Aula n ọ 06 Um professor de um colégio resolveu durante um bimestre fazer quatro provas com pesos de 2, 2, ee uma prova de recuperação. O aluno para não fazer a prova de recuperação deve ter no mínimo média 6 nas quatro provas. Um grupo de 5 alunos tiveram nessas provas as seguintes notas: Aluno Prova 1 Prova 2 Prova Peso Prova 4 Peso A 4 5 5 6 B 6 6 5 7 C 7 6 6 6 D 9 7 7 6 E 6 4 4 9 01. Qual ou quais o(s) aluno(s) que tiveram que fazer a prova de recuperação? a) A e B b) A e D c) A e E d) Somente A e) Somente E 0. (UFPel RS) Cada elemento a ij da matriz T indica o tempo, em minutos, que um semáforo fica aberto, num período de 2 minutos, para que haja o fluxo de automóveis da rua i para a rua j, considerando que cada rua tenha mão dupla. 0 1,5 0,5 T = 1,5 0 1 0,5 1 0 De acordo com a matriz, o semáforo que permite o fluxo de automóveis da via 2 para a 1 fica aberto durante 1,5 min de um período de 2 min. Com base no texto e admitindo que é possível até 20 carros passarem por minuto cada vez que o semáforo se abre, é correto afirmar que, das 8 h às 10 h, considerando o fluxo indicado, pela matriz T, o número máximo de automóveis que podem passar da rua para a 1 é a) 00 b) 1200 c) 600 d) 2400 e) 60 02. Se o(s) aluno(s) que ficou(ficaram) de recuperação precisa somar a média anterior obtida nas quatro provas, com a nota da prova de recuperação e obter a média final 6, qual o valor da soma das notas que devem ser obtidas pelo(s) aluno(s) que não obtiver(rem) média nas quatro provas? a) 12,1 b) 1,0 c) 18,1 d) 24,5 e) 1,8 04. (UFF RJ) Na década de 1940, o estatístico P. H. Leslie propôs um modelo usando matrizes para o estudo da evolução de uma população ao longo do tempo. Se, por exemplo, x(t) e y(t) representam a distribuição de indivíduos no ano t em duas faixas etárias, no modelo de Leslie, a distribuição de indivíduos x(t + 1) e y(t + 1) no ano t + 1, nessas mesmas duas faixas etárias, é dada por x(t + 1) a b y(t 1) p 0. x(t) + = y(t) As constantes a e b representam as fertilidades em cada faixa etária e a constante p representa a taxa de sobrevivência da primeira faixa etária. Se a = 0; b = 10; p = 0,1; e sabendo que x(0) = 2 000 e y(0) = 200; então, a distribuição de indivíduos no ano t = 10 é dada por: a) x(10) = 20 000 e y(10) = 2000 b) x(10) = 2 000 e y(10) = 200 c) x(10) = 2000 10 e y(10) = 200 10 d) x(10) = 2000. 10 10 e y(10) = 200. 10 10 e) x(10) = 2000. 10 10 e y(10) = 200. 10 10 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 29
05. (GV SP) 1 1 a) Determine a e b de forma que a matriz A = 2a b 2 verifique que A 2 = 2A e depois calcule A 11. b) Nos meses de abril e maio, uma família adquiriu as mesmas quantidades de açúcar, arroz e feijão em um mesmo supermercado, mas os preços sofreram uma leve alteração: Preço por quilo Abril Maio Açúcar R$ 1,00 R$ 1,20 Arroz R$ 2,50 R$ 2,00 Feijão R$,00 R$,00 Quantidade de pacotes de 1 kg Açúcar Arroz Feijão 4 5 6 Mediante um produto de matrizes, expresse, por meio de uma matriz, quanto a família gastou em cada mês. 06. (IBMEC SP) Todos os candidatos inscritos num vestibular escolheram na ficha de inscrição que preencheram uma única entre as três seguintes situações prévias (em relação ao ano anterior): frequentou um cursinho, acabou de sair do ensino médio ou estudou sozinho. Por um erro no processamento dos dados, foi gerado um relatório sobre essas respostas apenas com as seguintes informações: 800 não fizeram cursinho, 1200 não acabaram de sair do ensino médio, 1500 não ficaram estudando sozinhos durante o último ano. Com isso, conclui-se que o número total de inscritos foi igual a a) 1250 b) 1750 c) 2500 d) 500 e) 4750 07. (UFPel RS) O iogurte é um alimento derivado do leite, tendo assumido várias cores nas prateleiras dos supermercados, dependendo do elemento a ele incorporado. A oferta de marcas, cores, sabores e consistência é grande. Os iogurtes fornecem proteínas, vitaminas A, D e E, cálcio e fósforo. Alguns recebem ferro e fibras e o mais importante é que dificilmente ultrapassam 5% de gordura, fator muito observado pelos usuários, principalmente os que cultuam as formas de um corpo ideal, baseado nas proporções divulgadas pela mídia, e também os que seguem prescrição médica. http://saúde abrilcom.br/livre/especiais/especial gordura/1209pop2.html. Acessado em 29/09/04 [Adapt ] Os teores de magnésio e sódio, presentes em 100 ml de iogurte feito com leite integral ou com leite desnatado, estão representados pelas variáveis x, y, z, t na matriz com leite desnatado com leite com leite integral desnatado M = x y magnésio (mg) z t, sendo sódio (mg) 5i + j, se i < j i 1 2 M = (a ij ) 2x2 = 2. 10 + 10j,se i = j 4 i + 2j, se i > j Com base no texto e em seus conhecimentos, determine: a) a quantidade de magnésio encontrada em 100 ml de leite desnatado e a quantidade de sódio encontrada em 100 ml de leite integral. b) a matriz representada pela soma do triplo da matriz M com dois terços da matriz oposta de M. 0 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I
08. (GV SP) A História da Matemática apresenta muitos problemas para resolver mediante sistemas de equações, mas cujos enunciados indicam que as soluções são números naturais. Resolva este antigo problema: Dois viajantes encontraram uma bolsa que continha entre 150 e 200 moedas de ouro. O primeiro disse para o segundo: Se eu ficar com metade do dinheiro que há na bolsa, vou me tornar o dobro de rico que você, se não contar o dinheiro que levo comigo. O segundo disse para o primeiro: Se eu ficar com dois terços do dinheiro da bolsa, eu terei, com o que levo, o triplo da quantia que você leva consigo. Quantas moedas de ouro continha a bolsa? Que quantia levava cada um dos amigos? 09. (IBMEC SP) Renato decidiu aplicar R$ 100.000,00 em um fundo de previdência privada. O consultor da empresa responsável pela administração do fundo sugeriu que essa quantia fosse dividida em três partes x, y e z, que seriam aplicadas em três investimentos A, B e C, respectivamente. Em seguida, mostrou a Renato duas simulações do desempenho da aplicação, considerando dois cenários distintos, para um período de 5 anos. Cenário Rendimento previsto para um período de 5 anos Investimento A Investimento B Investimento C Saldo previsto após 5 anos Conservador 100% 50% 25% R$ 170.000,00 Otimista 100% 150% 200% R$ 25.000,00 Com essas informações, determine os valores de x, y e z sugeridos pelo consultor. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 1
10. A administração dos 1040 km de uma estrada de rodagem foi concedida a três empresas distintas. A primeira ficou com 60% do trecho concedido às outras duas, a segunda ficou com 0% do trecho concedido às outras duas. O comprimento do trecho concedido à terceira empresa foi de a) 440 km b) 80 km c) 410 km d) 520 km e) 450 km 2 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I
Gabarito Dados Aluno Prova 1 Prova 2 Prova Peso Prova 4 Peso A 4 5 5 6 B 6 6 5 7 C 7 6 6 6 D 9 7 7 6 E 6 4 4 9 Calculemos as médias usando matrizes, sendo N a matriz das notas dos alunos, P a matriz dos pesos e M a matriz das médias. 4 5 5 6 42. + 52. + 5. + 6. 51, 6 6 5 7 2 2 62. + 62. + 5. + 7. 60, 1 N = 7 6 6 6 e P = logo M =. 72. + 62. + 6. + 6. = 62, 9 7 7 6 2+ 2+ + 92. + 72. + 7. + 6. 71, 6 4 4 9 62. + 42. + 4. + 9. 59, 01. b 02. b Os alunos que ficaram em recuperação foram: A: média 5,1 logo precisa obter nota na prova de recuperação igual a 6,9 para obter média final 6; D: média 5,9 logo precisa obter nota na prova de recuperação igual a 6,1 para obter média final 6; Daí a soma das notas dos alunos em recuperação é 6,9 + 6,1 = 1,0 0. c Das 8h às 10h, temos 2 horas = 120 minutos. Logo, o farol se abrirá 120:2 = 60 vezes Para passar da rua para a rua 1 o farol se abre por a 1 = 0,5 min, portanto passarão 20. 0,5 = 10 automóveis; como ele se abre por 60 vezes, então o número total de automóveis é 60. 10 = 600 automóveis. 04. b x(t + 1) a b Substituindo os valores dados em y(t 1) p 0. x(t) + = y(t), temos: x(t + 1) 0 10 y(t 1) 0,1 0. x(t) + = x(t + 1) 10. y(t) y(t) y(t + 1) = 0,1. x(t) Fazendo t = 0, temos x(1) 10. y(0) 10.200 y(1) = 0,1. x(0) = 2000 0,1.2000 = 200 Portanto, pelos valores obtidos, podemos concluir que os resultados serão constantes, ou seja, x(t + 1) y(t + 1) = 2000 200 Logo, x(10) = 2000 e y(10) = 200 05. a = 1 2 e b = 2 e A11 1024 1024 = 1024 1024 1 1 a) A 2 = 2a b 1 1 1 2a 1 b. 2a b + + 2 = 2 2 2a ab 2a b 2 e 2A = 2 2 + + 4a b 4 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I
igualando, temos: 1 + 2a = 2 a = 1 2 1 + b 2 = 2 b = 2 Logo, A = 1 1 1 1 A 11 =(A 2 ) 5.A = (2A) 5.A = 2.A 5.A = 2.(A 2 ) = 2.(2A) = 2.8.A = 256.A 2.A = 256(2A).A = 512.A 2 = 512.2A = 1024.A Logo, A 11 1 1 1024 1024 = 1024. 1 1 = 1024 1024 b) Seja Q a matriz das quantidades de produtos, P a matriz dos preços desses produtos e G a matriz dos gastos. Assim, temos: 1,00 1,20 Q = [4 5 6] e P = 2,50 2,00,00,00 4.1,00 + 5.2,50 + 6.,00 4, G = Q. P G = 4.1,20 + 5.2,00 + 6.,00 = 50 2,80 4,50 Respostas: 2,80 06. b Sejam x o número de candidatos que declaram que fizeram cursinho, y o número de candidatos que declaram acabou de sair do ensino médio, z o número de candidatos que declaram que estudaram sozinhos. Temos: y + z = 800 x + z = 1200 x + y = 1500 Somando membro a membro, temos: 2x + 2y + 2z = 500 x + y + z = 1750 5i + j,se...i < j i 1 2 07. Se M = (a ij ) 2x2 = 2.10 + 10j, se...i = j e M = a a 4 a a i + 2j, se...i > j b).m + 2 ( M) = 7 M = 7 12 1 28 50 60 = 50 11 12 21 22, então: a 11 = 2.10 1 1 + 10.1 2 = 12 a 12 = 5.1 + 2 = 1 a 21 =.2 4 + 2.1 = 50 a 22 = 2.10 2 1 + 10.2 2 = 60 12 1 Logo, M = 50 60 a) Resposta: A quantidade de magnésio em 100 ml de leite desnatado corresponde ao valor de y = 1 mg; a quantidade de sódio encontrada em 100 ml de leite integral corresponde ao valor de z = 50 mg. 91 91 28 140 Resposta: 50 140 4 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I
08. Sejam x o número de moedas que o primeiro viajante levava, y o número de moedas que o segundo viajante levava e z o número de moedas que havia na bolsa Do enunciado, temos {x, y, z} IN e: 150 < z < 200 z = 2y z = 4y 2 2 z + y = x. () 2z + y = 9x 8y + y = 9x 11y = 9x y é múltiplo de 9. Como 150 < z < 200 150 < 4y < 200, ou seja, 7 < y < 50 e sendo y múltiplo de 9, concluímos que y = 45. Se y = 45, temos x = 55 e z = 180. Resposta: Na bolsa havia 180 moedas; o primeiro viajante levava 55 moedas e o segundo levava 45 moedas. 09. Do enunciado, temos: x + y + z = 100000 x + 0,5y + 0,25z = 70000 x + 1,5y + 2z = 15000 Subtraindo a primeira equação das outras duas, vem: 0,5y 0,75z = 0000 0,5y + z = 5000 Somando essas duas últimas equações, vem: 0,25z = 5000 z = 20000 Substituindo na equação 0,5y + z = 5000, tem-se 0,5y + 20000 = 5000 y = 0000 Substituindo na equação x + y + z = 100000, tem-se x + 0000 + 20000 = 100000 x = 50000 Resposta: x = 50000; y = 0000 e z = 20000. 10. c Seja x, y e z as medidas, em km, dos trechos concedidos a cada uma das três empresas. Do enunciado, temos: x + y + z = 1040 x = 0,6(y + z) y = 0,(x + z) Ou seja: x + y + z = 1040 10 6 x = y + z 10 y = x + z Substituindo a segunda equação na primeira, temos: x + 10 x = 1040 x = 90 6 substituindo a terceira na primeira, temos: 10 y + y = 1040 y = 240 Substituindo na primeira os valores encontrados, vem: 90 + 240 + z = 1040 z = 410 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 5