SUCESSÃO OU SEQUENCIA NUMÉRICA Sucessão ou seqüência numérica é todo conjunto de números dispostos numa certa ordem Uma sucessão pode ser finita ou infinita - (2; 5; 8; 11) finita - ( -3; -2; -1; ) infinita Representação genérica de uma sucessão (a 1, a 2 ; a 3 ; ; a n-1 ; a n ) em que: a 1 1º termo a 2 2º termo a 3 3º termo a n n-ésimo termo Termo geral ou lei de formação de sucessão É a fórmula matemática que determina os termos de uma sequência, em função de sua posição n na sequência 1) Escreva os 3 primeiros termos da seqüência definida por: * a) a n = 3n+2, onde n Ν b) a 1 = 2 e a n+1 = a n + 8 Progressão Aritmética (PA) É toda sequência numérica em que a diferença, a partir do segundo e o seu antecessor se mantém constante Essa diferença constante r chama-se razão da PA Então a seqüência (a 1, a 2 ; a 3 ; ; a n-1 ; a n ) é uma PA, se e somente, se: a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = a n - a n-1 = r 1) Verifique se a sequência abaixo é uma PA, em caso positivo, determine a razão: a) ( 2; 5; 8; 11;) b) ( 19; 14; 9; 4;) 1
c) (7; 7; 7; 7; ) d) ( 1; 6; 11; 17; ) Observações: a) PA crescente, quando r (razão) > 0 b) PA decrescente, quando r (razão) < 0 c) PA constante, quando r (razão) = 0 2) Determine x, de modo que os números x - 5; 2x + 3 e 5x - 1, formem nessa ordem uma PA Fórmula do termo geral de uma PA Para calcularmos qualquer termo de uma PA usamos a fórmula seguinte: an = a 1 + (n - 1)r an = representa o termo procurado a 1 = representa o primeiro termo da PA n = representa o número de termos r = representa a razão da PA 1) Calcule o sétimo termo da PA (1, 6, 11, ) 2) Determine quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 200 2
3) Calcule a razão de uma PA sabendo que a 2 = - 11, a 12 = 19 4) Interpole 6 meios aritméticos entre 3 e 17 5) Numa estrada existem dois telefones instalados um no km 10 e outro no km 50 Entre eles serão colocados mais 9 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância determinar em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones Propriedades 1ª) Sendo a, b, c três termos consecutivos de uma PA, dizemos que o termo b central entre eles é a média aritmética dos outros dois Exemplo: Sendo 2, x, 18 três termos consecutivos de uma PA Calcule o valor de x 2ª) Numa PA finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos Exemplo: Observe a PA (3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17) 9 + 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20 Soma dos n-primeiros termos de uma PA A soma dos n-primeiros (S n ) termos de uma PA é dada por: ( a 1 + an ) n Sn = 2, onde: a 1 primeiro termo a n n-ésimo termo n números de termos 3
1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2,6, ) 2) O dono de uma fábrica iniciar a produção com 1000 mensais e, a cada mês produzir 200 unidades a mais Mantidas essas condições, em dois anos quantos unidades a fábrica terá produzido no total? EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APREDIZAGEM (PA) 1) Determine as seqüências abaixo: a) a n = 2n-1 com n Ν * resp: (1,3,5,) a1 = 3 b) a n = a n 1 + 2, com n Ν, n 2 resp: (3,5,7,) 2) Escreva o termo geral das sequências: a) (1,4,9,16,25,) resp: a n =n 2 com n Ν * b) (3,6,9,12,) resp: a n = 3n com n Ν * c) (2,5,8,11,14,) resp: a n = 3n - 1 com n Ν * 3) Determine quais da seqüências abaixo são PA Em caso afirmativo, determine a razão e classifique-as em crescente, decrescente ou constante: a) (1; 1,1; 1,2; 1,3; ) resp: PA crescente razão r = 0,1 b) (22;18;14;12; ) resp: Não é PA c) (-3;-5;-7; ) resp: PA decrescente r = -2 d) (5;5;5; ) resp: PA constante razão r = 0 e) (1; -2; 3;-4; ) resp: Não é PA 4) Os números x 2, (x+2) 2 e (x+3) 2 estão em PA nessa ordem Determine esses números resp: (1/4;25/4,49/4) 5) Determine o 10º termo da PA (2,8,) resp: a 10 =56 6) Determine quantos mútiplos de 5 há entre 21 e 623 resp: 120 7) Um corpo caindo livremente ( desprezando-se a resistência do ar ) tem ao final do 1º segundo, velocidade de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final do segundo 4
seguinte; de 29,4 m/s no final do 3º segundo; e assim por diante Continuando assim, determine qual será a sua velocidade no final décimo segundo resp: 98m/s 8) No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de uma montadora está em PA crescente Em janeiro, a produção foi de 18000 carros e, em junho, foi de 78000 unidades Determine a produção dessa montadora nos meses de fevereiro, março, abril e maio resp: 30000, 42000, 54000 e 66000 9) A figura abaixo indica a distribuição de cadeiras num auditório: Determine quantas há fila H mantida essa tendência resp: 38 10) Uma empresa tem o seu organograma uma PA partindo do presidente e a cada nível abaixo dele aumentando 4 funcionários A forma mais comum de se representar esse organograma é a piramidal Sabendo que a empresa tem dez níveis hierárquicos, determine quantos empregados ela tem resp: 190 funcionários 11) Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da seguinte maneira: no 1º dia, são colhidas 10 dúzias; no 2º, 16 dúzias; no 3º, 22 dúzias; e assim por diante Quantas laranjas colherá ao final dos doze dias? resp: 6192 laranjas 12) Verificou-se que o número de pessoas que comparecia a determinado evento aumentava, diariamente, segundo uma PA de razão 15 Sabe-se que no 1º dia compareceram 56 pessoas e que o espetáculo foi visto, ao todo, por 707 pessoas Durante quantos dias esse espetáculo ficou em cartaz? resp: 7 dias 5