HIROINÂMIC Créditos: PORTO, R.M. - EESC; UTENSCHGER, S. R. - UEM - Introdução: Hidrodinâmica tem por objetivo o estudo do movimento dos fluidos. O movimento de um fluido perfeito ficará completamente determinado se, em qualquer instante t, forem conhecidas: a grandeza e a direção da velocidade v, em qualquer ponto, ou as componentes v x, v y, e v z, dessa velocidade, segundo os três eixos de coordenadas; a pressão p e a massa específica ρ, que caracterizam as condições do fluido em cada ponto. São 5 incógnitas (v x, v y, v z, p eρ) > funções de 4 variáveis independentes, x, y, z, e t. resolução do problema exige um sistema de cinco equações: três equações gerais do movimento, relativas a cada um dos três eixos; a equação da continuidade, que exprime a lei de conservação das massas; e uma equação complementar, que leva em conta a natureza do fluido.
Métodos gerais para a solução do problema: Método de agrange > consiste em acompanhar as partículas em movimento, ao longo das suas trajetórias; Método de Euler > estuda, no decorrer do tempo e em determinado ponto, a variação das grandezas mencionadas. Classificação dos Escoamentos:.a Permanente ou Não-Permanente (Variado):.a. - Escoamento permanente: aquele cujas características (força, velocidade, pressão) são função exclusiva de ponto e independem do tempo; No escoamento permanente, a vazão é constante ao longo da corrente. v t p t ρ t Matematicamente: 0; 0; 0 Escoamento permanente uniforme: a velocidade média permanece constante ao longo da corrente; Neste caso, as seções transversais da corrente são iguais.
Escoamento permanente não-uniforme (gradualmente variado): O escoamento permanente pode ser acelerado ou retardado;.a. - Escoamento não-permanente: s características do escoamento não-permanente, além de mudarem de ponto para ponto, variam, num mesmo ponto, com o tempo. v t p t ρ t e maneira semelhante: 0; 0; 0 Exemplo > Tipos de escoamento em um rio (Figura ): há trechos regulares em que o escoamento pode ser considerado permanente e uniforme; em outros trechos (estreitos, corredeiras, etc.), o movimento, embora permanente (vazão constante), passa a ser acelerado; durante as enchentes, ocorre o movimento não-permanente: a vazão varia com o tempo. 3
Figura (a) Movimento permanente uniforme: Q Q,, V V ; (b) permanente não-uniforme acelerado: Q Q, >, V < V ; e (c) não-permanente: Q Q, e V V, além da variação em cada seção com o tempo..b Regime aminar ou Turbulento: No regime laminar, as trajetórias das partículas em movimento são bem definidas e paralelas. Regime que ocorre a baixas velocidades ou em fluidos muito viscosos. No regime turbulento, as trajetórias das partículas em movimento são irregulares, com movimento aleatório, produzindo transferência de quantidade de movimento entre regiões da massa líquida. (a) (b) Figura (a) Escoamento laminar; (b) Escoamento turbulento. 4
Experiência de Reynolds Reynolds desenvolveu experimentos com a finalidade de visualizar o comportamento de um filete de corante no interior do escoamento, através de um tubo transparente, como ilustrado na Figura 3. O parâmetro adimensional: ρ V Re µ V υ Figura 3 Experiência de Reynolds. representa a razão entre forças de inércia e de viscosidade e é conhecido como N o. de Reynolds; permite classificar os escoamentos como: Re < 000 : ESCOMENTO MINR 000 < Re < 4000 : Escoamento de Transição / Região Crítica Re > 4000 : ESCOMENTO TURBUENTO 5
.c Escoamento em Conduto Forçado e em Conduto ivre: Nos condutos forçados, os escoamentos ocorrem sob pressão, geral te. diferente da pressão atmosférica, e as seções são fechadas e funcionam cheias (em geral, circulares). Nos condutos livres, os escoamentos ocorrem à superfície livre, sob pressão atmosférica, e as seções são fechadas (parcialmente cheias) ou abertas (canais). Figura 4 Formas usuais de seção transversal de condutos livres (canais) na prática da engenharia hidráulica. 6
3 Equações Fundamentais dos Escoamentos Permanentes dos íquidos: 3.a Equação da Conservação da Massa ei da Vazão Vazão ou descarga: Considerando o tubo de fluxo, indicado na Figura 5, tem-se como expressão da lei de conservação da massa através do mesmo num intervalo de tempo dt: Massa que entra - Massa que sai Variação da massa no interior do tubo Matematicamente: ρ Vdt ρ Vdt dm... (Eq. ( ) Figura 5 Tubo de fluxo. 7
Para: escoamento permanente > dm 0 M c te. líquido incompressível > ρ ρ ρ cte. Na Eq., resulta: V V V Q Conhecida como equação da vazão, equação da continuidade ou ei de eonardo-castelli. efine-se, então, em termos de volume: Vazão ou descarga, numa determinada seção, é o volume de líquido que atravessa essa seção na unidade de tempo. vazão é expressa em m 3 s - ou em outras unidades múltiplas ou submúltiplas. Para o cálculo de canalizações, em tabelas, é comum empregar-se litros por segundo ( s - ); Os perfuradores de poços e fornecedores de bombas costumam usar litros por hora ( h - ) ou metros cúbicos por hora (m 3 h - ). c te.... (Eq. ( ) 8
3 Equações Fundamentais dos Escoamentos Permanentes dos íquidos: 3.b Equação da Conservação da Energia Teorema de Bernoulli plicando-se a equação fundamental da inâmica a um elemento da massa líquida em movimento, como indicado na Figura 6, temse para o equilíbrio das forças de campo (gravidade) e de contato (pressão e atrito), após considerações teóricas e simplificações: - Na direção tangencial s do escoamento permanente de líquido perfeito (sem viscosidade): z + p γ V + H g c te... (Eq. ( 3). Figura 6 Forças sobre o volume elementar. Teorema de Bernoulli > para o movimento de líquidos perfeitos em regime permanente, a carga total H, que representa a energia mecânica por unidade de peso do líquido, é constante ao longo de cada trajetória. 9
inha de energia e linha piezométrica: Para dois pontos sobre uma linha de corrente ( trajetória da partícula) no esc to. permanente de um fluido real, o teorema de Bernoulli escreve-se como: +... (Eq. ( 4) p V p V z + z + + + H γ g γ g Nesta equação, as parcelas representam energias por unidade de peso do líquido e têm dimensão linear, admitindo a representação geométrica indicada na Figura 7: Figura 7 inha de energia e linha piezométrica relativas ao movimento de uma partícula em sua trajetória. 0
s denominações dos termos da Eq. 4 e Figura 7 são: z carga de posição (energia potencial em relação a um plano horizontal de referência); p/γ carga ou energia de pressão; V /g carga ou energia cinética; (z + p/γ) cota piezométrica; inha piezométrica - lugar geométrico dos pontos cujas cotas são dadas por (z + p/γ); inha de energia (ou de cargas totais) - lugar geométrico dos pontos cujas cotas são dadas por (z + p/γ + V /g); H perda de carga ou perda de energia por unidade de peso do líquido (representa a energia gasta para vencer as forças de atrito no deslocamento da partícula entre os pontos e ). Observações: - parcelas geometricamente perpendiculares ao plano horizontal de referência, independente da curvatura da trajetória; - a linha de energia desce sempre no sentido do escoamento, a menos que haja introdução de energia externa pela instalação de uma bomba; - a linha piezométrica não necessariamente segue esta propriedade; - a perda de carga corresponde ao rebaixamento da linha de energia entre os dois pontos considerados.
Equação da Energia em Tubos de Fluxo Para uma seção pressão (p) carga de posição (z) velocidade (v) Valores tomados para o centro da seção Valor variável com a posição do ponto na seção devido à presença de contorno sólido e à viscosidade. Para cada trajetória há uma E. Na prática, interessa definir p/ toda a seção uma E para a velocidade média V na seção. energia cinética da massa global vale (Fig. 8): E c mv de c dmv ρvolv energia cinética através de um elemento de área d vale: ρdvolv ρq tv Figura 8 istribuição de velocidade em uma seção. 3 ρv (i) ρdqdtv ρv 3 d ( t, dt unitários) E c 3 ρv d (ii)
relação entre (ii) e (i) é chamada de fator de correção da energia cinética ou coeficiente de Coriolis e é dada por: α ρv ρv 3 3 d quantidade de movimento da massa global vale: quantidade de movimento de um elemento de área d vale: r dq r Q r r r mv ρvolv ρq tv r dmv r ρdvolv (iii) ( t, dt unitários) relação entre (iv) e (iii) é chamada de fator de correção da quantidade de movimento ou coeficiente de Boussinesq e é dada por: ρv β ρv d 3 v d α 3 V ρv r ρdqdtv ρv d v d β V Q r ρv d (iv) 3
ssim, a equação geral da energia para tubos de fluxo, representada pelas velocidades médias nas seções e, fica: p V p V + z + α + z + α + H γ g γ g + g d( βv) dt Para escoamento laminar em tubos circulares (distribuição de velocidade parabólica): α,0 e β 4/3 Para escoamento turbulento em tubos circulares (distribuição de velocidade logarítmica): α,0 (,06) e β,0 (,0) Figura 9 istribuições de velocidade típicas para escoamentos laminar e turbulento em uma seção. Obs.: O coeficiente de Coriolis é mais importante nos escoamentos em condutos livres, onde a distribuição de velocidade numa seção é menos uniforme. 4
plicações: ) O diâmetro de uma tubulação que transporta água em regime permanente varia gradualmente de 50mm, no ponto, 6m acima de um referencial, para 75mm, no ponto B, 3m acima do referencial. pressão no ponto vale 03 kn/m e a velocidade média é de 3,6 m/s. Pede-se determinar: a) velocidade média na seção do ponto B; b) O valor do n o. de Reynolds do escoamento nas seções dos pontos e B; c) esprezando as perdas de carga, determine a pressão no ponto B? (Probl.. PORTO) 5
) Em um ensaio de laboratório, uma tubulação de aço galvanizado com 50mm de diâmetro possui duas tomadas de pressão situadas a 5 m de distância uma da outra e tendo uma diferença de cotas geométricas de,0 m. Quando a água escoa no sentido ascendente, tendo uma velocidade média de, m/s, um manômetro diferencial ligado às duas tomadas de pressão e contendo mercúrio acusa uma diferença manométrica de 0,5m. 5m Calcule a vazão, o n o. de Reynolds, a diferença de pressão entre as duas tomadas e a perda de carga do escoamento no trecho.,0 Indicar, esquematicamente, as linhas piezométrica e de energia. h Hg 0,5 ado: densidade do mercúrio 3,6. (Probl..8 PORTO) 6
Fórmula Universal da Perda de Carga No fenômeno físico do escoamento de um líquido real, com velocidade média V, caracterizado pela sua viscosidade dinâmica µ e massa específica ρ, através de uma tubulação circular de diâmetro, comprimento e altura de rugosidade ε da parede, a queda de pressão p que ocorre naquele trecho pode ser expressa como: p F ( ρ,v,,µ,,ε) plicando-se o teorema fundamental da nálise imensional, conhecido como teorema de Vashy-Buckingham ou teorema dos Π s, obtém-se a seguinte relação entre os quatro parâmetros adimensionais relacionados ao fenômeno: p ρ V Φ ρv µ, ε Escreve-se, pelo fato de ser p /: p ρ V Φ ρv µ,, ε 7
função indicada na expressão anterior pode ser obtida experimentalmente e representa o fator de atrito f da tubulação. Como p γ H e γ ρ g, vem: H f V g... (Eq. ( 5) Eq. 5 (Eq..0 PORTO) é a fórmula universal da perda de carga ou equação de arcy-weisbach, de grande importância nos problemas relacionados aos escoamentos. Como será visto no próximo capítulo, o fator de atrito f é determinado como uma função do número de Reynolds do escoamento e da rugosidade relativa do conduto. f Φ ( ε ) Re, 8
Resistência aos Escoamentos Uniformes Velocidade de atrito Para o escoamento no trecho de comprimento, em condições de equilíbrio dinâmico, tem-se: Fx p p τ0p Wsenθ 0. Como W γ Escreve-se: z z senθ ( p p) τ0p γ(z z) 0. p p τ0 ( + z) ( + z) γ γ γ h P e τ γ R h P Q.3 P H τ 0 θ P z z W γ ividindo-se por (γ) e separando-se os termos de mesmo índice, obtém-se: O primeiro membro representa a perda de carga no trecho ( H). Introduzindo-se o conceito de raio hidráulico, obtém-se: 0 R H.4 J τ0 γr hj.5 9 X
0 Seção Circular: Corte 4 4 Rh Perimetro 4 rea π π π π 4 R H 0 h 0 γ τ γ τ.6 g V f H Eq. universal da perda de carga:.0 8 f V 8 V f 4 g V f H 0 0 0 ρ τ ρ τ γ τ.8 ρ τ 0 u * 8 f V u * Velocidade de atrito
Potência Hidráulica de Bombas e Turbinas E sempre decai no sentido do escoamento, a menos que uma fonte externa de energia seja introduzida. Turbinas e bombas são máquinas hidráulicas que têm a função, respectivamente, de extrair ou fornecer energia ao escoamento. plicando o PCE a um escoamento permanente do sistema com a máquina indicada na Figura 0, temos: H ± e e maq H s Pela definição de potência total (fornecida ou consumida), tem-se: Pot E maq t e maq peso t e maq γq t t ssim, a expressão geral da potência hidráulica da máquina é: Pot ( ) ±γq H s H e Há perdas no processo de transformação de energia: γqe maq Potência absorvida pela turbina < Potência recebida do escoamento Potência cedida pela bomba > Potência que o escoamento recebe Figura 0 Máquina hidráulica em uma tubulação. rendimento (η)
efinindo altura total de elevação (ou manométrica) da bomba H H s - H e queda útil da turbina H u H e - H s tem-se para as bombas: Pot ( H ) γq H s η e γqh η para as turbinas: Pot ηγq H ( e Hs ) ηγqhu No caso particular da água, γ 9,8. 0 3 N/m 3 e para Q (m 3 /s) e H (m) as expressões ficam: para as bombas: para as turbinas: Pot Pot 9,8QH η 9,8 ηqh (kw) u (kw) Outra unidade de potência muito utilizada, principalmente para bombas, é o cavalo-vapor(cv), que guarda a seguinte relação com o quilowatt: kw,36 cv
O estudo de problemas de escoamento deve considerar o traçado da E ou da P entre seções de interesse, principalmente quando existe uma máquina hidráulica. Para o caso de sistema com máquina ligando reservatórios com N c te. podemos escrever (Figura ): Figura Instalação de turbina (T) e bomba (B) em uma tubulação. para a turbina: H u Z m - Z j - H m - H j Z m - Z j - H H B - H para a bomba: H Z j - Z m + H m + H j Z j - Z m + H H G + H onde: - H B Z m - Z j > queda bruta; e - H G Z j - Z m > altura geométrica de elevação. 3
plicações (Cont. ): ) Calcule o fator de atrito f da tubulação, a tensão de cisalhamento média na parede da tubulação e a velocidade de atrito. 5m,0 h Hg 0,5 3) Um determinado líquido escoa, em regime permanente, através de uma tubulação horizontal de 0,5m de diâmetro e a tensão de cisalhamento sobre a parede é de 0 N/m. Calcule a queda de pressão em 30m de tubulação. (Probl..3 PORTO) 4) Figura a seguir mostra um sistema de bombeamento de água do reservatório R para o reservatório R, através de uma tubulação de diâmetro igual a 0,40m pela qual escoa um vazão de 50 /s com uma perda de carga unitária J 0,0055 m/m. s distâncias R B e B R medem, respectivamente, 8,5 m e 800 m. bomba B tem potência igual a 50 cv e rendimento de 80%. Com os dados da figura, determine: 4
a) a que distância de B deverá ser instalada B para que a carga de pressão na entrada de B seja igual a,0 mh O?; b) a potência da bomba B, se o rendimento é de 80%, e a carga de pressão logo após a bomba? espreze, nos dois itens, a carga cinética na tubulação!!. (Probl..4 PORTO) R,0m 5,0m 0,0m B -,0m R B Figura. Problema.4 (PORTO) 5