Curso Wellington Matemática Progressões Aritméticas Prof Hilton Franco

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1 1. Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada razão da progressão aritmética e usualmente indicada por r. a) Considere uma PA genérica finita (a 1, a, a 3,..., a n) de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos termos de índice par dessa PA, em função de a 1, n e r. b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA ( 4, 0, 16,...) seja positiva?. A soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica é dada pela expressão Sn = 8n 1. Pode-se afirmar que seu décimo termo é igual a: a) 18 b) 13 c) 146 d) 150 e) Atribui-se ao matemático De Moivre uma lenda sobre um homem que previu sua própria morte. As condições da previsão estão dentro de uma narrativa que modela grosseiramente vários aspectos da realidade. Por exemplo, dormir 4 horas seguidas equivale a morrer, e assim por diante. A lenda é a seguinte: um homem observou que cada dia dormia 15 minutos a mais que no dia anterior. Se ele fez essa observação exatamente após ter dormido 8 horas, quanto tempo levará para que ele durma 4 horas seguidas, não mais acordando? 4. Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir, em que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo. Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Nesse caso, o número de fósforos necessários para que seja possível exibir todas as primeiras 50 figuras ao mesmo tempo é igual a a) 00. b) c) 000. d) Na organização de um determinado rali, quanto à quilometragem diária a ser percorrida pelas equipes participantes durante os 0 dias da competição, ficou estabelecida a seguinte regra. No primeiro dia, as equipes deveriam percorrer 500 km e, nos dias subsequentes, deveriam percorrer 0 km a mais que no dia anterior. A partir dos dados apresentados, é correto afirmar que uma equipe, para completar a prova, deverá percorrer no mínimo: a) km b) km c) km d) km Página 1 de 14

2 e) km 6. Quatro inteiros positivos são termos de uma progressão aritmética. Se o produto do segundo desses termos pelo terceiro desses termos é igual a 77, então a soma desses quatro termos é igual a: a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) a) Determine o quarto termo da sequência (a 1, a, a 3, K, a n, K) dada por: an = an e a1 = 1, com n > 1. b) O jogo A torre de Hanói tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três hastes de plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as regras: 1ª Somente um anel pode ser movido de cada vez. ª Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor. Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferila é 3. Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 anéis no menor número possível de movimentos. c) O menor número de movimentos a n para transferir uma torre de n anéis, n > 1,, satisfaz a relação: an + 1= (an 1 + 1). Qual é o menor número de movimentos necessários para transferir uma torre com 6 anéis? Página de 14

3 3 8. A soma dos n primeiros termos de uma sequência e dada pela fórmula n Desse modo, a diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa sequencia e igual a a) 5. b) 18. c) 3. d) 33. S = 3n + n. 9. Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras, geralmente em forma triangular, com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas. Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, e 3 setores triangulares com as respectivas quantidades de barras de mesmo comprimento. Observando nas figuras que o número de barras é função do número de setores triangulares, qual é o número N de barras para n setores triangulares? a) n 1 N = 3 + para n 1 b) N = 3n para n 1 c) N = 3n + n para n 1 d) N = 3 + (n 1) para n 1 e) N = 1+ n para n Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história. Nesse papiro encontramos o seguinte problema: Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores. Página 3 de 14

4 Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de a) pães. b) 55 6 pães. c) 0 pães. d) 65 6 pães. e) 35 pães. 11. Dois cidadãos, C 1 e C, devem a uma instituição financeira R$14580,00 e R$1460,00, respectivamente. Após uma negociação dessa dívida, os valores foram parcelados de modo que C 1 deverá pagar prestações mensais de R$480,00 e C deverá pagar prestações mensais de R$390,00. Se ambos começarem a pagar hoje, o saldo devedor de C 1 ficará menor do que o de C em a) dez meses. b) um ano. c) um ano e três meses. d) um ano e meio. e) dois anos. 1. No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10ª camada de ladrilhos cinza contém a) 76 ladrilhos. b) 156 ladrilhos. c) 11 ladrilhos. d) 148 ladrilhos. Página 4 de 14

5 13. O quociente entre o último e o primeiro termo de uma sequência de números é Os logaritmos decimais dos termos dessa sequência formam uma progressão aritmética de razão 1. Então, o número de termos da sequência é a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) Um jogo com dois participantes, A e B, obedece às seguintes regras: - antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima, dizendo "cara" ou "coroa"; - quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente; - em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla. Veja o quadro que ilustra o jogo: Ordem de erro Letras escritas 1º UERJ º UERJUERJ 3º UERJUERJUERJ 4º UERJUERJUERJUERJ nº UERJUERJUERJUERJ...UERJ O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro. Determine o número total de letras que foram escritas até o final do jogo. 15. Seja ( a 1,a,a 3,... ) uma sequência com as seguintes propriedades: I. a1 = 1. II. an = n an, para qualquer n inteiro positivo. III. an+ 1 =, para qualquer n inteiro positivo. a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência. b) Calcule o valor de a As progressões aritméticas (, 9, 16,..., k) e (38, 370, 358,..., k) são finitas e têm o mesmo número de termos. O valor de k é igual a: a) 156 b) 170 c) 135 d) 14 e) 18 Página 5 de 14

6 17. Você tem um dinheiro a receber em pagamentos mensais. Se você recebesse R$ 100,00 no primeiro pagamento e, a partir do segundo pagamento, você recebesse R$ 150,00 a mais do que no pagamento anterior, receberia todo o dinheiro em 9 pagamentos. Porém, se o valor do primeiro pagamento fosse mantido, mas, a partir do segundo pagamento, você recebesse o dobro do que recebeu no mês anterior, em quantos pagamentos receberia todo o dinheiro? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01) O valor de x na equação x = 440 sabendo que as parcelas do primeiro membro formam uma progressão aritmética, é 41. 0) Segundo o Larousse Cultural, Hórus é o deus-falcão do Egito Antigo, com muitas atribuições e locais de culto. Na ideologia antiga, Hórus foi confundido com o céu ou assimilado ao Sol (disco solar ladeado por duas grandes asas). No papiro de Rhind ficou registrado que a sequência das frações dos olhos do deus Hórus era,,,, O valor numérico da soma dos termos desta sequência é ) O primeiro termo da progressão geométrica em que a3 = 15 e a 6 = é ) As sequências (4, 7, 10,...) e (5, 10, 15,...) são duas progressões aritméticas com 50 termos cada uma. A quantidade de termos que pertencem a ambas as sequências é Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 48. Entre eles serão colocados mais 6 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Nessas condições, assinale o que for correto. 01) A distância entre cada telefone será de 35 km. 0) Haverá um telefone no km ) Se um motorista está no km 165, a menor distância que ele terá que percorrer para encontrar um telefone será de 13 km. 08) No km 73 não haverá telefone. 0. Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 00 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem 00 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 00 entrarão na segunda, 300 na terceira etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos membros? Página 6 de 14

7 Gabarito: Resposta da questão 1: a) Seja S a soma pedida. S = a + a + a + + a 4 6 n = (a + r) + (a + 3r) + (a + 5r) + + [a + (n 1)r] [a1 + r + a 1 + (n 1)r] n = (a1 + r + nr r)n = 4 = (a1 + nr)n. 4 b) A soma dos n primeiros termos da PA é dada por [a 1 + (n 1)r]n S n =. Queremos calcular o valor mínimo de n tal que Sn > 0. [ ( 4) + (n 1) 4] n > 0 [ 11 + (n 1)] n > 0 n (n 113) > 0. Portanto, como n > 0, devemos ter n = 114. Resposta da questão : [E] Seja a 10 o décimo termo da sequência. Como a soma dos dez primeiros termos é igual à soma do décimo termo com a soma dos nove primeiros termos, temos que, a + S = S a = a = = Resposta da questão 3: O número de horas consecutivas dormidas n dias após o início da observação é dado por n 8 +. Logo, o homem morrerá quando: 4 n 8 + = 4 n = Portanto, após 64 dias o homem dormirá 4 horas seguidas. Resposta da questão 4: [D] A quantidade de palitos em cada figura varia de acordo com uma P.A de razão r = 8 P.A.( 4, 1, 30, 8,...) Na figura 50 temos a 50 qpalitos: a 50 = = 396. Calculando a soma de todos os palitos. ( ).50 S 50= = Resposta da questão 5: [B] Temos então a P.A. ( 500, 50, 540,... a n) Página 7 de 14

8 No vigésimo dia a quilometragem percorrida será: a0 = = 880km Calculando o total percorrido: a1 + a 0 ( ).0 S0 = = = Resposta da questão 6: [D] Seja (a, b, c, d) a progressão aritmética cuja soma dos termos queremos calcular. Temos que b c = 77 b = 7, c = 11 ou b = 11, c = 7. a, b, c, d + Logo, como a soma de termos equidistantes dos extremos é constante, vem a + d = b + c = = 18. Portanto, a + b + c + d = 18 = 36. Resposta da questão 7: a) a = a + 1 b) 4 3 = (a + 1) = ((a + 1) + 1) = (4a + + 1) + 1 = 8a + 7. Como a1 = 1, segue que a4 = = 15. c) Queremos calcular a 6. a + 1= (a + 1) a = a + 1. n n 1 n n 1 Do item (a) sabemos que a4 = 15. Logo, Página 8 de 14

9 a = a = (a + 1) = ( ) + 1 = 63. Resposta da questão 8: [B] 3 a1 = S1 = = 5 3 a1 + a = S = 3 + = 8 Portanto, 5 + a = 8 a = 3 Resposta da questão 9: [E] Observa-se que cada figura tem duas barras a mais que a anterior, temos então uma P.A de razão : (3, 5, 7,..) Portanto, a figura n, terá número de barras igual a: N = 3 + n 1 ( ) N = n + 1 para n 1 Resposta da questão 10: [A] Sejam x r, x r, x, x + r e x + r o número de pães que cada homem recebeu, com x, r > 0. Desse modo, x r + x r + x + x + r + x + r = 100 x + x + r + x + r = x r + x r 7 x = 0 x = 0 5x = 100 x = x + 3r = 14x 1r 4r = 11x r = r = 4 6 Portanto, coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão a quantidade de x + r = 0 + = 0 + = = pães Resposta da questão 11: [E] Sendo n o número de prestações pagas por C 1 e C, para que o saldo devedor de C 1 fique menor do que o de C, devemos ter n < n 90 n > 10 n > 3,56. Portanto, em dois anos a condição do enunciado será satisfeita. Resposta da questão 1: [D] Página 9 de 14

10 O número de ladrilhos em cada lado das camadas cinza constitui a progressão aritmética (, 6,10, ). K Desse modo, o lado da 10ª camada terá a = a + (n 1)r 10 1 = + (10 1) 4 = + 36 = 38 ladrilhos. Portanto, a 10ª camada de ladrilhos cinza contém 4 (38 ) + 4 = 148 ladrilhos. Resposta da questão 13: [E] Seja a sequência (a 1, a, K, a n ), tal que an a = = Sabendo que (loga 1, loga, K, loga n ) é uma progressão aritmética de razão 1, 1 an n 1 logan = loga 1 + (n 1) log = a 1 3 n 1 log10 = n = = 7. Portanto, o número de termos da sequência é 7. 1 temos que Resposta da questão 14: A quantidade de letras escritas em cada erro constitui a sequência (4, 8, 1, 16,, a n ), que é uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 4 e razão 4. Se o jogo termina quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro, então: [a1 + a 1 + (n 1)r]n Sn = 10an = 10[a 1 + (n 1)r] [ 4 + (n 1) 4]n = 0 [4 + (n 1) 4] ( + n 1) 4n = 0 4n n + 1 = 0 n = 19. Portanto, o número total de letras que foram escritas até o final do jogo foi: 10a = 10 ( ) = 760. n Resposta da questão 15: a) De acordo com a lei de formação da sequência, temos que: Página 10 de 14

11 a = 1 1 a = a = 1 a = 1 1= a = 3 a = a = a = 1= 4 a = 5 a = a = 3 a = 3 = a = 7 a = a = 4 a = 4 = a = 9 a = a = 5 a = 5 = a = 11 a = a = 6 a = 6 6 = a = 13 a = a = 7 a = 7 = a = 15 a = a = 8 a = 8 8 = Portanto, a sequência pedida é: (1,1,,,, 6,, 8,,10,, 36,,14,, 64). b) Observando que: 1+ + K + (n 1) a =, n com n, vem (1+ 49) K a = = =. 50 Resposta da questão 16: [D] Da progressão aritmética (, 9, 16, K, k) segue que k = + (n 1) 7 = 7n 5, sendo n o número de termos. Por outro lado, da progressão aritmética (38, 370, 358, K, k) obtemos k = 38 + (n 1) ( 1) = 1n Logo, devemos ter 7n 5 = 1n n = 399 n = 1 e, portanto, k = = 14. Resposta da questão 17: [B] Considerando a P.A ( , 400,...), temos: a9 = = 1300 ( ).9 S9 = = Considerando agora a P.G. ( 100, 00, 400,...), temos: Página 11 de 14

12 n n ( n 1) 100. = = 63 = 64 n = 6 Portanto, receberia o dinheiro em 6 meses. Resposta da questão 18: = Verdadeira - x = 3 + ( n 1) x = n + 1 ( 3 + n + 1 ).n Logo, x = 41 (verdadeira) = 440 n + n 440 = 0, resolvendo, temos n = 0 0. Falsa - S a = = = Verdadeira a6 = a 3.q = 15.q q = a = a.q 15 = a. a = Falsa (4, 7, 10,...) a50 = a r a50 = = 151 (5, 10, 15,...) a50 = a r a50 = = 50 O primeiro termo comum é 10, o próximo será (mmmc(3,5)). Temos então uma P.A de razão 15. (10, 5, 40,...145) 145 = 10 + n 1 5 n = 10 ( ) Resposta da questão 19: = 07 (3,_,_,_,_,_,_,48) P.A de 8 termos 48 = 3 + (8-1).r 7r = 45 r = 35(será colocado um telefone a cada 35km) Página 1 de 14

13 (01) Verdadeiro, (0) Verdadeiro, observe a figura. (04) Verdadeiro, pois = 13 (08) Falso, haverá telefone, observe a figura. Resposta da questão 0: a) ( Site A: = portanto na sexta semana 300 participantes e no total b) Site B:.00 + ( ) = n ( ) n = n + 100n = 0 Resolvendo a equação temos n = 1 ou n = - 13(não convém) Resposta: 1 semanas n + n 156 = 0 Página 13 de 14

14 Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 1/10/011 às :0 Nome do arquivo: PARITMETICA Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo Matemática...Unifesp/011...Analítica Matemática...Espm/011...Múltipla escolha Matemática...Ufpr/011...Analítica Matemática...Unicamp simulado/011...múltipla escolha Matemática...Ufpb/011...Múltipla escolha Matemática...G1 - ifal/011...múltipla escolha Matemática...Fgv/011...Analítica Matemática...G1 - cftmg/011...múltipla escolha Matemática...Uel/011...Múltipla escolha Matemática...Uff/011...Múltipla escolha Matemática...Uesc/011...Múltipla escolha Matemática...Unicamp/011...Múltipla escolha Matemática...Ufrs/011...Múltipla escolha Matemática...Uerj/011...Analítica Matemática...Fgv/011...Analítica Matemática...Espm/011...Múltipla escolha Matemática...Uel/011...Múltipla escolha Matemática...Ufsc/011...Somatória Matemática...Uepg/010...Somatória Matemática...Unicamp/010...Analítica Página 14 de 14