura 5.7: Ânulo de tiro. = cosθ x 5.15 = senθ. y 5.16 5 Aplicações na Dinâmica

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 15 Veremos a seuir que é possíel, a partir dos dados já fornecidos, isto é, das condições iniciais, preer a posição da partícula, bem como a sua elocidade para qualquer instante de tempo. No mais das ezes, após o lançamento, ocorrem dois acontecimentos importantes. O primeiro deles (que ocorre sempre) é a queda do objeto. Seja t q o instante de tempo em que ocorre a queda do projétil; o tempo de oo é definido como o tempo no qual ele estee iajando. Ele é dado pela diferença entre os instantes de tempo da queda (t q ) e do lançamento (t ): t = t t. q 5.17 Durante o tempo do percurso ou tempo de oo, o projétil percorre uma distância horizontal conhecida como alcance. O seundo acontecimento importante, e que ale a pena destacar, é o fato de que, após decorrido um certo tempo desde o lançamento, o projétil atine uma altura máxima, a partir da qual tem início o seu moimento de queda. Admite-se que a aceleração da raidade ( ) seja Fiura 5.8: Condições iniciais. constante. Como apontado antes, isso ale para alturas máximas atinidas não muito randes. Assim, a partir da posição e da elocidade da partícula em cada ponto, estaremos interessados, em particular, na determinação dos seuintes parâmetros: a altura máxima atinida; o tempo de queda (o tempo de duração do oo lire); o alcance do projétil na posição horizontal; Para atinir esses objetios, precisamos primeiramente determinar as equações básicas do moimento. 5.5 Equações básicas do moimento A aplicação realista mais simples que podemos fazer das leis de Newton diz respeito ao moimento das partículas sob a ação da raidade. A análise desse moimento fica consideraelmente simplificada quando notamos que a força da raidade não muda muito ao considerar

16 Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 moimentos próximos da superfície terrestre (aluns quilômetros acima da superfície). São moimentos que ocorrem no cotidiano como, por exemplo, a queda de uma maçã. Adotamos um sistema cartesiano em que o eixo das abscissas (o eixo x) é considerado como paralelo à superfície terrestre e o eixo y na direção perpendicular à superfície. Consideramos a Terra como se fosse plana e, como a raidade aponta sempre para o interior da Terra, desprezando a força de resistência do ar, e tendo em ista a escolha do referencial acima, a força raitacional tem apenas uma componente: F = ( y m ) 5.18 Como a aceleração da raidade aponta na direção perpendicular à superfície terrestre, o sistema de coordenadas cartesianas mais indicado é aquele em que um dos eixos é paralelo ao solo (o eixo x) e o outro eixo (eixo y) é paralelo à aceleração da raidade. Podemos estudar o moimento do projétil com a composição de dois moimentos. Essa ideia foi proposta primeiramente por Galileu: um moimento na direção Fiura 5.9: Escolha do referencial e das coordenadas. ertical (eixo y) e outro moimento na direção horizontal (eixo x). Ao lono do eixo x, como não existe aceleração nessa direção, o moimento é uniforme e escreemos: ( ) x = x + t t, x 5.19 onde x é a coordenada inicial (no tempo t = t ) e x é a componente da elocidade inicial ao lono do eixo x. A componente da elocidade no eixo x é constante e dada por: x =, x 5. ao passo que, ao lono do eixo y, a aceleração é constante e dada pela aceleração da raidade. 5 Aplicações na Dinâmica

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 17 O moimento no eixo y é, portanto, uniformemente ariado e, para a orientação de eixos considerada, escreemos para a componente da elocidade na direção ertical a seuinte expressão: = t t y ( ), y 5.1 onde y é a componente ertical da elocidade inicial. Para determinar a posição em qualquer instante de tempo, basta conhecer cada uma das ariáeis x e y em qualquer instante de tempo. Essas coordenadas por sua ez são dadas, para um instante de tempo qualquer, a partir do lançamento, pelas expressões: ( ) x = x + t t x y = h+ y ( t t ) t t ( ), 5. 5.3 onde h e x determinam a posição da partícula no momento do lançamento do projétil. Para as componentes da elocidade, em qualquer t, alem as seuintes expressões: x = = t t y x ( ). y 5.4 5.5 Essas são as equações básicas do moimento. Podemos, a partir delas, obter todas as informações sobre esse moimento. A conclusão à qual cheamos é a de que, dadas a posição inicial (x, h) e a elocidade inicial, determinadas a partir das componentes ( x, y ), podemos determinar a posição e elocidade do projétil em qualquer instante (t) depois do lançamento.

18 Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 5.6 Trajetória do projétil Determinemos aora a trajetória da partícula. Para isso, escreemos o tempo como se fosse dependente da coordenada x (na erdade, como sabemos, é o inerso). Obtemos: x x t t =. x 5.6 Substituindo a expressão acima em 5.3, encontramos a equação para a trajetória: y = h+ y x x x x x x Pode-se facilmente erificar que essa equação descree uma trajetória e que a cura a ela associada é uma parábola. 5.7 5.7 Altura máxima (h max ) Admitiremos que os tempos serão contados a partir do instante do lançamento, ou seja, faremos para simplificar: t =. 5.8 Como é bem sabido, desde que sua elocidade inicial não seja muito alta, isto é, desde que ela não atinja a elocidade de escape (termo para a elocidade acima da qual um objeto lançado não retorna mais à Terra), todo projétil retorna à Terra depois de alum tempo. Assim, ele sobe, sobe, até atinir uma altura máxima. Nesse ponto ele retorna. No ponto de retorno teremos a inersão do sinal da componente ertical da elocidade, ou seja, nesse ponto sua elocidade na direção ertical é nula. Assim, o ponto no qual ele para no ar, olhando apenas seu moimento na ertical, pode ser determinado a partir da condição de elocidade nula no instante de tempo t m : ( t )= y m 5.9 5 Aplicações na Dinâmica

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 19 Essa equação, por outro lado, também nos permite determinar o instante de tempo, (t m ), em que o objeto atine a altura máxima. Utilizando a expressão 5.1 esse instante é dado por: t m y =. 5.3 As coordenadas do projétil nesse instante de tempo, fazendo uso aora das expressões 5. e 5.3, são dadas pelas expressões: x( tm)= xh = x + x = x + max y x y 5.31 = +( ) y y y y( tm)= h = h+ y h max. Estas expressões podem ser escritas ainda, em termos das condições iniciais (módulo da elocidade e ânulo de tiro), como: 5.3 x h max = x + senθcosθ hmax = h+. sen²θ 5.33 5.34 A altura máxima é dada, portanto, como um acréscimo da altura de lançamento, cujo alor depende do módulo da elocidade inicial e da sua direção. Para atinir a altura máxima, mantida a mesma elocidade em módulo, deemos atirar o objeto para cima (ânulo de tiro iual a θ = π/). No entanto, nesse caso, o alcance na horizontal será nulo. Fiura 5.1: A altura máxima em comparação com a altura de lançamento.

11 Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 5.8 Tempo de queda ou de oo Todo projétil cai depois de decorrido um interalo de tempo denominado tempo de oo, expresso em 5.17. É o tempo de duração da iaem do projétil. Com a escolha de referencial aqui efetuada, o tempo de oo é determinado a partir da condição y( t V )=, 5.35 ou seja, nesse momento, a coordenada do projétil na ertical é nula, indicando que ele terá atinido o solo nesse instante. A condição acima lea-nos a uma equação do seundo rau para a determinação do tempo de oo. Essa equação é, a partir de 5.35 e 5.3: h yv t t + V =. 5.36 Fiura 5.11: Tempo decorrido até o projétil atinir o solo. A única solução aceitáel para a equação acima, uma ez que esse tempo dee ser necessariamente positio, é, usando 5.16: t 1 h = 1 + ( ) + h senθ senθ = + ( ) + V y y ( ) 5.37 5 Aplicações na Dinâmica

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 111 5.9 Alcance do Projétil Quando o projétil atine o solo, suas coordenadas são dadas por: x( t )= x + t V yt ( ) =. V x V 5.38 Assim, o alor da coordenada x no instante em que ele atine o solo, leando-se em conta a expressão para o tempo de oo em 5.37 e a expressão em 5.15, é: ( ) x x( tv )= x + y + ( y) + h x = + cosθ + ( senθ senθ) + h. Denomina-se alcance do projétil, a, a diferença de abscissas associadas ao ponto de saída do projétil e seu ponto de cheada ao solo, isto é: 5.39 a = x( tv ) x. 5.4 Fiura 5.1: O alcance é a distância máxima atinida na direção horizontal. Leando-se em conta a expressão 5.4, emos que o alcance depende da altura da qual lançamos o projétil, do módulo da elocidade inicial e do ânulo de tiro. Explicitamente, temos: a y y h h = cosθ + ( ) + senθ sen θ. x = + ( ) + ( ) 5.41 Ao atinir o solo, o projétil tem elocidade tal que suas componentes são dadas por: x = cosθ ( )= = ( ) + t senθ t sen θ h. y 5.4

11 Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 Exemplo 4 Um projétil é lançado a partir do solo com elocidade = 6 m/s e com ânulo de tiro θ = 53. Dados: cos53 =,6 e sen53 =,8. Desprezando-se a resistência do ar, o projétil descree uma trajetória parabólica, conforme ilustra a Fiura 5.13. Fiura 5.13: Projétil lançado do ponto A com elocidade V, com ânulo de tiro θ com a horizontal. A distância AC é o alcance do projétil. a. Qual a altura máxima alcançada pelo projétil (ou seja, quando atine a posição B)? b. Qual o tempo de oo? c. Qual o alcance AC do projétil? d. Escrea a equação da trajetória. Resolução: Para responder às questões leantadas, deemos analisar as quatro equações (duas na direção do eixo x e duas na direção do eixo y) que descreem o moimento de um projétil. Primeiramente, amos nos concentrar na elocidade de lançamento V com ânulo de tiro θ. Essa elocidade dee ser decomposta em duas componentes: x = cosθ e y = senθ. Como θ = 53 e = 6 m/s, tem-se: x = 36 m/s e y = 48 m/s. Além disso, no instante t = o projétil se encontra na oriem, ou seja, x = y =. Assim, as equações horárias do moimento são: Tabela 5.: Equações horárias do moimento, analisando os eixos horizontal e ertical. Direção horizontal ou eixo x x = x = 36 m/s constante x = x + x t = 36t Direção ertical ou eixo y a y = = 1 m/s y = y t = 48 1.t y = y + y t 1 t = + 48t 5t Fiura 5.14: Esquema ampliado eidenciando as componentes da elocidade nas direções horizontal e ertical. Aora podemos responder aos quesitos: a. Para calcular a altura máxima necessitamos conhecer o instante t em que o projétil atine essa altura. Esse instante pode ser calculado escreendo y = 48 1 t =, de onde se obtém t = 48 s. Substituindo-se esse alor na equação do espaço y = 48t 5t² = 48(48) 5(48)² = 11.5 m. b. Uma ez que no instante t = o projétil se encontraa na oriem, quando ele retornou ao solo, tem-se y =. Assim, y = 48t 5t² =, ou seja, t(48 5t) =, de onde se encontram duas soluções: t' = e t" = 48/5 = 96 s. O instante t' = é o instante inicial em que o projétil se encontraa na oriem (no solo) e t" = 96 s é o instante de tempo em que, após oar pelo espaço, o projétil retorna ao solo. Portanto, o tempo de oo é de 96 s. 5 Aplicações na Dinâmica

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 113 c. O alcance do projétil é a distância entre os pontos A(; ) e C(x C ; ), ou seja, o alcance é iual ao alor de x C. Como determinar x C? Basta substituir t = 96 s (instante em que o projétil atine o solo, depois de oar durante 96 s) na equação x = 36t. Obtemos x = 36(96) = 34.56 m. d. Para se obter a equação da trajetória: y = f (x), basta eliminar a ariáel tempo entre as equações x = 36 t e y = 48t 5t². Assim, de x = 36 t seue-se que t = x/36 que, substituído em y = 48t 5t ², resulta y = (4x)/3 (x )/59, que é a equação de uma parábola. Exemplo 5 Uma bola de tênis é lançada com elocidade horizontal x = 1 m/s de uma altura h = 45 m do solo, conforme ilustra a Fiura 5.15. Após o lançamento, a bola fica animada de um moimento que pode ser analisado em duas direções: ertical e horizontal. Trata-se de um moimento balístico. a b Fiura 5.15: a. O joador lança uma bola de tênis horizontalmente com elocidade x de uma altura h do solo; b. A força sobre a bola na direção horizontal é nula; assim, a elocidade na horizontal é constante (escreemos x = x ). A Fiura 5.15a indica que, se a raidade da Terra fosse nula, a trajetória da bola seria retilínea e horizontal. Mas deido à raidade, ao mesmo tempo em que a bola aança horizontalmente, ela cai erticalmente. Pelo princípio da interdependência dos moimentos, o moimento na horizontal se processa de maneira simultânea e independente em relação ao moimento na ertical. Assim, as equações desse moimento balístico são: Na horizontal, o moimento é uniforme e as equações que o representam são: x (t) = x x(t) = x + x t. Na ertical, o moimento é acelerado e as equações são: y (t) = y t e y(t) = y 1 t ² a. Escreer as 4 equações para o moimento balístico da bola de tênis. b. Determinar quanto tempo depois a bola atine o solo. c. Determinar as coordenadas do ponto de impacto da bola contra o solo. d. Encontrar as elocidades x e y da bola quando ela colide com o solo. e. Determinar a equação da trajetória da bola.

114 Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 Resolução: a. As condições iniciais, no sistema SI, são: x = e x = 1 ; y = 45, y = (como o lançamento é horizontal, no instante t =, a bola não tem elocidade ertical) e = 1. Assim: x (t) = 1 e x(t) = 1t. y (t) = 1t e y(t) = 45 5t². b. Para saber quanto tempo depois de solta a bola chea ao solo, deemos fazer uso da equação y(t) = 45 5t ². Quando a bola atine o solo, y =, ou seja, 45 5t ² =, de onde t = + 3 (t = 3 dee ser descartado). Portanto, a bola atine o solo 3 seundos após o lançamento. c. Sabendo-se que, quando t = 3, a bola atine o solo e as coordenadas x e y são assim determinadas: x = 1.t = 3 e y = 45 5t² = 45 5(3)² =. Assim, as coordenadas do ponto de impacto são (3; ). d. As elocidades podem ser determinadas pelas respectias equações, bastando substituir t = 3. Assim: x (t) = 1 (ale obserar que x não depende do tempo, pois, na horizontal, o moimento é uniforme) e y (t) = 1t = 1(3) = 3. e. A equação da trajetória relaciona a ariáel y com a ariáel x. Para isso, elimina-se t das equações y(t) = 45 5t ² e x(t) = 1t. Assim: t = x/1 e, após substituição, y(x) = 45 5(x/1)² = 45 x /. 5.1 Casos particulares As expressões obtidas até aqui para as randezas releantes (tempo de oo, alcance, altura máxima) são muito erais. Com o intuito de estudar casos simples e de interesse, analisaremos três situações distintas: lançamento na ertical, lançamento horizontal e lançamento a partir do solo. 5.1.1 Lançamento na ertical No caso do lançamento na ertical, a componente da elocidade na direção horizontal é nula, ou seja, por definição: ( t )= = cos θ =, x x 5.43 uma ez que θ = π/. 5 Aplicações na Dinâmica

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 115 Nessas circunstâncias, o moimento se dá apenas ao lono do eixo y, e suas equações básicas são aquelas dadas pelas expressões 5. 5.5. Nesse caso, considerando apenas a elocidade inicial, temos três situações possíeis: 5.1.1.1 Lançamento para cima ( y = ) Nesse caso, o corpo atinirá a altura máxima dada aora por: H h = +, 5.44 o que ocorrerá depois de um interalo de tempo dado por: t = m. 5.45 Fiura 5.16: Lançamento na ertical para cima. e atinirá o solo depois de um tempo (o tempo de oo) dado por: t = h V t + + 1 1 m. 5.46 Exemplo 6 Uma bola é lançada erticalmente para cima com elocidade inicial y = 6 m/s de um ponto situado a uma altura y = metros do solo, conforme ilustra a Fiura 5.17. Considerando = 1 m/s², a equação do espaço é y(t) = + 6t 5t ² e a da elocidade é y (t) = 6 1.t. Adotamos as unidades do SI (m; s). Calcular: a. A altura máxima atinida pela bola. b. A elocidade com que a bola atine o solo. c. O tempo de oo da bola. Fi. 5.17 O operador lança uma bola erticalmente para cima.

116 Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 Resolução: a. Enquanto a bola estier animada de elocidade de ascensão ( y ) ela continua subindo. Até quando? Até que sua elocidade, momentaneamente, seja nula ( y = ). Nesse instante, a altura alcançada pela bola é máxima. Então, deemos calcular o tempo t para o qual y = e substituir em y = y(t) para calcular y = y max. Loo, de y = seue-se que y (t) = 6 1.t =, ou seja, t =,6 s. Substituindo em y(t) = + 6t 5t ² = + 6(,6) 5(,6)² = 1,8 m. Portanto, y max = 1,8 m. b. Para determinar a elocidade com que a bola atine o solo deemos conhecer o instante t em que a bola atine o solo. Como proceder? 1.º quando a bola atine o solo y = ; portanto, da condição y(t) = + 6t 5t ² = obtemos o instante t procurado..º uma ez conhecido o tempo t em que a bola atine o solo, obteremos a elocidade procurada fazendo uso da expressão y (t) = 6 1.t. Então, ejamos: se y(t) = + 6t 5t ² =, obtemos as raízes t,7 s e t 1,49 s. O tempo neatio dee ser inorado, pois o domínio das funções é constituído pelos alores de t tais que t. Assim, a bola atine o solo no instante t,7 s. E a elocidade será y (t) = 6 1.t = 6 1(,7) = 1 m/s. O sinal neatio dee ser interpretado: como o referencial y foi orientado positiamente para cima, a elocidade que é ertical para baixo (quando atine o solo) assume alor alébrico neatio. Podemos dizer que a bola atine o solo com elocidade de módulo y 1 m/s e sentido em direção ao centro da Terra. c. O tempo t é medido desde o instante em que a bola foi lançada. Nesse caso, o tempo de oo é o interalo de tempo que a bola fica no ar, ou seja, desde (lançamento) até atinir o solo (t). Esse tempo foi calculado no item b, ou seja, t,7 s = t oo. 5.1.1. Lançamento para baixo ( y = ) Nesse caso, utilizando 5.37, concluímos que o projétil seue na descendente até atinir o solo depois de um tempo de oo dado por: t = h V + 1 1. 5.47 Fiura 5.18: Lançamento para baixo. 5 Aplicações na Dinâmica

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 117 5.1.1.3 Queda lire ( y = ) Nesse caso, o tempo de queda (que é o tempo de oo) é dado, de acordo com 5.37, por: h t = q. 5.48 o qual não depende da massa. Todos os corpos demoram o mesmo tempo para cair. Utilizando esse alor do tempo na expressão da elocidade na direção ertical (equação 5.5), emos que o corpo atine o solo com elocidade: Fiura 5.19: Queda lire. = y h. Como já descobrira Galileu, essa elocidade não depende da massa. 5.49 Exemplo 7 Uma mana madura desprende-se de um alho localizado numa altura iual a 16, metros. Esse fenômeno é entendido como moimento de queda na ertical, cujas equações enéricas são: y (t) = y t e y(t) = y + y t 1 t ², onde as ariáeis com símbolos são aquelas relacionadas às condições iniciais, ou seja, no instante t = (no caso, quando a mana se desprende do alho). a. Escrea as equações do espaço y(t) e da elocidade y (t) do moimento de queda ertical da mana. b. Determine o tempo de queda e a elocidade com que a mana atine o solo. Resolução: a. Vamos considerar = 1 m/s². Quando a mana se desprende (t = ), a elocidade é y = e a altura é y = 16, m. Loo, as equações tornam-se: y(t) = y + y t 1 t ² = 16, 5t ² e y (t) = y t = 1t. b. Fazendo y(t) = determina-se o instante em que a mana atine o solo. Esse tempo é o tempo de queda. Loo, y(t) = 16, 5t ² = t = ± 1,8 s. Descarta-se o tempo neatio, e o resultado t = 1,8 s, que é o tempo de queda da mana. A elocidade com que a mana atine o solo é obtida substituindo-se t = 1,8 s na equação da elocidade. Assim, V y (t) = 1t = 1(1,8) = 18 m/s. O sinal neatio indica que a elocidade é ertical para baixo (uma ez que o eixo dos espaços y foi adotado como positio para cima).

118 Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 5.1. Lançamento na horizontal O lançamento na horizontal é caracterizado pelo fato de ele se processar com um ânulo de tiro iual a zero, ou seja, ( t )= = senθ =, y y 5.5 pois θ =. Fiura 5.: Lançamento na horizontal. O tempo de oo é iual ao tempo de queda lire de uma altura h, isto é, e o alcance será dado por: h t = q h a =. 5.1.3 Lançamento a partir do solo 5.51 Nesse caso, basta fazer h =, nas expressões erais, para o tempo de oo, altura máxima e alcance. O ponto a ser ressaltado é ser o tempo de oo duas ezes maior do que aquele requerido para atinir a altura máxima, ou seja, o tempo despendido para subir (atinir a altura máxima) é iual ao tempo necessário para descer. Temos assim: t = t = sen θ m. 5.5 5 Aplicações na Dinâmica

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 119 Fiura 5.1: Lançamento a partir do solo. Em muitos casos, é importante determinar para que alor do ânulo de tiro obtemos a máxima eficiência em termos de alcance. Uma alternatia para aumentar o alcance é aumentar o alor do módulo da elocidade inicial. Essa solução esbarra no fato de que temos limites, ou físicos ou do artefato utilizado para efetuar o lançamento, para obtermos incrementos no alor dessa randeza. A alternatia, para um alor fixo da elocidade, é escolher melhor o parâmetro ânulo de tiro. Lembrando que, nessas circunstâncias, o alcance depende do ânulo de tiro de acordo com a expressão: a ( θ)= senθcos θ= senθ, 5.53 podemos erificar, por meio do ráfico da função acima, que o alor máximo do alcance ocorrerá quando o ânulo de tiro for iual a 45 raus. Exemplo 8 Um atirador mira sua arma para uma fruta pendurada a uma altura H = 3 metros acima da altura da sua arma. O projétil é ejetado com elocidade V = 4 m/s, com ânulo de tiro (eja Fiura 5.). Fiura 5.: Atirador mirando uma fruta presa no alho. No momento em que ele aciona o atilho, a fruta se desprende do alho. O projétil atinirá a fruta?

1 Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 No instante em que a arma é disparada, a fruta se solta da árore. Determinar a posição do ponto de impacto fruta/projétil. Dados: D = 4 metros; senθ =,8 e cosθ =,6. Desprezar a resistência do ar. Resolução: Como a fruta se solta no instante em que o projétil é disparado, os dois moimentos são simultâneos. Para escreer as equações horárias, precisamos identificar as condições iniciais (t = ). As coordenadas iniciais do projétil são x = e y = e as componentes de sua elocidade inicial são: x = cosθ = 4,6 = 4 m/s; y = senθ= 4,8 = 3 m/s. As coordenadas iniciais da fruta: x = D = 4 m; y = H = 3 m e y = ; x = Tabela 5.3: Condições iniciais e equações horárias do projétil e da fruta. Direção horizontal x P = a xp = xp = 4 m/s xp = xp = 4 m/s x P = 4 t Projétil Direção ertical y P = a yp = 1 m/s² ( ) yp = 3 m/s yp = 3 1 t y P = 3 t 5 t ² Fruta Moimento unidimensional x F = D = 4 m y F = H = 3 m yf = 1 t y F = 3 5 t ² A Fiura 5.3 ilustra o ponto de encontro entre a fruta e o projétil. Fiura 5.3: As coordenadas do ponto de impacto do projétil e da fruta, consideradas como ponto material, são coincidentes. No ponto de impacto, as coordenadas x e y tanto da fruta quanto do projétil são iuais. x fruta = x projétil = 4 m Da seunda condição inferimos que: y fruta = y projétil 3 5t ² = 3t 5t², 5 Aplicações na Dinâmica

Licenciatura em Ciências USP/Uniesp Módulo 1 ou seja, o impacto ocorre para o tempo dado por 3 = 3t Portanto, para t = 1 s, ocorre o impacto do projétil contra a fruta. A determinação da ordenada y do ponto de impacto pode ser feita por meio da equação horária de y = f (t) tanto da fruta quanto do projétil. Então: y = 3 5(1)² = 7 m. Portanto, o projétil encontra a fruta no ponto de coordenadas x = 4 m e y = 7 m. 11