Razão e Proporção Daniel Bruno
Razão A razão pode ser expressa como a divisão ou relação entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos a litros de suco concentrado com b litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração: a b = a/b, lê-se razão entre a e b ou a está para b. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2
Razão Outro exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10. Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos. Nesse caso, temos: Razão = número de acertos = 10 = 1 número de arremessos 20 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3
Razão Inversa Na razão temos os termos: antecedente e consequente, onde na razão antecedente é 1 e o consequente é 2. Para a razão inversa é feita a troca do antecedente com o consequente. Exemplo: 1 2 o Razão = 1 2 Razão Inversa = 2 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4
Proporção Proporção representa a igualdade entre duas razões. A proporção entre a/b e c/d é a igualdade: a b = c d UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5
Proporção Exemplo: Um carro faz 13km por litro de combustível, então para 26km preciso de 2L, para 39km preciso de 3L e assim por diante. R 1 = 26 2 R 2 = 39 3 Logo, formamos a proporção: R 1 = R 2 26 = 39 2 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6
Propriedades Numa proporção: a b = c d Os números a e d são denominados extremos enquanto os números b e c são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: a d = b c UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7
Propriedades Numa proporção quando somamos termo a termo a razão se mantém. 26 = 39 2 3 = 26 + 39 2 + 3 65 5 13 Numa proporção quando subtraímos termo a termo a razão se mantém. 26 = 39 2 3 = 26 39 2 3 13 1 13 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8
Números proporcionais O número 3 representa em relação a 6 (metade) o mesmo que 10 representa em relação a 20 (metade), que é o mesmo que 8 representa em relação a 16. Dizemos então que os números 3, 10 e 8 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessa ordem. Veja: 3 = 10 = 8 6 20 16 1 2 1 2 Nesse caso, 1 é considerado o coeficiente ou constante 2 de proporcionalidade. 1 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9
Números proporcionais Além disso: A fração irredutível coeficiente de proporcionalidade(k); a b é equivalente ao Quando somamos ou subtraímos termos a termos a razão que se mantém é k. Exemplo: a + c + e + y b + d + f + z = k UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10
Grandezas Diretamente Proporcionais (G.D.P.) Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais, quando o aumento de uma implica no aumento da outra, quando a redução de uma implica na redução da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá com a outra. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11
Grandezas Diretamente Proporcionais (G.D.P.) Exemplo: Se numa receita de pudim de micro-ondas uso duas latas de leite condensado, 6 ovos e duas latas de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente se quiser fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada quantidade de ingredientes se quiser, apenas meia receita. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12
Grandezas Diretamente Proporcionais (G.D.P.) Observe a tabela abaixo que relaciona o preço que tenho que pagar em relação à quantidade de pães que peça: Preço (R$ ) 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00 Nº de pães 1 2 5 10 20 50 Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto, se peço mais pães, pago mais, se peço menos pães, pago menos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13
Grandezas Diretamente Proporcionais (G.D.P.) Observe que quando dividimos o preço pela quantidade de pães obtemos sempre o mesmo valor. Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante. 0,20 1 = 0,40 2 = 1,00 5 = 2,00 10 = 4,00 20 = 10,00 50 = k UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14
Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.) Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá o inverso com a outra. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15
Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.) Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o tempo de viagem. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem. Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade média e o tempo de viagem, para uma distância de 600km. Velocidade média (km/h) 60 100 120 150 200 300 Tempo de viagem (h) 10 6 5 4 3 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16
Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.) Velocidade média e Tempo de viagem são grandezas inversamente proporcionais, assim se viajo mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade média levo um tempo maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem obtemos sempre o mesmo valor. Em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante. 60. 10 = 100. 6 = 120. 5 = 150. 4 = 200. 3 = 300. 2 = k UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17
Vamos praticar... Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Qual a densidade demográfica desse estado? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18
Vamos praticar... Para obtermos a densidade demográfica usamos a seguinte razão: Dens. demográfica = número de habitantes área ocupada 12.000.000 habitantes Dens. demográfica = 200.000 Km 2 Dens. Demográfica = 60 habitantes/km 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19
Vamos praticar... Suponhamos que um carro de Fórmula Indy percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20
Vamos praticar... Para obtermos a velocidade média usamos a seguinte razão: Velocidade média = distância percorrida tempo gasto Velocidade média = 328Km 2h Velocidade média = 164 Km/h UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21
Vamos praticar... Qual a renda per capita de Alagoas considerando os dados do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), onde o PIB (Produto Interno Bruto) era de R$21.235.000 e população era cerca de 3.120.922 habitantes? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22
Vamos praticar... A renda per capita é a razão entre o PIB (Produto Interno Bruto) e o número de habitantes, assim: Produto Interno Bruto Renda per capita = Número de habitantes R$21.235.000 Renda per capita = 3.120.922 habitantes Renda per capita R$6,8/habitante UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23
Vamos praticar... Uma empreiteira planejou construir determinada obra em 8 dias, empregando 10 trabalhadores, trabalhando 6 horas por dia. Se a jornada de trabalho fosse ampliada em 2 horas diárias e o número de trabalhadores reduzido para 7 essa mesma obra seria concluída em quantos dias? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24
Vamos praticar... Separando os dados: Trabalhadores Horas por dia Conclusão em dias 10 6 8 7 8 x Faremos as seguintes considerações: Trabalhadores e Dias. Se 10 empregados terminam uma obra em 8 dias, então apenas 7 empregados vão terminar essa mesma obra em mais dias. Diminuiu o número de empregados, mas aumentou o número de dias. Então considera-se grandezas inversamente proporcionais, assim teremos a razão de 7/10. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25
Vamos praticar... Horas e dias. Dispondo-se de 6 horas diárias, termina-se uma obra em 8 dias, se passar a dispuser de 8 horas diárias, então termina-se o trabalho em menos dias. Aumentou o número de horas e diminuiu o número de dias. Então considera-se grandezas inversamente proporcionais, assim teremos a razão de 8/6. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26
Vamos praticar... Agora é só multiplicar as razões e igualar à razão que contém a incógnita (8/x). Assim: 7. 8 = 8 56 = 8 10 6 x 60 x x = 8,57 56x = 480 x = 480 56 A obra será concluída em aproximadamente 9 dias. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27
Vamos praticar... Em uma construtora, 20 caminhões descarregam 160m 3 de areia em 8 horas. Diminuindo as horas de atividade dos caminhões para 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m 3 de areia. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28
Vamos praticar... Montando uma tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125 Vamos comparar as grandezas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 29
Vamos praticar... Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional. Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional. Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o que observamos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 30
Vamos praticar... Montando a proporção e resolvendo: 20 = 160. 5 20 = 20 20 = 4 4x = 100 x 125 8 x 25 x 5 x = 100 x = 25 4 Assim, serão necessários 25 caminhões para descarregar 125m 3 em 5 horas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 31