PROGRESSÕES 1) (UFPI) Numa PA, a 5 = 10 e a 15 = 40; então a é igual a (a) 3 (b) (c) 1 (d) 0 (e) -1 ) (UFRGS) Considere os triângulos I, II e III caracterizados abaixo através de seus lados. - triângulo I: 9, 1 e 15. - triângulo II: 5, 1 e 13. - triangulo III: 5, 7 e 9. Quais são triângulos retângulos com as medidas dos lados em progressão aritmética? (a) Apenas o triângulo I. (b) Apenas o triângulo II. (c) Apenas o triângulo III. (d) Apenas os triângulos I e III. (e) Apenas os triângulos II e III. 1
3) (FATEC) Seja a sequência (a 1, a,..., a n,...) cujo termo geral é dado por a n = n + (n + ). Esta sequência (a) é de termos decrescentes. (b) é uma progressão aritmética de razão 4. (c) é uma progressão geométrica de razão 3. (d) tem como primeiro termo um número par. (e) tem como quarto termo um número natural quadrado perfeito. 4) (ITA) O valor de n que torna a sequência (+3n, -5n, 1-4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo (a) [-, -1] (b) [-1, 0] (c) [0, 1] (d) [1, ] (e) [, 3] 5) (UFRGS) Na progressão aritmética a 1 = k, a = k + 1, a 3 = k +, a 4 = k + 3,..., o termo de ordem k é (a) K (b) K + 1 (c) K - 1 (d) K - (e) K
a 1 a 6) (VUNESP) Se (a 1, a,..., a n ) é uma P.A. de razão r, então (,,..., ) (a) é uma progressão geométrica de razão r. (b) é uma progressão geométrica de razão diferente de r. (c) é uma progressão aritmética de razão r. (d) é uma progressão aritmética de razão diferente de r. (e) não é progressão aritmética nem geométrica. a n 7) Uma PG tem a 1 = 3 e razão. Se a soma dos seus termos é 765, o número de termos é (a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8 (e) 9 8) Seja f:[0, + ) R definida por f(x)=.3 x e g:[0, + ) R, definida por g(x)=log(f(x)). (g(1), g(), g(3),... ) é uma (a) progressão aritmética de razão log() (b) progressão aritmética de razão log(3) (c) progressão aritmética de razão 3 (d) progressão geométrica de razão log() (e) progressão geométrica de razão log(3) 3
9) Um capital de R$100,00 é aplicado com correção mensal, juros compostos e taxa fixa, totalizando R$144,00 em dois meses. Se fosse aplicado a juros simples, com a mesma taxa mensal fixa, no final dos dois meses totalizaria (a) R$ 10,00 (b) R$ 14,00 (c) R$ 130,00 (d) R$ 140,00 (e) R$ 14,00 10) (FBC) Dada a progressão geométrica ( 5 ; 3 5 ; 6 5 ; 1 ; 5-1/ 6 ;... ), o sexto termo é 1 (a) 6 5 1 3 b) 5 1 6 (c) 5 (d) (e) 5 3 5 5 11) (UFRN) Se 1 + (1 + a) + (1 + a) +... + (1 + 6a) = 49, então a é igual a (a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) (e) 1 4
1) (UFRGS) Se você pudesse seguir o padrão de formação da seguinte figura, qual seria a área da mesma quando a base chegasse a 100 metros? 4m (a) 10.000 m (b) 5.050 m (c) 5.000 m (d) 1.050 m (e) 1.000 m 4m 13) (UFRGS) Na sequência de figuras, cada quadrado tem 1 cm de área. Supondo que as figuras continuem evoluindo no mesmo padrão aqui encontrado, a área da figura 0 terá valor: Fig. 1 Fig. Fig. 3 Fig. 4 (a) entre 0 e 1000 (b) entre 1000 e 10.000 (c) entre 10.000 e 50.000 (d) entre 50.000 e 100.000 (e) maior que 100.000 5
14) (UFRGS) Se você pudesse seguir o padrão de formação da seguinte sequencia de retângulos, qual seria a área do 49 retângulo, considerando que cada quadradinho tem 1 cm? (a).300 (b).350 (c).400 (d).450 1 3 (e).500 15) (UFRGS) Em um triângulo equiláteros ABC são inscritos sucessivamente novos triângulos equiláteros, como mostra a figura. Sabendo-se que a área do triângulo ABC é 1, a soma das áreas dos triângulos pontilhados é: (a) 1 B (b) 1/... (c) 1/3 (d) 1/4 (e) 1/6 A C 16) Quer-se empilhar 55 latas de forma que, em cada nível, haja uma lata a menos do que no nível anterior. Para que no último nível haja uma única lata, o número de latas necessárias a serem colocadas no primeiro nível é (a) múltiplo de 5 (b) múltiplo de 6 (c) primo (d) ímpar (e) divisor de 81...... 6
17) (FUVEST) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo temo da progressão geométrica em. Então, o terceiro termo das progressões é (a) 10 (b) 1 (c) 14 (d) 16 (e) 18 18) A unidade de medida do som é o bel. Na prática, costuma-se utilizar o decibel, que corresponde a um décimo de bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala em progressão aritmética, mas a intensidade de som cresce segundo uma progressão geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em watts por metro quadrado) aumenta 10 vezes. A sonoridade, medida em decibéis, de uma determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som, em watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma conversação normal? (a) 3 vezes (b) 10 vezes (c) 30 vezes (d) 1000 vezes (e) Mais de 1000 vezes 7
19) (UFGRS/006) Considere que a espiral representada na figura abaixo é formada por oito semicírculos cujos centros são colineares. O primeiro semicírculo tem diâmetro 8 e, para cada um dos demais semicírculos, o diâmetro é a metade do diâmetro do semicírculo anterior. O comprimento dessa espiral é (a) π (b) (8π)/3 (c) (4π)/7 (d) (55π)/3 (e) (55π)/16 0) (PUC) A soma dos termos da sequência numérica (1, -1, 1, -1, 1,..., (-1) n ), com n N é (a) -1 (b) 0 (c) 1 (d) -1 ou 1 (e) 0 ou 1 1) (UFRGS/008) Numa sequência de quadrados, o primeiro tem lado igual a 1, e o lado de cada um dos seguintes é igual à diagonal do quadrado anterior. A soma das áreas dos dez primeiros quadrados dessa sequência é (a) 103 (b) 104 (c) 047 (d) 048 (e) 4096 8
) (UFGRS/006) Considere os segmentos representados na figura abaixo. 0 1 Seguindo o mesmo padrão de construção, a soma dos comprimentos dos segmentos da quinta linha é (a) 8/81. (b) 8/7. (c) 16/81. (d) 16/7. (e) 3/81. 3) (UFRGS) A figura abaixo representa a estrutura de madeira que apoia o telhado de um pavilhão. A altura do pilar EE é de y metros. A distância entre dois pilares consecutivos quaisquer é de x metros, assim como a distância da base do pilar BB ao ponto A. Então, a sequência das alturas dos pilares BB, CC e DD forma uma progressão (a) aritmética de razão 1/4. (b) aritmética de razão y/4. (c) aritmética de razão x/4. (d) geométrica de razão 1/4. (e) geométrica de razão xy/4. 9
4) (FUVEST) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A = (-a, 0), B = (0, b) e C = (c, 0), é igual a b, então o valor de b é (a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) (e) 1 5) (UFRGS) Sabendo-se que os números 1 + log(a), + log (b), 3 + log(c) formam uma progressão aritmética de razão r, é correto afirmar que os números a, b, c formam uma (a) progressão geométrica de razão 10 r-1. (b) progressão geométrica de razão 10 r -1. (c) progressão geométrica de razão log(r). (d) progressão aritmética de razão 1+log(r). (e) progressão aritmética de razão 10 1+log(r). 10
RESOLUÇÃO 1) a 5 = 10 e a 15 = 40 a 15 =a 5 +10r 40=10+10r r=3 a =a 5-3r a =10-3 3 a =1 ) Triângulo I: 9, 1 e 15 - Verdade: Formam uma PA de razão 3. É um triângulo retângulo, pois é semelhante do triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5, ou seja, é 3 vezes este triângulo. Triângulo II: 5, 1 e 13 - Falso: Não formam PA. Triangulo III: 5, 7 e 9 - Falso: Não é um triângulo retângulo, pois 9 5 +7. Resposta: apenas I. 3) a n =n+(n+)=n+n+4=3n+4. a 1 =7, a =10, a 3 =13, a 4 =16,... (a) é de termos decrescentes: Falso, pois as termos estão crescentes. (b) é uma progressão aritmética de razão 4: Falso, pois a razão é 3. (c) é uma progressão geométrica de razão 3: Falso, pois não é uma PG. (d) tem como primeiro termo um número par: Falso, pois o primeiro termo é 7. (e) tem como quarto termo um número natural quadrado perfeito: Verdade, pois 16 é um quadrado perfeito, uma vez que 4 =16. 4) Se (a, b, c) é uma PA, então b-a=c-b. (+3n, -5n, 1-4n) é uma PA, então (-5n) - (+3n) = (1-4n) - (-5n). -5n - -3n = 1-4n + 5n -8n - = 1 + n -9n = 3 n=-1/3 [-1, 0]. 11
5) Se em uma PA, a 1 =k, a =k+1, a 3 =k+, a 4 =k+3,..., então a n =k+(n-1). Logo, a k =k+(k-1) a k =k-1 6) (VUNESP) Se (a 1, a,..., a n ) é uma PA de razão r, então a -a 1 =r. a 1 a a n (,,..., ) é uma PG, pois a exponencial de uma PA é uma PG. A razão é o quociente entre o segundo e o primeiro: a a a r q 1 a1. 7) a 1 = 3 e razão. A soma dos seus termos é 765. S n a 1 ( n q 1) q 1 n 3( 1) 765 1 n 765 1 3 1 55 = n 1 56 = n n=8 8) log(f(x)) = log(.3 x ) = log()+xlog(3), que representa uma reta com taxa de inclinação log(3). Logo, define uma PA de razão log(3). 9) Com juros compostos os saldos formam uma PG. a 3 =a 1.q 144=100.q Tirando a raiz, 1=10q q=1,. Se a razão é 1,, sendo este o fator de acréscimo, a taxa de juros é de 0%. Se fosse a juros simples, seria uma PA com razão 0: (100, 10, 140). Assim, o saldo no terceiro mês seria de 140. 10) ( 5 ; 3 5 ; 6 5 ; 1 ; 5-1/ 6 ;... ). a 4 =1 e a 5 =5-1/6. A razão é q=a5/a 4 =5-1/6 /1=5-1/6. a 6 =a 5 q=5-1/6 5-1/6 =(5-1/6 ) =5-1/3. 3 3 1 5 5 6 1 5 3 3 a 5 5 1
11) 1 + (1 + a) + (1 + a) +... + (1 + 6a) = 49 1 + (1 + a) + (1 + a) +... + (1 + 6a) é uma PA de 7 termos com a 1 =1, a 7 =1+6a e r=a. 7 7 S 7 = ( a1 a7 ) 49=(1 + 1+6a) 7=(+6a) 1 14=+6a 1=6a a= 1) 4m 4m Cada quadrado menor tem 1m. Logo, temos que saber quantos quadrados terá ao todo quando na base tiver 100 quadrados. Na primeira coluna tem 1. Na segunda coluna tem. Na terceira coluna tem 3.... Na centésima coluna tem 100. O total de quadrados será 1++3+... +100. 100 S 100 ( a1 a100) (1 100) 50 101 50 5050. 13
13) Fig. 1 Fig. Fig. 3 Fig. 4 Área da figura 1em cm : 1 Área da figura em cm : 1+ Área da figura 3 em cm : 1++4 Área da figura 4 em cm : 1++4+8... Área da figura 0 em cm : 1++4+8+...+a 0, que é a soma dos 0 termos de uma PG com a 1 =1 e q=. S n ( n a1 q 1) q 1 0 1 ( 1) S 0 S 0 = 0-1 1 0 = 10 10 =104 104 > 1000 1000=1.000.000. Logo, 0-1>1.000.000-1=999.999>100.000. 14) Área do primeiro: 1 1 3 Área do segundo: 3 Área do terceiro: 4 3... Área do 49 : 50 49=450 14
15) O mesmo ocorre para os demais triângulos, sempre a área de um sendo 1/4 da área do anterior. Desta forma, a soma das áreas dos triângulos sombreados é 1/4 + 1/16 + 1/3 +..., que é a soma de uma PG infinita de razão 1/4. 1 1 a S 4 4 1 q 1 3 1 4 4 1 1 3 Na figura ao lado, os quatro triângulos são congruentes, pois tem os mesmos ângulos e lados. Assim, a área do triângulo equilátero sombreado é 1/4 da área do triângulo equilátero maior de área 1. Então, a área do primeiro triângulo é 1/4. n 16) S a a 1 55 55 1 55 n n (1+n)n=110 n +n-110=0 1 1 4 1 ( 110) 1 1 440 1 441 1 1 n n n =10 e n =-11 Como o número de latas não pode ser negativo, então n=10, que é múltiplo de 5. 17) PA: (4, y+, x) (y+) - 4 = x - (y+) y - = x - y - y = x PG: (4, y, x) = (4, y, y) y y 4 y y 4 y = 8 x = 16 15
18) 1º Modo Cada 1 bel que a sonoridade aumenta, a intensidade aumenta 10 vezes, ou seja, é multiplicada por 10. 60 decibéis equivalem a 6 b. 90 decibéis equivalem a 9 b. Se a sonoridade passa de 6 b para 7 b, então a intensidade é multiplicada por 10. Se a sonoridade passa de 7 b para 8 b, então a intensidade é multiplicada por 10. Se a sonoridade passa de 8 b para 9 b, então a intensidade é multiplicada por 10. Assim, se a sonoridade passa de 6 para 9, a intensidade é multiplicada por 10 10 10=1000. º Modo Seja x a sonoridade e f(x) a intensidade. x Se cada 1 bel que x aumenta f(x) é multiplicado por 10, a lei da f é f ( x) 10. f(7)=10 6 e f(9)=10 9 10 9 = 10 3 10 6 Logo, a intensidade é multiplicada por 1000. 19) O comprimento de um círculo de raio r é r. Logo, o comprimento de um semicírculo de raio r é r. O raio do 1 semicírculo é 4. O seu comprimento é 4. O raio do semicírculo é. O seu comprimento é. O raio do 3 semicírculo é 1. O seu comprimento é. O raio do 4 semicírculo é 1/. O seu comprimento é /. 18 64 3 16 8 4 55 4 4 8 16 3 3 3 Obs.: Poderíamos também ter usado a fórmula da soma da PG finita. 16
0) (1, -1, 1, -1, 1,..., (-1) n ) Se n=0, então a sequência é (1), cuja soma é 1. Se n=1, então a sequências é (1, -1), cuja soma é 0. Se n=, então a sequência é (1, -1, 1), cuja soma é 1 Se n=3, então a sequência é (-1, 1, -1, 1), cuja soma é 0. Seja qual for n, a soma só poderá ser 0 ou 1. 1) 4 4 1 4 A 1 = 1 A = A 3 = 4 A 4 =16 (1,, 4, 16,...) é uma PG de razão q= e a 1 =1. S n = a 1(q n 1) q 1 ) S 10 = a 1(q 10 1) q 1 = 1(10 1) 1 = 1041-1 = 103. 0 1 Comprimento 1. Comprimento 1/3 + 1/3 = /3. Comprimento 1/9+1/9+1/9+1/9 = 4/9... (1, /3, 4/9,... ) é uma PG de razão /3. Logo, a 4 = 8/17 e a 5 = 16/81. 17
3) AA, BB, CC, DD, EE tem um crescimento linear, logo formam uma PA. desnível = razão n de espaços y 4 = razão Logo, BB, CC, DD formam uma PA de razão y/4. 4) (a, b, c) formam uma PA, logo b - a = c - b. b = a + c b h=b -a c a + c A área do triângulo: base altura Área = b b = (a+c)b. Substituindo b por a + c, temos: = b Como a área é 1, então b =1, ou seja, b=1. 5) (1 + log(a), + log (b), 3 + log(c)) é uma PA de razão r. Assim, ( + log(b)) (1 + log(a)) = (3 + log(c)) ( + log(b)). 1 + log(b) log(a) = 1 + log(c) log(b). log(b) log(a) = log(c) log(b). log(b/a) = log(c/b) b/a = c/b (a, b, c) é uma PG de razão q = b/a. Ainda, se (1 + log(a), + log (b), 3 + log(c)) é uma PA de razão r, então r = ( + log(b)) (1 + log(a)) = 1 + log(b) log(a) = 1 + log(b/a) = 1 + log(q). r = 1 + log(q) log(q) = r 1 q = 10 r-1 Assim, (a, b, c) forma uma PG de razão 10 r-1. 18
RESPOSTAS 1) C ) A 3) E 4) B 5) C 6) A 7) D 8) B 9) D 10) D 11) D 1) B 13) E 14) D 15) C 16) A 17) D 18) D 19) D 0) E 1) A ) C 3) B 4) E 5) A 19